Apeirostikìc Logismìc III

Transcript

1 Apeirostikìc Logismìc III Le nh Euaggelˆtou-Dˆlla Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n 15-16

2

3 Perieqìmena I Diaforikìc Logismìc 1 1 Εισαγωγή Ο R n ως διανυσματικός χώρος Εσωτερικό Γινόμενο στον R n, Ευκλείδεια νόρμα, Μετρική Γωνία δύο διανυσμάτων του R n \ {} Ορθογώνια διανύσματα, Ορθοκανονική βάση στον R n Εξωτερικό γινόμενο στον R 3, Γεωμετρικές Εφαρμογές Δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Ασκήσεις Στοιχεία Τοπολογίας και ακολουθίες στον R n 15.1 Τοπολογία στον R d Ακολουθίες στον R d Συμπαγή σύνολα Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων, Καμπύλες και επιφάνειες στον R n Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων Καμπύλες στον R n Επιφάνειες στον R n Ευθείες και υπερεπίπεδα στον R n Τετραγωνικές επιφάνειες. Κωνικές τομές Συστήματα συντεταγμένων στον R Ορια, Συνέχεια Ορια, Συνέχεια, Ομοιόμορφη συνέχεια Γραμμικές Συναρτήσεις Ασκήσεις Τα βασικά Θεωρήματα των συνεχών συναρτήσεων Ασκήσεις

4 iv Περιεχομενα 5 Διαφορικός Λογισμός 51 II Oloklhrwtikìc Logismìc 97 6 Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Εισαγωγή Μήκος Καμπύλης Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα Αριθμητικής Συνάρτησης (Βαθμωτού πεδίου) Τι υπολογίζουμε με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα πρώτου είδους Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα Διανυσματικού Πεδίου Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα συντηρητικού διανυσματικού πεδίου Ασκήσεις Μήκος καμπύλης Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα βαθμωτού πεδίου Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Διανυσματικού Πεδίου Πολλαπλά Ολοκληρώματα Ορθογώνια στον R d. Ογκος ορθογωνίου Ολοκλήρωμα φραγμένης συνάρτησης σε ένα ορθογώνιο Ολοκλήρωμα φραγμένης συνάρτησης πάνω σε συμπαγές σύνολο Χαρακτηρισμός των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Ασκήσεις Διπλά Ολοκληρώματα Εισαγωγή Το Θεώρημα Fubini Απλά σύνολα στον R (Σύνολα τύπου Ι, ΙΙ) Ασκήσεις Αλλαγή μεταβλητών Η Αλλαγή μεταβλητής στο απλό ολοκλήρωμα - Υπενθύμιση Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα Τι υπολογίζουμε με το διπλό ολοκλήρωμα Ασκήσεις Προετοιμασία για τις ασκήσεις Ασκήσεις Το Θεώρημα Green Εισαγωγή Τα σύνολα στο Θεώρημα Green - Ο θετικός προσανατολισμός του συνόρου Ο θετικός προσανατολισμός του συνόρου Το Θεώρημα Green στο επίπεδο Ασκήσεις

5 Περιεχομενα v Απλές εφαρμογές του Θεωρήματος Green Υπολογισμός Εμβαδού με τη βοήθεια του Θεωρήματος Green Εφαρμογή του Θεωρήματος Green σε αστρόβιλα διανυσματικά πεδία Άλλες μορφές του Θεωρήματος Green Ταυτότητες Green για δύο μεταβλητές Τριπλά ολοκληρώματα Εισαγωγή Το Θεώρημα Fubini Απλά σύνολα στον R 3 -Θεώρημα Fubini για απλά σύνολα Το Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητών Κυλινδρικές συντεταγμένες στον R Ασκήσεις Ι Σφαιρικές συντεταγμένες στον R Ασκήσεις ΙΙ Προετοιμασία για τις ασκήσεις Ασκήσεις Παραρτήματα Παράρτημα Α : Η καρδιοειδής καμπύλη Παράρτημα Β : Ο λημνίσκος Θέματα Εξετάσεων Ιούνιος Βιβλιογραφία 87

6

7 Mèroc I Diaforikìc Logismìc

8

9 Kefˆlaio 1 Eisagwg Το αντικείμενο του Απειροστικού Λογισμού ΙΙΙ είναι η μελέτη συναρτήσεων της μορφής ή γενικότερα συναρτήσεων της μορφής f : R n R m f : A R m όπου A R n και n, m N με n, m 1. Επομένως, το βασικό σύνολο στο οποίο θα δουλέψουμε είναι το R n. Το εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο περιέχει κάποια βασικά στοιχεία για τη δομή του R n. 1.1 O R n wc dianusmatikìc q roc Καταρχάς, για n 1 έχουμε R 1 R. Το σύνολο αυτό έχει οριστεί στο μάθημα του Απειροστικού Λογισμού Ι και είναι πλήρες και ολικά διατεταγμένο σώμα. Για n, το R n έχει ως στοιχεία όλες τις n-άδες πραγματικών αριθμών, δηλαδή R n {(x 1, x,..., x n ) x i R i 1,,..., n}. Τα στοιχεία του R n θα τα λέμε διανύσματα και τα συμβολίζουμε x (x 1, x,..., x n ). Η ι- σότητα μεταξύ δύο διανυσμάτων ορίζεται κατά συντεταγμένη, δηλαδή αν x (x 1, x,..., x n ) και y (y 1, y,..., y n ) ανήκουν στον R n, τότε x y xi y i για κάθε i 1,,..., n. Πράξεις στον R n Στον R n ορίζουμε δύο πράξεις: την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Οι

10 4 Εισαγωγη πράξεις ορίζονται κατά συντεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι αν x, y R n, τότε το άθροισμά τους είναι εξ ορισμού x + y ( x1 + y 1, x + y,..., x n + y n ) R n. Επίσης, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ορίζεται ως ακολούθως. Αν λ R και x R n, τότε λ x ( λx 1, λx,..., λx n ) R n. Το R n με την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό όπως ορίστηκαν προηγουμένως αποκτά τη δομή διανυσματικού χώρου. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το (,,..., ). Αν x R n, τότε το αντίθετο του x είναι το διάνυσμα x ( x 1, x,..., x n ). Διάσταση του R n Στον R n θεωρούμε τα ακόλουθα διανύσματα: e1 (1,,..., ) e1 (, 1,..., ). e n (,,..., 1) Είναι εύκολο να δούμε ότι τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Επιπλέον, παράγουν ολόκληρο τον χώρο. Πράγματι, αν x (x 1, x,..., x n ) R n, τότε το x γράφεται x (x1, x,..., x n ) Συνεπώς, η διάσταση του R n είναι ίση με n. x 1 e1 + x e x n en. Γεωμετρική αναπαράσταση του R n για n 1,, 3. Για n 1, γνωρίζουμε ότι το σύνολο R παριστάνεται γεωμετρικά με τα σημεία μιας ευθείας. Η αντιστοιχία μεταξύ του R και των σημείων της ευθείας είναι 1-1 και επί και γίνεται επιλέγοντας δύο σημεία πάνω στον άξονα, στο ένα αντιστοιχούμε το και στο άλλο το 1. 1 Για n, το R παριστάνεται γεωμετρικά με τα σημεία ενός επιπέδου. Η αντιστοιχία αυτή επιτυγχάνεται σχεδιάζοντας στο επίπεδο ένα σύστημα αξόνων, το οποίο συνήθως

11 1.1 Ο R n ως διανυσματικος χωρος 5 επιλέγουμε ορθοκανονικό (δηλαδή οι άξονες τέμνονται κάθετα και η μονάδα μήκους είναι ίδια και στους δύο άξονες). Στην περίπτωση του R, τα διανύσματα e 1, e τα συμβολίζουμε ως εξής e1 (1, ) i και e (, 1) j. y (x, y ) j (, ) i x Γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης: Το άθροισμα δύο διανυσμάτων x, y μπορεί να βρεθεί με τον κανόνα του παραλληλογράμμου: x y (, ) x + y Γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού:

12 6 Εισαγωγη λ x (λ > ) x λ x (λ < ) Για n 3, ο R 3 παριστάνεται γεωμετρικά με τα σημεία του τρισδιάστατου χώρου. Η αντιστοιχία αυτή επιτυγχάνεται σχεδιάζοντας ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. Στην περίπτωση του R 3, τα διανύσματα e 1, e, e 3 τα συμβολίζουμε ως εξής e1 (1,, ) i e (, 1, ) j e3 (,, 1) k. 1. Eswterikì Ginìmeno ston R n, EukleÐdeia nìrma, Metrik Εστω x (x 1, x,..., x n ) και y (y 1, y,..., y n ) δύο διανύσματα του R n. Το εσωτερικό γινόμενο των x, y συμβολίζεται με x y και ορίζεται ως εξής: x y x1 y 1 + x y x n y n. Για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων χρησιμοποιούνται ακόμη οι συμβολισμοί ( x, y ) ή x, y. Τονίζουμε σε αυτό το σημείο ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι πραγματικός αριθμός (και όχι διάνυσμα). Επομένως έχουμε ορίσει στην ουσία μία απεικόνιση, : R n R n R x, y x 1 y 1 + x y x n y n. Η επόμενη πρόταση περιέχει τις βασικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Πρόταση Για το εσωτερικό γινόμενο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. x x για κάθε διάνυσμα x R n. Επιπλέον, ισχύει ότι x x x.. x y y x για κάθε x, y R n. (μεταθετική ιδιότητα)

13 1. Εσωτερικο Γινομενο στον R n, Ευκλειδεια νορμα, Μετρικη 7 3. x ( y + z ) x y + x z για κάθε x, y, z R n. 4. (λ x ) y λ( x y ) για κάθε x, y R n και κάθε λ R Σχόλιο. Μια οποιαδήποτε συνάρτηση R n R n R που ικανοποιεί τις ιδιότητες της προηγούμενης πρότασης λέμε ότι ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον R n. Ανισότητα Cauchy-Schwarz. Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου είναι η ανισότητα Cauchy-Schwarz, η οποία περιγράφεται στο επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 1... Για κάθε x, y R n ισχύει η ανισότητα x y x x y y. Η ισότητα στην παραπάνω ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα x και y είναι συγγραμικά. Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(λ) (λ x + y ) (λ x + y με λ R. Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου (βλ. προηγούμενη πρόταση), έχουμε ότι g(λ) για κάθε λ R. Από την άλλη, υπολογίζουμε g(λ) (λ x + y ) (λ x + y λ x x + λ x y + λ y x + y y λ ( x x ) + λ( x y ) + y y. Αν x, τότε η ανισότητα Cauchy-Schwarz ισχύει, αφού και τα δύο μέλη είναι ίσα με. Αν x, τότε παρατηρούμε ότι g(λ) είναι ένα τριώνυμο το οποίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του για κάθε τιμή του λ R. Επομένως, η διακρίνουσα του τριωνύμου πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση του. Δηλαδή, έχουμε 4( x y ) 4( x x )( y y ) ( x y ) ( x x )( y y ) x x x x y y. Θα εξετάσουμε τώρα πότε ισχύει το στην ανισότητα Cauchy-Schwarz. Αν x ή y, τότε έχουμε ισότητα, αφού και τα δύο μέλη είναι. Εστω τώρα x, y. Αν ισχύει η ισότητα x y x x y y, τότε η διακρίνουσα του τριωνύμου g(λ) είναι ίση με. Συνεπώς, το τριώνυμο έχει μια (διπλή) πραγματική ρίζα. Δηλαδή, υπάρχει λ R ώστε g(λ ). Τότε έχουμε g(λ ) (λ x + y ) (λ x + y ) λ x + y y ( λ ) x.

14 8 Εισαγωγη Αντίστροφα, αν x, y είναι συγγραμικά, τότε εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η ισότητα στην ανίσωση Cauchy-Schwarz. Τελικά, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα x, y είναι συγγραμικά. Παρατήρηση. Εστω x, y μη μηδενικά διανύσματα. Αν θέσουμε t x y x x y y, τότε από την ανισότητα Cauchy-Schwarz προκύπτει ότι t 1. Αν t 1, τότε τα x, y είναι συγγραμικά. Ειδικότερα, αν t 1, τότε y λ x για κάποιο λ >. Αν t 1, τότε y λ x για κάποιο λ <. Ευκλείδεια Νόρμα Για κάθε διάνυσμα x (x 1, x,..., x n ) R n, θέτουμε x x x x 1 + x x n. Η x ονομάζεται Ευκλείδεια νόρμα του x. Στη βιβλιογραφία συμβολίζεται συχνά με x. Τονίζουμε και εδώ ότι η Ευκλείδεια νόρμα ενός διανύσματος είναι αριθμός, και μάλιστα μη αρνητικός. Συνεπώς, έχουμε ουσιαστικά μια απεικόνιση : R n R x x. Η επόμενη πρόταση μας δίνει τις βασικές ιδιότητες της νόρμας. Πρόταση Για την νόρμα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. x για κάθε x R n. Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία x x.. λ x λ x για κάθε λ R και x R n. (Αναφερόμαστε σε αυτήν την ιδιότητα λέγοντας ότι η είναι θετικά ομογενής). 3. x + y x + y για κάθε x, y R n. (Η ιδιότητα αυτή καλείται τριγωνική ιδιότητα.) Απόδειξη. Οι ιδιότητες 1. και. είναι απλές και αφήνονται ως άσκηση. Θα αποδείξουμε την τρίτη ιδιότητα. Υπενθυμίζουμε ότι από την ανισότητα Cauchy-Schwarz, έχουμε ότι για κάθε x, y R n ισχύει x y x x y y. Με βάση τον ορισμό της Ευκλείδειας νόρμας, η ανισότητα γράφεται x y x y.

15 1. Εσωτερικο Γινομενο στον R n, Ευκλειδεια νορμα, Μετρικη 9 Τώρα, από τον ορισμό της Ευκλείδειας νόρμας, έχουμε x + y ( x + y ) ( x + y ) x x + x y + y x + y y x + ( x y ) + y x + ( x y ) + y ( x + y ). Άρα, έχουμε το ζητούμενο x + y x + y. Απόσταση-Μετρική Αν x, y είναι δύο διανύσματα του R n, τότε ορίζουμε τη μεταξύ τους απόσταση ως εξής d( x, y ) x y. Οι βασικές ιδιότητες της απόστασης στον R n περιγράφονται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. d( x, y ) για κάθε x, y R n. Επιπλέον, d( x, y ) x y.. d( x, y ) d( y, x ) για κάθε x, y R n. 3. d( x, y ) d( x, z ) + d( z, y ) για κάθε x, y, z R n Σχόλιο. Ας συνοψίσουμε την προηγούμενη διαδικασία. Είδαμε ότι ο R n είναι ένας διανυσματικός χώρος, ο οποίος εφοδιάζεται με εσωτερικό γινόμενο, και επομένως έχουμε ένα χώρο με εσωτερικό γινόμενο (R n,,. Χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο, ορίζουμε μια νόρμα στον R n και έτσι έχουμε ένα χώρο με νόρμα (R n,. Τέλος, η νόρμα ορίζει σε αυτόν τον χώρο μια απόσταση (μετρική) και έτσι ο (R n, d) γίνεται μετρικός χώρος. Η διαδικασία που περιγράψαμε είναι όμοια οποτεδήποτε έχουμε έναν διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Σημαντική ιδιότητα. Απομονώνουμε σε αυτό το σημείο μια παρατήρηση, η οποία θα μας είναι ιδιατέρως χρήσιμη σε επόμενα κεφάλαια. Για κάθε διάνυσμα x (x 1, x,..., x n ) R n, η απόλυτη τιμή κάθε συντεταγμένης x i είναι μικρότερη ή ίση της νόρμας του oarx. Δηλαδή, x i x 1 + x x n x για κάθε i 1,,..., n. Γεωμετρική αναπαράσταση της στον R n, n 1,,...

16 1 Εισαγωγη 1.3 GwnÐa dôo dianusmˆtwn tou R n \ {} Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα u, v του R n. Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Τότε τα u, v ορίζουν ένα διανυσματικό υπόχωρο X του R n διάστασης. Ειδικότερα, X span{ u, v } {λ u + µ v λ, µ R}. Γεωμετρικά, ο υπόχωρος X παριστάνεται με ένα επίπεδο Π το οποίο διέρχεται από το σημείο. Ορίζουμε γωνία των διανυσμάτων u, v και τη συμβολίζουμε με ( u, v ) ως εξής ( u, v ) {λ u + µ v λ, µ }. Αν τώρα με κέντρο το και ακτίνα 1 γράψουμε κύκλο στο επίπεδο Π, τότε αυτός ο κύκλος τέμνει την ( u, v ) στο τόξο AB. ˆ Ορίζουμε ως μέτρο της ( u, v ) το μήκος του παραπάνω τόξου. Συνεπώς, το μέτρο της γωνίας είναι ένας αριθμός θ με < θ < π. Αν τώρα τα διανύσματα u, v είναι γραμμικώς εξαρτημένα, τότε υπάρχει λ R n ώστε u λ v. Επίσης, ισχύει ότι λ, αφού τα u, v είναι μη μηδενικά διανύσματα. Εχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις. Περίπτωση 1. Ισχύει u λ v με λ >. Τότε η γωνία των διανυσμάτων u, v έχει μέτρο. Περίπτωση. Ισχύει u λ v με λ <. Τότε η γωνία θ των διανυσμάτων u, v έχει μέτρο π. Το συνημίτονο της γωνίας ( u, v ) που σχηματίζουν δύο μη μηδενικά διανύσματα u, v συνδέεται με το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων αυτών. Η μεταξύ τους σχέση αποκδεικνύεται στην επόμενη πρόταση. Πρόταση Εστω u, v δύο μη μηδενικά διανύσματα του R n (n ) και θ ( u, v ) η γωνία που σχηματίζουν. Τότε ισχύει ότι u v u v cos θ. 1.4 Orjog nia dianôsmata, Orjokanonik bˆsh ston R n Ορισμός Δύο διανύσματα u, v του R n λέγονται κάθετα αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με. Οταν δύο διανύσματα είναι κάθετα, συμβολίζουμε u v. Συνεπώς, έχουμε u v u v. Αν τα διανύσματα u, v είναι μη μηδενικά, τότε χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.3.1, βρίσκουμε ότι u v u v u v cos θ cos θ θ π όπου θ είναι η γωνία των διανυσμάτων u, v.

17 1.5 Εξωτερικο γινομενο στον R 3, Γεωμετρικες Εφαρμογες 11 Ορισμός Μια n-άδα διανυσμάτων { v 1, v,..., v n } λέμε ότι αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του R n αν ισχύουν τα ακόλουθα v i v j για κάθε 1 i, j n με i j v j 1 για κάθε j 1,,..., n. Συνεπώς, τα διανύσματα { v 1, v,..., v n } αποτελούν ορθοκανονική βάση του R n αν και μόνο αν (εξ ορισμού) είναι κάθετα ανά δύο και επιπλέον καθένα από τα διανύσματα έχει μήκος ίσο με 1. Χρησιμοποιώντας το σύμβολο { 1, i j δ ij, i j μπορούμε να γράψουμε εν συντομία ότι { v 1, v,..., v n } είναι ορθοκανονική βάση του R n αν και μόνο αν v i v j δ ij για κάθε 1 i, j n. 1.5 Exwterikì ginìmeno ston R 3, Gewmetrikèc E- farmogèc Θεωρούμε δύο διανύσματα x (x 1, x, x 3 ), y (y 1, y, y 3 ) R n. Το εξωτερικό γινόμενο των x, y είναι ένα διάνυσμα του R 3, το οποίο συμβολίζουμε με x y, και ορίζεται ως εξής i j k x y x 1 x x 3 x x 3 x i 1 x 1 x j + 1 x k y y 3 y 1 y 3 y 1 y y 1 y y 3 ( x y 3 x 3 y, x 1 y 3 + y 1 x 3, x 1 y y 1 x ) R 3. Η παρακάτω πρόταση μας δίνει τις βασικές ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου. Πρόταση Για το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων του R 3 ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. 1. (λ y ) y. y z z y 3. (λ x ) y λ( x y ) 4. x ( y + z ) x y + x z 5. x ( y z ) ( x y ) z 6. x ( y z ) ( x z ) y ( x y ) z

18 1 Εισαγωγη 1.6 Dexiìstrofo sôsthma suntetagmènwn. Εστω { v 1, v,..., v n } γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του R n. Εφόσον η διάσταση του R n είναι ίση με n, τα διανύσματα αυτά αποτελούν μια βάση του R n. Συνεπώς, κάθε x R n γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή x λ1 v1 + λ 1 v λ n vn, όπου λ 1, λ,..., λ n R. Για το λόγο αυτό, τα διανύσματα { v 1, v,..., v n } λέμε ότι αποτελούν ένα σύστημα συντεταγμένων στον R n. Οι συντεταγμένες του x ως προς αυτό το σύστημα είναι ακριβώς οι αριθμοί λ 1, λ,..., λ n. Ορισμός Εστω { v 1, v,..., v n } γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του R n. Λέμε ότι { v 1, v,..., v n } είναι δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων αν ισχύει ότι det{ v 1, v,..., v n } >. Με det{ v 1, v,..., v n } > συμβολίζουμε την ορίζουσα (determinant) των διανυσμάτων { v 1, v,..., v n }. Ειδικότερα, αν οι συντεταγμένες του v i είναι v i (v i1, v i,..., v in ), τότε v 11 v 1... v 1n det{ v 1, v,..., v 1 v... v n v n } v n1 v n... v nn Από τις ιδιότητες των οριζουσών, γνωρίζουμε ότι αν αλλάξουμε θέση σε δύο γραμμές μιας ορίζουσας, τότε η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι όταν λέμε ότι το σύστημα συντεταγμένων { v 1, v,..., v n } είναι δεξιόστροφο, παίζει μεγάλο ρόλο η σειρά με την οποία είναι γραμμένα τα διανύσματα. 1.7 Ask seic Άσκηση Αποδείξτε ότι τα διανύσματα { e 1, e,..., e n } αποτελούν μια ορθοκανονική βάση του R n. Άσκηση 1.7. (Πυθαγόρειο Θεώρημα). Εστω u και v διανύσματα στον R n. Αποδείξτε ότι u v αν και μόνο αν ισχύει u + v u + v. Άσκηση (Νόμος του παραλληλογράμμου). Εστω x, y διανύσματα στον R n. Αποδείξτε ότι ισχύει x + y + x y x + y. Άσκηση Εστω x, y διανύσματα στον R 3. Αποδείξτε ότι το εξωτερικό γινόμενο x y είναι κάθετο στα διανύσματα x και y.

19 1.7 Ασκησεις 13 Άσκηση Αν x, y είναι διανύσματα στον R 3, αποδείξτε ότι x y x y ( x y ). Άσκηση Εστω x, y μη μηδενικά διανύσματα στον R 3. Αποδείξτε ότι x y x y sin θ, όπου θ είναι η γωνία των διανυσμάτων x και y. Συμπεράνατε ότι δύο μη μηδενικά διανύσματα x και y είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν και μόνο αν x y. Άσκηση δεξιόστροφο. (i) Αποδείξτε ότι το σύστημα συντεταγμένων { i, j } του R είναι (ii) Αποδείξτε ότι το σύστημα συντεταγμένων { i, j, k } του R 3 είναι δεξιόστροφο. Άσκηση Εστω u, v γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του R 3. Αποδείξτε ότι το σύστημα συντεταγμένων { u, v, u v } είναι δεξιόστροφο.

20

21 Kefˆlaio StoiqeÐa TopologÐac kai akoloujðec ston R n.1 TopologÐa ston R d Ορισμός.1.1. Εστω a R n και r θετικός πραγματικός αριθμός. Η ανοικτή σφαίρα κέντρου a και ακτίνας r είναι το σύνολο S( a, r) { x R d x a < r}. Η κλειστή σφαίρα κέντρου a και ακτίνας r είναι το σύνολο B( a, r) { x R d x a r}. Γεωμετρική αναπαράσταση των σφαιρών για d 1,, 3. Οταν d 1 είμαστε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Τότε, αν a R και r > έχουμε S(a, r) {x R : x a < r} {x R : a r < x < a + r} (a r, a + r). Δηλαδή, η ανοικτή σφαίρα κέντρου a και ακτίνας r > είναι το ανοικτό διάστημα (a r, a + r). Ομοίως η κλειστή σφαίρα κέντρου a ακτίνας r > είναι το κλειστό διάστημα [a r, a + r]. a-r a a+r ( )

22 16 Στοιχεια Τοπολογιας και ακολουθιες στον R n Για d είμαστε στο R. Αν a (x, y ) R και r >, έχουμε S( a, r) {(x, y) R : (x, y) (x, y ) < r} {(x, y) R : (x x ) + (y y ) < r} {(x, y) R : (x x ) + (y y ) < r }. Συνεπώς, η ανοικτή σφαίρα κέντρου a και ακτίνας r > είναι ο δίσκος κέντρου a (x, y ) και ακτίνας r > χωρίς να περιλαμβάνονται τα σημεία της περιφέρειας. Ομοίως, η κλειστή σφαίρα B( a, r) είναι ο δίσκος μαζί με τα σημεία της περιφέρειας. a Οταν d 3 είμαστε στο R 3. Αν a (x, y, z ) R 3 και r >, έχουμε S( a, r) {(x, y, z) R 3 : (x, y, z) (x, y, z ) < r} {(x, y, z) R : (x x ) + (y y ) + (z z ) < r} {(x, y, z) R : (x x ) + (y y ) + (z z ) < r }. Συνεπώς, η ανοικτή σφαίρα κέντρου a και ακτίνας r > είναι το εσωτερικό της σφαίρας κέντρου a (x, y, z ) και ακτίνας r > χωρίς να περιλαμβάνονται τα σημεία της επιφάνειας. Ομοίως, η κλειστή σφαίρα B( a, r) είναι το εσωτερικό της σφαίρας μαζί με τα σημεία της επιφάνειας. Ορισμός.1.. Εστω A, B, Γ υποσύνολα του R d. 1. Το σύνολο A λέγεται ανοικτό στον R d αν για κάθε a A υπάρχει r >, ώστε η ανοικτή σφαίρα S( a, r) να περιέχεται στο A.. Το σύνολο B λέγεται κλειστό στον R d αν το συμπλήρωμά του R d \ B είναι ανοικτό στον R d. 3. Το σύνολο Γ λέγεται φραγμένο αν υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός M > τέτοιος ώστε x < M για κάθε x Γ. Ισοδύναμα, το Γ είναι φραγμένο αν υπάρχει M > ώστε Γ B(, M).

23 .1 Τοπολογια στον R d 17 Σημείωση. Αν A R d είναι υποσύνολο του R d το οποίο είναι ανοικτό στον R d, τότε δεν συνεπάγεται εν γένει ότι το A είναι ανοικτό όταν το δούμε ως υποσύνολο του R d+1. Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα ανοικτό διάστημα A (α, β) στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Τότε το A είναι ανοικτό υποσύνολο του R. Ομως, το A δεν είναι ανοικτό στον R. Ορισμός.1.3. Εστω A R d. 1. Ενα σημείο a A λέγεται εσωτερικό σημείο του A αν υπάρχει r > ώστε η σφαίρα S( a, r) να περιέχεται στο A. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του A συμβολίζεται με A και καλείται εσωτερικό του συνόλου. Παρατηρούμε ότι A A.. Θεωρούμε ένα διάνυσμα x R d. Το x λέγεται σημείο συσσώρευσης του A αν για κάθε ε > ισχύει ότι (S( x, ε) \ { x }) A. Το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του A το συμβολίζουμε με A. Αν το σημείο a ανήκει στο σύνολο A αλλά δεν είναι σημείο συσσώρευσης του A, δηλαδή a A και a / A, τότε λέμε ότι το a είναι μεμονωμένο σημείο του A. 3. Θεωρούμε ένα διάνυσμα x R d. Το x λέγεται σημείο επαφής του A αν για κάθε ε > ισχύει ότι S( x, ε) A. Το σύνολο των σημείων επαφής του A συμβολίζεται με A. Αποδεικνύεται ότι Ā A A. 4. Το x R d λέγεται συνοριακό σημείο του A αν για κάθε ε > ισχύουν τα παρακάτω S( x, ε) A S( x, ε) (R d \ A). Δηλαδή, για κάθε ε >, η ανοικτή σφαίρα S( x, ε) τέμνει και το σύνολο A και το συμπλήρωμά του. Το σύνολο των συνοριακών σημείων συμβολίζεται με A ή με bda και καλείται σύνορο του A. Αποδεικνύεται ότι A Ā (Rd \ A). Σχετικά με τις έννοιες των ανοικτών και κλειστών συνόλων αναφέρουμε την επόμενη πρόταση (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Πρόταση Η ανοιχτή σφαίρα S( a, r) ( a R d, r > ) είναι ανοιχτό σύνολο.. Αν A R d, ισχύουν οι ακόλουθες ισοδυναμίες: A είναι κλειστό A A A A. 3. Η κλειστή σφαίρα B(( a, r) ( a R d, r ) είναι κλειστό σύνολο. Επιπλέον, ισχύει ότι S( a, r) B( a, r) για κάθε a R d και r >. 4. Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς a i b i για i 1,,..., d. Τότε ορίζουμε το ακόλουθο υποσύνολο του R d : Π [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a d, b d ] R d. Το σύνολο Π λέμε ότι είναι ένα ορθογώνιο στον R d. Το σύνολο αυτό είναι κλειστό.

24 18 Στοιχεια Τοπολογιας και ακολουθιες στον R n. AkoloujÐec ston R d Θεωρούμε μια συνάρτηση f : N R d. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης είναι διανύσματα στο R d και τα συμβολίζουμε f(n) a (n) a n n 1,,... Κάθε τέτοια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το N και τιμές στο R d ονομάζεται ακολουθία στον R d. Στη συνέχεια για τις ακολουθίες δεν ακολουθούμε το συμβολισμό των συναρτήσεων. Λέμε για παράδειγμα, ότι έχουμε την ακολουθία ( a n ) n N στον R d ή γράφουμε ( a n ) n1 ή γράφουμε απλώς ( a n ). Κάθε όρος της ακολουθίας ( a n ) n N είναι ένα διάνυσμα του R d. Επομένως, είναι μια d-άδα πραγματικών αριθμών. Δηλαδή θα έχει τη μορφή a n (a 1 n, a n,..., a d n), όπου a i n R για κάθε i ή εναλλακτικά μπορούμε να συμβολίσουμε τις συντεταγμένες του a n ως εξής a n (a 1n, a n,..., a dn ), όπου a in R για κάθε i. Ας γράψουμε τώρα αναλυτικά τους όρους της ακολουθίας ( a n ): a1 (a 1 1, a 1,..., a d 1) a (a 1, a,..., a d ) a3 (a 1 3, a 3,..., a d 3). a n (a 1 n, a n,..., a d n). Παρατηρούμε τώρα ότι προκύπτουν d ακολουθίες πραγματικών αριθμών, ειδικότερα οι ακολουθίες (a 1 n) n N, (a n) n N,..., (a d n) n N. Η ακολουθία (a i n) n N, i 1,,..., d, ονομάζεται η i-οστή συντεταγμένη ακολουθία της ( a n ) n N. Υπακολουθίες Θεωρούμε μια ακολουθία ( a n ) n N στον R d και μια συνάρτηση φ : R R η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Συμβολίζουμε τις τιμές της συνάρτησης φ ως εξής φ(1) k 1, φ() k... φ(n) k n κοκ. Επειδή η φ είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει ότι k 1 < k <.... Θεωρούμε τώρα τους παρακάτω όρους της ακολουθίας ( a n ): a k1, a k,..., a kn,...

25 . Ακολουθιες στον R d 19 Με αυτήν τη διαδικασία, προκύπτει από την αρχική ακολουθία ( a n ) n N μια νέα ακολουθία, η ( a kn ) n N ( a k1, a k,..., a kn,...). Η νέα ακολουθία ( a kn ) n N λέμε ότι είναι μια υπακολουθία της ( a n ) n N. Σύγκλιση ακολουθιών Θεωρούμε μια ακολουθία ( a n ) n N στον R d και έστω a ένα διάνυσμα του R d. Λέμε ότι η ακολουθία ( a n ) n N συγκλίνει στο a και γράφουμε a n a ή lim n an a αν και μόνο αν η ακολουθία των πραγμτικών αριθμών ( a n a ) n N συγκλίνει στο. Αν θυμηθούμε τον ορισμό της σύγκλισης για ακολουθίες πραγματικών αριθμών, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισοδυναμίες a n a a n a ɛ > n n (ɛ) N ώστε a n a < ɛ για κάθε n n ɛ > n n (ɛ) N ώστε a n S( a, ɛ) για κάθε n n. Η επόμενη πρόταση συνδέει τη σύγκλιση μιας ακολουθίας του R n με τη σύγκλιση των συνταταγμένων ακολουθιών. Πρόταση..1. Εστω ( a n ) n N μια ακολουθία στον R d, με a n (a 1 n, a n,..., a d n) για κάθε n N, και έστω a (b 1, b,..., b n ) ένα διάνυσμα του R d. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα 1. lim n an a. Ισχύει lim n a j n b j για κάθε j 1,,..., d. Απόδειξη. 1.. Παρατηρούμε ότι για κάθε j 1,,..., d ισχύει ότι a j n b j a n a. Από υπόθεση a n a. Άρα, από κριτήριο παρεμβολής, a j n b j. Συνεπώς, lim n a j n b j για κάθε j 1,,..., d.. 1. Παρατηρούμε ότι a n a [ (a 1 n b 1 ) (a d n b d ) ] 1/. Από υπόθεση, γνωρίζουμε ότι a j n b j για κάθε j 1,,..., d. Συνεπώς, [ (a 1 n b 1 ) (a d n b d ) ] 1/, δηλαδή a n a

26 Στοιχεια Τοπολογιας και ακολουθιες στον R n. Σύμφωνα με την παραπάνω Πρόταση, η μελέτη της σύγκλισης μιας ακολουθίας στον R d ανάγεται στη σύγκλιση d το πλήθος ακολουθίών πραγματικών αριθμών. Δίνουμε δύο παραδείγματα. Παραδείγματα. 1. Θεωρούμε την ακολουθία του R 3 : n Εχουμε ότι n 1, ότι. Θεωρούμε την ακολουθία του R : a n ( n n n, n + 1, n log(1 + 1 n )). n n+1 1 και n log(1+ 1 n ) 1 (γιατί ). Επομένως, συμπεραίνουμε a n (1, 1, 1). a n (n, n ). Παρατηρούμε ότι n. Συνεπώς, η ακολουθία ( a n ) n N δεν συγκλίνει. Επιπλέον χρησιμοποιώντας την Πρόταση..1, μπορούμε να αποδείξουμε ότι πολλές από τις ιδιότητες που γνωρίσουμε για ακολουθίες πραγματικών αριθμών ισχύουν και στην περίπτωση των ακολουθιών του R d. Ετσι, ισχύει η επόμενη πρόταση η οποία συνδέει τη σύγκλιση ακολουθιών με τις πράξεις στον R d (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Πρόταση... Εστω ( a n ) n N, ( b n ) n N δύο ακολουθίες του R d και λ R. Υποθέτουμε ότι a n a και n b. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα 1. a n + b n a + b. λ a n λ a. Παρατήρηση. Δεν ορίζεται διαίρεση μεταξύ διανυσμάτων. Ετσι η γνωστή ιδιότητα για το πηλίκο δύο ακολουθιών πραγματικών αριθμών (αν a n a και b n b, τότε an b n a b ) δεν έχει κάποια αντίστοιχη ιδιότητα στον R d (d ). Επιπλέον, ισχύει η επόμενη πρόταση. (Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Χρησιμοποιήστε την Πρόταση..1 και την αντίστοιχη ιδιότητα για ακολουθίες πραγματικών αριθμών.) Πρόταση..3. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στον R d είναι φραγμένη. Θα αποδείξουμε στη συνέχεια το Θεώρημα Bolzano-Weierstrass για ακολουθίες στον R d. Θεώρημα..4. Κάθε φραγμένη ακολουθία του R d έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

27 . Ακολουθιες στον R d 1 Απόδειξη. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στη διάσταση d. Βάση της επαγωγής d 1. Από το λογισμό συναρτήσεων μιας μεταβλητής, γνωρίζουμε ότι κάθε φραγμένη ακολουθία στο R έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Άρα, το θεώρημα ισχύει για d 1. Επαγωγικό Βήμα. Δεχόμαστε ότι ισχύει το αποτέλεσμα για κάποιο d 1, δηλαδή κάθε φραγμένη ακολουθία στον R d έχει συγκλίουσα υπακολουθία. Θα δείξουμε ότι ισχύει το ίδιο και στον R d+1. Εστω, λοιπόν, ( a n ) n μια φραγμένη ακολουθία στον R d+1. Για κάθε n N, γράφουμε ως συνήθως a n (a 1 n, a n,..., a d n, a d+1 n ). Τώρα, για κάθε n N, γράφουμε το a n ως εξής: b kn a n ( b n, a d+1 n ), όπου b n (a 1 n, a n,..., a d n) R d. Η ακολουθία ( b n ) n N που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο είναι μια ακολουθία στον R d η οποία είναι φραγμένη (αφού η ( a n ) n N είναι φραγμένη). Από την επαγωγική υπόθεση, έπεται ότι υπάρχει υπακολουθία b kn ) n N της ( b n ) n N που συγκλίνει σε κάποιο διάνυσμα b R d. Άρα, ( b kn b. Παίρνουμε τώρα την υπακολουθία (a d+1 k n ) n N της (a d+1 n ) n N. Η (a d+1 k n ) n N είναι μια φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Γνωρίζουμε επομένως, ότι υπάρχει μια υπακολουθία (a d+1 k Nn ) n N της (a d+1 k n ) n N η οποία συγκλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό a R. Επειδή b, αν πάρουμε την υπακολουθία ( b knn ) n έχουμε ότι συγκλίνει και αυτήν στο ίδιο όριο. Συνεπώς, b knn b και a d+1 k n a. Θεωρούμε την υπακολουθία ( a knn ) n N. Τότε: a knn ( b knn, a d+1 k Nn ) ( b.a) R d+1. Επομένως, η ( a n ) n N έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Αυτό ολοκληρώνει την επαγωγή και την απόδειξη του θεωρήματος. Τέλος, αναφέρουμε την παρακάτω πρόταση η οποία μας δίνει έναν χρήσιμο χαρακτηρισμό των κλειστών συνόλων και των σημείων συσσώρευσης με ακολουθίες. Πρόταση..5. Εστω A R d. Τότε ισχύουν τα παρακάτω: 1. Το σύνολο A είναι κλειστό αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία ( a n ) n N στο A με a n a R d, έχουμε ότι a A.. Ενα σημείο x R d είναι σημείο συσσώρευσης του A αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία ( a n ) n N στοιχείων του A με a n x για κάθε n N τέτοια ώστε a n x.

28 Στοιχεια Τοπολογιας και ακολουθιες στον R n.3 Sumpag sônola Ορισμός.3.1. Εστω K υποσύνολο του R d. Το K λέγεται συμπαγές αν για κάθε ακολουθία ( a n ) n N του K υπάρχει υπακολουθία ( a kn ) n N και στοιχείο a του K, ώστε a kn a. Παρατήρηση. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ένα σημείο του παραπάνω ορισμού. Για να είναι το σύνολο K συμπαγές δεν αρκεί κάθε ακολουθία του K να έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Πρέπει επιπλέον το όριο της υπακολουθίας να ανήκει στο σύνολο K. Θεώρημα.3.. Ενα σύνολο K R d είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Απόδειξη. ( ) Υποθέτουμε ότι το K είναι συμπαγές και θα δείξουμε ότι είναι κλειστό και φραγμένο. Καταρχάς, για να δείξουμε ότι είναι κλειστό, χρησιμοποιούμε τον χαρακτηρισμό () της Πρότασης..5: αρκεί να πάρουμε μια ακολουθία ( b n ) n N του K η οποία συγκλίνει σε κάποιο διάνυσμα b R d και να δείξουμε ότι b K. Πράγματι, αφού ( b n ) n N είναι ακολουθία στο K και το K είναι συμπαγές, έπεται ότι υπάρχει υπακολουθία ( b kn ) n N της ( b n ) n N και στοιχείο a του K ώστε b kn a. Ομως η ( b kn ) n N είναι υπακολουθία της ( b n ) n N και άρα b kn b. Συνεπώς, b a K. Άρα, το K είναι κλειστό. Θα δείξουμε τώρα ότι το K είναι φραγμένο. Πράγματι, αν το K δεν είναι φραγμένο, τότε για κάθε n N υπάρχει διάνυσμα a n K ώστε a n n. Ομως το K είναι συμπαγές. Άρα, για την ακολουθία ( a n ) n N υπάρχει υπακολουθία ( a kn ) n N η οποία συγκλίνει σε κάποιο διάνυσμα a του K. Ειδικότερα, η ( a kn ) n N είναι φραγμένη (ως συγκλίνουσα). Συνεπώς, υπάρχει M > ώστε a kn M για κάθε n N. Από τα παραπάνω έχουμε ότι: n k n a kn M για κάθεn N. Καταλήξαμε συνεπώς σε άτοπο. Άρα, το K είναι φραγμένο. ( ) Υποθέτουμε ότι το K είναι κλειστό και φραγμένο και θα δείξουμε ότι είναι συμπαγές. Εστω ( a n ) n N ακολουθία στο σύνολο K. Εφόσον το K είναι φραγμένο, έπεται ότι η ( a n ) n N είναι φραγμένη ακολουθία. Από το Θεώρημα Bolzano-Weierstrass, προκύπτει ότι η ( a n ) n N έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Επομένως υπάρχουν υπακολουθία ( a kn ) n N και a R d ώστε a kn a. Εχουμε όμως επιπλέον ότι το K είναι κλειστό σύνολο. Η ( a kn ) n N είναι ακολουθία στο K και συγκλίνει στο διάνυσμα a. Από την Πρόταση..5, έπεται ότι a K. Άρα, κάθε ακολουθία του K έχει υπακολουθία που συγκλίνει μέσα στο K. Συνεπώς, το K είναι συμπαγές.

29 Kefˆlaio 3 Sunart seic metaxô EukleÐdeiwn q rwn, KampÔlec kai epifˆneiec ston R n 3.1 Sunart seic metaxô EukleÐdeiwn q rwn Βασικό αντικείμενο της μελέτης μας είναι οι συναρτήσεις μεταξύ Ευκλειδείων χώρων, δηλαδή συναρτήσεις της μορφής f : R n R m ή γενικότερα της μορφής f : A R m όπου A μη κενό υποσύνολο του R n. Σε αυτήν την ενότητα θα αναφέρουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία για συναρτήσεις και η συστηματική μελέτη τους θα ξεκινήσει στο επόμενο κεφάλαιο. Αν έχουμε μια συνάρτηση f : A R m (A R n μη κενό), τότε κάθε διάνυσμα x του A απεικονίζεται μέσω της f σε ένα διάνυσμα f ( x ) του R m. Εφόσον f ( x ) R m, έχουμε ότι το f ( x ) είναι ένα διάνυσμα με m συντεταγμένες οι οποίες εξαρτώνται από το x και επομένως μπορούμε να γράψουμε f ( x ) (f1 ( x ), f ( x ),..., f m ( x )). Παρατηρούμε ότι ορίζονται με αυτόν τον τρόπο m το πλήθος συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το A και τιμές στο R: f 1,,..., f m : A R. Οπως είναι αναμενόμενο (και θα φανεί στα επόμενα κεφάλαια) οι ιδιότητες της f καθορίζονται από τις ιδιότητες αυτών των συντεταγμένων συναρτήσεων f 1, f,..., f m

30 4 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων, Καμπυλες και επιφανειες στον R n Θα δούμε τώρα κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Για n 1 και m 1. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε μια πραγματική συνάρτηση μίας μεταβλητής f : A R, όπου A R, A. Για n 1 και m. Σε αυτήν την περίπτωση συμβολίζουμε συνήθως τη συνάρτηση με r : A( R) R m και λέμε ότι είναι μια διανυσματική συνάρτηση μιας μεταβλητής (όπως θα δούμε στη συνέχεια, αν είναι συνεχής λέμε ότι είναι μια καμπύλη στον R m ). Η συνάρτηση r αποτελείται από m το πλήθος συντεταγμένες συναρτήσεις r : A( R) R m t r (t) (r 1 (t), r (t),..., r m (t) όπου r 1, r,..., r m : A R. Στην ειδική περίπτωση m συνήθως συμβολίζουμε r (t) (x(t), y(t)), ενώ στην ειδική περίπτωση m 3 συμβολίζουμε r (t) (x(t), y(t), z(t)). Για n και m 1. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε μια συνάρτηση f : A( R n ) R η οποία παίρνει κάθε διάνυσμα x (x 1, x,..., x n ) A και το απεικονίζει σε έναν πραγματικό αριθμό f(x 1, x,..., x n ) R: f : A R (x 1, x,..., x n ) f(x 1, x,..., x n ) R. Η συνάρτηση f σε αυτήν την περίπτωση είναι μια πραγματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Πολλές φορές την ονομάζουμε βαθμωτό πεδίο. Για n, m. Αυτή είναι η πιο γενική περίπτωση. Εδώ έχουμε μια συνάρτηση f : A R m όπου A R n. Η συνάρτηση παίρνει κάθε διάνυσμα x (x 1, x,..., x n ) A και το απεικονίζει σε ένα διάνυσμα f ( x ) R m, όπου f ( x ) (f1 (x 1, x,..., x n ),..., f m (x 1, x,..., x n ). Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται διανυσματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών ή διανυσματικό πεδίο. Ορισμός Εστω A R n και f : A R μια συνάρτηση με τιμές στο R. Το γράφημα της f είναι το ακόλουθο υποσύνολο του R n R: G f {( x, f( x )) : x A} R n R. Για παράδειγμα, αν n 1, τότε έχουμε μια συνάρτηση f : A( R) R. Το γράφημα της συνάρτησης είναι υποσύνολο του R : G f {(x, f(x)) : x A} R R.

31 3.1 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων 5 Επίσης, για n, έχουμε μια συνάρτηση f : A( R ) R (x, y) f(x, y). Το γράφημα της συνάρτησης είναι ένα υποσύνολο του R 3 : G f {(x, y, f(x, y)) : (x, y) A} R R. Ορισμός Εστω f : A( R n ) R πραγματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών και έστω c R. Τότε το σύνολο Σ c { x A : f( x ) c} ονομάζεται σύνολο στάθμης της συνάρτησης f. Παραδείγματα. (1) Για n 1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με f(x) sin x. Αν c R, το σύνολο στάθμης της f είναι Σ c {x R : sin x c}. Παρατηρούμε ότι αν c > 1, τότε Σ c. Αν c 1, τότε Σ c είναι ένα άπειρο αριθμήσιμο σύνολο, που περιεχει τις λύσεις της εξίσωσης sin x c. Για παράδειγμα Σ {x R : sin x } {kπ : k Z}. () Για n. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με f(x, y) x y. Αν c R, το σύνολο στάθμης της f είναι Σ c { (x, y) R : x y c }. Παρατηρούμε ότι το σύνολο στάθμης είναι μια ευθεία στο επίπεδο. (Για παράδειγμα, για c 1, έχουμε την ευθεία y x 1.) (3) Για n. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με f(x, y) x y. Αν c R, το σύνολο στάθμης της f είναι Σ c { (x, y) R : x y c }. Παρατηρούμε ότι για c το σύνολο στάθμης Σ αποτελείται από δύο ευθείες στο επίπεδο Σ {(x, y) R : x y } {(x, y) R : x y ή x y}. Αν c, τότε το σύνολο στάθμης Σ c {(x, y) R : x y c} αποτελείται από τους δύο κλάδους μιας ισοσκελούς υπερβολής. Ειδικότερα, αν c > οι δύο κλάδοι της υπερβολής τέμνουν τον άξονα των x (π.χ. για c 1 έχουμε x y 1), ενώ για c < οι κλάδοι της υπερβολής τέμνουν τον άξονα των y (π.χ. για c 1, έχουμε y x 1). (4) Για n 3. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 3 R με f(x, y, z) x + y + z. Το σύνολο στάθμης της f είναι Σ c {(x, y, z) R 3 : x + y + z c}. Παρατηρούμε ότι αν c <, τότε το αντίστοιχο σύνολο στάθμης Σ c είναι κενό. Αν c, τότε το σύνολο στάθμης είναι ένα μονοσύνολο, Σ {(,, )}. Τέλος, αν c >, τότε το σύνολο στάθμης είναι η επιφάνεια της σφαίρας με κέντρο το σημείο (,, ) και ακτίνα c, Σ c {(x, y, z) : x + y + z c}.

32 6 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων, Καμπυλες και επιφανειες στον R n 3. KampÔlec ston R n Ορισμός Μια παραμετρική καμπύλη στον R n είναι μια συνάρτηση r : I R n t r (t) (r 1 (t), r (t),..., r n (t)) όπου I R είναι διάστημα στο R και οι συντεταγμένες συναρτήσεις r i : I R είναι συνεχείς για i 1,,..., n. Η εικόνα αυτής της συνάρτησης Γ r (I) R n ονομάζεται ίχνος της καμπύλης. Στην ειδική περίπτωση n έχουμε μια καμπύλη στο επίπεδο R και συνήθως συμβολίζουμε r (t) (x(t), y(t)), t I. Σε κάποιες περιπτώσεις, το ίχνος μιας καμπύλη Γ στο επίπεδο μπορεί να είναι το γράφημα μιας συνάρτησης f : I R ή η καμπύλη στάθμης μιας συνάρτησης F : R R. Στην ειδική περίπτωση n 3, έχουμε μια καμπύλη στον R 3, την οποία συνήθως συμβολίζουμε με r (t) (x(t), y(t), z(t)), t I. Σε κάποιες περιπτώσεις, το ίχνος της καμπύλη μπορεί να είναι η τομή δύο επιφανειών (για παράδειγμα ενός επιπέδου με μια σφαίρα). Σημείωση. Υπάρχουν καμπύλες r : [, 1] [, 1] [, 1] οι οποίες είναι επί του [, 1]. Δηλαδή με μια καμπύλη μπορούμε να περάσουμε από όλα τα σημεία του τετραγώνου [, 1]. Ομοίως υπάρχουν καμπύλες r : [, 1] [, 1] 3 που είναι επί του [, 1] 3, δηλαδή με μια καμπύλη περνάμε από όλα τα σημεία του κύβου [, 1] 3. Για n η κατασκευή έγινε από τον Peano ενώ για n 3 η κατασκευή έγινε από τον Hilbert. Το ίχνος μιας καμπύλης μπορεί να περιγράφεται με διάφορους τρόπους. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να βρούμε μια κατάλληλη συνάρτηση r η οποία να δίνει το ζητούμενο ίχνος. Θα δούμε τώρα μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα (1) Θεωρούμε δύο σημεία a και b του R n με a b και παίρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το a και πέρας το b, το οποίο συμβολίζουμε με [ a, b ]. Μια παραμέτρηση αυτής της καμπύλης είναι η εξής: r : [, 1] R n t r (t) a + t( b a ). Το ίχνος της καμπύλης r είναι το ευθύγραμμο τμήμα. Παράδειγμα () Στο επίπεδο δίνεται ο κύκλος Γ{(x, y R : x + y a } με κέντρο το σημείο (, ) και ακτίνα a >. Παρατηρούμε ότι ο κύκλος δεν είναι γράφημα κάποιας συνάρτησης f : I R. Ωστόσο ο κύκλος είναι η καμπύλη στάθμης μιας συνάρτησης F : R R. Πράγματι, αρκεί να πάρουμε F (x, y) x + y. Τότε ο κύκλος Γ είναι το σύνολο στάθμης Γ Σ a.

33 3. Καμπυλες στον R n 7 Για να βρούμε μια παραμέτρηση του κύκλου (δηλαδή για να βρούμε μια συνάρτηση r : I R που να περιγράφει το ζητούμενο ίχνος) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο τη γωνία t που σχηματίζει η ακτίνα του κύκλου με τον θετικό ημιάξονα των x. Τότε παίρνουμε r : [, π] R t r (t) (a cos t, a sin t). Για την παραπάνω καμπύλη r το ίχνος της είναι ακριβώς ο ζητούμενος κύκλος Γ. Άρα, έχουμε μια παραμέτρηση του κύκλου. Επιπλέον, αν πάρουμε στη συνάρτηση r1 : [, π] R t r (t) (a cos t, a sin t) τότε παρατηρούμε ότι η εικόνα της r 1 είναι πάλι ο κύκλος Γ. Ετσι λοιπόν, έχουμε την ακόλουθη παρατήρηση. Παρατήρηση. Αν μας δίνεται το ίχνος μιας καμπύλης Γ, τότε μπορούμε συνήθως να το παραμετρικοποιήσουμε με πολλούς τρόπους. Παράδειγμα (3) Δίνεται στο xy-επίπεδο το ημικύκλιο Γ {(x, y) : x + y a και y }. Παρατηρούμε, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ότι το ημικύκλιο είναι το σύνολο στάθμης μιας συνάρτησης F. Πράγματι, αρκεί να πάρουμε F : {(x, y) : y } R } με F (x, y) x + y. Τότε το σύνολο στάθμης Σ a της F είναι το ημικύκλιο Γ. Σε αυτήν όμως την περίπτωση έχουμε ότι το ημικύκλιο Γ είναι και γράφημα μιας συνάρτησης. Αρκεί να πάρουμε την f : [ a, a] R με f(x) a x. Τότε το γράφημα G f της f είναι ακριβώς το ημικύκλιο Γ. Για να πάρουμε μια παραμέτρηση του ημικυκλίου Γ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την καμπύλη r του προηγούμενου παραδείγματος, την οποία τώρα θα περιορίσουμε στο διάστημα [, π]: r : [, π] R t r (t) (a cos t, a sin t). Το ίχνος της καμπύλης r είναι το ημικύκλιο Γ. Ωστόσο σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να βρούμε και μια ακόμη παραμέτρηση του Γ ως εξής: r1 : [ a, a] R q r 1 (x) (x, a x ). Το ίχνος της καμπύλης r 1 είναι ακριβώς το ημικύκλιο Γ. Παρατηρούμε και πάλι ότι το ίχνος Γ μπορεί να παραμετρικοποιηθεί με πολλούς τρόπους.

34 8 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων, Καμπυλες και επιφανειες στον R n Παράδειγμα (4) Γενικότερα, αν έχουμε μια συνεχή συνάρτηση f : I R όπου I R διάστημα, τότε το γράφημα της συνάρτησης G f {(x, f(x)) : x I} μπορεί να παραμετρικοποιηθεί ως εξής: r : I R q r (x) (x, f(x)). Το ίχνος της καμπύλης r είναι το γράφημα της f. Παράδειγμα (5) Στο xy-επίπεδο δίνεται η έλλειψη Γ {(x, y) R x : a + y + b 1}, όπου a > και b >. Η έλλειψη Γ δεν είναι γράφημα κάποιας συνάρτησης f : I R. Ωστόσο είναι το σύνολο στάθμης μιας συνάρτησης F. Πράγματι, αρκεί να πάρουμε F : R R με F (x, y) x a + y + b. Τότε έχουμε ότι Γ Σ 1. Μια παραμέτρηση της έλλειψης Γ είναι η εξής: r : [, π] R t r (t) (a cos t, b sin t). Παράδειγμα (6) Σε αυτό το παράδειγμα έχουμε μια καμπύλη στον R 3, συνεπώς η παραμέτρηση θα έχει τη μορφή r (t) (x(t), y(t), z(t)). Θεωρούμε, λοιπόν, στον R 3 την σφαίρα {(x, y, z) R 3 : x + y + z a } με κέντρο (,, ) και ακτίνα a > και παίρνουμε την τομή της με το επίπεδο z b ( < b < a). Η τομή είναι ένας κύκλος στον R 3 με κέντρο το σημείο (,, b) και ακτίνα a b. (Για να βρείτε την ακτίνα, πάρτε ένα σημείο B του παραπάνω κύκλου, για παράδειγμα το σημείο που έχει x, z b, και παρατηρείστε ότι τα σημεία O(,, ), A(,, b) και B σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.) Μια παραμέτρηση αυτού του κύκλου είναι η ακόλουθη r : [, π] R 3 t r (t) ( a b cos t, a b sin t, b). Το ίχνος της καμπύλης r είναι ο ζητούμενος κύκλος. 3.3 Epifˆneiec ston R n Ορισμός Μια -διάστατη παραμετρική επιφάνεια στον R n είναι μια συνάρτηση r : I J R n r (u, v) (r1 (u, v), r (u, v),..., r n (u, v)) όπου I, J R είναι διαστήματα στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και οι συντεταγμένες συναρτήσεις r k : I J R είναι συνεχείς για κάθε k 1,,..., n.

35 3.3 Επιφανειες στον R n 9 Λόγω εποπτείας θα ασχοληθούμε κυρίως με επιφάνειες στον R 3. Σε αυτήν την περίπτωση η επιφάνεια μπορεί να είναι το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f : R R ή το σύνολο στάθμης μιας συνάρτησης F : R 3 R. Δίνουμε στη συνέχεια μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα (1) Θεωρούμε το άνω ημισφαίριο S {(x, y, z) R 3 : x + y + z a, z }, όπου a >. Το άνω ημισφαίριο είναι το γράφημα μιας συνάρτησης f : D R, όπου D είναι ο δίσκος D {(x, y) R : x + y a } στο R και f(x, y) a (x + y ). Προκειμένου να βρούμε μια παραμέτρηση αυτής της επιφάνειας, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι είναι γράφημα συνάρτησης. Ετσι έχουμε την ακόλουθη παραμέτρηση r : D R 3 r (x, y) (x, y, a (x + y ). (Παρατηρήστε ότι στην παραπάνω παραμέτρηση το πεδίο ορισμού είναι ο δίσκος D και όχι το γινόμενο δύο διαστημάτων. Γενικά, ο ορισμός είναι ελαστικός σε αυτό το σημείο. Χωρίς να μπούμε σε λεπτομέρειες, θα αναφέρουμε μόνο ότι το πεδίο ορισμού της παραμέτρησης r μπορεί να είναι ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο ή η κλειστή θήκη ενός ανοικτού και συνεκτικού συνόλου.) Μια δεύτερη παραμέτρηση του ημισφαιρίου είναι η ακόλουθη: r : [, π] [, a] R 3 r (θ, z) ( a z cos θ, a z sin θ, z). Η εικόνα της παραπάνω απεικόνισης r είναι ακριβώς το ημικύκλιο S. Τέλος, να παρατηρήσουμε ότι το ημικύκλιο S είναι και το σύνολο στάθμης μιας συνάρτησης. Συγκεκριμένα, αν πάρουμε F : {(x, y, z) : z } R με F (x, y, z) x +y +z, τότε S Σ a. Παράδειγμα () Θεωρούμε τη συνάρτηση F (x, y, z) x + y όπου (x, y, z) R R [, b]. Για κάποιο a >, παίρνουμε το σύνολο στάθμης της F Σ a {(x, y, z) R R [, b] : F (x, y, z) a }. Το σύνολο στάθμης Σ a είναι ένας κύλινδρος, του οποίου η μία βάση βρίσκεται στο xyεπίπεδο, η άλλη βάση στο επίπεδο z b και η ακτίνα βάσης είναι ίση με a. Μια παραμέτρηση του παραπάνω κυλίνδρου είναι η: r : [, π] [, b] R r (θ, z) (a cos θ, a sin θ, z).

36 3 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων, Καμπυλες και επιφανειες στον R n Σημείωση: Γενικά, ας θεωρήσουμε μια επιφάνεια S η οποία είναι το σύνολο στάθμης μιας συνάρτησης F : R 3 R τέτοια ώστε F (x, y, z) g(x, y) (δηλαδή οι τιμές της F είναι συνάρτηση μόνο των x και y, όπως η συνάρτηση F του προηγούμενου παραδείγματος), ή μιας συνάρτησης F (x, y, z) h(y, z) ή F (x, y, z) φ(x, z) ή ακόμη και μιας συνάρτησης που οι τιμές της καθορίζονται από μια μόνο μεταβλητή, δηλαδή F (x, y, z) g 1 (x) ή F (x, y, z) g (y) ή F (x, y, z) g 3 (z). Τότε, η επιφάνεια S καλείται κυλινδρική. 3.4 EujeÐec kai uperepðpeda ston R n Ευθείες στον R n Θεωρούμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα b του R n. Το διάνυσμα b παράγει έναν υπόχωρο X του R n διάστασης 1: X {t b : t R}. Αυτόν τον διανυσματικό υπόχωρο τον ονομάζουμε ευθεία που περνά από το και b. Παίρνουμε τώρα και ένα διάνυσμα a του R n και σχηματίζουμε το εξής σύνολο: H a + X { a + t b : t R}. Το σύνολο H καλείται η ευθεία που περιέχει το a και είναι παράλληλη στο διάνυσμα b. Το H δεν είναι υπόχωρος του R n. Παρόλα αυτά ορίζουμε διάσταση του H: dimh : dimx 1. Παράδειγμα. Θα δούμε την περίπτωση n. Παίρνουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα b (b1, b ) του R. Αφού b, έχουμε ότι τουλάχιστον ένα από τα b 1, b είναι διάφορο του μηδενός. Εστω b 1. Παίρνουμε και ένα διάνυσμα a (x, y ). Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, η ευθεία που περιέχει το a και είναι παράλληλη στο b είναι το σύνολο το οποίο γράφεται και ως εξής { a + t b : t R} {(x + tb 1, y o + tb ) : t R}.

37 3.4 Ευθειες και υπερεπιπεδα στον R n 31 Αν (x, y) είναι τυχαίο σημείο του παραπάνω συνόλου, υπάρχει t R ώστε να ισχύει { } x x + tb 1 y y + tb Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς t βρίσκουμε t x x b 1. Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου (x, y) της ευθείας συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη σχέση: y y + x x b 1 b Η τελευταία σχέση μετά από πράξεις γράφεται y y b b 1 (x x ) που είναι η γνωστή εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο που περνά από το σημείο (x, y ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα b (b 1, b ) (άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης b b 1 ). Υπερεπίπεδα στον R n (n ) Στην προηγούμενη παράγραφο, θεωρήσαμε τους υπόχωρους του R n διάστασης 1 και με τη βοήθεια αυτών ορίσαμε τις ευθείες στον R n. Τώρα θα πάρουμε το άλλο άκρο, δηλαδή θα δούμε τι συμβαίνει με τους υπόχωρους διάστασης n 1. Θεωρούμε, λοιπόν, b 1, b,..., b n 1 γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του R n και παίρνουμε τον υπόχωρο που παράγουν, δηλαδή: X {t 1 b1 + t b t n 1 bn 1 : t 1, t,..., t n 1 R}. Ο X είναι υπόχωρος του R n διάστασης n 1 και καλείτα υπερεπίπεδο που περνά από τα, b 1, b,..., b n 1. Παίρνουμε τώρα και ένα διάνυσμα a του R n και θεωρούμε τη μεταφορά του υπερεπιπέδου X κατά το διάνυσμα a, δηλαδή έχουμε το σύνολο Y a + X { a + t 1 b1 + t b t n 1 bn 1 : t 1, t,..., t n 1 R}. Το Y είναι το υπερεπίπεδο που περνά από το a και είναι παράλληλο στα διανύσματα b1, b,..., b n 1. Τέλος, ορίζουμε Θα δούμε τώρα μερικά παραδείγματα. dimy X n 1. Παράδειγμα (1) Στην ειδική περίπτωση n, έχουμε ότι ένα υπερεπίπεδο του R προέρχεται από μεταφορά ενός υποχώρου διάστασης n 1 1. Συνεπώς, τα υπερεπίπεδα του R συμπίπτουν με τις ευθείες του επιπέδου.

38 3 Συναρτησεις μεταξυ Ευκλειδειων χωρων, Καμπυλες και επιφανειες στον R n Παράδειγμα () Θεωρούμε δύο διανύσματα b (b 1, b, b 3 ) και γ γ 1, γ, γ 3 ) του R 3 τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Παίρνουμε και ένα ακόμη διάνυσμα a (x, y, z ) του R 3. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το υπερεπίπδεο που περνά από το a και είναι παράλληλο στα διανύσματα b, γ είναι το το οποίο γράφεται και ως εξής Y { a + λ b + µ γ : λ, µ R} Y {(x + λb 1 + µγ 1, y + λb + µγ + z + λb 3 + µγ 3 }. Αν (x, y, z) είναι τυχαίο σημείο του υπερεπιπέδου, τότε υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί λ, µ τέτοιοι ώστε x x + λb 1 + µγ 1 y y + λb + µγ z z + λb 3 + µγ 3 Ξέρουμε ότι τα διανύσματα b, γ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Αυτό συνεπάγεται ότι μία τουλάχιστον από τις ακόλουθες ορίζουσες είναι μη μηδενική: b 1 γ 1 b γ, b γ b 3 γ 3, b 1 γ 1 b 3 γ 3 b Εστω ότι 1 γ 1, τότε στο παραπάνω σύστημα μπορούμε τις δύο πρώτες εξισώσεις b γ να τις λύσουμε ως προς λ και µ. Για παράδειγμα έχουμε όπου λ D λ D µ D µ D D b 1 γ 1 b γ D λ x x γ 1 y y γ D µ b 1 x x b z z. Αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση και κάνοντας πράξεις καταλήγουμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου (x, y, z) του υπερεπιπέδου ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής όπου A, B είναι πραγματικοί αριθμοί. z z A(x x ) + B(y y ) Εξίσωση υπερεπιπέδου συναρτήσει κάθετου διανύσματος Εστω X ένας υπόχωρος του R n διάστασης n 1, δηλαδή ένα υπερεπίπεδο που περνά από το oar. Από τη γραμμική άλγεβρα, γνωρίζουμε ότι αν πάρουμε ένα διάνυσμα oarv του R n που δεν ανήκει στον υπόχωρο X, τότε ο R n είναι το ευθύ άθροισμα R n X v.

39 3.4 Ευθειες και υπερεπιπεδα στον R n 33 Επιπλέον, το διάνυσμα oarv μπορούμε να το επιλέξουμε κάθετο στον υπόχωρο Q. Τότε ισχύει ότι X { x R N : x v }. Συνεπώς, αν πάρουμε ένα διάνυσμα oara R n, τότε για το υπερεπίπεδο Y a + X ισχύουν τα ακόλουθα Y a + X { a + x : x X} { a + x : x v } (θέτουμε a + x y ) { y R n : ( y a ) v } { y R n : y v a v } (θέτουμε a v c R) { y R n : y v c} Καταλήξαμε λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι τα σημεία y (y 1, y,..., y n ) του υπερεπιπέδου Y, που περνά από το a και είναι κάθετο στο v, είναι τα σημεία του R n που ικανοποιούν την εξίσωση y 1 v 1 + y v y n v n c, όπου c a 1 v 1 + a v a n v n. Από τα παραπάνω, παρατηρούμε επιπλέον ότι ένα υπερεπίπεδο Y είναι το σύνολο στάθμης μιας μη μηδενικής γραμμικής συνάρτησης. Πράγματι, αν πάρουμε F : R n R n με F (y 1, y,..., y n ) y 1 v 1 + y v y n v n y v, τότε η F είναι γραμμική, F δεν είναι ταυτοτικά μηδέν (αφού v ) και ισχύει ότι Σ c { y : y v c} Y. Θα δούμε τώρα κάποιες ειδικές περιπτώσεις. Η περίπτωση n. Οπως είπαμε προηγουμένως, τα υπερεπίπεδα του R συμπίπτουν με τις ευθείες του R. Θεωρούμε τώρα ένα διάνυσμα a (x, y ) του R και ένα διάνυσμα v (a, b) (, ). Σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξίσωση της ευθείας που περνά από το a και είναι κάθετη στο v είναι y v a v θέτουμε y (x, y) (x, y) (a, b) c όπου c a v ax + by. ax + by c, Η περίπτωση n 3. Εστω a (x, y, z ) R 3 και v (α, β, γ). Το υπερεπίπεδο Y που περνά από το a και είναι κάθετο στο διάνυσμα v έχει εξίσωση y v a v θέτουμε y (x, y, z) (x, y, z) (α, β, γ) c όπου c a v αx + βy + γz. αx + βy + γz c,