H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου Ηεπίδραση των ριπών δεδοµένων Όταν οι αφίξεις γίνονται κανονικά ή γίνονται σε απόσταση η µία από την άλλη, τότε δεν υπάρχει καθυστέρηση Arrival s 1 2 3 4 1 2 3 4 Departure s Κανονική κίνηση Arrival s 1 2 3 4 1 2 3 4 Departure s Ακανόνιστη κίνηση αλλά διακριτές αφίξεις
Ηεπίδραση των ριπών δεδοµένων Παρατηρείστε ότι οι αναχωρήσεις δεν είναι σε ριπές 1 2 3 4 1 2 3 4 Bursty Traffic Queuing Delays Η µεταβλητότητα του µεγέθους των πακέτων προκαλεί παρεµβολή Κανονικές αφίξεις, ακανόνιστο µέγεθος πακέτων Queuing Delays οχρόνος που πρέπει να περιµένει στην ουρά
Η υψηλή χρήση εντείνει την παρεµβολή Queuing Delays Καθώς ο ρυθµός αφίξεων : (ρυθµός αφίξεων * µήκος πακέτου) αυξάνεται, η πιθανότητα για παρεµβολή αυξάνεται Μποτιλιάρισµα (bottleneck) Είδη συµφόρησης Στα σηµεία πρόσβασης (έλεγχος ροής (flow control), προτεραιότητες (prioritization), επιβολή QoS) Στον πυρήνα του δικτύου Μεµονωµένα (αναλύονται ξεχωριστά) Αλληλοεξαρτώµενα (ανάλυση δικτύων) Η συµφόρηση προκύπτει από υπερφόρτωση του δικτύου η οποία προκαλείται από: Συνεδρίες µε µεγάλη κίνηση, ή Σύγκληση µεγάλου αριθµού συνεδριών µε µέσο φόρτο στην ίδια ουρά
Bottleneck Traffic shaping Οι αναχωρήσεις από το σηµείο συµφόρησης είναι πιο κανονικές από τις αφίξεις Ο χρόνος µεταξύ διαδοχικών αναχωρήσεων είναι τουλάχιστον τόσο µεγάλος όσο ο χρόνος εκποµπής του δεύτερου πακέτου ίκτυα Ουρών
ύο ουρές σε σειρά Ηπρώτη ουρά µορφοποιεί την κίνηση προς τη δεύτερη Οι χρόνοι άφιξης και τα µήκη των πακέτων είναι συσχετισµένα Η εφαρµογή των σχέσεων για M/M/1 και M/G/1 οδηγούν σε σηµαντικά σφάλµατα στη δεύτερη ουρά First Queue Second Queue ύο ουρές σε σειρά Έστω δύο ουρές σε σειρά: Οι αναχωρήσεις από την πρώτη ουρά γίνονται αφίξεις στη δεύτερη. Η διαδικασία αφίξεων στην πρώτη ουρά είναι Poisson µε ρυθµό λ και χρόνο εξυπηρέτησης µε ρυθµό µ 0 Η κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης στη δεύτερη ουρά είναι εκθετική µε ρυθµό µ 1 η οποία είναι ανεξάρτητη από το χρόνο εξυπηρέτησης της πρώτης ουράς Και οι δύο χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητοι από το ρυθµό αφίξεων
Burke s Theorem Burke s Theorem: Έστω ένα σύστηµα ουράς M/M/1, M/M/m, ή M/M/infinity σε σταθερή κατάσταση µε ρυθµό αφίξεων λ, τότε: Η διαδικασία αναχωρήσεων είναι επίσης Poisson µε ρυθµό λ Σε κάθε χρονική στιγµή t, ο αριθµός των πελατών στο σύστηµα N(t) είναι ανεξάρτητος από την ακολουθία των χρόνων αναχώρησης πριν τον t. Έτσι ο Ν 0 είναι ανεξάρτητος από το Ν 1 Αποτελέσµατα του θεωρήµατος του Burke Άµεση συνέπεια του θεωρήµατος είναι ότι η κατανοµή αφίξεων στη δεύτερη ουρά είναι Poisson µε µέση τιµή λ Οι αφίξεις στη δεύτερη ουρά πριν από τη χρονική στιγµή t είναι οι αναχωρήσεις από την πρώτη ουρά πριν τη στιγµή t. Έτσι, οι αναχωρήσεις από την πρώτη ουρά είναι ανεξάρτητες από τον αριθµό πελατών Ν 0 (t) στην πρώτη ουρά. Ο αριθµός των πελατών στη δεύτερη ουρά, N 1 (t), προσδιορίζεται από την ακολουθία αφίξεων από την πρώτη ουρά πριν από τη χρονική στιγµή t και είναι ανεξάρτητος από τους χρόνους εξυπηρέτησης. Οι Ν 0 (t) και N 1 (t) είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές. Σηµείωση: οι N 0 (t) και N 1 (t) δεν είναι ανεξάρτητες διαδικασίες!
Εργοδική πιθανότητα Η εργοδική πιθανότητα (joint distribution mass function) (αν υπάρχει) έχει µορφή γινοµένου και δίνεται από την: ή την όπου: ( =, = ) = ( 1 ) n ( 1 ) P N n N m ρ ρ ρ ρ m 0 1 0 0 1 1 ( =, = ) = ( = ) ( = ) P N n N m P N n P N m 0 1 0 1 ρ = λ µ, λ < µ i i i i Παράδειγµα Έστω το δίκτυο ουρών: µ 2 λ 1 µ 1 1/2 1/2 λ 2 Η ουρά 1 οδηγείται από µια κατανοµή Poisson µε ρυθµό λ 1,, και οι αναχωρήσεις κατανέµονται τυχαία στις δύο ουρές 2 και 3. Συµπληρωµατικά η ουρά 3 έχει µια ακόµη είσοδο που ακολουθεί ανεξάρτητη κατανοµή Poisson µε ρυθµό λ 2. µ 3
Παράδειγµα Το θεώρηµα του Burke λέει: N 1 (t) και N 2 (t) είναι ανεξάρτητοι N 1 (t) και N 3 (t) είναι ανεξάρτητοι Ανακαλέστε (!) ότι το «σπάσιµο» µια κατανοµής Poisson µε τυχαίο τρόπο δηµιουργεί δύο ανεξάρτητες κατανοµές Poisson Έτσι οι είσοδοι στις Ουρές 2 και 3 είναι ανεξάρτητες Η είσοδος στην Ουρά 2 είναι Poisson µε ρυθµό λ 1 /2 Η είσοδος στην Ουρά 3 είναι Poisson µε ρυθµό λ 1 /2 + λ 2 Έτσι, k m P( N ) ( ) ( ) ( ) n 1(t) = k, N2(t) = m, N3(t) = n = 1 ρ1 ρ1 1 ρ2 ρ2 1 ρ3 ρ3 όπου ρ 1 =λ 1 /µ 1, ρ 2 =λ 1 /2µ 2, ρ 3 =(λ 1 /2 +λ 2 )/µ 3. Όλες οι ουρές θεωρούνται σταθερές. Άσκηση Το παρακάτω σχήµα (δίκτυο ουρών αναµονής) παριστά ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο. Μια ροή κίνησης εισέρχεται στον κόµβο 1 και διασπάται τυχαία µε πιθανότητα 1/3 προς τον κόµβο 2 και µε πιθανότητα 2/3 προς τον κόµβο 3. Βρείτε τις εργοδικές κατανοµές πιθανοτήτων του αριθµού πακέτων σε κάθε ουρά αναµονής. Βρείτε το µέσο αριθµό πακέτων σε κάθε ουρά και το µέσο χρόνο συστήµατος που ακολουθούν τα πακέτα στις διαδροµές (υποροές) 1-2-4 και 1-3-4. Κάθε σύνδεση µεταξύ διαδοχικών ουρών αναµονής µπορεί να θεωρηθεί ως µια ουρά Μ/Μ/1. Ισχύει: λ < µ, = 1,2,3,4 i i i