(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως: n n ( f ( x) ) nf ( x) f ( x) f ( ) ( x) ln f x f ( x) έχουμε ότι: ( ) ( ln ) y ln x ln x y ln x ( x) ln ( x) x xln (β) Με τον κανόνα του γινομένου βρίσκουμε: ( x) ( ) + ( ) ( + ) y x e x e + x e xe x e x x e x x x x x x (γ) Με τον κανόνα του γινομένου, τον κανόνα λογαριθμικής παραγώγισης και τον f ( x) κανόνα παραγώγισης ρίζας συναρτήσεως ( f ( x) ) βρίσκουμε: f x x x x x + x x x + x y x x x x x x x x x( x ) (δ) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και πηλίκου συναρτήσεων έχουμε ότι: y ( x ) ( x + ) ( ) ( + ) ( x + ) ( x ) ( x + )( x ) x + x + x + y x x x x x x x x x x x + x x y ΙΙ. x ( x ) x + ( ) (α) Βρίσκουμε πρώτα πότε μηδενίζεται η παράγωγος (Κανόνας Πρώτης Παραγώγου), χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκου:

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: ( + ) ( + ) x + x x x x x y x + x + x + x + x ή x Υπολογίζουμε ομοίως την δεύτερη παράγωγο (Κανόνας Δεύτερης Παραγώγου): y ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) + + + + x + ( x ) + + ( x ) ( ) ( x + ) ( x ) x x x x x x x x + + + + + + x x Έχουμε ότι: y >, άρα έχουμε τοπικό ελάχιστο για x 6 y <, άρα έχουμε τοπικό μέγιστο για x 6 (β) Βρίσκουμε πρώτα πότε μηδενίζεται η παράγωγος (Κανόνας Πρώτης Παραγώγου), χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισης ρίζας συναρτήσεως: x y x x x x x x x Υπολογίζουμε ομοίως την δεύτερη παράγωγο (Κανόνας Δεύτερης Παραγώγου), χρησιμοποιώντας και τον κανόνα του πηλίκου: ( x ) x ( x )( x) x y x ( x) x + x x ( x) ( x) ( x) Τώρα έχουμε ότι:

y ΙΙΙ. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: <, άρα έχουμε τοπικό μέγιστο για x (α) Υπολογίζουμε πρώτα το αόριστο ολοκλήρωμα: ( x 6x) x x x 6 xx x x οπότε το ορισμένο ολοκλήρωμα γίνεται: 7 ( x 6x) x x x x x x x x x x (β) Κάνοντας απλοποιήσεις υπολογίζουμε πρώτα το αόριστο ολοκλήρωμα: x + x x x x x x x x x x + x + x x x x + x + x + x οπότε το ορισμένο ολοκλήρωμα γίνεται: 9 9 x + x x x x x x x x x x x x x x 9 x + + + + + + 9 8 + 9 + + ( ) + + + 8 9 9 9 9 9 9 Άσκηση I. (α) Κάθε επιχείρηση έχει συνολικά έξοδα TC( ) VC( ) + FC + + επομένως το οριακό κόστος της είναι MC( ) TC ( ) +. Από τα δεδομένα της εκφώνησης βλέπουμε ότι πρόκειται για τέλειο ανταγωνισμό (πολλές επιχειρήσεις πανομοιότυπες μεταξύ τους όπου δεν μπορεί κάποια από αυτές να καθορίσει μόνη της την τιμή κι επίσης πολλοί καταναλωτές όπου ο καθένας αντιμετωπίζει μία τιμή στην αγορά), άρα κάθε επιχείρηση πουλάει σε τιμή ίση με το οριακό κόστος της, δηλ. ισχύει: p p MC( ) p + που είναι και η συνάρτηση προσφοράς για κάθε επιχείρηση ξεχωριστά. Βλέπουμε ότι κάθε επιχείρηση παράγει μόνο όταν η τιμή στην αγορά είναι μεγαλύτερη του. (β) Αν αθροίσουμε τις συναρτήσεις προσφοράς για όλες τις επιχειρήσεις θα πάρουμε την συνάρτηση προσφοράς του κλάδου, δηλ.:

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: p Qs s p Όμοια αν αθροίσουμε τη ζήτηση των καταναλωτών θα λάβουμε την συνολική συνάρτηση ζήτησης για αυτό το προϊόν: Q.8.p 8 p (γ) Εξισώνοντας την συνολική προσφορά με την συνολική ζήτηση βρίσκουμε: Q Qs 8 p p 6 p 78 p άρα και η συνολική ποσότητα ισορροπίας είναι Q 8 p 8 Q (δ) Η προσφορά προϊόντος από κάθε επιχείρηση θα είναι επομένως τα έσοδα κάθε επιχείρησης είναι ΤRp()(), τα έξοδά της κάθε επιχείρησης είναιtc( ) + + + () +, άρα κάθε επιχείρηση δουλεύει με κέρδος (ζημία) ίση με Π - - 7. Η επιχείρηση δεν κλείνει διότι η τιμή p είναι μεγαλύτερη από το μέσο λειτουργικό κόστος AVC(). II. (α) T T Y (.Y +.8Y + ) ( L ) L Y L Y L (.Y +.8)().Y +.8 T.( L ) +.8 L (β) Ο Κανόνας Πρώτης παραγώγου δίνει, λόγω και του (α), το εξής: T 8.( L ) +.8.( L ) 8 ( L ) L. ( L ) L L +. 89 Ελέγχουμε αν ικανοποιείται ο Κανόνας Δεύτερης Παραγώγου: T (.( L ) +.8). (( L ) ).( L ) < L L L άρα πράγματι έχουμε μέγιστα φορολογικά έσοδα όταν κάθε πολίτης εργάζεται L.89 ώρες. Άσκηση (α) (i)στον τέλειο ανταγωνισμό η τιμή είναι ίση με το οριακό κόστος MC, ενώ στο ίδιο σημείο βρίσκεται και το ελάχιστο μέσο κόστος AC, επομένως θα έχουμε:

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: TC + AC AC + MC TC ( ) 6 + AC MC + + 6,απορρίπτεται ( ), δεκτή (ii) Τότε η τιμή είναι ίση με το ελάχιστο μέσο κόστος, το οποίο είναι: AC () () + ( ) 6 άρα η τιμή είναι P 6. (iii) Από την συνολική ζήτηση του προϊόντος βρίσκουμε: P 7.Q 6 7.Q Q (iv) Αν διαιρέσουμε την συνολική παραγωγή με την παραγωγή κάθε επιχείρησης θα βρούμε τον αριθμό των επιχειρήσεων του κλάδου: Q n (β) (i) Σε αυτήν την περίπτωση το συνολικό κόστος κάθε επιχείρησης επιβαρύνεται με χρηματικές μονάδες, άρα το μέσο κόστος γίνεται: TC + + + TC + AC + Eξισώνοντας το οριακό με το μέσο κόστος βρίσκουμε το σημείο (P,) στο οποίο εργάζεται κάθε επιχείρηση: MC TC ( ) + 6 AC MC + + 6,απορρίπτεται ( ),δεκτή (ii) Όμως τώρα είναι: AC () () + ( ) 6άρα η τιμή αυξάνεται και γίνεται P 6. (iii) Από την συνολική ζήτηση του προϊόντος βρίσκουμε: P 7.Q 6 7.Q Q 7 (iv) Αν διαιρέσουμε την συνολική παραγωγή με την παραγωγή κάθε επιχείρησης θα βρούμε τον αριθμό των επιχειρήσεων του κλάδου: Q 7 n 9 (γ) (i) Σε αυτήν την περίπτωση κάθε επιχείρηση ξεχωριστά λειτουργεί με το ίδιο ολικό κόστος, αλλά ο μονοπωλητής αθροίζει τα κόστη για να υπολογίσει το δικό του συνολικό κόστος C TC. Επίσης δεν αλλάζει η συνολική ζήτηση του αγαθού χ, άρα αντιμετωπίζει την ίδια συνάρτηση ζήτησης της αγοράς.

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Το συνολικό και το οριακό κόστος του μονοπωλητή είναι, δεδομένου ότι ισχύει Q/, είναι ως ακολούθως: C TC + Q Q Q CQ + 6 C( Q) Q Q + Q MC ( Q) Q+ Q Το συνολικό και το οριακό έσοδο του μονοπωλητή είναι: TR( Q) P( Q) Q TR( Q) 7Q.Q PQ 7.Q MR( Q) 7.Q Ο μονοπωλητής εξισώνει τώρα το οριακό κόστος με το οριακό έσοδο για να βρει την παραγόμενη ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη του: MC( Q) MR( Q) Q+ Q 7 Q Q Q + 6 a, b, c 6 Δ b ac Οι δύο ρίζες του τριωνύμου είναι: 7 Q + 877.7 7 Q 9.6 Υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης κέρδους, δηλ. την παράγωγο της συνάρτησης MR(Q)-MR(Q) και βρίσκουμε: Π( Q) Q Q κι αν αντικαταστήσουμε τις δύο ρίζες βρίσκουμε: Π( Q ) > Q Π( Q ) < δηλ. πράγματι έχουμε μέγιστο όταν Q877.7 Q Τότε όμως δεν χρειάζονται επιχειρήσεις, γιατί με παραγωγή από κάθε επιχείρηση όπως είδαμε στο (α) ερώτημα (δεδομένου ότι δεν αλλάζει κάτι πέραν του ιδιοκτησιακού των επιχειρήσεων) χρειάζονται n 877.7 / 9.9 ή 96 μόνον επιχειρήσεις, άρα θα κλείσει τις από τις υπάρχουσες. 6

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: (ii) Είδαμε ότι η συνολική παραγωγή γίνεται Q877.7, δηλ. μικρότερη από αυτή του τέλειου ανταγωνισμού (Q), κι επίσης από την συνάρτηση ζήτησης βρίσκουμε την τιμή P 7. (877.7) 66., η οποία είναι μεγαλύτερη από αυτήν του τέλειου ανταγωνισμού (P6). Άσκηση (α) Από την εκφώνηση έχουμε πως για μεταβολή στην τιμή Δp (-) συνεπάγεται μεταβολή στην ποσότητα Δ (+), δηλ: Δp ( ) p p p p( ) + C Δ Όμως για έχουμε p, επομένως: p() + C + C C άρα η συνάρτηση ζήτησης είναι: p( ) (β) Τα συνολικά έσοδα της επιχείρησης είναι: TR( ) p TR( ) + TR( ) + TR( ) + Με τον κανόνα πρώτης παραγώγου βρίσκουμε: TR( ) + 7 Ελέγχουμε με τον κανόνα δεύτερης παραγώγου αν έχουμε μέγιστο: TR ( ) + < δηλ. πράγματι έχουμε μέγιστο όταν 7. Βρίσκουμε την τιμή που αντιστοιχεί στο μέγιστο έσοδο: p (7) 7 7 Δηλ. χρειάζεται μία μεταβολή τιμής (έκπτωση) Δ p 7 7. (γ) Τα κέρδη της επιχείρησης είναι: Π ( ) TR( ) TC( ) TR( ) + Π ( ) + 68 TC ( ) 68 + Ο κανόνας πρώτης παραγώγου δίνει: 7

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Π + 68 + Ο κανόνας δεύτερης παραγώγου δίνει: Π ( ) + < δηλ. πράγματι έχουμε μέγιστο όταν. Τότε η τιμή θα είναι: p () Δηλ. χρειάζεται μία μεταβολή τιμής (έκπτωση) Δ p για να επιτύχει τα μέγιστα κέρδη. Άσκηση (α) Έχουμε ότι: 6 TC ( ) MC ( ) TC ( ) 6 + 6 TC( ) 6 + K TC( ) 6 6 + K + + TC 6 6ln + + K Επομένως θα έχουμε: TC 6 6ln ( + ) + K TC ( ) 6( ) 6ln ( + ) + K TC 8 6ln ( + ) + K TC ( ) 6ln ( + ) + K TC ( ) TC 6 6ln ( ) + 6ln Δ TC 8.79χ.μ. (β) Με τον κανόνα του πηλίκου βρίσκουμε αρχικά ότι: ( ) ( )( p p p+ p p+ ) p p + ( p+ ) ( p+ ) Συνεπώς η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή θα είναι: p ( p p p+ ) p ε p p ( p ) + p p+ p p+ p + Βρίσκουμε τώρα πότε είναι ίση με : 8

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: p ε p ( p )( p+ ) ( p )( p+ ) p p+ p p + p Η διακρίνουσα είναι Δ-(-)9 κι έτσι οι δύο ρίζες είναι: b± b ac ± ± < απορρίπτεται p, a > δεκτή δηλ. p. Άσκηση 6 Ι. Υπολογίζουμε τους συντελεστές ανισοκατανομής για τις δύο χώρες: ψ A ( x LA( x) ) x x x x x.666 αφού το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: x x x x x x x xx x x x x x x x 8 6 κι έτσι το ορισμένο γίνεται: x x x x x x x 8 6 x x x x x x x 8 6 8 6 x x 8 6 ψ B ( x LB( x) ) x x x x αφού το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: x x x x x xx x x x x γίνεται: x x x x x x x x x x κι έτσι το ορισμένο x x Επομένως στην χώρα Α έχουμε μεγαλύτερη ανισότητα στην κατανομή του εισοδήματος.. 9

ΙΙ. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: (α) Εξισώνουμε τη ζήτηση με την προσφορά και έχουμε: p p p p p p p + p 99 Η διακρίνουσα είναι Δ - (-99) κι έτσι οι δύο ρίζες είναι: b± b ac ± ± < απορρίπτεται p, a 9 > δεκτή δηλ. p 9 επομένως η ποσότητα ισορροπίας θα είναι: p 9 p+ 8 (9 ) 9(9) + 8 (β) Καταρχήν βρίσκουμε την καμπύλη προσφοράς. p 6 p+ p 6 p+ Δ ( 6) ()( ) 8 b ± b ac ( 6) ± 8 6 ± p, a απορρίπτεται, έχει αρνητική κλίση + > δεκτή, έχει θετική κλίση Άρα η καμπύλη προσφοράς είναι: p +, Ομοίως βρίσκουμε την καμπύλη ζήτησης. p 9 p+ 8 p 9 p+ 8 Δ ( 9) ()(8 ) b ± b ac ( 9) ± 9 ± p, a () 9 + απορρίπτεται, έχει θετική κλίση 9 > δεκτή, έχει αρνητική κλίση Άρα η καμπύλη ζήτησης είναι: p 9, 8, όπως εύκολα βρίσκουμε Το πλεόνασμα του παραγωγού είναι λοιπόν τώρα: s 9 + 8 6 + + 8

http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: ΠΠ p s ( p) + 8. Για το ίδιο διάστημα τιμών της ποσότητας παραγωγής θα υπολογίσουμε και το πλεόνασμα του καταναλωτή: ΠK ( p) p 9 9 9 8 666.66