mail:

Λογισμός ΙΙΙ - Τμήμα Α Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014

Βιβλιογραφία Ν. Δανίκας - Μ. Μαριάς Μαθήματα Διαφορικού Λογισμού σε πολλές μεταβλητές εκδ. ΖΗΤΗ 2003 J. Mardsen - A. Tromba Διανυσματικός Λογισμός Παν. Εκδ. Κρήτης 2000 M. Spivak Λογισμός σε Πολλαπλότητες Παν. Εκδ. Κρήτης 1994 R. Courant - F. John Introduction to Calculus and Analysis II/1 Springer 2000

Ευκλείδειος χώρος R n Ορισμός Ευκλειδειου χώρου Εσωτερικό γινόμενο R n x = (x 1, x 2,..., x n ) α, β R, z = α x + β y z i = αx i + βy i 0 (0, 0,..., 0) x, y = n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x n y n i=1 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου (i ) (θετικότητα) x, x 0, x, x = 0 x = 0 (ii ) (συμμετρικότητα) x, y = y, x (iii ) ( διγραμμικότητα) z, α x + β y = α z, x + β z, y α x + β y, z = α x, z + β y, z (iv ) (Μη εκφυλισμός) Αν y, x, y = 0 x = 0

Norm Ορισμός Norm x x, x = x 2 1 + x2 2 + x2 n Θεώρημα Cauchy-Schwartz x, y x y x, y = x y x = α y Ιδιότητες norm (i ) (θετικότητα) x 0 και x = 0 x = 0 (ii ) αx = α x (iii ) ( τριγωνική ιδιότητα) x + y x + y

Ασκήσεις x y 2 + x + y 2 = 2 ( x 2 + y 2) x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2) x, y = 0 x + y 2 = x 2 + y 2 x + y x + y

Απόσταση Ορισμός Απόσταση d(x, y) x y Ιδιότητες απόστασης (i ) (θετικότητα) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 x = y (ii ) (συμμετρικότητα) d(x, y) = d(y, x) (iii ) ( τριγωνική ιδιότητα) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

Αλλες ισοδύναμες αποστάσεις n d 1 (x, y) = x i y i i=1 d (x, y) d 1 (x, y), d 1 (x, y) n d (x, y) d (x, y) = max x i y i, i = 1, 2,..., n d (x, y) n d (x, y), d (x, y) d (x, y) ( n d p (x, y) = i=1 x i y i p ) 1/p

Σύγκλιση ακολουθιών στο R n Ορισμός συγκλίνουσας ακολουθίας x k k N lim k = x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k > N(ɛ) d(x k, x) = x k x < ɛ Ανοικτή περιοχή, μπάλα ή σφαίρα B(x, r) y R : d(x, y) < r lim x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k = x k > N(ɛ) x k B(x, ɛ)

x k = (x ki ) i=1,2,...,n = (x k1, x k2,..., x kn ), x = (x i ) i=1,2,...,n = (x 1, x 2,..., x n ) Πρόταση i = 1, 2..., n lim x k = x lim x ki = x i Σύγκλιση Σύγκλιση διανυσμάτων συνιστωσών των διανυσμάτων

lim x k = x lim x k = x, lim y k = y lim x k = x lim x k x = 0 lim αx k + βy k = αx + βy lim x k, y k = x, y

i = 1, 2..., n Αποδ: lim x k = x lim x ki = x i Ορισμός συγκλίνουσας ακολουθίας x k k N lim x k = x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k > N(ɛ) x k x < ɛ x ki x i x k x = n x kl x l 2 ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k > N(ɛ) x ki x i < ɛ l=1 lim x ki = x i

Αποδ: i = 1, 2..., n lim ki = x lim k = x i lim ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : ki = x i k > N(ɛ) x ki x i < ɛ ɛ > 0, N i (ɛ) > 0 : k > N i (ɛ) x ki x i < lim x ki = x i ɛ n k > max N 1 (ɛ), N 2 (ɛ),..., N n (ɛ) x k x 2 = n x ki x i 2 < n ɛ2 n i=1

Ορισμός ακολουθίας Cauchy x k k N ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k > l > N(ɛ) x k x l < ɛ Προτ. Η ακολουθία xk k N είναι ακολουθία Cauchy Για i = 1, 2,..., n οι ακολουθίες x ki k N είναι ακολουθίες Cauchy Θεώρημα Πληρότητας του R n Η ακολουθία x k k N συγκλίνει Η ακολουθία είναι Cauchy

Ανοικτή περιοχή, μπάλα ή σφαίρα: B(x, r) y R : d(x, y) < r Κλειστή περιοχή, μπάλα ή σφαίρα: B(x, r) y R : d(x, y) r Ανοικτό σύνολο Ανοικτό σύνολο A R n x A, ɛ(x) >) : B(x, ɛ(x)) A Κλειστό σύνολο Κλειστό σύνολο K R n το συμπλήρωμα K C ανοικτό σύνολο Πρόταση Αν τα μέλη της ακολουθίας x k ανήκουν στο κλειστό K και υπάρχει το όριο x = lim x k τότε x K

Φραγμένο σύνολο Φραγμένο σύνολο F R n R > 0 : F B ( 0, R ) Συμπαγές σύνολο Συμπαγές σύνολο C R n C είναι κλειστό και φραγμένο R 0 C συμπαγές και x C για i = 1, 2,..., n θα έχουμε x i < R Αν τα μέλη της ακολουθίας x k ανήκουν στο συμπαγές C υπάρχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία x kl

Απόδειξη: x k = (x ki ) i=1,2,...,n = (x k1, x k2,..., x kn ) η ακολουθία είναι x k1 k N φραγμένη υπάρχει μια υπακολουθία x k1 1 που συγκίνει lim x k 1 1 = y 1 k 1 Η x k1 είναι μια υπακολουθία της x k, και η πρώτες συνιστώσες των x k1 συγκλίνουν. διαλέγουμε μια υπακολουθία x k2 της ακολουθίας x k1 έστσι ώστε οι δεύτερες συνιστώσες της x k2 να συγκλίνουν σε ένα αριθμό y 2. (Οι πρώτες συνιστώσες συγκλίνουν στο y 1 ). Μετά διαλέγουμε μια υπακολουθία x k3 της x k2 που οι τρείς πρώτες συνιστώσες συγκλίνουν. Συνεχίζουμε έτσι και για τις n συνιστώσες οπότε καταλήγουμε σε μια υπακολουθία x kn της οποίας και οι n συνιστώσες συγκλίνουν. Οπότε η υπακολουθία x kn συγκλίνει

Μορφή μιας συνάρτησης Η συνάρτηση f : R n A R είναι της μορφής: πχ αν n = 2 τότε x = (x, y) και u = f(x) f (x 1, x 2,..., x n ) u = f(x) f(x, y) u = sin(xy) x 2 + y 2, u = x x 2 + y 2, x2 u = e y, u = x y u = f(x, y) = xy x 2 + y 2

u = f(x, y) = cos x + cos y