5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής: ( )( ) + + + Αποτελεί δηλαδή ένα πολυώνυμο του λ, το οποίο ( ) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α και συμβολίζεται με f(λ) Παρατήρηση Ο αντίστοιχος μοναδιαίος πίνακας του παραπάνω πίνακα Α είναι ο εξής: I Άρα I Έχουμε: A I det( A I) Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι η ορίζουσα του πίνακα Α-λΙ, δηλαδή ισχύει: f(λ)det(a-λι) Παράδειγμα Να βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα: 4 Λύση Έχουμε: f ( ) ( )(4 ) ( ) 4 4 + + 5 + 6 4 Ιδιοτιμές Έστω ένας πίνακας Α που έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το f(λ) Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου f(λ) ονομάζονται ιδιοτιμές του πίνακα Α Οι ιδιοτιμές δηλαδή του πίνακα Α είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: f(λ) Φάσμα Το σύνολο των ιδιοτιμών του πίνακα Α ονομάζεται φάσμα του Α Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα ΤΚ 68 Τηλ:6939 Φαξ:348 email:info@onleang wwwonleang
Πρόταση Αν ένας πίνακας έχει κάποια ιδιοτιμή του ίση με μηδέν, τότε η ορίζουσά του θα είναι μηδενική Δηλαδή αν λ θα ισχύει: det(a-λι) det(a) Θεώρημα Cale-Hamilton Έστω f(λ) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα Α Τότε σύμφωνα με το θεώρημα Cale-Hamilton ισχύει: f(a) Δηλαδή, κάθε πίνακας Α ικανοποιεί τη χαρακτηριστική του εξίσωση Παράδειγμα Έστω ο πίνακας Λύση Έχουμε: 4 4 3 Να υπολογίσετε τους πίνακες Α- και Α 3 4 3 Άρα: det(a-λι) (4 )( ) 3 8 4 + 3 6 + 5 3 5 + 5 ( ) 5( ) ( )( 5) Άρα οι ιδιοτιμές είναι: λ, λ5, οπότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: f(λ)(λ-)(λ-5) Από το Θ Cale-Hamilton έχουμε: f(a) A -6A+5I (I) A 6A-5I () Για να ορίζεται ο Α - θα πρέπει deta Άρα έχουμε: 4 det( A ) 8 3 5 3 Πολλαπλασιάζουμε την (Ι) με Α - από αριστερά, οπότε έχουμε: Α - Α -6Α - Α+5Α - Α-6Ι+5Α - 5Α - 6Ι-Α Α - 5 (6Ι-Α) 4 6 4 5 5 6 5 3 5 6 3 5 3 4 3 4 5 5 Για να βρούμε τον Α 3 πολλαπλασιάζουμε την () με Α από δεξιά, οπότε έχουμε: 3 6 5 6 5, αντικαθιστούμε τη σχέση () οπότε έχουμε: 3 3 3 3 4 6(6 5 ) 5 36 3 5 3 3 3 3 3 4 4 33 94 3 3 93 6 3 93 3 3 3 3 3 3 Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα ΤΚ 68 Τηλ:6939 Φαξ:348 email:info@onleang wwwonleang
Ιδιοδιανύσματα Έστω ο πίνακας και λ μία ιδιοτιμή του Ονομάζουμε 3 3 3 3 33 ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ κάθε μη μηδενικό διάνυσμα της x μορφής: τέτοιο ώστε να ισχύει: z 3 x 3 3 3 33 z Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Λύση Έχουμε: 4 3 + 4 3 det( A I) ( )(3 ) 8 3 3 8 4 5 5 + 5 ( + ) 5( + ) ( + )( 5) λ- ή λ5 Άρα οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι οι εξής: λ- και λ5 Έστω Πρέπει: x το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ- x ( ) x + x x 4 3 4 3 ( ) 4 3+ 4 4 x + x + 4x + 4 x + Θεωρoύμε τον επαυξημένο πίνακα Αε του συστήματος Άρα R R έχουμε: Επομένως ank(a)ank(aε) Έστω τ ο κοινός βαθμός των Α, Αε και ν το πλήθος των αγνώστων Άρα θα έχω ν-τ- παράμετρο Θέτουμε: t Άρα από το σύστημα παίρνουμε ότι: x- x-t Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα ΤΚ 68 Τηλ:6939 Φαξ:348 email:info@onleang wwwonleang
Επομένως x t t t Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ- είναι το (-,) Τ Έστω x το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ5 Πρέπει: x 5 x 4 x 4 3 4 3 5 4 4x + x + x 4x x x Θεωρoύμε τον επαυξημένο πίνακα Βε R R του συστήματος Άρα έχουμε: Επομένως ank(β)ank(βε) Έστω τ ο κοινός βαθμός των Β, Βε και ν το πλήθος των αγνώστων Άρα θα έχω ν-τ- παράμετρο Θέτουμε: xk Άρα από το σύστημα παίρνουμε ότι: x k Επομένως x k k k Συνεπώς το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ5 είναι το (,) Τ Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα ΤΚ 68 Τηλ:6939 Φαξ:348 email:info@onleang wwwonleang