Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική συνάρτηση (µιγαδικής µεταβλητής) µε πεδίο ορισµού το σύνολο A (το οποίο ορίζεται ως εκείνο το υποσύνολο του για το οποίο ο τύπος της µιγαδικής συνάρτησης έχει νόηµα) και πεδίο τιµών το σύνολο f A = w : w= f { } Συνδυάζοντας τον παραπάνω ορισµό µε τη γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών αριθµών προκύπτει ότι µια µιγαδική συνάρτηση απεικονίζει σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε σηµεία του µιγαδικού επιπέδου w Εφόσον = x+ iy ( xy, ) είναι φανερό ότι µια µιγαδική συνάρτηση f µπορεί να γραφεί ως όπου uv, : A παράδειγµα αν f =, τότε f = f( x+ iy) = u x, y + i v x, y, είναι πραγµατικές συναρτήσεις δυο µεταβλητών Για f = x+ iy = x y + i xy, άρα u( x, y) = x y και v( x, y) xy w= f ή ισοδύναµα ενός συστήµατος εξισώσεων u = u( x, y), v v( x, y) θα λέµε ότι το ζεύγος (, ) = οθείσης µιας µιγαδικής συνάρτησης =, uv είναι οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες σηµείου P ' στο µιγαδικό επίπεδο w το οποίο προκύπτει ως εικόνα ενός σηµείου P του µιγαδικού επιπέδου µέσω της απεικόνισης w= f Απ την άλλη πλευρά εφόνον υπάρχει µια - αντιστοιχία του χώρου µε το µιγαδικό επίπεδο, µια µιγαδική συνάρτηση f = u+ iv µπορεί να ερµηνευθεί και ως ένα πεδίο f : A B : f x, y = u x, y, v( x, y) Αντίστροφα κάθε πεδίο 3
F A B F x y u x y v x y : :, =,, (, ) αντιστοιχεί σε µια µιγαδική συνάρτηση f = uxy (, ) + ivxy (, ) την οποία µπορούµε να γράψουµε ως συνάρτηση της µεταβλητής θέτοντας x= +, y= i Σηµείωση: Στην περίπτωση κατά την οποία το πεδίο ορισµού A µιας µιγαδικής συνάρτησης είναι υποσύνολο του λέµε ότι έχουµε µια µιγαδική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής Τέτοιες συναρτήσεις f : A παριστάνουν καµπύλες στο µιγαδικό επίπεδο (αν A είναι διάστηµα και η f είναι συνεχής στο A ) Για παράδειγµα η συνάρτηση f () t = + it, t είναι µια µιγαδική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής και απεικονίζει τον πραγµατικό άξονα στην ευθεία R( ) = του µιγαδικού επιπέδου Προφανώς οι πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής f : A B είναι ειδική περίπτωση των µιγαδικών συναρτήσεων διότι A, B Τέλος αναφέρουµε και τις πραγµατικές συναρτήσεις µιγαδικής µεταβλητής, f = πχ Προσοχή: Στο εξής όταν γράφουµε «µιγαδική συνάρτηση» θα εννοούµε µιγαδική συνάρτηση µιγαδικής µεταβλητής εκτός αν δηλώνεται κάτι διαφορετικό Πλειονότιµες συναρτήσεις Στη µιγαδική ανάλυση είναι χρήσιµο να γενικεύσουµε τον ορισµό της συνάρτησης f ώστε ο κανόνας αντιστοίχισης να επιτρέπει σε κάθε µιγαδικό στο πεδίο ορισµού της f να αντιστοιχούν περισσότερες από µια τιµές Τέτοιες συναρτήσεις καλούνται πλειονότιµες (ή πλειότιµες), εν αντιθέσει µε τις µονότιµες συναρτήσεις Ας αναφέρουµε ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα Στο προηγούµενο Κεφάλαιο ορίσαµε τις νιοστές ρίζες ενός µιγαδικού αριθµού a µέσω της σχέσης + Arg a i λπ a = a, λ =,,, 3
δηλαδή η a παίρνει -διαφορετικές τιµές Αν λοιπόν επιχειρήσουµε να ορίσουµε τη συνάρτηση + Arg i λπ f = =, λ =,,, τότε κατανοούµε άµεσα ότι η συνάρτηση δεν είναι καλά ορισµένη διότι σε κάθε αντιστοιχεί όχι µοναδική αλλά -διαφορετικές τιµές Παρόλα αυτά ορίζουµε την όπως παραπάνω µε την επισήµανση όµως ότι πρόκειται για µια πλειονότιµη συνάρτηση Πάντα όµως µελετούµε τη (και γενικότερα τις πλειονότιµες συναρτήσεις) ως µονότιµη συνάρτηση, δηλαδή θεωρούµε κάποια συγκεκριµένη τιµή σε σχέση µε το σύνολο τιµών της Στην περίπτωση αυτή µιλούµε για ένα συγκεκριµένο κλάδο της πλειονότιµης συνάρτησης Οι πράξεις µε µιγαδικές συναρτήσεις ορίζονται όπως συνήθως Για παράδειγµα αν ab, και f : E, g: E, τότε για κάθε E E ορίζουµε ( a f ± b g) = a f ± b g, ( f g) = f g, ενώ για κάθε E E { E E g } : = ορίζουµε f g = f g Ορισµός Η µιγαδική συνάρτηση f : : f = a + a+ a + + a, ai καλείται πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού Επιπλέον µια µιγαδική συνάρτηση καλείται ρητή αν είναι πηλίκο δύο πολυωνυµικών συναρτήσεων Ορισµός Μια µιγαδική συνάρτηση f : A B καλείται φραγµένη αν το πεδίο τιµών της f ( A ) είναι φραγµένο σύνολο στο, δηλαδή υπάρχει θετική σταθερά C τέτοια ώστε να ισχύει f C για κάθε A 3
Ορισµός 3 Έστω f : A f( A), g: f( A) B είναι δύο µιγαδικές συναρτήσεις Tότε ορίζoυµε τη σύνθεση αυτών ως συνήθως: g f : A B: g f = g f Ορισµός 4 Έστω f : A f( A): w= f είναι µια - µιγαδική συνάρτηση Tότε ορίζουµε την αντίστροφη αυτής f : : = f f A A f w Η Εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση ως συνήθως: Ορισµός 5 Αν = x+ iy,( x, y ) είναι ένας µιγαδικός αριθµός τότε ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση ως = x iy Θεώρηµα Eστω,, Τότε: (α) + = (β) Για κάθε ισχύει (γ) = = + π i, (δηλαδή η είναι π i -περιοδική) (δ) = = π i, (ε) (στ) = = Απόδειξη (α) Αµεση εφαρµογή του ορισµού (β) Επειδή για κάθε ισχύει αλλιώς καταλήγουµε σε άτοπο = = συµπεραίνουµε ότι, 33
(γ) Eστω = x + i y, j =, Λαµβάνοντας υπόψη το Θεώρηµα 3(α) του j j j Κεφαλαίου παίρνουµε x iy x iy = = x x = και y = y + kπ, k, και λόγω του γεγονότος ότι η x είναι παίρνουµε x = x Τελικά: = ( x x ) + i( y y ) = + iπ = π i, (δ) Απλή εφαρµογή του (γ) για = και = (ε) iy x iy x iy x iy = = = = = iy x iy (στ) Απλή εφαρµογή του (ε) σε συνδυασµό µε το (α) Ορισµός 6 Εστω a { } Kαλούµε µιγαδικό λογάριθµο του a, συµβολικά log a να είναι κάθε λύση της εξίσωσης = a i Εστω a= a θ, θ και = x+ iy Τότε: x iy i = a = a θ x = a και y= θ + kπ, k x Aπό την ισότητα = a προκύπτει x = a ( a λόγω Θεωρ (β)), συνεπώς, αν θ είναι ένα όρισµα του α παίρνουµε ( θ π ) log a= x+ iy= a + i + k k Αρα ο λογάριθµος ενός µη µηδενικού µιγαδικού αριθµού a ορίζεται ως ή ισοδύναµα ( θ π) log a= a + i + k k, () log a= a + iarg( a) Από την () γίνεται σαφές ότι αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση f = log, τότε 34
log a= + iarg (α) και είναι πλειονότιµη µε την έννοια ότι για κάθε η log παίρνει αριθµήσιµο πλήθος τιµών που διαφέρουν µεταξύ τους κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π Αν στην (α) πάρουµε k = και θ = Arg τότε παίρνουµε τον πρωτεύοντα κλάδο λογάριθµου Log = + i Arg Αν ορίσουµε Arg συµβολίζουµε το συγκεκριµένο κλάδο του λογάριθµου ως θ να περιλαµβάνει όλες τις τιµές στο [ θ, θ π) Θεώρηµα Εστω, { } log = l + i Arg (α) log log log( ) = + θ θ Ισχύουν οι ιδιότητες: +, τότε (β) = log log( ) log( ) (γ) log( ) log, ( ) Απόδειξη: Eνδεικτικά αποδεικνύουµε την (α) Οµοίως αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες Εχουµε log = + i arg ( ) = + + i arg + arg ( i arg ( ) ) i arg = + + + = log( ) + log( ) Προσοχή: Για την πρωτεύουσα τιµή του λογαρίθµου ισχύει: 35
Log = Log + Log + k πi για κάποιο ακέραιο k Log( / ) = Log( ) Log( ) + k πi για κάποιο ακέραιο k Ορισµός 7 Εστω a { } είτε Im( a) και b τέτοιος ώστε: είτε ο a είναι άρρητος, b Τότε ορίζουµε τη δύναµη a ως εξής: a = b blog a Σηµείωση Ο παραπάνω ορισµός καλύπτει και τις περιπτώσεις a, m a= ( m,, > ) όπου m, πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο Στο b εξής όταν γράφουµε a θα εννοούµε τον πρωτεύοντα κλάδο της (εκτός αν ρητώς δηλώνεται κάτι διαφορετικό) Μπορούµε πλέον να ορίσουµε και τη συνάρτηση a = alog, a a Προφανώς η είναι πλειονότιµη συνάρτηση Πρωτεύον κλάδος της είναι εξ a ορισµού ο πρωτεύον κλάδος της log Στο εξής όταν γράφουµε θα εννοούµε τον πρωτεύοντα κλάδο της (εκτός αν ρητώς δηλώνεται κάτι διαφορετικό) ηλαδή τη µονότιµη συνάρτηση = a alog Αυτό το κάνουµε για να µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη ιδιότητα της δύναµης Πρόταση Εστω { } κλάδο της a ) ισχύει: και a, a Τότε (για τον πρωτεύον a =, a + a a a = a Απόδειξη: a a a Log a Log a + a Log a + a = = = Προσοχή Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει για την πλειονότιµη a συνάρτηση 36
Προσοχή: Εστω, { } ( ) a a a και ab, Iσχύει εν γένει (για τον πρωτεύον κλάδο) log( ) a log( ) a a ( ) b ab Ορισµός 7 Εστω a { } συνάρτηση a ως εξής: a Τότε ορίζουµε τη γενικευµένη εκθετική = log a Είναι σαφές ότι η a είναι µια πλειονότιµη συνάρτηση µε αριθµήσιµο πλήθος τιµών Πρωτεύον κλάδος της a είναι εξ ορισµού ο πρωτεύον κλάδος της log Στο εξής όταν γράφουµε a θα εννοούµε τον πρωτεύοντα κλάδο της (εκτός αν ρητώς δηλώνεται κάτι διαφορετικό) ηλαδή τη µονότιµη συνάρτηση a = Log a Αυτό το κάνουµε για να ταυτίσουµε τον ορισµό της a µε την εκθετική συνάρτηση (για a= ) και για να ισχύει η βασική ιδιότητα της δύναµης a = a a, a = a + η οποία δεν ισχύει για την πλειονότιµη συνάρτηση Γεωµετρική ερµηνεία των και log( ) Από το Θεώρηµα (γ) συµπεράναµε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι π i - περιοδική συνάρτηση στο άρα δεν µπορεί να είναι - στο (εν αντιθέσει µε x την, x ) Παρόλα αυτά αν περιορίσουµε το πεδίο ορισµού της σε οποιοδήποτε οριζόντια λωρίδα του µιγαδικού επιπέδου της µορφής { :, π π π π} C = = x+ iy x k < y k + ( k σταθερός ακέραιος), k 37
τότε η είναι - επί του { } Πράγµατι για κάθε C ισχύει, k = = + k i π και εφόσον C αναγκαστικά θα πρέπει k =, δηλαδή =, k Επιπλέον από τον ορισµό 6 και τη () συνάγουµε ότι για κάθε C k η εξίσωση = w έχει µοναδική λύση το λογάριθµο ( ) = log( w) = w + i Arg w + k π ( ) log( w) = w + i Arg w + k π ως µονότιµη συνάρτηση θεωρώντας το συγκεκριµένο κλάδο της (για k = k ) τότε αυτή είναι αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης ορισµένης επί του συνόλου C Συνοψίζοντας έχουµε: Αρα αν θεωρήσουµε τη k (α) : {}: x+ iy x iy = = και η συνάρτηση είναι µια π i -περιοδική (β) Η εκθετική συνάρτηση απεικονίζει µονοσήµαντα κάθε οριζόντια λωρίδα του µιγαδικού επιπέδου { :, π π π π} C = x+ iy x k < y k + ( k ) k πάνω στο συνόλο { } (γ) οθέντος log = + i Arg + kπ, τότε log : Ck µονοσήµαντα k και του κλάδου ορίζεται η { } (δ) Η : Ck {} έχει αντίστροφη συνάρτηση τον κλάδο της λογαριθµικής συνάρτησης { } log : C : log = + i Arg + k π k Κατά συνέπεια log( ) = για κάθε C k 38
Συµπερασµατικά, κάθε κλάδος λογαρίθµου απεικονίζει - το µιγαδικό πάνω σε µια οριζόντια λωρίδα C του µιγαδικού επίπεδο { } επιπέδου Αντίστροφα η λωρίδα k απεικονίζει µονοσήµαντα κάθε οριζόντια C του µιγαδικού επιπέδου πάνω στο µιγαδικό επίπεδο { } k Οι εύρεση των εικόνων διαφόρων συνόλων µέσω της εκθετικής (ή της λογαριθµικής) συνάρτησης γίνεται µε τη βοήθεια καµπυλόγραµµων συντεταγµένων Για παράδειγµα η w= όπου C γράφεται ισοδύναµα ως x w =, θ w = y+ kπ, και εφόσον y ( π, π ], παίρνουµε Arg ( w) x = c, y ( π, π ] = y Ετσι η εικόνα ενός «κατακόρυφου» ευθύγραµµου τµήµατος στο επίπεδο είναι κύκλος κέντρου (,) και ακτίνας c στο επίπεδο w Επίσης η εικόνα ενός «οριζόντιου» ευθύγραµµου τµήµατος y= c, x είναι µια ηµιευθεία OA στο επίπεδο w απείρου µήκους µε κλίση y= c Οι συναρτήσεις w f = = και w= f =, { } Aς θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : : w= f =, Προφανώς η = είναι µια µονότιµη συνάρτηση (αλλά όχι πάντα -) και από το Θεώρηµα w 3(γ) του Κεφαλαίου προκύπτει εύκολα ότι η εικόνα του µιγαδικού µέσω της f είναι ένας νέος µιγαδικός αριθµός w τέτοιος ώστε w = και arg w = Arg + kπ Ας αναφέρουµε ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα Εστω f = και { :, } E = Arg < π είναι το άνω ηµικύκλιο κέντρου (,) και ακτίνας Τότε σύµφωνα µε τα παραπάνω η εικόνα του συνόλου E µέσω της f είναι το σύνολο { :, } E = w w Arg w < π δηλαδή ο κύκλος κέντρου (,) και ακτίνας 4 και επιπρόσθετα η απεικόνιση 39
f : E E είναι - (αυτή η ιδιότητα όµως παύει να ισχύει αν θεωρήσουµε ότι Arg = π στον ορισµό του E ) Αναφέρουµε ότι οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες για τη f Αρα οι υπερβολές x y c ( c ) = δίνονται από τις σχέσεις u = x y, v= xy = στο επίπεδο των απεικονίζονται στις κατακόρυφες ευθείες u = c στο επίπεδο των w ενώ οι υπερβολές xy= c στο επίπεδο των απεικονίζονται στις οριζόντιες ευθείες v= c στο επίπεδο των w Αν περιορίσουµε το πεδίο ορισµού της f = στο σύνολο τότε η kπ ( k + ) π {} :, k { } Ck = Arg <,, * : k : = είναι - και η αντίστροφη αυτής είναι ο κλάδος f C f της πλειονότιµης συνάρτησης {} = f για k = k Με άλλα λόγια iarg + k ( w) π = = f : C : f ( w) w w k Aς αναφέρουµε ένα παράδειγµα Εστω f κλάδος της τετραγωνικής ρίζας και = f () = είναι ο πρωτεύον { { }: 4, } E = w w Arg w < π Τότε η εικόνα του E µέσω της f είναι το σύνολο { { }:, } E = Arg < π δηλαδή το «άνω» ηµικύκλιο κέντρου (,) και ακτίνας Σηµείωση: Eφόσον = = επεκτείνεται ο ορισµός της f = θέτοντας f () = Οµοίως και για την = 4
Τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους Θα επεκτείνουµε τον ορισµό των ηµx και συνx στο Από τον τύπο του Eulr παίρνουµε iy iy = συν y+ i ηµ y και = συν y i ηµ y, y Λύνοντας τις παραπάνω ως προς Εφόσον η συν y και ηµ y έχουµε iy iy iy iy + συν y = και ηµ y = i ορίζεται για κάθε επεκτείνουµε τις παραπάνω ισότητες ως και συν : : συν = i + i i i ηµ : : ηµ = i Οι παραπάνω συναρτήσεις εξακολουθούν να είναι π -περιοδικές (όπως και οι ηµx, συνx) αλλά δεν είναι πλέον φραγµένες Αυτή είναι µια σηµαντική διαφοροποίηση από τις συναρτήσεις ηµx και συνx στο Οι υπόλοιπες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται σύµφωνα µε τις συνήθεις σχέσεις και π ηµ εφ: kπ + : k : εφ=, συν συν σφ: { kπ : k } : σφ = ηµ Οι βασικές τριγωνοµετρικές ιδιότητες εξακολουθούν να ισχύουν Ενδεικτικά αναφέρουµε ηµ + συν = 4
ηµ ± = ηµ συν ± συν ηµ ηµ = ηµ συν συν ± = συν συν ηµ ηµ συν = συν = ηµ π = = k + k ηµ = = kπ και συν π, Αντίστροφες συναρτήσεις των ηµ και συν ηµ (και η συν Λόγω περιοδικότητας είναι σαφές ότι η ) δεν είναι - στο (έχουν όµως πεδίο τιµών το ) Αρα η αντίστροφη συνάρτηση του ηµ (και του συν ) είναι µια πλειονότιµη συνάρτηση Με χρήση των καµπυλόγραµµων συντεταγµένων u x, y = ηµ x cosh y, v x, y = συνx sihy της w= ηµ µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η ηµ είναι - σε κάθε κατακόρυφη λωρίδα της µορφής π π Ek = = x+ iy : k π < x< kπ +, y, k { : R, Im } = = του µιγαδικού επιπέδου w Αρα υπάρχει ένας καλά ορισµένος κλάδος της αντίστροφης συνάρτησης του ηµιτόνου, συµβολικά µε τιµές πάνω στο σύνολο E w ( w) ( w) τοξηµ : E E : = τοξηµ w w= ηµ Για να τον βρούµε αναλυτικά έχουµε k i i i i τοξηµ ( w) = ηµ = w w= iw = i Η τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθµού ως προς i και δίνει τη λύση απ όπου προκύπτει iw w i = +, 4
= τοξηµ ( w) = i log iw+ w Απ την άλλη µεριά λαµβάνοντας υπόψην ότι συν = ηµ +, διαπιστώνου- π µε ότι η w= συν (ως µετάθεση της ηµ κατά ) είναι - συνάρτηση σε κάθε κατακόρυφη λωρίδα της µορφής { : π π π, } A = = x+ iy k < x< k + y k Εργαζόµενοι µε όµοιο τρόπο όπως παραπάνω βρίσκουµε ότι τοξσυν = i log + Προφανώς λόγω του γεγονότος ότι εφ και σφ είναι π περιοδικές συναρτήσεις δεν µπορεί να είναι - στο πεδίο ορισµού τους Συνεπώς οι αντίστροφες συναρτήσεις αυτών είναι πλειονότιµες Αναφέρουµε ότι: i + i τοξεφ = log, ± i, i i i τοξσφ = log, ± i, + i και οι παραπάνω γίνονται µονότιµες µε επιλογή συγκεκριµένου κλάδου για το λογάριθµο Τέλος οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται ως φυσική γενίκευση των αντιστοίχων συναρτήσεων στο, δηλαδή το υπερβολικό ηµίτονο ορίζεται ως π sih : : sih = ενώ το υπερβολικό συνηµίτονο ορίζεται ως + cosh : : cosh = 43
Οι υπόλοιπες υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται από τις συνήθεις σχέσεις πi sih tah : + kπi: k : tah =, cosh cosh coth : { kπi: k } : coth = sih Οι βασικές ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων εξακολουθούν να ισχύουν Ενδεικτικά ναφέρουµε cosh sih =, sih ± = sih cosh ± cosh sih, sih = sih cosh, cosh ± = cosh cosh ± sih sih, cosh = cosh = + sih Εργαζόµενοι µε ανάλογο τρόπο όπως στις αντίστροφες των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων παίρνουµε sih log = + +, cosh log = +, + ta h = log, ±, coth log + =, ± Γραµµικές συναρτήσεις w = a+ b Για να τις µελετήσουµε χρησιµοποιούµε τις στοιχειώδεις απεικονίσεις: (α) παράλληλη µεταφορά: + b, b, 44
(b) διαστολή: a, ( a ), (γ) περιστροφή κατά γωνία θ: iθ Σηµείωση: Είναι προφανές ότι η παράλληλη µεταφορά, διαστολή και περιστροφή απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες και κύκλους σε άλλους κύκλους iarg( a) Παρατηρούµε ότι w = a+ b= a+ b, ab, Αρα µπορούµε να συνθέσουµε τη γραµµική απεικόνιση ως εξής: iarg a ζ = a σ = ζ = a w= σ + b= a+ b διαστολη περιστροφη µεταφορα Η απεικόνιση w = και µπορεί να επεκταθεί µε αµφιµονοσήµαντο τρόπο επί του ορίζοντας w () = και w( ) = Η απεικόνιση αυτή καλείται αντιστροφή, είναι - επί του { } Επειδή w = = µπορούµε αµέσως να δούµε ότι η / απεικονίζει αµφιµονοσήµαντα τα σηµεία του κλειστού µοναδιαίου δίσκου D= { : } στο σύνολο D, όπου D= { : < } Οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες ενός σηµείου στο επίπεδο w µέσω της w= / δίνονται από τις σχέσεις x y u =, v= x + y x + y Επειδή όµως ισχύει w= = = w, µε την ίδια λογική όπως παραπάνω w w έχουµε u v x=, y= u + v u + v 45
Αν λοιπόν θεωρήσουµε τη γενική µορφή της εξίσωσης του κύκλου ( + ) + + + =, (,,,, ) a x y bx cy d abcd a και b + c > 4ad (για a = παίρνουµε τη γενική εξίσωση ευθείας), τότε αντικαθιστώντας τις τιµές των x και y ως συναρτήσεις των u και v παίρνουµε d u + v + bu cv+ a= η οποία παριστά κύκλο για d ή ευθεία για d = Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η απεικόνιση w= / µετασχηµατίζει κύκλους σε κύκλους ή ευθείες και επίσης µετασχηµατίζει ευθείες σε κύκλους ή ευθείες στο επίπεδο των w ιγραµµικοί µετασχηµατισµοί (Mobius) w a + b = c + d a + b καλείται c + d διγραµµικός µετασχηµατισµός ή µετασχηµατισµός Μοbius Aν και ορίζεται για d/ c (υπό την προϋπόθεση w a/ c Kάθε απεικόνιση της µορφής w=, ( abcd,,,, ad bc ) κάθε { } c ) µε τιµές { } dw + b (διότι λύνοντας ως προς παίρνουµε = ), παρόλα αυτά µπορεί να cw a ορισθεί αµφιµονοσήµαντα επί του ορίζοντας Ιδιότητες a w( d/ c) =, w( ) =, c c w( ) = c= Ο µετασχηµατισµός Mobius απεικονίζει κύκλους σε κύκλους ή ευθείες και ευθείες σε κύκλους ή ευθείες (διότι µπορεί να δειχθεί ότι κάθε µετασχηµατισµός Mobius µπορεί να γραφεί ως σύνθεση µεταφοράς, διαστολής, περιστροφής και αντιστροφής) Επιπλέον έστω ότι κύκλος C * απεικονίζεται µέσω µετασχηµατισµού Mobius σε άλλο κύκλο ή ευθεία C 46
Τότε καθένας από τους δύο συµπληρωµατικούς τόπους που ορίζει η καµπύλη C απεικονίζεται σε καθέναν από τους δύο συµπληρωµατικούς * τόπους που ορίζει η καµπύλη C Υπάρχει µοναδικός µετασχηµατισµός Mobius που απεικονίζει τρία δοθέντα και διακεκριµένα σηµεία 3 σε τρία διακεκριµένα σηµεία w w w3 w αντιστοίχως και είναι της µορφής w w w w = w w w w 3 3 3 3 Ολοι οι µετασχηµατισµοί Mobius που απεικονίζουν το άνω ηµιεπίπεδο Im( ) > στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου w < είναι της µορφής: =, ( Im( ) >, ) ia w a Ολοι οι µετασχηµατισµοί Mobius που απεικονίζουν το µοναδιαίο δίσκο < πάνω στο µοναδιαίο δίσκο w < είναι της µορφής: Λυµένες ασκήσεις ia =, ( <, ) w a Να ευρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f = + 3 = +, (α) 3 +, (β) f Arg + (γ) f =, (δ) f εφ + (ε) f Log( sih ) =, =, (στ) f = Log 47
Λύση (α) Πρέπει π+ kπ i 3 3 3 3 +, k =,, π+ kπ i πi 5πi 3 3 3 3 3 3 3 Εφόσον =,,, το πεδίο ορισµού της f πi 5πi 3 3 3 3 3 είναι το σύνολο,, (β) Εχουµε µια σύνθετη συνάρτηση f = h g, όπου g + 3 h + 3 f = Arg + + Πρέπει π+ kπ i +, k =, ± i Αρα + 3 g: { ± i} { }: g = + Γνωρίσουµε ότι η Arg ( ) ορίζεται στο { } f = h g είναι καλά ορισµένη στο { 3, i, i} (γ) Πρέπει οπότε συµπεραίνουµε ότι η + R Αρα πεδίο ορισµού είναι το εξαιρουµένων όλων των σηµείων του άξονα των φανταστικών αριθµών (δ) Εργαζόµαστε όπως στη (β) Λαµβάνοντας υπόψην ότι η ορίζεται στο π και ότι η εφ είναι καλά ορισµένη στο + kπ, k συµπεραίνουµε ότι π το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο + kπ, k (ε) Υπενθυµίζουµε ότι Log ( ) είναι η πρωτεύουσα τιµή του λογαρίθµου µε πεδίο ορισµού το { } και η sih είναι καλά ορισµένη στο Εφόσον έχουµε σύνθετη συνάρτηση θα πρέπει το πεδίο τιµών της sih να µην περιέχει το µηδέν, δηλαδή πρέπει sih kπi, k, άρα το πεδίο ορισµού kπi, k είναι το { } 48
(στ) Προφανώς το πεδίο ορισµού είναι το { } Αν f ( xy, ) x xy ix ( y) = + + + να γραφεί η f συναρτήσει της µιγαδικής µεταβλητής = x+ iy Λύση Εφόσον x= +, y=, αντικαθιστούµε στον τύπο της f και i έχουµε + + f i + = + + + i i ( ) + + ( + ) + ( + ) + ( ) i i i i = 4 3 Να βρεθεί το µέτρο, το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του µιγαδικού ix αριθµού =, x Λύση Από τον ορισµό της εκθετικής συνάρτησης έχουµε ότι ix συν x i x x i x = + ηµ συν ηµ =, x i x Εφόσον ηµ ix x = έχουµε = συν Επίσης εφόσον προκύπτει συν x iηµ x συν x = ( συν ( ηµ x) + iηµ ( ηµ x)) ( ix x R )= ( x) συν ix συν ηµ και x Im = συν ηµηµ ( x) 4 Να γραφεί ο µιγαδικός αριθµός (+ 3 i) x =, x σε αλγεβρική µορφή Λύση Εχουµε (+ 3 i) x x 3ix x x x ( συν (3 x) iηµ (3 x)) = συν 3x + i ηµ 3x = = = + 49
5 Να επιλυθεί στο η εξίσωση = + i 3 = + i 3 = log + i 3 = + i 3 + i Arg + i 3 + kπ Λύση + = και Arg ( i 3) τοξεφ ( 3) Εφόσον i 3 π + = =, τελικά παίρνουµε 3 π = + i 3 = + i + kπ, k 3 6 Να δειχθεί ότι R Λύση Εστω = x+ iy Τότε < > x iy x iy x x x < < < < < > 7 Να υπολογισθούν οι µιγαδικοί αριθµοί log (), i i (i) i (ii) i, (iii) ilog + i π Λύση (i) Επειδή Arg i από τον ορισµό του λογάριθµου έχουµε i = και ()= log() i i i( Arg() i k ) i π π = + + π = + + kπ = i + kπ, ( k ) (ii) Εξ ορισµού έχουµε i i ilog( i) = Χρησιµοποιώντας την (i) παίρνουµε π i k π ilog k i () i + π π i, k = = = (iii) Είναι εύκολο να δούµε ότι ( i) i = i = Τότε + i i 5
i π π ilog = ilog( i) = i i + i + kπ = i + kπ i + = π 4 kπ, ( k ) 8 Υπολογίστε πραγµατικό και φανταστικό µέρος της συνάρτησης f = Λύση log f = = Αρα: ( x+ iy) ( + i( Arg + kπ )) x y( Arg + kπ ) i( y + x( Arg + kπ )) = = ( π ) ( ( π )) ( ) x yarg+ k = + + R συν y x Arg k x yarg ( + kπ Ι = ) + + m ηµ y x Arg kπ, k Προφανώς η είναι µια πλειονότιµη συνάρτηση και γίνεται µονότιµη αν θεωρήσουµε κάποιο συγκεκριµένο κλάδο του λογάριθµου 9 Να επιλυθεί στο η εξίσωση 3 = i Λύση log 3 3 = i = i log 3 = log i ( ) 3 + kπi = i + i Arg i + λπ, k, λ π + k i = + i + k 4 π + i + λπ 4 =, ( k, λ ) 3 + kπi ( ( 3) π ) λπ, (, λ ) (α) είξτε ότι R( ηµ ) = ηµ x cosh y και Im όπου x, y (β) είξτε ότι sih y ηµ cosh y, y ηµ = συνx sih y, 5
i ix ( + iy) ix ( + iy) ( i( x+ iy) i( x+ iy) ) i i i i Λύση (α) ηµ = = = i i = = + y ix y+ ix y y ( ) ( ( συν x iηµ x) ( συν x iηµ x) ) y y ηµ x+ ηµ x i = + y y ( συν x συν x) y y y y + = ηµ x + iσυν x = ηµ x cosh y+ iσυν x sih y (β) Εχουµε ( ) ηµ = R ηµ + Im ηµ = ηµ x cosh y+ συν x sih y = συν x cosh y+ συν x sih y = cosh y συν x cosh y = sih y = sih y, διότι συν x και cosh y y Οµοίως ηµ = cosh y συν x cosh y = cosh y Να επιλυθεί στο η εξίσωση cosh( 4) ηµ = i i i i ηµ = cosh 4 = cosh(4) icosh(4) = i Λύση Θέτουµε w i =, οπότε η παραπάνω γίνεται µια δευτεροβάθµια εξίσωση Οι λύσεις αυτής είναι w cosh i 4 w = δηλαδή 5
i cosh i 4 + 4 cosh 4 + 4 w= = icosh 4 + cosh 4 (η παραπάνω ρίζα θεωρείται µιγαδική) Επειδή cosh sih παραπάνω ρίζα γράφεται ως cosh ( 4) sih ( 4) i sih( 4) συνεπώς = η = =±, w= icosh 4 ± isih 4 Χρησιµοποιώντας τον ορισµό των sih, cosh Αρα προκύπτει ότι 4 i w= i( cosh( 4) ± sih( 4) ) = 4 i π 4 4 log i i i k 4 i = + + π 4 i 4 4 π i w= = i = log( i ) = i + i + kπ π π 4+ i + kπ 4i k + + π i = =, k π π 4+ i kπ + 4i+ + kπ Να επιλυθεί στο η εξίσωση sih = i Λύση = = = sih i i i Θέτουµε w=, οπότε η παραπάνω γίνεται δευτεροβάθµια εξίσωση Οι λύσεις αυτής είναι w i w = δηλαδή µια Αρα i+ 4i + 4 w= = i (διπλή) 53
π π w= = i = log() i = i + i + kπ = i + kπ, k (διπλή) 3 Αν R είναι το ορθογώνιο µε πλευρές x =, y=, x=, y= να βρείτε την εικόνα του R µέσω των απεικονίσεων: (α) w ( i) πi 4 = + +, (β) w πi = + + 4 =, (γ) w ( i) Λύση (α) Η απεικόνιση αυτή είναι της µορφής w a, ( a ) = +, δηλαδή είναι µια παράλληλη µεταφορά Με άλλα λόγια το χωρίο R (στο σχήµα µε κίτρινο χρώµα) του επιπέδου w προκύπτει από παράλληλη µεταφορά του «µωβ» χωρίου 3 3 (β) Η απεικόνιση αυτή διαστέλλει το χωρίο R του επιπέδου κατά µέσω της ώστε να προκύψει ένα νέο χωρίο R το οποίο στη συνέχεια περιστρέφει κατά γωνία π /4 κατά τη θετική φορά Στο κάτωθι σχήµα φαίνεται το τελικό χωρίο σε σχέση µε το αρχικό 4 3 (γ) Η απεικόνιση αυτή διαστέλει το χωρίο R κατά µέσω της ώστε να προκύψει ένα νέο χωρίο, στη συνέχεια περιστρέφει το R κατά γωνία π /4 και το χωρίο που προκύπτει το µεταφέρει παράλληλα όπως είδαµε στο (α) 54
4 3 3 π Ω= 4 4 (α) Βρείτε την εικόνα του κυκλικού τοµέα :, Arg µέσω της απεικόνισης w 4 = (β) Βρείτε την εικόνα του φραγµένου χωρίου µε σύνορο τρίγωνο µε πλευρές y=± x, x= µέσω της απεικόνισης w= (γ) Βρείτε τις εικόνες των ευθειών Arg Λύση (α) Γράφουµε iarg =, άρα = c µέσω της 4 4 4 iarg ( ) w = w= =, δηλ w 4 = 6 και Arg ( w) = 4Arg Εφόσον Arg προκύπτει 4 Αρα η εικόνα του Ω είναι το χωρίο Ω = w: w 6, Arg( w) π (β) Εχουµε w ( x iy) ( x y ) i ( xy) π { } Arg w π = = + = +, άρα οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες κάθε σηµείου ( uv, ) του επιπέδου w είναι u = x y v= xy Κατ αρχήν θα βρούµε που απεικονίζεται το σύνορο του τριγώνου Οι πλευρές του τριγώνου έχουν εξισώσεις y x, y x x=, x, y = = και u = Εστω y= x Τότε, x [, ], άρα η εικόνα είναι ευθύγραµµο v = x τµήµα πάνω στον άξονα των v µε άκρα τα σηµεία (,) και (,) 55
u = Εστω y= x Τότε, x (, ], άρα η εικόνα είναι ευθύγραµ- v = x µο τµήµα πάνω στον άξονα των v µε άκρα τα σηµεία (,-) και (,) Τέλος για x, ( y ) = έχουµε u = y u = y v u = v= y v = 4y 4 η οποία είναι µια παραβολή Αρα το σύνορο του τριγώνου 5 4 6 8-5 - απεικονίζεται στο σύνορο του «µπλε» χωρίου 4 6 8 - - Αν θεωρήσουµε τώρα όλες τις κατακόρυφες ευθείες x = a που «σαρώνουν» το αρχικό τρίγωνο για κάθε a <, τότε αυτές απεικονίζονται στις παραβολές v u = a που σαρώνουν το εσωτερικό της εικόνας όπως φαίνεται στο 4a ακόλουθο σχήµα 56
4 6 8 - - Αρα το εσωτερικό του τριγώνου απεικονίζεται στο εσωτερικό του µπλε σχήµατος ic (γ) Παρατηρούµε ότι Arg = Arg Arg c ic = = Αρα η ευθεία Arg = c απεικονίζεται στην Arg = c, δηλαδή έχουµε ανάκλαση ως προς τον πραγµατικό άξονα 5 Βρείτε τις εικόνες των οριζόντιων και κατακόρυφων ευθειών µέσω της απεικόνισης w= συν Λύση Eργαζόµαστε όπως στην άσκηση (α) και βρίσκουµε ότι άρα συν = συν x cosh y iηµ x sih y, uxy (, ) = συν x coshy vxy (, ) = ηµ x sihy Θεωρούµε τις κατακόρυφες ευθείες της µορφής x = a, a kπ, kπ + Τότε uxy (, ) = συν a coshy u = συν a cosh y u v =, vxy (, ) = ηµ a sihy v = ηµ a sih y συν a ηµ a άρα οι εικόνες είναι υπερβολές µε εστίες τα σηµεία (, ), (, ) Για x = kπ έχουµε uxy (, ) =± coshy, άρα παίρνουµε τις ηµιευθείες vxy (, ) = π 57
{ w: R ( w), Im( w) } = uxy (, ) = Για x = kπ + π / έχουµε, άρα παίρνουµε τον vxy (, ) =± sihy φανταστικό άξονα u =, διότι το πεδίο τιµών της sih y είναι το Θεωρούµε τις οριζόντιες ευθείες της µορφής y= a, a Τότε uxy (, ) = συν x cosha u = συν x cosh a u v + =, vxy (, ) = ηµ x siha v = ηµ x sih a cosh a sih a άρα οι εικόνες είναι ελλείψεις µε εστίες τα σηµεία (, ), (, ) Για a = έχουµε uxy (, ) = συν x, άρα παίρνουµε ένα ευθύγραµµο vxy (, ) =,,, τµήµα στον άξονα των u µε άκρα τα σηµεία 6 Bρείτε µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει τα σηµεία =, = i, 3 = στα σηµεία w = i, w =, w3 = αντιστοίχως Λύση Από τη θεωρία ο µετασχηµατισµός Mobius δίνεται από τη σχέση w w w w = w w w w 3 3 3 3 w i i+ = w i + i + w= i 7 Bρείτε έναν µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει το άνω ηµιεπιπεδο εντός του µοναδιαίου κύκλου ώστε το σηµείο = i να απεικονίζεται στο w = Λύση Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι όλοι οι µετασχηµατισµοί Mobius αυτού του τύπου δίνονται από τη σχέση 58
Εστω θ = Τότε i =, Im >, θ w i ( ( ) θ ) w= = = i i Αρα i w = + i 8 Bρείτε µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει τα σηµεία = i, = i, 3 = στα σηµεία w =, w =, w3 = αντιστοίχως a + b Λύση Εστω w = c + d a ia θα πρέπει ai + b = b = ia Αρα w = c + d ο παρονοµαστής να µηδενίζεται για = δηλαδή ο ζητούµενος µετασχηµατισµός Εφόσον wi () = Aφού w () = θα πρέπει Επίσης w( i) =, άρα c+ d = d = c ( ) a i ia = ia = c( + i) c = ia c i c + i, συνεπώς a ia + i i w = = ia ia + i + i 9 Bρείτε µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει το εσωτερικό του κύκλου = στο εξωτερικό του κύκλου w = Λύση Παίρνουµε τρία τυχαία σηµεία του ου κύκλου και τρία τυχαία σηµεία του ου κύκλου ώστε αν 3 κατά τη θετική φορά τότε w w w3 κατά την αρνητική φορά Επιλέγουµε = i, =, 3 = i και w =, w = + i, w = αντιστοίχως Από τη θεωρία έχουµε ότι η εξίσωση του 3 µετασχηµατισµού Mobius δίνεται από την w w w w = w w w w 3 3 3 3 59
w + i + i i = w + i + i + i w = Αλυτες ασκήσεις Να ευρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων (α) f = 3 +, (β) f (γ) f (ε) = + 3 3 + =, +, (δ) f Log( ηµ ) =, i ( ) =, (στ) f Log( ) f + Απάντ (α) { i,, i} (β) { ±} (γ) { : R = } (δ) { kπ : k } (ε) { } (στ) { ±} Αν f ( xy, ) 4x 8y i( 8x 4y ) µιγαδικής µεταβλητής = x+ iy = = + να γραφεί η f συναρτήσει της f = + i + + i + 8i Απάντ 3 Να βρεθούν όλες οι τιµές των λογαρίθµων 3 (i) log 4, (ii) log 3, (iii) log i Απάντ ( i) (i) π 4π + i π + kπ (ii) + i + kπ i + kπ 6 (iii) 3 4 Αν και b δείξτε ότι b b = 6
5 Να υπολογισθούν στο οι δυνάµεις: ( + i) i, (i) (ii) Απάντ (i) π kπ + i 4 (ii) kπi 6 Να επιλυθούν στο οι εξισώσεις (α) 3 =, (β) συν =, (γ) cosh =, (δ) = + i kπi Απάντ (α) = kπ i ± 3 3 π + i + kπ 4 (δ) =, ( k, λ ) + λπi =, (β), (γ) = k ± πi, 3 7 Να δειχθεί ότι (α) i = συν + iηµ ηµ ηµ συν = συν (β) ( ) = και (γ) ηµ ( i) = isih και ( i) cosh (δ) tah tah = συν = (ε) cosh( ) cosh( ) cosh sih( ) sih (στ) cosh = cosh + sih + = + (ζ) ηµ = = kπ, k 8 είξτε ότι sih y συν cosh y Aπάντ Eργαζόµαστε όπως στην άσκηση 9 Βρείτε τις εικόνες των οριζόντιων ευθειών y= c µέσω του πρωτεύοντος κλάδου της w = = Aπάντ Υπερβολή u v c/, ( c ) 6
είξτε ότι η εικόνα του κύκλου = µέσω της απεικόνισης είναι το κλειστό διάστηµα [,] w= + Υπόδ Χρησιµοποιήστε πολικές συντεταγµένες π Ω= 3 (α) Βρείτε την εικόνα του τοµέα :, Arg 3 της απεικόνισης w= Είναι αυτή -; µέσω (β) είξτε ότι µέσω της w Log = κύκλοι µε κέντρο το (,) στο επίπεδο των απεικονίζονται σε ευθύγραµµα τµήµατα µήκους π παράλληλα στον φανταστικό άξονα του επιπέδου w, ενώ ευθείες που διέρχονται από την αρχή (,) του επιπέδου των απεικονίζονται σε ευθύγραµµα τµήµατα µήκους π παράλληλες στον πραγµατικό άξονα του επιπέδου w (γ) είξτε ότι η εικόνα του κύκλου C: 3 = 5 µέσω της απεικόνισης είναι ο κύκλος w = 3 5 w + = Που απεικονίζεται το εσωτερικό του κύκλου C ; 6 8 Απάντ (α), Όχι (γ) Στο εξωτερικό του C Bρείτε µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει τα σηµεία =, =, 3 = i στα σηµεία w = i, w =, w3 = αντιστοίχως Απάντ w = + i i i 3 Bρείτε µετασχηµατισµό Mobius που απεικονίζει τα σηµεία =, = i, 3 = i στα σηµεία w =, w = 3, w3 = 4 αντιστοίχως Να ορισθεί = µέσω του µετασχηµατισµού που η εικόνα του εσωτερικού κύκλου βρήκατε Απάντ w = i + (+ i) Είναι το άνω ηµιεπίπεδο ( 3 i ) + ( + 3 i) 6