1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες είναι οι γωνίες,, ɵ κορυφή γωνία πλευρά γωνία πλευρά γωνία πλευρά κορυφή κορυφή 2. ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είναι οι διάµεσοι, τα ύψη και οι διχοτόµοι ιάµεσος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µία κορυφή του τριγώνου µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου κάθετα στην ευθεία της απέναντι πλευράς. ιχοτόµος ενός τριγώνου ονοµάζεται το ευθύγραµµο τµήµα που φέρουµε από µία κορυφή του τριγώνου, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Μ Μ Μ 3. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών Οξυγώνιο τρίγωνο, όταν όλες οι γωνίες είναι οξείες < 90 ο, < 90 ο, ɵ < 90 ο µβλυγώνιο τρίγωνο, όταν µία γωνία είναι αµβλεία > 90 ο Ορθογώνιο τρίγωνο, όταν µία γωνία είναι ορθή. = 90 ο Οι πλευρές της ορθής γωνίας λέγονται κάθετες πλευρές και η τρίτη υποτείνουσα
2 3. Είδη τριγώνων από την άποψη των πλευρών Σκαληνό όταν και οι τρείς πλευρές είναι άνισες Ισοσκελές όταν δύο πλευρές είναι ίσες ν =, η ονοµάζεται βάση και το σηµείο κορυφή Ισόπλευρο τρίγωνο όταν όλες οι πλευρές είναι ίσες = = 4. Ονοµασία γωνίας σε σχέση µε πλευρές του τριγώνου Η γωνία που περιέχεται µεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόµενη γωνία των πλευρών αυτών. Οι γωνίες που έχουν κορυφές τα άκρα µιας πλευράς λέγονται γωνίες προσκείµενες στην πλευρά αυτή. Η γωνία που η κορυφή της είναι απέναντι από µία πλευρά του τριγώνου λέγεται γωνία απέναντι της πλευράς αυτής. Στο σχήµα : ωνία περιεχόµενη από τις πλευρές και είναι η. ωνία απέναντι από την πλευρά είναι η ωνίες προσκείµενες στην πλευρά είναι η και η ɵ. Στο τρίγωνο τις πλευρές που είναι απέναντι από τις γωνίες, και ɵ τις συµβολίζουµε και µε α, β και γ αντίστοιχα
3 ΣΧΟΛΙ 1. Σχεδιασµός : Όλα τα σχήµατα τα σχεδιάζουµε χρησιµοποιώντας τα γεωµετρικά όργανα που είναι ο χάρακας, ο γνώµονας και ο διαβήτης. Ποτέ δεν τα φτιάχνουµε µε το χέρι. ια την κατασκευή γωνίας συγκεκριµένου µέτρου χρησιµοποιούµε το µοιρογνωµόνιο. 2. Σχεδιασµός τριγώνου : Όταν θέλουµε να σχεδιάσουµε ένα τρίγωνο όχι καθορισµένου είδους τότε σχεδιάζουµε ένα οξυγώνιο και σκαληνό. ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο και να φέρετε και να ονοµάσετε µία διάµεσο και ένα ύψος από την ίδια κορυφή. ρίσκω Μ το µέσο της. Τότε η Μ είναι διάµεσος. Φέρνω. Τότε το είναι ένα ύψος. 2. Να σχεδιάσετε τρίγωνο µε = 4cm, = 30 ο και ɵ = 50 ο και να φέρετε την διάµεσο Μ το ύψος και την διχοτόµο Ζ. y Με το χάρακα σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα x = 4cm και µε το µοιρογνωµόνιο γωνίες x = 30 ο και ɵ y = 50 ο. ν είναι το σηµείο τοµής των x και y, τότε το τρίγωνο έχει τα καθοριζόµενα στοιχεία. ν Μ είναι το µέσο της, και η διχοτόµος της γωνίας ɵ τέµνει την στο Ζ, τότε τα Μ, και Ζ είναι τα ζητούµενα δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου. Z Μ 30 ο M 50 ο
4 3. Να σχεδιάσετε τρίγωνο µε = 3cm, = 45 ο και ɵ = 45 ο και να φέρετε την διάµεσο και το ύψος από την κορυφή. Τι παρατηρείτε ; Με την βοήθεια χάρακα και µοιρογνωµονίου κατασκευάζουµε τρίγωνο µε = 3cm, = 45 ο και ɵ = 45 ο. ν Μ είναι το µέσο της τότε η Μ 45 ο 45 ο είναι η διάµεσος και αν, το είναι Μ το ύψος. Παρατηρούµε ότι το ύψος και η διάµεσος συµπίπτουν 4. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα, να φέρετε τη διάµεσο Μ και να συγκρίνεται µε το διαβήτη τα τµήµατα Μ, Μ και Μ. Τι παρατηρείτε; ν µε διάµετρο την γράψουµε κύκλο αυτός από ποιο άλλο σηµείο θα διέλθει; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Κατασκευάζουµε ορθογώνιο τρίγωνο και φέρουµε την διάµεσο Μ στην υποτείνουσα. Συγκρίνοντας τα τµήµατα Μ, Μ, Μ µε το διαβήτη, διαπιστώνουµε ότι είναι ίσα. Είναι φανερό ότι ο κύκλος θα περάσει και από το, αφού Μ = Μ = Μ. Μ 5. Στις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τα κενά α) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µία. γωνία β) Ισόπλευρο λέµε το τρίγωνο που έχει. πλευρές γ) Οξυγώνιο είναι το τρίγωνο στο οποίο.. είναι οξείες δ) Ύψος τριγώνου λέγεται το. που φέρνουµε από µία κορυφή στην.. ε) Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο το οποίο έχει. πλευρές στ) ιάµεσος τριγώνου λέγεται το τµήµα που.. µε το. της απέναντι πλευράς α) Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µία ορθή γωνία β) Ισόπλευρο λέµε το τρίγωνο που έχει ίσες πλευρές γ) Οξυγώνιο είναι το τρίγωνο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι οξείες δ) Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα που φέρνουµε από µία κορυφή στην ευθεία της απέναντι πλευράς ε) Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο το οποίο έχει άνισες πλευρές στ) ιάµεσος τριγώνου λέγεται το τµήµα που ενώνει µία κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς
5 6. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) Κάθε τρίγωνο έχει τρείς κορυφές Σ β) Υπάρχει τρίγωνο που δεν έχει ύψη Λ γ) Το αµβλυγώνιο τρίγωνο έχει µία µόνο διάµεσο Λ δ) Σκαληνό λέµε το τρίγωνο µε δύο πλευρές άνισες Λ ε) Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι γωνίες είναι ορθές Λ στ) Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει τις γωνίες του οξείες Λ α) πό την θεωρία η πρόταση είναι σωστή β) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος γ) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος δ) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος ε) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος στ) πό την θεωρία η πρόταση είναι λάθος 7. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο, να βρείτε τα µέσα Μ και Ν των καθέτων πλευρών και και να τα ενώσετε. Να συγκρίνεται το τµήµα ΜΝ µε τη διάµεσο στην υποτείνουσα. Τι παρατηρείτε; Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την. Τα σηµεία Μ, Ν είναι τα µέσα των και και Ν η διάµεσος στην υποτείνουσα. Συγκρίνοντας µε τον διαβήτη τα τµήµατα ΜΝ και Μ διαπιστώνουµε ότι ΜΝ = 8. Να σχεδιάσετε ένα οξυγώνιο τρίγωνο και να φέρετε τα ύψη και Ε. Να βρείτε το µέσο Μ της πλευράς. Να σχεδιάσετε και να συγκρίνεται µε τον διαβήτη τα τµήµατα Μ και ΕΜ. Τι παρατηρείτε ; Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο και, Ε ύψη του. Ε Έστω ακόµα Μ το µέσο της. Συγκρίνοντας τα τµήµατα Μ και ΕΜ διαπιστώνουµε Μ ότι Μ = ΕΜ
6 9. πό το µέσο της πλευράς ενός αµβλυγωνίου τριγώνου ( > 90 ο ) φέρουµε ευθεία ε παράλληλη προς την, η οποία τέµνει την διάµεσο Μ στο Ζ και την πλευρά στο Ε. Να συγκρίνετε τα τµήµατα Ζ και ΖΜ καθώς επίσης και τα τµήµατα Ε και Ε. Τι παρατηρείτε; Σχεδιάζοντας το αµβλυγώνιο τρίγωνο και φέρνοντας την ΖΕ // µετά από σύγκριση διαπιστώνουµε ότι Ζ = ΖΜ και Ε = Ε Ζ Ε Μ 10. Να σχεδιάσετε έναν κύκλο µε διάµετρο = 3 cm. Να ενώσετε ένα σηµείο του κύκλου µε τα και. Να σχεδιάσετε τα ύψη του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; Σχεδιάζουµε τον κύκλο και το τρίγωνο. Φέρνοντας τα ύψη του τριγώνου διαπιστώνουµε ότι τα δύο από αυτά ταυτίζονται µε τις πλευρές και και το τρίτο είναι το.