ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Αν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ενός πειράµατος τύχης ισχύει ότι Α Β τότε να δείξετε ότι: P(A) P(B). Μονάδες 0 Πότε µια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος. Μονάδες 5 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω ενός πειράµατος τύχης τότε ισχύει ότι: Α Β Α Β = Α β. Για κάθε α, β IR ισχύει ότι: ( α β) = (β α). γ. Αν α,β άρρητοι αριθµοί τότε το γινόµενό τους αβ είναι σε κάθε περίπτωση άρρητος αριθµός. δ. Η εξίσωση x ν = α, µε α < 0 και ν φυσικό περιττό αριθµό, έχει µια ακριβώς µια λύση την ν α ε. Η ανίσωση αx +βx + γ > 0 µε α>0 και <0 αληθεύει για κάθε x στο IR. ίνεται η συνάρτηση ÈÅÌÁÔÁ 0 (x+ ) (x ) f (x) = x+ x 4 4 Μονάδες 0 Β.. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) Β.. Να δείξετε ότι για κάθε x στο πεδίο ορισµού της ισχύει ότι f(x) = 3. Β.3. Να λύσετε στο IR την ανίσωση: 8 3x f( 0) ΘΕΜΑ Γ Γ.. ίνεται η εξίσωση x λ λ x + =, όπου λ IR Μονάδες 9. Να δείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ IR, η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση ως προς x την οποία και να προσδιορίσετε.. Αν η λύση της παραπάνω εξίσωσης για κάθε τιµή του λ IR είναι: x= λ, να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου λ, για τις οποίες η λύση αυτή, απέχει από τον αριθµό 3 απόσταση που δεν ξεπερνά το. Γ. ίνονται οι ευθείες ε : y = (µ 4) x + µ +, µ IR και ΘΕΜΑ ε : y = ( µ + 4µ 3) x +, µ IR Μονάδες 7 Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου µ IR,για τις οποίες η ευθείες ε,ε σχηµατίζουν µε τον άξονα x x, αντίστοιχα αµβλεία και οξεία γωνία. Μονάδες 0 ÈÅÌÁÔÁ 0 ίνεται η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (α ν ), ν ΙΝ *, η οποία είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω = και της οποίας ο έβδοµος όρος είναι: α 7 = και η συνάρτηση f(x) = α x + α 4 x + α, όπου α και α 4, ο πρώτος και ο τέταρτος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου... Να βρείτε τους α και α 4. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε)...3. Αν α = και α 4 = 5 και x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0, να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων: α) Α = xx + xx x x B x x β) = + γ) Γ = 3 400 (x + x ) 0 x x + Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Να λύσετε την εξίσωση: x B + x A = Γ, όπου Α, Β, Γ είναι οι τιµές των παραστάσεων που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα.. Μονάδες 5 Σας ευχόµαστε Επιτυχία. ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0,α,β, γ R,α 0 έχει ρίζες τους πραγµατικούς γ αριθµούς x,x, να αποδείξετε ότι: x x =. α Μονάδες 0 Β. Πότε µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, λέγεται άρτια; Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. ΘΕΜΑ ο i) Για κάθε ρ> 0 ισχύει x < ρ ρ < x < ρ. ii) Αν α β 0, τότε πάντοτε ισχύει: α β = α β. iii) Αν β< α, τότε: (β α) = α β. iv) Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει α γ = β γ, τότε: (α = β ή γ = 0). v) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε f(x) = φ(x c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά. Μονάδες 0 α) Να λύσετε την εξίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: γ) Να λύσετε την ανίσωση: x 4x+ 3= 0. Μονάδες 5 ÈÅÌÁÔÁ 0 x 6x+ 8< 0. 0 (x + )(x 6x + 8)(x 4x + 3) 0. Μονάδες Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 ΘΕΜΑ 3 ο Η εξίσωση x - λx + 3λ = 0, όπου λ R, έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες x, x. α) Να αποδείξετε ότι λ < 0 ή λ >. β) Για λ = 4 : i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες x, x της εξίσωσης είναι ετερόσηµες. ii) Μονάδες 4 Αν x είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση x+ 0 x. Μονάδες 6 iii) Αν x είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να δείξετε ότι 3 x x=. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = λ x + 3, όπου λ, x πραγµατικοί αριθµοί, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία µε εξίσωση y = λ x + 3. α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού λ έτσι ώστε η ευθεία µε εξίσωση ο y = λ x + 3 να σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία 45. β) Για λ = 3 : i) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x x, y y και να τη σχεδιάσετε. ii) iii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει, f (α ) > f ( ). Μονάδες 4 ÈÅÌÁÔÁ 0 Σας ευχόµαστε επιτυχία Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν θ > 0 να αποδείξετε ότι x < θ θ < x < θ. ΜΟΝΑ ΕΣ 0 Β. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων δίνονται τα σηµεία Α(x, y ) και Β(x, y ). Να γράψετε τον τύπο, µε τον οποίο υπολογίζεται η απόσταση ΑΒ. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. ΘΕΜΑ ο α) Αν α,β R, τότε ισχύει: α β = β α. ΜΟΝΑ ΕΣ β) Αν α γ < 0, τότε το τριώνυµο αx + βx + γ παίρνει τη µορφή αx + βx+ γ = α (x x )(x x ),όπου x, x οι ρίζες του τριωνύµου. ΜΟΝΑ ΕΣ γ) Ισχύει πάντοτε ν ν α α =, όπου ν θετικός ακέραιος και α R. ΜΟΝΑ ΕΣ δ) Αν α β > 0, τότε πάντοτε ισχύει: αβ= α β. ε) Αν x > 0, τότε ΜΟΝΑ ΕΣ x x = ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 00 ίνονται οι ευθείες ε και ε µε εξισώσεις ε : y = (λ )x +, ε : y = λ x 4 α) Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες. ΜΟΝΑ ΕΣ 0 β) Να βρείτε τις τιµές των πραγµατικών αριθµών λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι κάθετες µεταξύ τους. ΜΟΝΑ ΕΣ 5
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x 4 αx +, x R, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = 6. β) Nα υπολογίσετε την τιµή f(). γ) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = f(). + α = + +. δ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) f() 0. ΘΕΜΑ 4 ο ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ίνεται η εξίσωση D ω (Dx Dy) ω + Dx + Dy = 0 (), όπου D, Dx, Dy πραγµατικοί αριθµοί ίσοι µε τις ορίζουσες ενός συστήµατος (Σ) δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Α. Έστω ότι η εξίσωση () είναι δευτέρου βαθµού ως προς ω α) Να αποδείξετε ότι το γραµµικό σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β) Αν για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών της () ισχύει S = και P =, τότε: i) Να δείξετε ότι ii) Dx D y = D και D +D x y = ÈÅÌÁÔÁ 00 D ΜΟΝΑ ΕΣ 6 Να βρείτε τη µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος (Σ). ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Αν D = 0 και η () είναι αδύνατη, τότε να δείξετε ότι και το γραµµικό σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε τον ορισµό της συνάρτησης από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β. (µονάδες 5) Β. Αν a, β 0, να αποδείξετε ότι: ν α ν β = ν α β (µονάδες 0) Γ. Να σηµειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ). α) Για κάθε α, β R ισχύει: α + β= α+ β. β) Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f τέµνει κάθε κατακόρυφη ευθεία σε ένα το πολύ σηµείο. γ) Αν D, Dx, Dy οι ορίζουσες ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους, µε D = Dx = Dy = 0, τότε το σύστηµα έχει πάντα άπειρο πλήθος λύσεων. δ) Αν στην εξίσωση αx + βx + γ = 0, a 0, ισχύει a γ 0 τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. ε) Αν γ 0, τότε a > β αγ > βγ. (µονάδες 0) ΘΕΜΑ ο ( λ + ) x + 5y = 5 ίνεται το σύστηµα x + ( λ ) y = 5 α) Να βρείτε τις τιµές των οριζουσών D, Dx, Dy ÈÅÌÁÔÁ 009 β) Να λύσετε το σύστηµα για τις διάφορες τιµές του λ. (µονάδες 6) (µονάδες ) γ) Αν (x 0, y 0 ) η µοναδική λύση του παραπάνω συστήµατος, να βρείτε το λ ώστε 5 5 x o y o = (µονάδες 7)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η εξίσωση: x + ( λ ) x + = 0, µε λ R η οποία έχει δύο ρίζες άνισες τις x και x. α) Να δείξετε ότι λ (µονάδες 7) β) Να υπολογίσετε τις τιµές του λ. (µονάδες 6) γ) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του λ τις τιµές των πιο κάτω παραστάσεων Κ = x + x, Λ = x x, Μ = x + x (µονάδες 6) δ) Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: λ xx + λx x + x+ 3x 5 ΘΕΜΑ 4ο 3 = ax 5, 5 x ίνεται η συνάρτηση f ( x) = a, β R x + β, x 5 Για την οποία ισχύουν: f ( ) = f (4) και f ( ) = f ( ) α) Να δείξετε ότι α= και β= 5. β) Να βρείτε το λ R ώστε οι ευθείες (ε ): y = (λ 4 +) x + f() και (ε ): y = f(-3) + (3λ -34) x,να είναι παράλληλες (µονάδες 6) (µονάδες 7) (µονάδες 8) γ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: f(x) = ÈÅÌÁÔÁ 009 (µονάδες 0)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 A' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης i. x + x = - β α ii. x x = γ α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ax + β x + γ = 0, α 0. Να αποδείξετε ότι: Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση : i. Οι ε :y =x+5 και ε : y=λx+008 είναι παράλληλες αν: α. λ=5 β. λ=008 γ. λ= - δ. λ= ii. Αν η εξίσωση x 5x+κ=0 έχει ρίζα το τότε: α. κ =6 β. κ =0 γ. κ = δ. κ = -6 iii. Αν D=0 και Dx=Dy=5 τότε το σύστηµα: α. έχει άπειρο πλήθος λύσεων β. είναι αδύνατο γ. έχει µοναδική λύση (x,y) = (0,0) δ. έχει µοναδική λύση (x,y) = (5,5) (9 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 008 (6 µονάδες)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Γ. Να σηµειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ) : i. Αν x 0 τότε x =x ii. Η εξίσωση x +αx =0 έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε α IR iii. α = ( α ), για κάθε α IR iv. α - β = α β, για κάθε α > β > 0 v. xy = x x = y, για κάθε x, y IR ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση: f(x) = 3 x 4x x + x (0 µονάδες) A. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης και να απλοποιηθεί ο τύπος της. (0 µονάδες) Β. Να υπολογιστεί η παράσταση: f (3) f () Α= f (4) Γ. Να λυθεί η εξίσωση f(4) x = f(3) x ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η εξίσωση x (λ+)x + λ = 0 (8 µονάδες) (7 µονάδες) i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ. (8 µονάδες) ii. Αν x, x οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε (x +x ) - x x =0 (8 µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 008 iii. Για λ=3, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες x και x. (9 µονάδες)
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 3 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται το σύστηµα: x + y = λ x y = + λ λ i. Να δείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση για κάθε λ IR ii. Να βρεθεί η µοναδική λύση (x 0,y 0 ) του συστήµατος. iii. Να λυθεί η ανίσωση x 0 + y 0-3 (5 µονάδες) (8 µονάδες) ( µονάδες) ÈÅÌÁÔÁ 008 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ : α. β= α. β χ χ = α... α α + β = α + β -x x R a = α a R ÈÅÌÁÔÁ 007
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 λ, λ R, χ, ψ x x x x - 3 = 5 3 3 + ÈÅÌÁÔÁ 007 α x και x 3 3 α R και
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 3 λ R : ( x) = x + x f λ, x R.. ÈÅÌÁÔÁ 007 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 A ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΘΕΜΑ Ο α. Αν θ>0 να αποδείξετε ότι x θ θ x θ Μονάδες 3 β. Έστω x και x οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx+γ=0, α 0. Να αποδείξετε ότι: i) x +x =- α β ii) x x = ΘΕΜΑ Ο γ α ίνονται οι ευθείες (ε ): y = α+ x+ 4 (ε ): y = α x + 5 α. Αν οι (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες να βρείτε το α Μονάδες Μονάδες β. Για α=3 να βρείτε : i) τις συντεταγµένες του σηµείου Α που η (ε ) τέµνει τον άξονα y y καθώς και του σηµείου Β που η (ε ) τέµνει τον άξονα x x Mονάδες 8 ii) την απόσταση ΑΒ ÈÅÌÁÔÁ 006 Μονάδες 5
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται η συνάρτηση x f(x) = x 3x + α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της γ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 4 Ο 005 005 3 005 + 006 = 003 Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ίνεται η εξίσωση (λ+)x -λx-=0 µε λ και λ R () α. Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε λ. β. Έστω x,x οι ρίζες της () Να βρείτε: i) Τα x +x και x : x Μονάδες 4 ii) Τις τιµές του λ για τις οποίες η () έχει ρίζες ετερόσηµες Μονάδες 6 iii) Τις τιµές του λ ώστε να ισχύει x +x <x : x Μονάδες 7 ÈÅÌÁÔÁ 006