- Μηχανική στερεού σώματος Φρήσιμες πληροφορίες στην κινηματική στερεού σώματος Όταν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ενός στερεού σώματος αυξάνεται το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας (σχ. α). Ενώ όταν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ελαττώνεται το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν αντίθετες κατευθύνσεις (σχ β). Σχ.(α) Σχ.(β) Όταν ένα στερεό εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση (δηλαδή το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του παραμένει σταθερό) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε υλικού σημείου που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R δεν μεταβάλλεται. Επομένως η γραμμική επιτάχυνση κάθε υλικού σημείου είναι μόνο η κεντρομόλος επιτάχυνση α κ. Τη γραμμική επιτάχυνση ενός υλικού σημείου πολλές φορές την ονομάζουμε απλά επιτάχυνση του υλικού σημείου. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας καθώς και το μέτρο της κεντρομόλου α κ είναι διαφορετικά για κάθε υλικό σημείο λόγω της διαφορετικής ακτίνας της κυκλικής του τροχιάς. Η κεντρομόλοσ επιτϊχυνςη α κ. εκφρϊζει το ρυθμό μεταβολόσ τησ διεύθυνςησ τησ γραμμικόσ ταχύτητασ u και ιςχύει R Η επιτρόχια επιτϊχυνςη α ε εκφρϊζει το ρυθμό μεταβολόσ του μϋτρου τησ γραμμικόσ ταχύτητασ όταν αυτό δεν εύναι ςταθερό. α ε = du dt Όταν ένα στερεό εκτελεί μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση δηλαδή μεταβάλλεται το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του, μεταβάλλεται και το μέτρο και η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας των διαφόρων υλικών σημείων που αποτελούν το στερεό σώμα. Στην περίπτωση αυτή η γραμμική επιτάχυνση α ενός σημείου ισούται με το διανυσματικό άθροισμα της κεντρομόλου α κ και της επιτρόχιας επιτάχυνσης α ε, το μέτρο της υπολογίζεται από τη σχέση και η διεύθυνση της προκύπτει από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 1
Εξισώσεις κίνησης. Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση τότε μπορούμε να κάνουμε χρήση των παρακάτω σχέσεων: 0 t. Απ όπου μπορούμε να υπολογίσουμε την αλγεβρική τιμή της γωνιακής ταχύτητας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είτε το σώμα έχει αρχική ταχύτητα ω ο είτε όχι. Η σχέση με (+) ισχύει στην επιταχυνόμενη κίνηση ενώ με (-) στην επιβραδυνόμενη. Δθ = ω ο t ± 1 a γων t. Υπολογίζουμε τη αλγεβρική τιμή της γωνιακής μετατόπισης (ή γωνία στροφής) κατά την περιστροφή του σώματος σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. a t, με την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε την σταθερή γωνιακή επιτάχυνση με την οποία περιστρέφεται το σώμα. Στην κίνηση αυτή το κέντρο μάζας είναι ακίνητο, οπότε u cm = 0. Τον αριθμό των περιστροφών που διαγράφει ένα σώμα σε ένα χρονικό διάστημα μπορούμε να τον υπολογίσουμε με τον τύπο όπου θ η συνολική γωνία περιστροφής του σώματος ή με την βοήθεια του τύπου Ν = s συνολικό τόξο που έχει διαγράψει κατά την περιστροφή του το σώμα. πr όπου s το Όταν ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται επιβραδύνεται και τελικά σταματά μπορούμε να υπολογίσουμε τη χρονική διάρκεια περιστροφής του με την βοήθεια 0 του τύπου t (με απόδειξη) καθώς και την γωνία στροφής του από τη σχέση 0 (με απόδειξη). Από τη μελέτη των γραφικών παραστάσεων των διαγραμμάτων της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας με το χρόνο αλλά και από το διάγραμμα της επιτάχυνσης με το χρόνο και μπορούμε να πάρουμε αρκετές πληροφορίες. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός
Για παράδειγμα από τα παραπάνω διαγράμματα μπορούμε π.χ. να δούμε : α) το είδος της στροφικής κίνησης του στερεού (ομαλή σχ. (Α),επιταχυνόμενη σχ.(β) ή επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα ω ο σχ. (Γ), επιβραδυνόμενη σχ. (Δ),ομαλά επιταχυνόμενη (ζ), μεταβαλλόμενη, σχ. (η). β) την γωνιακή επιτάχυνση υπολογίζοντας την κλίση της καμπύλης. Στο σχήμα (Στ) η καμπύλη (1) έχει μεγαλύτερη κλίση από τη καμπύλη () άρα και το σώμα στο οποίο αντιστοιχεί η καμπύλη αυτή κινείται με μεγαλύτερη επιτάχυνση. γ) την γωνιακή μετατόπιση υπολογίζοντας το κατάλληλο εμβαδόν σχ (Γ) δ) την χρονική στιγμή t o που το σώμα σταματά σχ (Δ) ε) την χρονική στιγμή t 1 που το σώμα αλλάζει φορά περιστροφής σχ (E) Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 3
ΣΤΠΟΛΟΓΟΓΙΟ ΚΙΝΗΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ Μζγεκοσ Μεταφορικι κίνθςθ τροφικι κίνθςθ χζςθ Θέση x (m) θ (rad) x=rθ Ταχύτητα u ( m/s) ω (rad/s) u=rω Επιτάχυνση αcm (m/s ) αγ (rad/s ) αcm=r αγ dx Σαχ. Κζντ. μάηασ u cm = dt ΜΕΣΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΗ du Επιτάχυνςθ Κζντρου μάηασ α cm = dt ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΗ u cm = ςταθερή, ΣF =0 α cm = 0 Εξιςώςεισ κίνηςησ x = u cm t ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΣΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΗ ΣF 0, ΣF = m α cm, Εξιςώςεισ κίνηςησ u cm = u o ± α cm t, x = u o t ± α cm = ςταθερή. 1 a cm t, x ol u a o cm t u o (ο ολικόσ χρόνοσ κίνηςησ) acm Γραμμική ταχ. ΠΕΡΙΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ds u Γωνιακή ταχ. dt ΕΙΔΗ ΚΙΝΗΕΩΝ d dt ΟΜΑΛΗ ΚΤΚΛΙΚΗ u = ςταθερή Κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ (εκφράηει τθ μεταβολι διεφκυνςθσ τθσ γραμ. ταχ.) u a k r ΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΤΚΛΙΚΗ u ςταθερή Επιτρόχια επιτάχυνςθ (εκφράηει τθ μετ. του μζτρου τθσ γραμμ. ταχ.) t ςυνολικι επιτάχυνςθ a a k a Ομαλι. τρ. κίνθςθ = ςταθερή Ομαλά μεταβαλλόμενθ τροφικι κίνθςθ ςταθερό Γωνιακι επιτάχυνςθ d a = dt t Εξιςώςεισ κίνηςησ t & 1 t a t Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 4
Φρήσιμες πληροφορίες στην ροπή δύναμης Το αποτέλεσμα της ροπής μιας δύναμης εξαρτάται : από το μέτρο και την κατεύθυνση της δύναμης από το σημείο που εφαρμόζεται στο σώμα. Στο παρακάτω σχήμα με τις πόρτες σε κάθε περίπτωση η ίδια δύναμη ασκείται σε διαφορετικό σημείο στη πόρτα με αποτέλεσμα σε κάθε περίπτωση να προκαλεί διαφορετικό αποτέλεσμα. Περιστροφή πετυχαίνουμε στις περιπτώσεις (Δ) και (Ε) με μέγιστο αποτέλεσμα στην περίπτωση (Ε) ενώ στις περιπτώσεις (Α), (Β) και (Γ) δεν έχουμε περιστροφή. Η ροπή μιας δύναμης δεν αλλάζει όταν η δύναμη μετακινείται πάνω στο φορέα της Η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα είναι μηδέν όταν Η δύναμη ασκείται στον άξονα περιστροφής (σχ Β) Ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα (σχ Γ) ή ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος προς τον άξονα (σχ Α) Η ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο είναι μηδέν όταν Η δύναμη ασκείται στο σημείο Ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο Σ ένα ελεύθερο σώμα αν ασκηθεί μια δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από κέντρο μάζας τότε το σώμα κάνει μόνο μεταφορική κίνηση. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης των δύο δυνάμεων του ζεύγους είναι ίσο με μηδέν. Συνεπώσ ϋνα ζεύγοσ δυνϊμεων δεν μπορεύ να μετακινόςει ϋνα ςώμα αλλϊ μόνο να το περιςτρϋψει. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ανεξάρτητη του σημείου περιστροφής ενώ η ροπή δύναμης εξαρτάται από το σημείο ή τον άξονα περιστροφής ως προς το οποίο υπολογίζεται. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 5
Φρήσιμες πληροφορίες στη ροπή αδράνεις Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων εξαρτάται από τη θέση του άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζεται. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς άξονες Πϊντοτε όταν αναφερόμαςτε ςτην ροπό αδρϊνειασ ενόσ ςώματοσ αναφερόμαςτε ςτην ροπό αδρϊνειασ του ωσ προσ ςυγκεκριμϋνο ϊξονα περιςτροφόσ παράλληλους μεταξύ τους,παίρνει την ελάχιστη τιμή του για τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Σ ένα σύστημα δύο ή περισσότερων σωμάτων Ι 1, Ι, Ι ν,με κοινό άξονα περιστροφής η συνολική ροπή αδράνειας Ι του συστήματος αυτού ως προς τον άξονα περιστροφής προκύπτει από τον άθροισμα των ροπών αδράνειας του κάθε ενός σώματος χωριστά. Ι=Ι1+Ι+ +Ιν Φρήσιμες πληροφορίες στο θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης Για να μεταβάλλουμε την περιστροφική κινητική κατάσταση (π.χ. να ξεκινήσουμε ή να σταματήσουμε τη περιστροφή ενός σώματος) θα πρέπει σ αυτό να ασκήσουμε μια ροπή. Όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή τόσο πιο μεγάλη είναι και η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα. Όσο μεγαλύτερη η ροπή αδράνειας ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική του κατάσταση. Η γωνιακή επιτάχυνση και η ροπή είναι μεγέθη ομόρροπα Στην περίπτωση που σ ένα σώμα το άθροισμα των ροπών που ενεργούν σ αυτό είναι μηδέν (Στ = 0) τότε το σώμα : o αν αρχικά ήταν ακίνητο εξακολουθεί να ηρεμεί o αν στρεφόταν με σταθερή ταχύτητα συνεχίζει να στρέφεται με σταθερή ταχύτητα. Ο θεμελιώδης νόμος της περιστροφικής κίνησης μπορεί να εφαρμοστεί και στη περίπτωση που ο άξονας περιστροφής του σώματος μετατοπίζεται όπως π.χ. στην περίπτωση που το σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, αρκεί να ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις: o o o Ο άξονας να διέρχεται από το κέντρο μάζας Να είναι άξονας συμμετρίας Να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 6
Με βάση τον θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης μόνο αν η συνολική ροπή παραμένει σταθερή( Στ = σταθερό) θα είναι αντίστοιχα σταθερή και η γωνιακή επιτάχυνση με την οποία περιστρέφεται το σώμα και άρα η κίνηση του θα είναι ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική όποτε θα ισχύουν και οι γνωστές εξισώσεις κίνησης. Για τον υπολογισμό του μέτρου της συνολικής ροπής τ που ασκείται σ ένα σώμα ακολουθούμε τα ακόλουθα βήματα : 1. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα για το οποίο θέλουμε να βρούμε την συνολική ροπή. Και τις δυνάμεις που δέχεται από απόσταση π.χ. βάρος και τις δυνάμεις που δέχεται από κάθε άλλο σώμα με το οποίο είναι σε επαφή. Αναλύουμε τις δυνάμεις όπου είναι απαραίτητο σε σύστημα ορθογώνιων αξόνων Oxy.. Σημειώνουμε όλες τις δυνάμεις που η ροπή τους για τους γνωστούς λόγους μπορεί να είναι ίση με μηδέν. 3. Επιλέγουμε ως θετική φορά την φορά κατά την οποία τείνει να περιστραφεί το σώμα και υπολογίζουμε την συνολική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του από το αλγεβρικό άθροισμα όλων των μη μηδενικών ροπών των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. 4. Αν από τα δεδομένα μιας άσκησης μας προκύπτει ότι το στερεό σώμα δεν περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας αλλά γύρω από άλλο παράλληλο προς αυτόν, για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας θα πρέπει απαραίτητα να κάνουμε χρήση του θεωρήματος Stainer. 5. Κατά την εφαρμογή του τύπου θα πρέπει η συνισταμένη ροπή Στ και η ροπή αδράνειας Ι να υπολογίζονται ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 7
Διερεύνηση του είδους κίνησης που εκτελεί ένα στερεό σώμα ανάλογα με το είδος της δύναμης και της ροπής που ασκείται σ αυτό. υνιςταμζνθ υνιςταμζνθ Νόμοι - εξισώσεις Είδοσ κίνθςθσ Δφναμθ Ροπι κίνησης ΣF = mα cm F 0 τ 0 φνκετθ κίνθςθ cm 0 cm t, ucm cm t 1 x 0 t cm t Στ = Ια γων, 0 t, t Αν κυλάει χωρίσ ολίςκθςθ u cm = ω R και α cm = α γων R F 0 τ = 0 Μεταφορικι κίνθςθ ΣF = mα cm cm 0 cm t, ucm 1 cm, x 0 t cm t t F = 0 τ 0 F = 0 τ = 0 Περιςτροφικι κίνθςθ Το ςώμα ιςορροπεί Στ = Ια γων 0 t, t Παραμένει ακίνητο ή κινείται με ςταθερή ταχύτητα Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 8
Φρήσιμες πληροφορίες στη στροφορμή στερεού σώματος Η στροφορμή από τον τρόπο που την ορίσαμε είναι ένα μέγεθος που η τιμή του εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής του σώματος. Αλλαγή του άξονα περιστροφής συνεπάγεται αλλαγή και στην τιμή της στροφορμής. Κάθε υλικό σημείο που κινείται ( ανεξάρτητα με το είδος της τροχιάς του) με ταχύτητα μέτρου υ και η διεύθυνση του διανύσματος της απέχει κάθετη απόσταση r από άξονα περιστροφής, έχει στροφορμή που το μέτρο της δίνεται από τη σχέση L m r. Η σχέση για τη στροφορμή L = I ω ισχύει και όταν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω μεταβάλλεται με το χρόνο. Το μέτρο της στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων που κινούνται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα γύρω από κοινό άξονα περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους: α) L συστ = Ι συστ.ω ή β) L συστ=l 1+L + = Ι 1ω+Ι ω+ όπου Ι συστ η συνολική ροπή αδράνειας του συστήματος των σωμάτων. Σε κάθε περίπτωση επειδή η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος θα πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη μας τη φορά περιστροφής άρα και την κατεύθυνση του διανύσματος της κάθε στροφορμής, στη μετάβαση μας από το διανυσματικό στο αλγεβρικό άθροισμα, θεωρώντας πάντα μια φορά περιστροφής ως θετική. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος υπολογίζεται με βάση τη dl dt = Στ = Ια γων. γενικευμένη μορφή του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης dl Η σχέση έχει γενικότερη ισχύ από τη σχέση Στ = Ια γων αφού ισχύει και σε dt περιπτώσεις που η ροπή αδράνειας Ι δεν παραμένει σταθερή. Παρακάτω φαίνονται τα διαγράμματα μεταβολής της ροπής, της επιτάχυνσης, της γωνιακής ταχύτητας με το χρόνο αλλά και της στροφορμής με τη γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος στο οποίο ασκείται σταθερή ροπή Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 9
Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων υπολογίζεται από τη σχέση ΔL ςυςτ Δt = Στ εξωτ, όπου στον υπολογισμό της συνισταμένης ροπή Στ εξ θα λαμβάνουμε υπόψη μας μόνο τις εξωτερικές δυνάμεις που ενεργούν στο σύστημα. Στην περίπτωση που η συνολική ροπή που ενεργεί σ ένα σώμα ή σ ένα σύστημα σωμάτων είναι ίση με μηδέν η στροφορμή διατηρείται.έτσι κάθε μεταβολή της ροπής αδράνειας είτε με ανακατανομή της μάζας ή με προσθήκη ή αφαίρεση μάζας στο σώμα ή στο σύστημα σωμάτων προκύπτει από τη σχέση Ιαρχ ωαρχ = Ιτελ ωτελ ότι, θα προκαλέσει αντιστρόφως ανάλογη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας έτσι ώστε η συνολική στροφορμή να παραμένει σταθερή. Σε πλήρη αναλογία με την μεταφορική κίνηση στην οποία οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να μεταβάλλουν ή να μεταδώσουν ορμή από το ένα σώμα στο άλλο αλλά δεν μπορούν να μεταβάλλουν τη συνολική ορμή του συστήματος των σωμάτων. Έτσι και οι ροπές των εσωτερικών δυνάμεων μπορούν να μεταβάλλουν ή να μεταδώσουν στροφορμή από το ένα σώμα στο άλλο, π.χ. να αλλάξει η επί μέρους γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος του συστήματος,αλλά δεν μπορούν να μεταβάλλουν τη συνολική στροφορμή του συστήματος των σωμάτων. Δηλαδή : Σ ένα σύστημα σωμάτων δηλαδή μπορεί να μεταβάλλεται η στροφορμή καθενός σώματος χωριστά χωρίς όμως να μεταβάλλεται η στροφορμή του συστήματος. π. χ. στην περίπτωση της τριβής. L 1(αρχ ) + + L ν(αρχ ) = L 1(τελ ) + + L ν(τελ ) dl Αν σε ένα σύστημα σωμάτων ισχύει =0 οπότε διατηρείται η στροφορμή dt του συστήματος δεν σημαίνει ότι διατηρείται και η Μηχανική ενέργεια του συστήματος Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 10
Φρήσιμες πληροφορίες στο έργο δύναμης στη στροφική κίνηση Το έργο δύναμης που προκαλεί σταθερή ροπή υπολογίζεται από τον τύπο WF όπου θ η γωνία στροφής. Στη περίπτωση που η ροπή δεν είναι σταθερή ή δεν γνωρίζουμε αν είναι σταθερή τότε το έργο της υπολογίζεται από το θεώρημα έργου ενέργειας. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί περιστροφική κίνηση για συγκεκριμένη γωνιακή ταχύτητα εξαρτάται από τη κατανομή της μάζας του σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής,δηλαδή τη ροπή αδράνειας του. Με τη βοήθεια του θεωρήματος έργου ενέργειας προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερη είναι ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής τόσο πιο δύσκολα μπορούμε να προκαλέσουμε τη περιστροφή του σώματος (απαιτείται η δαπάνη περισσότερου έργου). Το θεώρημα έργου ενέργειας είναι ένα σημαντικό θεώρημα με το οποίο μπορούμε να υπολογίζουμε διάφορα μεγέθη όπως είναι η γωνιακή ταχύτητα, η ροπή αδράνειας ή το έργο που παράγεται κατά τη περιστροφή ενός σώματος. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής υπολογίζεται από τη σχέση: dk περ dt = dw = Στdθ dt dt = Στω Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης υπολογίζεται από τη σχέση: dk μετ dt = dw = ΣFdx dt dt = ΣFu Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται από τη σχέση: F t Η στιγμιαία ισχύς μιας δύναμης αναφέρεται σε μια χρονική στιγμή και υπολογίζεται από τη σχέση. Η μέση ισχύς Ρ μιας δύναμης αναφέρεται σε μια χρονική διάρκεια Δt. ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (Α.Δ.Μ.Ε) Η μηχανική ενέργεια Ε ενός στερεού σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται εφόσον οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται είναι συντηρητικές π.χ. βάρος. Ή ακόμη κι αν ασκούνται δυνάμεις μη συντηρητικές αυτές δεν παράγουν έργο γιατί δεν μετατοπίζουν το σημείο εφαρμογής τους π.χ. στατική τριβή. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 11
Στη περίπτωση που ένα σώμα μάζας m εκτελεί στροφική κίνηση για τον προσδιορισμό της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας U, που περικλείει το σώμα λόγω της θέσης του, θεωρούμε τη μάζα του σώματος συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του, oπότε η δυναμική ενέργεια θα είναι ίση με U = mgh, όπου h η απόσταση του κέντρου μάζας του από το επίπεδο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας ή επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας (U βαρ = 0). Το επίπεδο αυτό το επιλέγουμε με μοναδικό κριτήριο να είναι η απλούστερη δυνατή εφαρμογή της ΑΔΜΕ στην άσκηση μας. π.χ. μπορεί να είναι το νοητό επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος ή από μια θέση της κίνησης του σώματος που μελετούμε. Γενικά τη αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (ΑΔΜΕ),όταν μας επιτρέπεται, την εφαρμόζουμε για τον υπολογισμό μεγεθών όπως είναι η ταχύτητα του σώματος ειδικά στις περιπτώσεις που στη κίνηση του σώματος έχουμε υψομετρικές διαφορές( ράβδος, κύλιση σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο, κύλινδρος που κρέμεται κατακόρυφα με νήμα(γιο-γιο). Στην γενική περίπτωση που το σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές θέσεις του (1) και () θα ισχύει Ε μηχ(1) = Ε μηχ( ) Όπου Εμηχ = Uβαρ+Κμετ+Κστρ το άθροισμα των 3 μορφών μηχανικής ενέργειας που μπορεί να έχει το στερεό σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησης του. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 1
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤΗ ΑΚΗΕΩΝ ΣΟ ΣΕΡΕΟ ΩΜΑ Στην προσπάθεια μας να λύσουμε μια άσκηση στερεού σώματος είναι χρήσιμο να ακολου- θήσουμε ένα ή περισσότερα από τα παρακάτω γενικά βήματα: I. Σημειώνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα ή τα σώματα των οποίων την κίνη- ση μελετούμε (Αν χρειαστεί αναλύουμε τις δυνάμεις σε σύστημα κάθετων αξόνων χ-y). II. Προσδιορίζουμε την συνισταμένη δύναμη και ροπή που προκύπτει από την σύνθεση των δυνάμεων και ροπών που ενεργούν στο σώμα και ανάλογα προσδιορίζουμε και το είδος της κίνησης που εκτελεί το σώμα π.χ. μόνο μεταφορική ή μόνο περιστροφική ή σύνθετη κίνηση. Ανάλογα με το είδος της κίνησης σημειώνουμε τους νόμους, τις εξισώσεις κινήσεις και σχέσεις μεγεθών που αναφέρονται στην κίνηση αυτή. III. Σημειώνουμε τα μεγέθη φυσικά μεγέθη που διατηρούν τις τιμές τους π.χ ορμή, στροφορμή και ενέργεια σε κάθε επιμέρους κίνηση και κάνουμε χρήση των αρχών διατήρησης ανάλογα. a. Αρχή διατήρηση ορμής b. Αρχή διατήρηση στροφορμής c. Αρχή διατήρηση της Μηχανικής ενέργειας αν ενεργούν μόνο συντηρητικές δυνάμεις d. Θεώρημα έργου ενέργειας σε κάθε περίπτωση IV. Ανάλογα με τα δεδομένα της άσκησης και με συνδυασμό των νόμων, των εξισώσεων κίνησης και των αρχών διατήρησης κάνουμε τους ζητούμενους υπολογισμούς. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 13
Ειδικές περιπτώσεις ισορροπίας και κίνησης στερεού σώματος Ισορροπία στερεού σώματος Στην περίπτωση στερεού σώματος που ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων,οι φορείς των τριών δυνάμεων περνάνε από το ίδιο σημείο. Όταν ςε μια άςκθςθ ζνα ςτερεό ςώμα ιςορροπεί και είναι ηθτοφμενα είτε μια άγνωςτθ δφναμθ ι μια απόςταςθ δφναμθσ από τον άξονα περιςτροφισ (μοχλοβραχιονασ) για τουσ υπολογιςμοφσ μασ ακολουκοφμε τα παρακάτω βιματα: 1. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν μόνο στο σώμα που ισορροπεί. Τόσο τις δυνάμεις που δέχεται από απόσταση π.χ. βάρος σώματος όσο και τις δυνάμεις που δέχεται από κάθε άλλο σώμα με το οποίο είναι σε επαφή.. Αναλύουμε τις δυνάμεις όπου είναι απαραίτητο σε σύστημα ορθογώνιων αξόνων Oxy. 3. Σημειώνουμε όλες τις δυνάμεις που η ροπή τους για τους γνωστούς λόγους μπορεί να είναι ίση με μηδέν. 4. Κάνουμε χρήση των σχέσεων της ισορροπίας,για τις δυνάμεις ΣFx=0 και ΣFy=0 και για την ροπή Στ=0. 5. Ειδικότερα η σχέση Στ(ο)=0 θα πρέπει να υπολογίζεται πάντα ως προς κάποιο συγκεκριμένο σημείο Ο. Κι αφού η σχέση αυτή ισχύει ως προς οποιοδήποτε σημείο του στερεού, επιλέγουμε το σημείο αυτό να είναι εκείνο στο οποίο ασκούνται οι περισσότερες άγνωστες δυνάμεις ώστε η εξίσωση που θα προκύψει από τη σχέση Στ(ο) = 0 να έχει όσο το δυνατόν λιγότερους αγνώστους. Στον υπολογιςμό τησ ςυνολικόσ ροπό εύναι ςημαντικό να αναφϋρουμε ςημεύο ωσ προσ το οπούο την υπολογύζουμε Συνήθως το σημείο αυτό είναι το σημείο που ο άξονας περιστροφής τέμνει το στερεό σώμα. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 14
Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 15
Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 16
Περιστρεφόμενος δίσκος Ο δίσκος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με τη βοήθεια δύναμης F σταθερού μέτρου που συνεχώς δρα εφαπτομενικά στο δίσκο. Ο δίσκος με την επίδραση της σταθερής ροπής τ της δύναμης εκτελεί μόνο ομαλά μεταβαλλόμενη περιστροφική κίνηση και θα ισχύει ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στ = Ι αγων, ενώ η ταχύτητα του κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από τη σχέση t, ή μπορεί να υπολογιστεί και με την εφαρμογή του θεωρήματος έργου ενέργειας. Αν στον περιστρεφόμενο δίσκο προκύψει περίπτωση κατά την οποία πάνω από τον δίσκο πέφτει και προσκολλάται πάνω του κάποιο μικρό σώμα (π.χ. κομμάτι λάσπης) τότε στο σύστημα δίσκος σώμα εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για να βρούμε τη νέα τιμή της ταχύτητας περιστροφής του συστήματος δίσκου-σώμα, με δεδομένο ότι λόγω της προσθήκης μάζας αυξάνεται η ροπή αδράνειας του συστήματος. Περιστρεφόμενη ράβδος. Όταν μια ράβδος περιστρέφεται με την επίδραση του βάρους της γύρω από σταθερό άξονα η συνολική ροπή που ασκείται στο σώμα δεν έχει σταθερό μέτρο (η ροπή του βάρους δεν έχει σταθερό μοχλοβραχίονα) άρα και η γωνιακή επιτάχυνση δεν παραμένει σταθερή. o Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο για την στροφική κίνηση για να υπολογίσουμε το μέτρο της στιγμιαίας γωνιακής επιτάχυνσης η οποία προκύπτει ότι εξαρτάται από τη γωνία στρέψης της ράβδου που σημαίνει ότι το μέτρο της δεν είναι σταθερό. o Έτσι δε μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα του σώματος εφαρμόζοντας τις σχέσεις 0 t και 1 0 t t αφού ως γνωστό ισχύουν μόνο στη περίπτωση που το σώμα κινείται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. o Στις περιπτώσεις αυτές για τον υπολογισμό της ταχύτητα χρησιμοποιούμε είτε το o θεώρημα έργου ενέργειας ή την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Η ράβδος λέμε ότι εκτελεί πλήρη κατακόρυφο κύκλο (ανακύκλωση) αν στην ανώτερη θέση το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Στην οριακή περίπτωση στην οποία η ράβδος μόλις που εκτελεί την ανακύκλωση δεχόμαστε ότι στην ανώτερη θέση ισχύει ω=0. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 17
Σροχαλία. Στις περιπτώσεις αυτές μπορεί να είναι ένα ή δύο σώματα συνδεμένα μεταξύ τους με αβαρές και μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους που περνά από αυλάκι της τροχαλίας. o Αν η τροχαλία είναι χωρίς μάζα τότε οι τάσεις του νήματος είναι ίδιες και μελετούμε την μεταφορική κίνηση που κάνουν τα δύο σώματα. o Αν η τροχαλία είναι με μάζα τότε οι τάσεις είναι διαφορετικές και μελετούμε την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας κα την μεταφορική που κάνουν τα δύο σώματα. Αν αφεθούν ελεύθερα τα σώματα να κινηθούν η ροπή της τάσης νήματος Σ που συγκρατεί ο σώμα νε την μεγαλύτερη μάζα προκαλεί την περιστροφή της τροχαλίας με ταχύτητα ω. Στην περίπτωση που το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλία το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης α ε των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας ισούται με την επιτάχυνση του α σώματος ή την κοινή επιτάχυνση των σωμάτων που κρέμονται από το νήμα λόγω της μεταφορικής τους κίνησης. Οπότε ισχύουν α ε = du = d(ωr) = a dt dt γων R = a Για την περιστροφική κίνηση ισχύει η σχέση Σ τ = (T 1 T )R = Ι αγων και οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης που ισχύουν στην περιστροφική κίνηση. Για την μεταφορική κίνηση των σωμάτων η σχέση Σ F = ma ΣF 1 = (w 1 T 1 = m 1 a ΣF = (T w = m a ισχύουν στην μεταφορική κίνηση. Θετική φορά ορίζεται πάντα η φορά κίνησης του σώματος. και οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης που Για το υπολογισμό της ταχύτητας κάποιου σώματος ή της ταχύτητας περιστροφής της τροχαλίας μπορούμε να κάνουμε χρήση τόσο της ΑΔΜΕ για το σύστημα σώματα - τροχαλία ή του θεωρήματος έργου ενέργειας. Επίσης για τον υπολογισμό του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος των σωμάτων θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μόνο τις εξωτερικές δυνάμεις δηλαδή τα βάρη των σωμάτων. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 18
o Διπλή τροχαλία (κολλημένοι δίσκοι) με κρεμασμένα δυο σώματα Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει επιπλέον να λάβουμε υπόψη ότι τα δύο σώματα έχουν διαφορετικές επιταχύνσεις. Το ένα σώμα θα κατεβαίνει με επιτάχυνση α 1 ενώ το άλλο θα ανεβαίνει με επιτάχυνση α. Οι δύο τροχαλίες θα στρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα α γων Για την τροχαλία θα έχουμε Σ τ = Ι αγων και για τα σώματα Σ F 1 = ma 1 και Σ F = ma ενώ για τις επιταχύνσεις α 1 = α γων R 1 & α = α γων R. Αντίστοιχα με αυτές της απλής τροχαλίας. Κύλινδρος ή γιο- γιο σε κατακόρυφη πτώση Το σώμα σε αυτή τη περίπτωση εκτελεί σύνθετη κίνηση. Για την μεταφορική κίνηση που εκτελεί θα ισχύει : ΣF = w T = ma cm Ενώ για την περιστροφική κίνηση του : Στ = TR = Ι αγων Επιπλέον καθώς το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στην περιφέρεια του τροχού το σημείο της περιφέρειας του τροχού που εφάπτεται στο νήμα έχει ταχύτητα ίδια με το αντίστοιχο σημείο του νήματος με το οποίο έρχεται σε επαφή. Αφού όμως το άκρο του νήματος είναι ακλόνητο, κάθε σημείο του τεντωμένου νήματος έχει μηδενική ταχύτητα και επιτάχυνση. Άρα το σημείο Ο του τροχού που κάθε στιγμή εφάπτεται στο νήμα έχει μηδενική συνολική ταχύτητα και επιτάχυνση (u o = 0 & α o = 0 ). Το σημείο Ο λόγω των δύο ανεξάρτητων κινήσεων που εκτελεί της μεταφορικής και της περιστροφικής θα έχει δύο επιμέρους ταχύτητες και επιταχύνσεις για τις οποίες θα ισχύει : uo= ucm-ωr δηλ. ucm = ωr και αo= αcm - αγωνr δηλ. αcm = αγωνr Ισχύουν δηλαδή οι ίδιες σχέσεις που ισχύουν και στην κύλιση χωρίς ολίσθηση. Για την περιστροφική κίνηση ισχύουν οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης της περιστροφικής κίνησης και για την μεταφορική κίνηση οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης που ισχύουν στην μεταφορική κίνηση. Επειδή στο σώμα ενεργεί το βάρος (συντηρητική δύναμη) αλλά και η τάση του νήματος η οποία όμως δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, μπορούμε για διάφορους υπολογισμούς να κάνουμε χρήση της ΑΔΜΕ αλλά και του θεωρήματος έργου ενέργειας. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 19
ώμα (ομογενής και συμπαγής κύλινδρος ή σφαίρα ή δίσκος) κυλάει χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο ή κεκλιμένο επίπεδο. Ο ρόλος της στατικής τριβής στην κύλιση των στερεών είναι σπουδαίος, αφενός επειδή μέσω της ροπής της προκαλεί την περιστροφή του σώματος, αφετέρου συμβάλλει στη μεταφορική επιτάχυνση του σώματος. Στο παράδειγμα του διπλανού σχήματος ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση μια μεταφορική και μια περιστροφική γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η μεταφορική κίνηση εξασφαλίζεται από τη συνισταμένη των δύναμεων F και T στ,ενώ η περιστροφική οφείλεται στη ροπή της στατικής ροπής. Η στατική τριβή T στ αντιστέκεται στη μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου του οδοστρωτήρα, οπότε συμβάλλει στην ελάττωση της μεταφορικής επιτάχυνσης a cm, που θα προκαλούσε μόνη της η δύναμη F. Προκαλεί όμως, μέσω της ροπής της Τ στr,γωνιακή επιτάχυνση α γων, η οποία είναι αδύνατο να υπάρξει μόνο εξαιτίας της δύναμης F. o Για να κυλάει ένα σώμα χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει η στατική τριβή Τ στ να είναι μικρότερη της μέγιστη τιμής στατικής τριβής Τ στ(max). Δηλαδή να ισχύει : Τ στ < Τ στ(max) ή Τ στ < μ sn o Όταν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, τότε ισχύουν οι σχέσεις: υ cm = ωr, a cm = a γωνr και Τσ μν o Όταν ο κύλινδρος και κυλίεται και ολισθαίνει, τότε ισχύουν οι σχέσεις: υ cm = ωr, a cm = a γωνr και Τσ = μν Ο κύλινδρος του σχήματος κυλίεται προς τη βάση του πλάγιου επιπέδου χωρίς να ολισθαίνει με την επίδραση τριών δυνάμεων, του βάρους w της στατικής τριβής T ςτ και της κάθετης αντίδρασης Ν. Η μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι αποτέλεσμα της συνιστώσας του βάρους mgημφ και της στατικής τριβής T ςτ ενώ η περιστροφική κίνηση οφείλεται στη ροπήτ στr της στατικής τριβής ως προς άξονα περιστροφής που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 0
Επειδή ο κύλινδρος επιταχύνεται, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας αυξάνεται, οπότε η γωνιακή επιτάχυνση έχει τη φορά του σχήματος. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η στατική τριβή είναι η μόνη δύναμη που προκαλεί γωνιακή επιτάχυνση στον κύλινδρο, η φορά της είναι αυτή του σχήματος. Όταν ο κύλινδρος εκτοξεύεται προς τα πάνω και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, η κίνηση είναι ομαλά επιβραδυνόμενη. Η μεταφορική επιβράδυνση του κυλίνδρου είναι αποτέλεσμα της συνιστώσας του βάρους mgημφ και της στατικής τριβής Τστ, ενώ η γωνιακή επιβράδυνση οφείλεται στη ροπή TστR της στατικής τριβής ως προς άξονα περιστροφής που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου. Αφού ο κύλινδρος επιβραδύνεται, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ελαττώνεται, οπότε η γωνιακή επιβράδυνση έχει τη φορά του σχήματος. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η στατική τριβή είναι η μόνη δύναμη που προκαλεί γωνιακή επιβράδυνση στον κύλινδρο, η φορά της είναι αυτή του σχήματος. o Η δύναμη που προκαλεί την ροπή είναι η στατική τριβή Σ στ και έχει φορά αντίθετη από αυτή της συνιστώσας του βάρους w x ανεξάρτητα αν η σφαίρα ανεβαίνει η κατεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο. o το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης που έχει η σφαίρα όταν κατεβαίνει ισούται με το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης που έχει η σφαίρα όταν ανεβαίνει. o Η επιτάχυνση α cm του κέντρου μάζας των παραπάνω σωμάτων όταν κυλάνε πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς ολίσθηση αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητη 1. της μάζας m. της ακτίνας R και 3. του συντελεστή μ s στατικής τριβής 4. εξαρτάται από ένα παράγοντα α ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το τετράγωνο της ακτίνας τους στην ροπή αδράνειας τους. Όσο πιο μικρός είναι ο παράγοντας αυτός τόσο πιο μεγάλη είναι η επιτάχυνση του σώματος. o Όλες π.χ. οι συμπαγείς σφαίρες ανεξάρτητα της μάζας και της ακτίνας του,που αφήνονται να κυλήσουν χωρίς ολίσθηση από το ίδιος ύψος κεκλιμένου επιπέδου φτάνουν ταυτόχρονα στη βάση του επιπέδου με την ίδια ταχύτητα. o Όσο πιο μικρός είναι ο παράγοντας αυτός τόσο πιο μεγάλη είναι η ταχύτητα και μικρότερος ο χρόνος που το σώμα φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. o Στη κύλιση χωρίς να ολισθαίνει ενός σώματος πάνω σε επίπεδο, η στατική τριβή που ασκείται πάνω του δεν παράγει έργο καθώς δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της άρα μπορούμε στην περίπτωση αυτή (π.χ σε κεκλιμένο επίπεδο ) να κάνουμε χρήση της (Α.Δ.Μ.Ε). Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός 1
o Εφαρμόζοντας Α.Δ.Μ.Ε στην κίνηση αυτή προκύπτει ότι όσο πιο μικρός είναι ο παράγοντας α,τόσο πιο μεγάλη είναι η μεταφορική ταχύτητα του σώματος γιατί δεσμεύει μικρότερο ποσοστό της ολικής του ενέργειας ως κινητική ενέργεια στροφικής κίνησης διατηρώντας μεγαλύτερο ποσοστό για την μεταφορική του κίνηση. Για να μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση μια σφαίρα που κυλίεται στο εσωτερικό κυκλικής στεφάνης, θα πρέπει η δύναμη που δέχεται η σφαίρα από τη στεφάνη όταν διέρχεται από το ανώτερο σημείο της στεφάνης να ικανοποιεί τη σχέση 0. Στην οριακή περίπτωση στην ανώτερη θέση Ν=0 δηλαδή w=f κεν. Νίκος Κυριαζόπουλος Υυσικός