τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής x Εφόσον και το x και το f(x) παίρνουν µόνο πραγµατικές τιµές ονοµάζουµε τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή» Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε τη συνάρτηση ορίζουσα η οποία είναι µία «πραγµατική συνάρτηση µε µεταβλητή έναν πίνακα» µε την έννοια ότι αντιστοιχίζει έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε έναν πίνακα X Η συνάρτηση αυτή έχει σηµαντικές εφαρµογές στη ϑεωρία των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και ϑα µας οδηγήσει σε έναν τύπο για τον αντίστροφο ενός αντιστρέψιµου πίνακα Πριν ορίσουµε τη συνάρτηση ορίζουσα είναι αναγκαίο να µιλήσουµε για κάποια απο- ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ τελέσµατα που αφορούν τις µεταθέσεις Ορισµός Μία µετάθεση των ακεραίων {,,, n} είναι µία παράθεση των ακε- ϱαίων αυτών µε κάποια σειρά χωρίς να παραλείψουµε ή να επαναλάβουµε κάποιον Παράδειγµα Υπάρχουν έξη διαφορετικές µεταθέσεις του συνόλου ακεραίων {,, 3} Είναι οι εξής (,, 3) (,, 3) (3,, ) (, 3, ) (, 3, ) (3,, ) Μία ϐολική µέθοδος για τη συστηµατική εύρεση όλων των µεταθέσεων ενός συνόλου είναι να χρησιµοποιήσουµε ένα δέντρο µεταθέσεων Στο επόµενο παράδειγµα ϑα δούµε πώς δουλεύει η µέθοδος αυτή 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Παράδειγµα Να ϐρεθούν όλες οι µεταθέσεις του {,, 3, 4} Λύση Ας δούµε το Σχήµα Οι τέσσερις τελείες µε τα ονόµατα,, 3, 4 στο πάνω µέρος του σχήµατος αντιπροσωπεύουν τις δυνατές επιλογές για τον πρώτο αριθµό της µετάθεσης Οι τρεις κλάδοι που ξεκινάνε από αυτές τις τελείες αντιπροσωπεύουν τις δυνατές επιλογές για τη δεύτερη ϑέση της µετάθεσης Ετσι αν η µετάθεση ξεκινάει µε (,,, ) οι τρεις δυνατότητες για τη δεύτερη ϑέση είναι, 3 και 4 Οι δύο κλάδοι που ξεκινάνε από κάθε τελεία στη δεύτερη ϑέση αντιπροσωπεύουν τις δυνατές επιλογές για την τρίτη ϑέση Ετσι αν η µετάθεση ξεκινάει µε (, 3,, ) οι δύο δυνατές επιλογές για την τρίτη ϑέση είναι και 4 Τέλος ο ένας κλάδος που ξεκινάει από κάθε τελεία στην τρίτη ϑέση αντιπροσωπεύει τη µόνη δυνατή επιλογή για την τέταρτη ϑέση Ετσι αν η µετάθεση ξεκινάει µε (, 3, 4, ) η µόνη επιλογή για την τέταρτη ϑέση είναι Για να πάρουµε όλες τις δυνατές µεταθέσεις πρέπει να ακολουθήσουµε όλα τα δυνατά µονοπάτια του «δέντρου» από την πρώτη ϑέση µέχρι την τελευταία ϑέση Με αυτό τον τρόπο παίρνουµε τον ακόλουθο κατάλογο µεταθέσεων (,, 3, 4) (,, 3, 4) (3,,, 4) (4,,, 3) (,, 4, 3) (,, 4, 3) (3,, 4, ) (4,, 3, ) (, 3,, 4) (, 3,, 4) (3,,, 4) (4,,, 3) (, 3, 4, ) (, 3, 4, ) (3,, 4, ) (4,, 3, ) (, 4,, 3) (, 4,, 3) (3, 4,, ) (4, 3,, ) (, 4, 3, ) (, 4, 3, ) (3, 4,, ) (4, 3,, ) Σχήµα Από το παράδειγµα ϐλεπουµε ότι υπάρχουν 4 µεταθέσεις του {,, 3, 4} Αυτό ϑα µπορούσαµε να το ϐρούµε χωρίς να ϐρούµε όλες τις µεταθέσεις επιχειρηµατολογώντας όπως παρακάτω : Εφόσον η πρώτη ϑέση µπορεί να καλυφθεί µε τέσσερις διαφορετικούς τρόπους και κατόπιν η δεύτερη ϑέση µε τρεις διαφορετικούς τρόπους, υπάρχουν 4 3 διαφορετικοί τρόποι να καλυφθούν οι δύο πρώτες ϑέσεις Η τρίτη ϑέση τώρα µπορεί να καλυφθεί µε δύο τρόπους και άρα υπάρχουν 4 3 διαφορετικοί τρόποι να καλυφθούν οι τρείς πρώτες ϑέσεις Τέλος υπάρχει ένας µόνο τρόπος να καλυφθεί η τελευταία ϑέση και άρα υπάρχουν 4 3 4 διαφορετικοί τρόποι να καλυφθούν και οι τέσσερις ϑέσεις Γενικά το σύνολο {,,, n} ϑα έχει n(n )(n ) n! διαφορετικές µεταθέσεις Θα συµβολίζουµε µία µετάθεση του συνόλου {,,, n} µε (j, j,, j n ) όπου j είναι ο πρώτος ακέραιος της µετάθεσης, j ο δεύτερος και τα λοιπά Θα λέµε ότι

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 5 µία αντιστροφή εµφανίζεται στη µετάθεση αν ένας µεγαλύτερος ακέραιος ϐρίσκεται πριν από ένα µικρότερο Μπορούµε να ϐρούµε το συνολικό αριθµό των αντιστροφών που εµφανίζονται σε µία µετάθεση ως εξής : () ϐρίσκουµε το πλήθος των ακεραίων που είναι µικρότεροι από τον j και είναι µετά από τον j στη µετάθεση, () ϐρίσκουµε το πλήθος των ακεραίων που είναι µικρότεροι από τον j και είναι µετά από τον j στη µετάθεση, συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία για τους j 3,, j n Το άθροισµα των αριθµών αυτών είναι το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση Παράδειγµα 3 Να ϐρεθεί το πλήθος των αντιστροφών στις παρακάτω µεταθέσεις : (α) (6,, 3, 4, 5, ) (ϐ) (, 4,, 3) (γ) (,, 3, 4) Λύση (α) Το πλήθος των αντιστροφών είναι 5 + 0 + + + 8 (ϐ) Το πλήθος των αντιστροφών είναι + + 0 3 (γ) εν υπάρχουν αντιστροφές σε αυτή τη µετάθεση Ορισµός Μία µετάθεση λέγεται άρτια αν το πλήθος των αντιστροφών είναι ένας άρτιος ακέραιος και λέγεται περιττή αν το πλήθος των αντιστροφών είναι ένας περιττός ακέραιος Παράδειγµα 4 Στον παρακάτω πίνακα κατατάσσουµε τις µεταθέσεις του {,, 3} σε άρτιες και περιττές Πλήθος Μετάθεση Αντιστροφών Κατάταξη (,, 3) 0 άρτια (, 3, ) περιττή (,, 3) περιττή (, 3, ) άρτια (3,, ) άρτια (3,, ) 3 περιττή Ας ϑεωρήσουµε τον n n πίνακα A a a a n a a a n ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ a n a n a nn Θα ονοµάζουµε στοιχειώδες γινόµενο του A οποιοδήποτε γινόµενο n στοιχείων του A τα οποία δε ϐρίσκονται ανά δύο στην ίδια γραµµή ή στην ίδια στήλη

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Παράδειγµα 5 Να γραφτούν όλα τα στοιχειώδη γινόµενα των πινάκων [ ] a a a a a 3 (α) (ϐ) a a a a a 3 a 3 a 3 a 33 Λύση (α) Εφόσον κάθε στοιχειώδες γινόµενο έχει δύο παράγοντες και κάθε παράγοντας προέρχεται από διαφορετική γραµµή, ένα στοιχειώδες γινόµενο µπορεί να γραφτεί στη µορφή a a όπου τα κενά αντιπροσωπεύουν τον αριθµό της στήλης Εφόσον δύο παράγοντες του γινοµένου δε µπορούν να προέρχονται από την ίδια στήλη, οι αριθµοί των στηλών πρέπει να είναι είτε είτε Ετσι τα µόνα στοιχειώδη γινόµενα είναι τα a a και a a Λύση (ϐ) Εφόσον κάθε στοιχειώδες γινόµενο έχει τρεις παράγοντες και κάθε πα- ϱάγοντας προέρχεται από διαφορετική γραµµή, ένα στοιχειώδες γινόµενο µπορεί να γραφτεί στη µορφή a a a 3 Εφόσον δύο παράγοντες του γινοµένου δε µπορούν να προέρχονται από την ίδια στήλη, οι αριθµοί των στηλων δε µπορούν να επαναλαµβάνονται και άρα σχηµατίζουν µία µετάθεση του {,, 3} Αυτές οι 3! 6 µεταθέσεις µας δίνουν τον παρακάτω κατάλογο από στοιχειώδη γινόµενα a a a 33 a a a 33 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 3 Οπως ϐλέπουµε από αυτό το παράδειγµα, ένας n n πίνακας A έχει n! στοιχειώδη γινόµενα Είναι όλα τα γινόµενα της µορφής a j a j a njn όπου η (j, j,, j n ) είναι µία µετάθεση του συνόλου {,,, n} Θα ονοµάζουµε προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο του A ένα στοιχειώδες γινόµενο a j a j a njn πολλαπλασιασµένο µε + ή Θα πολλαπλασιάζουµε µε + αν η (j, j,, j n ) είναι άρτια µετάθεση και µε αν η (j, j,, j n ) είναι περιττή µετάθεση Παράδειγµα 6 Να γραφτούν όλα τα προσηµασµένα στοιχειώδη γινόµενα των πινάκων [ ] a a a a a 3 (α) (ϐ) a a a a a 3 a 3 a 3 a 33

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 7 (α) Προσηµασµένο Στοιχειώδες Αντίστοιχη Αρτια ή Στοιχειώδες Γινόµενο Μετάθεση Περιττή Γινόµενο a a (,) άρτια a a a a (,) περιττή a a (ϐ) Προσηµασµένο Στοιχειώδες Αντίστοιχη Αρτια ή Στοιχειώδες Γινόµενο Μετάθεση Περιττή Γινόµενο a a a 33 (,,3) άρτια a a a 33 a a 3 a 3 (,3,) περιττή a a 3 a 3 a a a 33 (,,3) περιττή a a a 33 a a 3 a 3 (,3,) άρτια a a 3 a 3 a 3 a a 3 (3,,) άρτια a 3 a a 3 a 3 a a 3 (3,,) περιττή a 3 a a 3 Είµαστε τώρα σε ϑέση να ορίσουµε τη συνάρτηση ορίζουσα Ορισµός Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας Η συνάρτηση ορίζουσα συµβολίζεται µε det και ορίζουµε την det(a) να είναι το άθροισµα όλων των προσηµασµένων στοιχειωδών γινοµένων από τον A Ο αριθµός det(a) ονοµάζεται ορίζουσα του A Παράδειγµα 7 Από το Παράδειγµα 6 παίρνουµε (α) (ϐ) [ ] a a det a a a a a a det a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ 3 3 ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 Ειναι χρήσιµο να ϑυµάται κανείς τους δύο τύπους του προηγούµενου παραδείγ- µατος Για να αποφύγετε την αποµνηµόνευση των τύπων µπορείτε να χρησιµοποιείτε τους κανόνες που περιγράφονται στο Σχήµα Μπορούµε να πάρουµε τον τύπο για την ορίζουσα ενός πίνακα από το Σχήµα α πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία στο ϐέλος µε κατεύθυνση προς τα δεξιά και αφαιρώντας από το γινόµενο αυτό το γινόµενο των στοιχείων στο ϐέλος µε κατεύθυνση προς τα αριστερά Για έναν 3 3 πίνακα ξεκινάµε ξαναγράφοντας την πρώτη και τη δεύτερη στήλη του πίνακα δεξιά από τον πίνακα, όπως ϕαίνεται στο Σχήµα β Για να υπολογίσουµε την ορίζουσα προσθέτου- µε τα γινόµενα των στοιχείων στα ϐέλη µε κατεύθυνση προς τα δεξιά και αφαιρούµε από το άθροισµα αυτό τα γινόµενα των στοιχείων τα οποία ϐρίσκονται στα ϐέλη µε κατεύθυνση προς τα αριστερά

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ [ a a a a ] a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a a a 3 a 3 Σχήµα (α) (ϐ) Παράδειγµα 8 Να υπολογιστούν οι ορίζουσες των [ ] 3 A και B 3 4 5 6 4 7 8 9 Λύση Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του Σχήµατος α παίρνουµε det(a) (3)( ) ()(4) 0 Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο του Σχήµατος β παίρνουµε det(b) (45) + (84) + (96) (05) ( 48) (7) 40 3 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8 Προειδοποίηση Πρέπει να τονίσουµε ότι οι µέθοδοι που περιγράψαµε στο Σχήµα δε δουλεύουν για ορίζουσες 4 4 πινάκων ή µεγαλύτερων Ο υπολογισµός οριζουσών απευθείας από τον ορισµό οδηγεί σε υπολογιστικά προ- ϐλήµατα Για να υπολογίσουµε µία 4 4 ορίζουσα πρέπει να υπολογίσουµε 4! 4 προσηµασµένα στοιχειώδη γινόµενα και για να υπολογίσουµε µία 0 0 ορίζουσα πρέπει να υπολογίσουµε 0! 368800 προσηµασµένα στοιχειώδη γινόµενα Ακό- µα και ο πιο γρήγορος υπολογιστής δε µπορεί να υπολογίσει µε αυτή τη µέθοδο µία 5 5 ορίζουσα σχετικά γρήγορα Για το λόγο αυτό ϑα αφιερώσουµε µεγάλο κοµµάτι από το υπόλοιπο του κεφαλαίου αυτού στη µελέτη ιδιοτήτων των οριζουσών οι οποίες µας επιτρέπουν να υπολογίσουµε ορίζουσες µε απλούστερους τρόπους Τελειώνουµε αυτή την ενότητα µε ορισµένα σχόλια που αφορούν την ορολογία και το συµβολισµό που χρησιµοποιούµε όταν µιλάµε για ορίζουσες Πρώτα απ όλα πρέπει να σηµειώσουµε ότι ένας εναλλακτικός συµβολισµός για την det(a) είναι A Για παράδειγµα η ορίζουσα ενός 3 3 πίνακα µπορεί να γραφτεί a a a 3 a a a 3 det a a a 3 ή a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 9 Με το δεύτερο συµβολισµό η ορίζουσα του πίνακα A στο Παράδειγµα 8 ϑα γραφόταν 3 4 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οπως είπαµε η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένας αριθµός Παρόλα αυτά κάποιες ϕορές ϑα χρησιµοποιούµε τον όρο ορίζουσα για τον πίνακα του οποίου την ορίζουσα υπολογίζουµε Ετσι ϑα αναφερόµαστε στην 3 4 λέγοντας ότι είναι µία ορίζουσα και ϑα λέµε ότι το 3 είναι το στοιχείο στην πρώτη γραµµή και την πρώτη στήλη της ορίζουσας Τέλος σηµειώνουµε ότι συχνά γράφουµε συµβολικά την ορίζουσα του A ως εξής : det(a) ±a j a j a njn όπου το δηλώνει ότι παίρνουµε το άθροισµα πάνω σε όλες τις µεταθέσεις (j, j,, j n ) και το + ή το επιλέγονται σε κάθε όρο ανάλογα µε το αν η µετάθεση είναι άρτια ή περιττή Ο συµβολισµός αυτός είναι χρήσιµος όταν ϑέλουµε να δώσουµε έµφαση στον ορισµό της ορίζουσας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Να ϐρεθεί το πλήθος των αντιστροφών σε κάθε µία από τις παρακάτω µεταθέσεις του {,, 3, 4, 5} (α) (4,, 3, 5, ) (ϐ) (5, 3, 4,, ) (γ) (3,, 5, 4, ) (δ) (5, 4, 3,, ) (ε) (,, 3, 4, 5) (στ) (, 4,, 3, 5) Κατατάξτε τις µεταθέσεις της Άσκησης σε άρτιες και περιττές Στις Ασκήσεις 3- υπολογίστε τις ορίζουσες 3 3 5 4 4 4 8 5 5 6 7 6 6 7 4 3 a 3 5 3 a 7 6 4 3 0 0 8 5 9 3 5 7 0 3 0 5 5 3 8 4 6 7 9 4 c 4 3 c 4 c 3 Να ϐρεθούν όλες οι τιµές του λ για τις οποίες det(a) 0 [ ] λ 4 0 0 λ (α) A (ϐ) A 0 λ 5 λ + 4 0 3 λ 4 Κατατάξτε όλες τις µεταθέσεις του {,, 3, 4} σε άρτιες και περιττές

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 Χρησιµοποιήστε το αποτέλεσµα της Άσκησης 4 για να ϐρείτε έναν τύπο για την ορίζουσα ενός 4 4 πίνακα 6 Χρησιµοποιήστε τον τύπο που ϐρήκατε στην Άσκηση 5 για να υπολογίσετε την 4 9 9 5 6 4 5 3 0 7 Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της ορίζουσας για να υπολογίσετε τις 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 (α) 0 0 0 0 (ϐ) 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 8 Λύστε για το x την x 3 x 0 3 x 6 3 x 5 9 Αποδείξτε ότι η τιµή της ορίζουσας sin θ cos θ 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ sin θ + cos θ δεν εξαρτάται από το θ 0 Αποδείξτε ότι αν ένας τετραγωνικός πίνακας A έχει µία στήλη που αποτελείται από µηδενικά, τότε det(a) 0 Υπολογισµός Οριζουσών µε Αναγωγή Γραµµών Σε αυτή την ενότητα ϑα δείξουµε ότι η ορίζουσα ενός πίνακα µπορεί να υπολογιστεί µε αναγωγή του πίνακα στην κλιµακωτή µορφή του Η µέθοδος αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική γιατί µας επιτρέπει να αποφύγουµε τους πολλούς υπολογισµούς που εµφανίζονται αν υπολογίσουµε την ορίζουσα χρησιµοποιώντας τον ορισµό Θα ξεκινήσουµε µε δύο κατηγορίες πινάκων οι ορίζουσες των οποίων υπολογίζονται εύκολα ανεξάρτητα από τις διαστάσεις του πίνακα Θεώρηµα Αν ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας ο οποίος περιέχει µία γραµµή από µηδενικά, τότε det(a) 0

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΩΝ Απόδειξη Εφόσον κάθε προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο του A περιέχει έναν πα- ϱάγοντα από κάθε γραµµή, κάθε προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο περιέχει έναν παράγοντα από τη γραµµή µε τα µηδενικά και εποµένως είναι µηδέν Εφόσον η det(a) είναι το άθροισµα όλων των προσηµασµένων στοιχειωδών γινοµένων, παίρνου- µε ότι det(a) 0 Ενας τετραγωνικός πίνακας ονοµάζεται άνω τριγωνικός αν όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι µηδέν Οµοια ένας τετραγωνικός πίνακας ονοµάζεται κάτω τριγωνικός αν όλα τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι µηδέν Ενας ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ πίνακας ο οποίος είναι είτε άνω είτε κάτω τριγωνικός ϑα ονοµάζεται τριγωνικός Παράδειγµα Η γενική µορφή ενός 4 4 άνω τριγωνικού πίνακα είναι a a a 3 a 4 0 a a 3 a 4 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44 Η γενική µορφή ενός 4 4 κάτω τριγωνικού πίνακα είναι a 0 0 0 a a 0 0 a 3 a 3 a 33 0 a 4 a 4 a 43 a 44 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ενας διαγώνιος πίνακας έχει µηδενικά και κάτω και πάνω από την κύρια διαγώνιο και άρα είναι και άνω και κάτω τριγωνικός Παράδειγµα Να υπολογιστεί η det(a) αν a 0 0 0 a a 0 0 a 3 a 3 a 33 0 a 4 a 4 a 43 a 44 Λύση Το µοναδικό στοιχειώδες γινόµενο που µπορεί να είναι µη µηδενικό είναι το a a a 33 a 44 Για να δούµε ότι είναι πράγµατι έτσι ας πάρουµε ένα τυχαίο στοιχειώδες γινόµενο a j a j a 3j3 a 4j4 Εφόσον a a 3 a 4 0, πρέπει να έχουµε a j a για να έχουµε ένα µη µηδενικό στοιχειώδες γινόµενο Αφού j πρέπει j, εφόσον δύο παράγοντες δε µπορούν να προέρχονται από την ίδια στήλη Εχουµε ότι a 3 a 4 0 Άρα για να είναι το στοιχειώδες γινόµενο µη µηδενικό πρέπει j Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο παίρνουµε ότι j 3 3 και j 4 4 Εφόσον το

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ a a a 33 a 44 πολλαπλασιάζεται µε + για να πάρουµε το προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο, παίρνουµε ότι det(a) a a a 33 a 44 Ενα επιχείρηµα παρόµοιο µε το προηγούµενο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ο- ποιονδήποτε τριγωνικό πίνακα για να πάρουµε το παρακάτω γενικό αποτέλεσµα Θεώρηµα Αν ο A είναι ένας n n τριγωνικός πίνακας (άνω τριγωνικός, κάτω τριγωνικός ή διαγώνιος), τότε η det(a) είναι ίση µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, δηλαδή det(a) a a a nn Παράδειγµα 3 7 3 8 3 0 3 7 5 0 0 6 7 6 0 0 0 9 8 0 0 0 0 4 ()( 3)(6)(9)(4) 96 Στο επόµενο ϑεώρηµα ϐλέπουµε µε ποιον τρόπο επηρεάζει η εφαρµογή µίας στοι- ΑΠΟΤΕΛΕ- ΣΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΙΑ ΙΚΑΣΙΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ χειώδους διαδικασίας γραµµών σε έναν πίνακα την τιµή της ορίζουσάς του Θεώρηµα 3 Εστω ότι ο A είναι ένας n n πίνακας (α) Αν ο A είναι ο πίνακας που προκύπτει αν µία γραµµή του A πολλαπλασιαστεί µε µία σταθερά k, τότε det(a ) k det(a) (ϐ) Αν ο A είναι ο πίνακας που προκύπτει αν εναλλάξουµε δύο γραµµές του A, τότε det(a ) det(a) (γ) Αν ο A είναι ο πίνακας που προκύπτει αν ένα πολλαπλάσιο µίας γραµµής του A προστεθεί σε µία άλλη γραµµή, τότε det(a ) det(a) Παραλείπουµε τη γενική απόδειξη (ϐλέπε Άσκηση 5) Παράδειγµα 4 Θεωρούµε τους πίνακες 3 4 8 A 0 4 A 0 4 A 3 3 3 A 0 4 3 Αν υπολογίσουµε τις ορίζουσες αυτών των πινάκων µε τη µέθοδο του Παραδείγµατος 8 της Ενότητας παίρνουµε det(a), det(a ) 8, det(a ), det(a 3 ) Παρατηρούµε ότι ο A είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν πολλαπλασιάσουµε την πρώτη γραµµή του A µε 4, ο A είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν εναλλάξουµε τις

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΩΝ 3 πρώτες δύο γραµµές του A και ο A 3 είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν προσθέσουµε ϕορές την τρίτη γραµµή του A στην δεύτερη Οπως περιµένουµε από το Θεώρηµα 3 έχουµε τις σχέσεις det(a ) 4 det(a) det(a ) det(a) και det(a 3 ) det(a) Παράδειγµα 5 Το µέρος (α) του Θεωρήµατος 3 έχει µία εναλλακτική ερµηνεία η οποία κάποιες ϕορές µπορεί να ϕανεί χρήσιµη Το αποτέλεσµα αυτό µας επιτρέπει να ϐγάλουµε έναν «κοινό παράγοντα» από µία γραµµή ενός τετραγωνικού πίνακα έξω από το σύµβολο της ορίζουσας Για παράδειγµα, ας ϑεωρήσουµε τους πίνακες a a a 3 a a a 3 A a a a 3 B ka ka ka 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 όπου η δεύτερη γραµµή του B έχει έναν κοινό παράγοντα k Εφόσον ο B είναι ο πίνακας που προκύπτει όταν η δεύτερη γραµµή του A πολλαπλασιαστεί µε k, το µέρος (α) του Θεωρήµατος 3 µας λέει ότι det(b) k det(a), δηλαδή a a a 3 ka ka ka 3 a 3 a 3 a 33 k a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Θα διατυπώσουµε τώρα µία εναλλακτική µέθοδο για τον υπολογισµό οριζουσών η ο- ποία αποφεύγει το µεγάλο πλήθος υπολογισµών που εµφανίζεται αν χρησιµοποιήσου- µε τον ορισµό της ορίζουσας Η ϐασική ιδέα αυτής της µεθόδου είναι να εφαρµόσουµε ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΩΝ στοιχειώδεις διαδικασίες για να ανάγουµε τον δοσµένο πίνακα A σε έναν πίνακα R ο οποίος είναι σε κλιµακωτή µορφή Εφόσον η κλιµακωτή µορφή ενός τετραγωνικού πίνακα είναι πάντα ένας άνω τριγωνικός πίνακας (Άσκηση 4), η det(r) µπορεί να υπολογιστεί εύκολα χρησιµοποιώνατς το Θεώρηµα Η τιµή της det(a) µπορεί τώρα να υπολογιστεί αν χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 3 για να συσχετίσουµε την άγνωστη τιµή της det(a) µε την γνωστή τιµή της det(r) Στο επόµενο παράδειγµα ϐλέπουµε πώς δουλεύει αυτή η µέθοδος Παράδειγµα 6 Να υπολογιστεί η det(a) αν A 0 5 3 6 9 6

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Λύση Ανάγοντας τον A σε κλιµακωτή µορφή και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3 παίρνουµε det(a) 3 3 3 0 5 3 6 9 6 3 6 9 0 5 6 3 0 5 6 3 0 5 0 0 5 3 0 5 0 0 55 ( 3)( 55) ( 3)( 55)() 65 3 0 5 0 0 Εναλλάξαµε την πρώτη και τη δεύτε- ϱη γραµµή του A Ο κοινός παράγοντας 3 από την πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα ϐγήκε έξω από το σύµβολο της ο- ϱίζουσας (ϐλέπε Παράδειγµα 5) ϕορές η πρώτη γραµµή του προηγούµενου πίνακα προστέθηκε στην τρίτη γραµµή 0 ϕορές η δεύτερη γραµµή του προηγούµενου πίνακα προστέθηκε στην τρίτη γραµµή Ο κοινός παράγοντας -55 από την τελευταία γραµµή του προηγούµενου πίνακα ϐγήκε έξω από το σύµβολο της ορίζουσας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η µέθοδος της αναγωγής γραµµών είναι κατάλληλη για τον υπολογισµό οριζουσών µε υπολογιστή γιατί είναι συστηµατική και µπορεί εύκολα να προγραµµατιστεί Στις επόµενες ενότητες ϑα δούµε άλλες µεθόδους οι οποίες είναι συχνά πιο εύκολες για υπολογισµούς µε το χέρι Παράδειγµα 7 Να υπολογιστεί η det(a) όπου A 3 4 6 4 8 3 9 5 4 8 det(a) 3 4 0 0 0 0 3 9 5 4 8 ϕορές η πρώτη γραµµή του A προστέθηκε στη δεύτερη γραµµή εν χρειάζεται καµία περαιτέρω αναγωγή, εφόσον έπεται από το Θεώρηµα ότι det(a) 0

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΗ ΓΡΑΜΜΩΝ 5 Είναι προφανές από αυτό το παράδειγµα ότι όποτε ένας τετραγωνικός πίνακας έχει δύο ανάλογες γραµµές (όπως η πρώτη και η δεύτερη γραµµή του A) µπορούµε να εισάγουµε µία γραµµή από µηδενικά προσθέτοντας ένα κατάλληλο πολλαπλάσιο µίας από αυτές τις γραµµές στην άλλη Εποµένως αν ένας τετραγωνικός πίνακας έχει δύο ανάλογες γραµµές, τότε η ορίζουσά του είναι µηδέν Ειδικότερα, αν ένας πίνακας έχει δύο ίδιες γραµµές τότε ϑα έχει ορίζουσα µηδέν Παράδειγµα 8 Ο κάθε ένας από τους παρακάτω πίνακες έχει δύο ανάλογες γραµµές Άρα, χωρίς να τις υπολογίσουµε, παίρνουµε ότι οι ορίζουσές τους είναι µηδέν [ 4 8 ] 7 8 3 4 7 8 3 4 5 6 5 5 8 4 9 3 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ Να ϐρεθούν οι παρακάτω ορίζουσες χωρίς υπολογισµούς (α) 3 7 4 0 5 0 0 0 0 0 (ϐ) 8 0 0 7 0 0 9 5 6 (γ) 3 7 4 3 (δ) 3 4 6 5 8 Στις Ασκήσεις -9 υπολογίστε τις ορίζουσες των δοσµένων πινάκων ανάγοντας τον πίνακα σε κλιµακωτή µορφή 3 6 9 0 3 3 0 3 6 9 0 0 3 4 4 5 7 5 3 4 5 0 5 6 9 0 Αν (α) 3 5 9 6 3 6 8 6 3 5 3 7 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d e f g h i d e f g h i a b c 7 6, να ϐρεθούν οι (ϐ) 3a 3b 3c d e f 4g 4h 4i 3 0 0 0 0 3 (γ) 8 0 3 3 3 a + g b + h c + i d e f g h i 3 0 3 0 0 (δ) 3a 3b 3c d e f g 4d h 4e i 4f

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Χρησιµοποιήστε αναγωγή γραµµών για να αποδείξετε ότι a b c (b a)(c a)(c b) a b c Χρησιµοποιήστε επιχειρήµατα αντίστοιχα µε αυτά του Παραδείγµατος για να αποδείξετε ότι 0 0 0 a 0 0 a 4 3 (α) det 0 a a 3 a 3a a 3 (ϐ) det 0 0 a 3 a 4 0 a a 3 a 3 a 3 a 33 a 34 a4a3a3a4 33 a 4 a 4 a 43 a 44 3 Αποδείξτε ότι το Θεώρηµα ισχύει αν η λέξη «γραµµή» αντικατασταθεί µε τη λέξη «στήλη» 4 Αποδείξτε ότι η κλιµακωτή µορφή ενός τετραγωνικού πίνακα είναι πάντα ένας άνω τριγωνικός πίνακας 5 Αποδείξτε τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήµατος 3 ka ka ka 3 (α) a a a 3 a 3 a 3 a 33 k a a a 3 a a a 3 a a a 3 (ϐ) a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a + ka a + ka a 3 + ka 3 (γ) a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 3 Ιδιότητες της Συνάρτησης Ορίζουσα Σε αυτή την ενότητα ϑα αναπτύξουµε κάποιες από τις ϑεµελιώδεις ιδιότητες της συνάρτησης ορίζουσα Οσα ϑα πούµε ϑα µας ϐοηθήσουν να κατανοήσουµε καλύτερα τη σχέση ανάµεσα σε έναν τετραγωνικό πίνακα και την ορίζουσά του Μία από τις άµεσες συνέπειες των ιδιοτήτων της ορίζουσας είναι ένα αποτέλεσµα το οποίο συνδέει την τιµή της ορίζουσας ενος πίνακα µε την αντιστρεψιµότητά του ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Οπως είπαµε η ορίζουσα ενός n n πίνακα A ορίζεται ως το άθροισµα όλων των προσηµασµένων στοιχειωδών γινοµένων του A Εφόσον κάθε στοιχειώδες γινόµενο έχει έναν παράγοντα από κάθε γραµµή και έναν παράγοντα από κάθε στήλη, είναι προφανές ότι τα στοιχειώδη γινόµενα του A και του A t είναι τα ίδια Παρότι ϑα πα- ϱαλείψουµε τις λεπτοµέρειες, µπορούµε να δείξουµε ότι τα προσηµασµένα στοιχειώδη γινόµενα του A και του A t είναι τα ίδια Από όσα είπαµε παίρνουµε το παρακάτω ϑεώρηµα

3 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 7 Θεώρηµα 3 Αν ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε det(a t ) det(a) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Λόγω του αποτελέσµατος αυτού, σχεδόν όλα τα ϑεωρήµατα που αφο- ϱούν ορίζουσες και περιέχουν τη λέξη «γραµµή» στη διατύπωσή τους ισχύουν αν η λέξη «γραµµή» αντικατασταθεί µε τη λέξη «στήλη» Για να αποδείξει κανείς ένα αποτέλεσµα που αφορά στήλες αρκεί να πάρει τον ανάστροφο και να εφαρµόσει το, ήδη γνωστό, αντίστοιχο αποτέλεσµα για γραµµές Παράδειγµα Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 3 και το ότι η εναλλαγή δύο γραµ- µών ενός τετραγωνικού πίνακα A αλλάζει το πρόσηµο της ορίζουσάς του για να αποδείξετε ότι η εναλλαγή δύο στηλών του A αλλάζει το πρόσηµο της ορίζουσάς του Λύση Εστω A ο πίνακας ο οποίος προκύπτει όταν εναλλάξουµε την r στήλη και την s στήλη του A Τότε ο (A ) t είναι ο πίνακας ο οποίος προκύπτει όταν εναλλάξουµε την r γραµµή και την s γραµµή του A t Εποµένως det(a ) det(a t ) [Θεώρηµα 3] det(a t ) [Θεώρηµα 3ϐ] det(a) [Θεώρηµα 3] και άρα το αποτέλεσµα ισχύει Στα δύο επόµενα παραδείγµατα ϑα χρησιµοποιήσουµε ιδιότητες στηλών για ορί- Ϲουσες Παράδειγµα Χωρίς να κάνουµε τους υπολογισµούς, παίρνουµε ότι ο πίνακας 7 4 8 5 4 3 έχει µηδενική ορίζουσα εφόσον η πρώτη και η δεύτερη στήλη είναι ανάλογες Παράδειγµα 3 Να υπολογιστεί η ορίζουσα του A 0 0 3 7 0 6 0 6 3 0 7 3 5 Λύση Η ορίζουσα αυτή ϑα µπορούσε να υπολογιστεί όπως στην προηγούµενη ενότητα αν χρησιµοποιούσαµε στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών για να ανάγουµε τον πίνακα σε κλιµακωτή µορφή Από την άλλη µπορούµε σε ένα µόνο ϐήµα να ϕέρουµε τον A

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ σε κάτω τριγωνική µορφή αν προσθέσουµε 3 ϕορές την πρώτη στήλη στην τέταρτη για να πάρουµε det(a) det 0 0 0 7 0 0 0 6 3 0 7 3 6 ()(7)(3)( 6) 546 Το παράδειγµα αυτό µας δείχνει πως καλό είναι πάντα να εξετάζουµε αν υπάρχουν διαδικασίες στηλων οι οποίες µπορούν να συντοµεύσουν τους υπολογισµούς Εστω ότι οι A και B είναι n n πίνακες και το k είναι κάποιο ϐαθµωτό Θα εξετάσουµε πιθανές σχέσεις µεταξύ των det(a), det(b) και των det(ka), det(a + B), και det(ab) Εφόσον ένας κοινός παράγοντας από οποιαδήποτε γραµµή ενός πίνακα µπορεί να ϐγεί έξω από το σύµβολο της ορίζουσας, και εφόσον κάθε γραµµή του ka έχει κοινό παράγοντα k, παίρνουµε det(ka) k n det(a) () Παράδειγµα 4 Θεωρούµε τους πίνακες A [ 3 ] και 5A [ 5 5 0 0 Υπολογίζοντας τις ορίζουσές τους παίρνουµε det(a) 4 και det(5a) 00 Αυτό ] συµφωνεί µε τη σχέση () η οποία µας λέει ότι det(5a) 5 det(a) υστυχώς δεν υπάρχει κάποια απλή σχέση ανάµεσα στις det(a), det(b) και det(a + B) Ειδικότερα, η det(a + B) συνήθως δεν είναι ίση µε det(a) + det(b), όπως ϕαίνεται από το επόµενο παράδειγµα Παράδειγµα 5 Θεωρούµε τους A [ 5 ] B [ 3 3 ] A + B [ 4 3 3 8 ] Εχουµε ότι det(a), det(b) 8 και det(a + B) 3 Εποµένως det(a + B) det(a) + det(b) Από την άλλη υπάρχει µία σηµαντική σχέση η οποία αφορά τα αθροίσµατα οριζουσών και η οποία είναι συχνά χρήσιµη Για να πάρουµε αυτή τη σχέση ας ϑεωρήσουµε

3 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 9 δύο πίνακες οι οποίοι διαφέρουν µόνο ως προς τη δεύτερη γραµµή : A [ ] a a a a [ ] και A a a a a Από τον τύπο του Παραδείγµατος 7 της Ενότητας παίρνουµε det(a) + det(a ) (a a a a ) + (a a a a ) a (a [ + a ) a (a + a ] ) a det a a + a a + a Εποµένως [ a a det a a ] [ a a + det a a ] [ det a a a + a a + a ] Το παράδειγµα αυτό είναι ειδική περίπτωση του ακόλουθου γενικότερου αποτελέσµατος Θεώρηµα 3 Εστω A, A και A n n πίνακες οι οποίοι διαφέρουν µόνο ως προς µία γραµµή, ας πούµε την r, και ας υποθέσουµε ότι µπορούµε να πάρουµε την r γραµµή του A προσθέτοντας τα αντίστοιχα στοιχεία στις r γραµµές των A και A Τότε det(a ) det(a) + det(a ) Το ίδιο αποτέλεσµα ισχύει και για στήλες Παράδειγµα 6 Υπολογίζοντας τις ορίζουσες ο αναγνώστης µπορεί να ελέγξει ότι 7 5 7 5 7 5 det 0 3 det 0 3 + det 0 3 + 0 4 + 7 + ( ) 4 7 0 Το επόµενο ϑεώρηµα µας δίνει τη σχέση ανάµεσα στην ορίζουσα ενος γινοµένου πι- νάκων και τις ορίζουσες των παραγόντων ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεώρηµα 33 Αν οι A και B είναι τετραγωνικοί πίνακες µε τις ίδιες διαστάσεις, τότε det(ab) det(a) det(b) Αν κανείς σκεφτεί πόσο περίπλοκοι είναι οι ορισµοί του πολλαπλασιασµού πινάκων και της ορίζουσας ϑα εντυπωσιαστεί από το πόσο απλό είναι αυτό το αποτέλεσµα Η απόδειξη είναι αρκετά περίπλοκη και ϑα την παραλείψουµε Παράδειγµα 7 Θεωρούµε τους πίνακες A [ 3 ] B [ 3 5 8 ] AB [ 7 3 4 ]

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Αφήνεται στον αναγνώστη να επιβεβαιώσει ότι det(a) det(b) 3 και det(ab) 3 Εποµένως det(ab) det(a) det(b), όπως περιµέναµε από το Θεώρηµα 33 Στο Θεώρηµα 73 αποδείξαµε ότι τρεις συνθήκες είναι ισοδύναµες µε την αντιστρεψιµότητα ενός πίνακα Το επόµενο παράδειγµα ϑα µας ϐοηθήσει να προσθέσου- µε µία ακόµα συνθήκη σε αυτές που είναι ισοδύναµες µε την αντιστρεψιµότητα ενός πίνακα Παράδειγµα 8 Ο σκοπός αυτού του παραδείγµατος είναι να δείξουµε ότι αν η ανηγ- µένη κλιµακωτή µορφή R ενός τετραγωνικού πίνακα δεν έχει καµία γραµµή η οποία να αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά, τότε ο R πρέπει να είναι ο µοναδιαίος πίνακας Για να δούµε ότι αυτό ισχύει ας ϑεωρήσουµε τον παρακάτω n n πίνακα : r r r n r r r n R r n r n r nn Η τελευταία γραµµή του πίνακα είτε ϑα αποτελείται αποκλειστικά από µηδενικά είτε όχι Αν όχι, ο πίνακας δεν περιέχει καµία µηδενική γραµµή και εποµένως κάθε µία από τις n γραµµές του έχει αρχικό µη µηδενικό στοιχείο το Εφόσον αυτά τα αρχικά εµφανίζονται όλο και πιο δεξιά όπως µετακινούµαστε προς τα κάτω στον πίνακα, κάθε ένα από αυτά τα πρέπει να ϐρίσκεται στην κύρια διαγώνιο Εφόσον τα υπόλοιπα στοιχεία στην ίδια στήλη µε κάποιο από αυτά τα είναι 0, ο R πρέπει να είναι ο I Εποµένως είτε ο R έχει µία γραµµή µε µηδενικά είτε R I ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΕ- ΨΙΜΟΤΗΤΑ Θεώρηµα 34 Ενας τετραγωνικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν det(a) 0 Απόδειξη Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε I AA και άρα det(i) det(a) det(a ) Άρα det(a) 0 Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι det(a) 0 Θα αποδείξουµε ότι ο A είναι γραµµοϊσοδύναµος µε τον I και έτσι ϑα συµπεράνουµε από το Θεώρηµα 63 ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Εστω R η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του A Εφόσον µπορούµε να πάρουµε τον R από τον A εφαρµόζοντας µία πεπερασµένη ακολουθία στοιχειωδών διαδικασιών γραµµών, µπορούµε να ϐρούµε µία

3 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑ 3 ακολουθία στοιχειωδών πινάκων E, E,, E k µε E k E E A R Άρα det(r) det(e k ) det(e ) det(e ) det(a) Εφόσον έχουµε υποθέσει ότι det(a) 0, παίρνουµε από αυτή την εξίσωση ότι det(r) 0 Εποµένως ο R δεν έχει µηδενικές γραµµές και άρα R I (ϐλέπε Παράδειγµα 8) Πόρισµα 35 Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε det(a ) det(a) Απόδειξη Εφόσον AA I, det(a A) det(i) Εποµένως έχουµε det(a ) det(a) Εφόσον det(a) 0 η απόδειξη ολοκληρώνεται αν διαιρέσουµε και τα δύο µέλη µε det(a) Παράδειγµα 9 Εφόσον η πρώτη και τρίτη γραµµή του 3 A 0 4 6 είναι ανάλογες, det(a) 0 Άρα ο A δεν είναι αντιστρέψιµος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Επιβεβαιώστε ότι det(a) det(a t ) για τους πίνακες [ ] 3 (α) A (ϐ) A 4 3 4 5 3 6 Επιβεβαιώστε ότι det(ab) det(a) det(b) για τους πίνακες 0 3 A 3 4 0 και B 7 0 0 5 0 3 Χωρίς να κάνετε υπολογσµούς, εξηγήστε γιατί det(a) 0 8 4 A 3 5 0 7 0 4 6 4 3 4 Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 34 για να προσδιορίσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι αντιστρέψιµοι 0 4 8 7 0 (α) 9 4 (ϐ) 4 (γ) 3 3 3 0 7 0 (δ) 5 0 6 8 9 3 6 5 9 0 8 0 3

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 Εστω A Αν υποθέσουµε ότι det(a) 7, να ϐρεθούν οι a b c d e f g h i (α) det(3a) (ϐ) det(a ) (γ) det((a) ) (δ) a g d b h e c i f 6 Χωρίς να κάνετε τους υπολογισµούς, δείξτε ότι τα x 0 και x ικανοποιούν την x x 0 0 5 0 7 Χωρίς να κάνετε τους υπολογισµούς, δείξτε ότι b + c c + a b + a det a b c 0 Στις Ασκήσεις 8- αποδείξτε τις ταυτότητες χωρίς να υπολογίσετε τις ορίζουσες a b a + b + c 8 a b a + b + c a 3 b 3 a 3 + b 3 + c 3 a b c a b c a 3 b 3 c 3 a + b a b c 9 a + b a b c a 3 + b 3 a 3 b 3 c 3 a b c a b c a 3 b 3 c 3 a + b t a + b t a 3 + b 3t 0 a t + b a t + b a 3t + b 3 c c c 3 ( a a a 3 t ) b b b 3 c c c 3 a b + ta c + rb + sa a b + ta c + rb + sa a 3 b 3 + ta 3 c 3 + rb 3 + sa 3 a a a 3 b b b 3 c c c 3 Για ποια τιµή/τιµές του k δεν είναι ο A αντίστέψιµος ; [ ] k 3 (α) A (ϐ) A k 3 Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 34 για να αποδείξετε ότι ο sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ δεν είναι αντιστρέψιµος για οποιεσδήποτε τιµές των α, β και γ 4 3 6 k 3 4 Εστω ότι οι A και B είναι n n πίνακες Αποδείξτε ότι αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε det(b) det(a BA) 5 (α) Να εκφραστεί η a + b c + d a + b c + d σαν ένα άθροισµα τεσσάρων οριζουσών των οποίων τα στοιχεία δεν περιέχουν αθροίσµατα (ϐ) Να εκφραστεί η a + b c + d e + f a + b c + d e + f a 3 + b 3 c 3 + d 3 e 3 + f 3 σαν ένα άθροισµα οχτώ οριζουσών των οποίων τα στοιχεία δεν περιέχουν αθροίσµατα

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 33 4 Ανάπτυγµα Συµπαραγόντων και Κανόνας του Cramer Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε µία µέθοδο υπολογισµόυ οριζουσών η οποία είναι ϐολική για υπολογισµούς µε το χέρι και σηµαντική από ϑεωρητική άποψη Σαν συνέπεια όσων ϑα πούµε ϑα πάρουµε έναν τύπο για τον υπολογισµό του αντίστροφου ενός αντιστρέψιµου πίνακα καθώς και έναν τύπο για τη λύση µίας κατηγορίας συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων Και οι δύο αυτοί τύποι χρησιµοποιούν ορίζουσες Ορισµός Αν ο A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε η ελάσσον ορίζουσα του στοιχείου a ij συµβολίζεται µε M ij και ορίζεται ως η ορίζουσα του υποπίνακα που παίρνουµε αν διαγράψουµε την i γραµµή και την j στήλη του A Ο αριθµός ( ) i+j M ij συµβολίζεται µε C ij και ονοµάζεται συµπαράγοντας του στοιχείου a ij ΕΛΑΣΣΟΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Παράδειγµα Εστω A 3 4 5 6 4 8 Η ελάσσον ορίζουσα του στοιχείου a είναι 3 4 M 5 6 4 8 5 6 4 8 6 Ο συµπαράγοντας του a είναι C ( ) + M M 6 Οµοια η ελάσσον ορίζουσα του στοιχείου a 3 είναι 3 4 M 3 5 6 4 8 3 4 6 6 Ο συµπαράγοντας του a 3 είναι C 3 ( ) 3+ M 3 M 3 6 Παρατηρούµε ότι ο συµπαράγοντας και η ελάσσον ορίζουσα ενός στοιχείου a ij διαφέρουν µόνο ως προς το πρόσηµο, δηλαδή C ij ±M ij Ενας γρήγορος τρόπος για να προσδιορίσουµε αν πρέπει να χρησιµοποιήσουµε το + ή το είναι να ϐασιστούµε στο ότι το πρόσηµο που συνδέει τα C ij και M ij ϐρίσκεται στην i γραµµή και

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ την j στήλη του παρακάτω πίνακα + + + + + + + + + + Για παράδειγµα C M, C M, C M, C M και τα λοιπά ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑ- ΓΟΝΤΩΝ Ας ϑεωρήσουµε τον 3 3 πίνακα A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 Στο Παράδειγµα 7 της Ενότητας δείξαµε ότι det(a) a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 () Η σχέση αυτή µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής det(a) a (a a 33 a 3 a 3 ) + a (a 3 a 3 a a 33 ) + a 3 (a a 3 a 3 a ) Εφόσον οι εκφράσεις στις παρενθέσεις είναι ίσες µε τους συµπαράγοντες C, C και C 3 (επιβεβαιώστε το), έχουµε det(a) a C + a C + a 3 C 3 () Η Εξίσωση () µας λέει ότι η ορίζουσα ενός 3 3 πίνακα A µπορεί να υπολογιστεί αν πολλαπλασιάσουµε τα στοιχεία της πρώτης στήλης του A µε τους αντίστοιχους συ- µπαράγοντες και κατόπιν προσθέσουµε τα γινόµενα που παίρνουµε Αυτή η µέθοδος υπολογισµού της det(a) ονοµάζεται ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την πρώτη στήλη του A Παράδειγµα Εστω A 3 0 4 3 5 4 Να υπολογιστεί η det(a) µε ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την πρώτη στήλη του A Λύση Από την () έχουµε det(a) 3 4 3 4 ( ) 0 4 + 5 0 4 3 3( 4) ( )( ) + 5(3)

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 35 Αναδιατάσσοντας τους όρους στην () µε διάφορους τρόπους, µπορούµε να πά- ϱουµε άλλους τύπους παρόµοιους µε αυτόν της εξίσωσης () Είναι εύκολο να δούµε ότι ισχύουν τα παρακάτω (ϐλέπε Άσκηση 8): det(a) a C + a C + a 3 C 3 a C + a C + a 3 C 3 a C + a C + a 3 C 3 a C + a C + a 3 C 3 a 3 C 3 + a 3 C 3 + a 33 C 33 a 3 C 3 + a 3 C 3 + a 33 C 33 (3) Προσέξτε ότι σε κάθε εξίσωση τα στοιχεία και οι συµπαράγοντες προέρχονται από την ίδια γραµµή ή στήλη Οι εξισώσεις αυτές ονοµάζονται αναπτύγµατα συµπαραγόντων της det(a) Τα αποτελέσµατα που διατυπώσαµε παραπάνω για 3 3 πίνακες αποτελούν µία ειδική περίπτωση του ακόλουθου γενικού ϑεωρήµατος, το οποίο ϑα διατυπώσουµε χωρίς απόδειξη Θεώρηµα 4 Για να υπολογίσουµε την ορίζουσα ενός n n πίνακα A πολλαπλασιάζουµε τα στοιχεία µίας γραµµής (ή µίας στήλης) µε τους συµπαράγοντές τους και κατόπιν προσθέτουµε τα γινόµενα που προκύπτουν ηλαδή για κάθε i n και j n, και det(a) a j C j + a j C j + + a nj C nj (ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την j στήλη) det(a) a i C i + a i C i + + a in C in (ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την i γραµµή) Παράδειγµα 3 Εστω A ο πίνακας του Παραδείγµατος Να υπολογιστεί η det(a) παίρνοντας το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την πρώτη γραµµή Λύση 3 0 det(a) 4 3 5 4 3 4 3 4 () 3 5 + 0 4 5 4 3( 4) ()( ) + 0 Το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό του Παραδείγµατος ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στο παράδειγµα αυτό δεν ήταν αναγκαίο να υπολογίσουµε τον τελευταίο συµπαράγοντα, αφού πολλαπλασιάζεται µε µηδέν Γενικά η καλύτερη στρατηγική για τον υπολογισµό µίας ορίζουσας µε ανάπτυγµα συµπαραγόντων είναι να

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ παίρνουµε το ανάπτυγµα ως προς τη γραµµή ή τη στήλη στην οποία εµφανίζονται τα περισσότερα µηδενικά Κάποιες ϕορές µπορούµε να συνδυάσουµε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων µε στοιχειώδεις διαδικασίες γραµµών ή στηλών για να υπολογίσουµε γρήγορα την ορίζουσα ενός πίνακα, όπως ϕαίνεται στο επόµενο παράδειγµα Παράδειγµα 4 Να υπολογιστεί η det(a) αν A 3 5 6 4 5 3 7 5 3 Λύση Προσθέτοντας κατάλληλα πολλαπλάσια της δεύτερης γραµµής στις υπόλοιπες παίρνουµε det(a) 0 3 0 0 3 3 0 8 0 3 0 3 3 8 0 3 0 3 3 0 9 3 Ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την πρώτη στήλη Προσθέσαµε την πρώτη γραµµή στην τρίτη γραµµή ( ) 3 3 9 3 8 Ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς την πρώτη στήλη Στο ανάπτυγµα συµπαραγόντων υπολογίζουµε την det(a) πολλαπλασιάζοντας τα στοι- Ο ΠΡΟΣΑΡΤΗ- ΜΕΝΟΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ χεία µίας γραµµής ή µίας στήλης µε τους αντίστοιχους συµπαράγοντες και προσθέτοντας τα γινόµενα που προκύπτουν Αν πολλαπλασιάσουµε τα στοιχεία σε οποιαδήποτε γραµµή µε τους συµπαράγοντες που αντιστοιχούν στα στοιχεία µίας διαφορετικής γραµµής, τότε το άθροισµα αυτών των γινοµένων είναι πάντα µηδέν (Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει και για στήλες) Παρόλο που ϑα παραλείψουµε την γενική απόδειξη, το επόµενο παράδειγµα µας δείχνει ποια είναι η ιδέα της απόδειξης σε µία ειδική περίπτωση Παράδειγµα 5 Εστω A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 37 Θεωρούµε την ποσότητα a C 3 + a C 3 + a 3 C 33 η οποία σχηµατίζεται αν πολλαπλασιάσουµε τα στοιχεία της πρώτης γραµµής µε τους συµπαράγοντες των αντίστοιχων στοιχείων της τρίτης γραµµής και κατόπιν προσθέσουµε τα γινόµενα που προκύπτουν Θα αποδείξουµε ότι αυτή η ποσότητα είναι ίση µε µηδέν χρησιµοποιώντας το τέχνασµα που περιγράφουµε παρακάτω Κατασκευάζουµε ένα καινούριο πίνακα A αντικαθιστώντας την τρίτη γραµµή του A µε ένα αντίγραφο της πρώτης γραµµής του A Ετσι A a a a 3 a a a 3 a a a 3 Εστω C 3, C 3 και C 33 οι συµπαράγοντες των στοιχείων της τρίτης γραµµής του A Εφόσον οι δύο πρώτες γραµµές των A και A είναι οι ίδιες και στον υπολογισµό των C 3, C 3, C 33, C 3, C 3 και C 33 εµφανίζονται µόνο στοιχεία των δύο πρώτων γραµµών των A και A, έχουµε ότι C 3 C 3 C 3 C 3 C 33 C 33 Εφόσον ο A έχει δύο ίδιες γραµµές det(a ) 0 (4) Από την άλλη αν υπολογίσουµε την det(a ) παίρνοντας το ανάπτυγµα συµπαραγόντων της ως προς την τρίτη γραµµή παίρνουµε Από τις (4) και (5) παίρνουµε ότι det(a ) a C 3 + a C 3 + a 3 C 33 a C 3 + a C 3 + a 3 C 33 (5) a C 3 + a C 3 + a 3 C 33 0 Ορισµός Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και C ij είναι ο συµπαράγοντας του a ij, τότε ο πίνακας C C C n C C C 3 C n C n C nn ονοµάζεται πίνακας συµπαραγόντων του A Ο ανάστροφος αυτού του πίνακα ονοµάζεται προσαρτηµένος του A και συµβολίζεται µε adj(a)

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Παράδειγµα 6 Εστω Οι συµπαράγοντες του A είναι A 3 6 3 4 0 C C 6 C 3 6 C 4 C C 3 6 C 3 C 3 0 C 33 6 και άρα ο πίνακας συµπαραγόντων είναι ο 6 6 4 6 0 6 και ο προσαρτηµένος του A είναι adj(a) 4 6 0 6 6 6 ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Τώρα είµαστε σε ϑέση να πάρουµε έναν τύπο για τον αντίστροφο ενός αντιστρέψι- µου πίνακα Θεώρηµα 4 Αν ο A είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε A adj(a) (6) det(a) Απόδειξη Θα ξεκινήσουµε δείχνοντας ότι A adj(a) det(a)i Θεωρούµε το γινόµενο a a a n a a a n A adj(a) a i a i a in C C C j C n C C C j C n C n C n C jn C nn a n a n a nn Το στοιχείο στην i γραµµή και την j στήλη του γινοµένου A adj(a) είναι a i C j + a i C j + + a in C jn (7) Αν i j τότε η (7) είναι το ανάπτυγµα συµπαραγόντων της det(a) ως προς την i γραµµή του A και αν i j τότε τα a και οι συµπαράγοντες προέρχονται από

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 39 διαφορετικές γραµµές του A και άρα η (7) παίρνει την τιµή µηδέν Εποµένως det(a) 0 0 0 det(a) 0 A adj(a) det(a) I (8) 0 0 det(a) Εφόσον ο A είναι αντιστρέψιµος, det(a) 0 Εποµένως η Εξίσωση (8) µπορεί να ξαναγραφτεί στη µορφή ή στη µορφή [A adj(a)] I det(a) [ ] A det(a) adj(a) I Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές από αριστερά µε A παίρνουµε A det(a) adj(a) Παράδειγµα 7 Χρησιµοποιήστε την (6) για να ϐρείτε τον αντίστροφο του πίνακα A του Παραδείγµατος 6 Λύση Ο αναγνώστης µπορεί να ελέγξει ότι det(a) 64 Εποµένως A det(a) adj(a) 4 6 0 64 6 6 6 64 6 64 6 64 4 64 64 64 0 64 6 6 64 64 Παρότι η µέθοδος του προηγούµενου παραδείγµατος είναι ϐολική για την αντιστροφή 3 3 πίνάκων µε το χέρι, για µεγαλύτερους πίνακες είναι πιο ϐολικό να χρησιµοποιού- ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER µε τον αλγόριθµο που περιγράψαµε στην Ενότητα 6 Πρέπει όµως να τονίσουµε ότι ενώ η µέθοδος της Ενότητας 6 είναι µία υπολογιστική διαδικασία, ο Τύπος (6) είναι ένας τύπος για τον αντίστροφο και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µελετήσουµε τις ιδιότητες του αντιστρόφου (ϐλέπε για παράδειγµα την Άσκηση 5) Για τον ίδιο λόγο είναι χρήσιµο να έχουµε έναν τύπο για τη λύση ενός συστήµατος εξισώσεων, τον οποίο να µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να µελετήσουµε ιδιότητες των λύσεων του συστήµατος Στο επόµενο ϑεώρηµα ϑα πάρουµε έναν τέτοιο τύπο για µία κατηγορία

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ συστηµάτων n εξισώσεων µε n αγνώστους Ο τύπος αυτός ονοµάζεται Κανόνας του Cramer Θεώρηµα 43 (Κανόνας του Cramer) Αν το AX B είναι ένα σύστηµα n γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους και det(a) 0, τότε το σύστηµα έχει µία µοναδική λύση, την x det(a ) det(a), x det(a ) det(a),, x n det(a n) det(a) όπου ο A j είναι ο πίνακας που παίρνουµε αν αντικαταστήσουµε τα στοιχεία της j στήλης του A µε τα στοιχεία του πίνακα B b b b n Απόδειξη Αφού det(a) 0, ο A είναι αντιστρέψιµος και άρα, από το Θεώρηµα 7, η X A B είναι η µοναδική λύση του AX B Εποµένως, από το Θεώρηµα 4 παίρνουµε X A B det(a) adj(a)b det(a) C C C n C C C n C n C n C nn b b b n Αν κάνουµε τον πολλαπλασιασµό πινάκων παίρνουµε X det(a) b C + b C + + b n C n b C + b C + + b n C n b C n + b C n + + b n C nn Εποµένως το στοιχείο στην j γραµµή του X είναι x j b C j + b C j + + b n C nj det(a) (9) Εστω a a a j b a j+ a n a a a j b a j+ a n A j a n a n a nj b n a nj+ a nn Εφόσον ο A j διαφέρει από τον A µόνο ως προς την j στήλη, παίρνουµε ότι οι συµπα- ϱάγοντες των στοιχείων b, b,, b n στον A j είναι ίδιοι µε τους συµπαράγοντες των αντίστοιχων στοιχείων στον A Για το λόγο αυτό το ανάπτυγµα συµπαραγόντων της det(a j ) ως προς την j στήλη είναι det(a j ) b C j + b C j + + b n C nj

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 4 Αν αντικαταστήσουµε αυτό το αποτέλεσµα στην(9) παίρνουµε x j det(a j) det(a) Παράδειγµα 8 Χρησιµοποιήστε τον κανόνα του Cramer για να λύσετε το x + x 3 6 3x + 4x + 6x 3 30 x x + 3x 3 8 Λύση A A 0 3 4 6 3 6 3 30 6 8 3 A A 3 6 0 30 4 6 8 3 0 6 3 4 30 8 Εποµένως x det(a ) det(a) 40 44 0 x 3 det(a 3) det(a) 5 44 38 x det(a ) det(a) 7 44 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Εστω A 3 6 7 3 4 (α) Να ϐρεθούν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες του A (ϐ) Να ϐρεθούν όλοι οι συµπαράγοντες του A Εστω A 4 6 0 0 3 3 4 0 4 4 3 Να ϐρεθούν (α) οι M 3 και C 3 (ϐ) οι M 3 και C 3 (γ) οι M και C (δ) οι M και C 3 Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα της Άσκησης µε το ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς (α) την πρώτη γραµµή (ϐ) την πρώτη στήλη (γ) τη δεύτερη γραµµή (δ) τη δεύτερη στήλη (ε) την τρίτη γραµµή (στ) την τρίτη στήλη 4 Για τον πίνακα της Άσκησης να ϐρεθούν (α) Ο adj(a) (ϐ) Ο A χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 4 Στις Ασκήσεις 5-0 υπολογίστε την det(a) µε ανάπτυγµα συµπαραγόντων ως προς όποια γραµ- µή ή στήλη ϑέλετε

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 A 7 A 9 A 3 0 7 5 0 5 k k k k k k 6 A 3 3 0 5 0 4 3 0 0 3 8 A 0 A 3 3 0 4 3 5 k + k 7 k 3 4 5 k + k 4 0 0 0 3 3 3 0 4 3 9 4 6 3 4 3 Στις Ασκήσεις -4 ϐρείτε τον A χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 4 A 3 A 5 5 0 4 3 3 5 0 3 0 0 A 4 A 0 3 0 3 0 4 0 0 8 0 5 3 6 5 Εστω A 3 5 3 8 9 3 (α) Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα 4 για να υπολογίσετε τον A (ϐ) Χρησιµοποιήστε την µέθοδο του Παραδείγµατος 4 της Ενότητας 6 για να υπολογίσετε τον A (γ) Ποια µέθοδος περιέχει λιγότερους υπολογισµούς ; Σις Ασκήσεις 6- λύστε τα συστήµατα µε τον κανόνα του Cramer, όπου αυτός µπορεί να εφαρµοστεί 6 7x x 3 3x + x 5 8 x 4y + z 6 4x y + z x + y 3z 0 0 x 4x + x 3 + x 4 3 x x + 7x 3 + 9x 4 4 x + x + 3x 3 + x 4 x x + x 3 4x 4 4 7 4x + 5y x + y + z 3 x + 5y + z 9 x 3x + x 3 4 x x 4x 3x 3 0 3x x + x 3 4 x + 7x x 3 x + 6x x 3 5 είξτε ότι ο πίνακας A cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 είναι αντιστρέψιµος για όλες τις τιµές του θ Θεώρηµα 4 Κατόπιν ϐρείτε τον A χρησιµοποιώντας το

4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΥΜΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ CRAMER 43 3 Χρησιµοποιήστε τον κανόνα του Cramer για να λύσετε ως προς y το παρακάτω σύστηµα χωρίς να λύσετε ως προς x, z και w 4x + y + z + w 6 3x + 7y z + w 7x + 3y 5z + 8w 3 x + y + z + w 3 4 Εστω AX B το σύστηµα της Άσκησης 3 (α) Λύστε το µε τον κανόνα του Cramer (ϐ) Λύστε το µε απαλοιφη Gauss-Jordan (γ) Ποια µέθοδος έχει λιγότερους υπολογισµούς ; 5 Αποδείξτε ότι αν det(a) και όλα τα στοιχεία του A είναι ακέραιοι, τότε και όλα τα στοιχεία του A ϑα είναι ακέραιοι 6 Εστω AX B ένα σύστηµα n γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους, του οποίου όλοι οι συντελεστές και όλες οι σταθερές είναι ακέραιοι Αποδείξτε ότι αν det(a), τότε η λύση X έχει ακέραια στοιχεία 7 Αποδείξτε ότι αν ο A είναι ένας αντιστρέψιµος άνω τργωνικός πίνακας, τότε και ο A είναι άνω τριγωνικός 8 Επιβεβαιώστε ότι το πρώτο και το τελευταίο ανάπτυγµα συµπαραγόντων του Τύπου (3) είναι σωστα 9 Αποδείξτε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο διαφορετικά σηµεία (a, b ) και (a, b ) µπορεί να γραφτεί στη µορφή x y a b a b 0 30 Αποδείξτε ότι τα σηµεία (x, y ), (x, y ) και (x 3, y 3) είναι συγγραµµικά αν και µόνο αν x y x y x 3 y 3 0 3 Αποδείξτε ότι η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα µη συγγραµµικά σηµεία (a, b, c ), (a, b, c ) και (a 3, b 3, c 3) µπορεί να γραφτεί στη µορφή x y z a b c a b c a 3 b 3 c 3 0

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 Λυµένες Ασκήσεις στο Κεφάλαιο Για κάθε µία από τις παρακάτω µεταθέσεις να ϐρεθεί : (Ι) Ποιου συνόλου είναι µετάθεση (ΙΙ) Το πλήθος των αντιστροφών σε αυτή (ΙΙΙ) Αν είναι άρτια ή περιττή (α) (, 3,, 4, 6, 5) (ϐ) (3, 4,, 6, 5, ) (γ) (4, 3,,, 5) (δ) (,, 3, 4, 5, 6, 7) (α) (Ι) Η (, 3,, 4, 6, 5) είναι µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5, 6} (ΙΙ) Το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση (, 3,, 4, 6, 5) είναι 0 + + 0 + 0 + (ΙΙΙ) Από το (ΙΙ) παίρνουµε ότι η µετάθεση (, 3,, 4, 6, 5) είναι άρτια (ϐ) (Ι) Η (3, 4,, 6, 5, ) είναι µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5, 6} (ΙΙ) Το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση (3, 4,, 6, 5, ) είναι + + 0 + + 7 (ΙΙΙ) Από το (ΙΙ) παίρνουµε ότι η µετάθεση (3, 4,, 6, 5, ) είναι περιττή (γ) (Ι) Η (4, 3,,, 5) είναι µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5} (ΙΙ) Το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση (4, 3,,, 5) είναι 3 + + + 0 6 (ΙΙΙ) Από το (ΙΙ) παίρνουµε ότι η µετάθεση (4, 3,,, 5) είναι άρτια (δ) (Ι) Η (,, 3, 4, 5, 6, 7) είναι µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5, 6, 7} (ΙΙ) Το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση (,, 3, 4, 5, 6, 7) είναι 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0 (ΙΙΙ) Από το (ΙΙ) παίρνουµε ότι η µετάθεση (,, 3, 4, 5, 6, 7) είναι άρτια (α) Να ϐρεθεί το πλήθος των αντιστροφών σε κάθε µία από τις µεταθέσεις του {,, 3, 4} (ϐ) Κατατάξτε τις µεταθέσεις του {,, 3, 4} σε άρτιες και περιττές

5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 45 (γ) Να ϐρεθούν τα στοιχειώδη γινόµενα του 4 4 πίνακα a a a 3 a 4 A a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 (δ) Να ϐρεθούν τα προσηµασµένα στοιχειώδη γινόµενα του πίνακα A (ε) Γράψτε έναν τύπο για την det(a) Υπόδειξη : Οι απαντήσεις στα ερωτήµατα (α)-(δ) µπορούν να συγκεντρωθούν σε ένα πινακάκι το οποίο ϑα έχει στην πρώτη στήλη τις µεταθέσεις του {,, 3, 4}, στη δεύτερη το πλήθος των αντιστροφών κάθε µίας, στην τρίτη το αν είναι άρτια ή περιττή, στην τέταρτη το αντίστοιχο στοιχειώδες γινόµενο του A και στην πέµπτη το αντίστοιχο προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο του A Οι απαντήσεις στα ερωτήµατα (α), (ϐ), (γ) και (δ) έχουν συγκεντρωθεί στο πινακάκι που ακολουθεί Μετάθεση Πλήθος Αρτια Αντίστοιχο Αντίστοιχο του {,, 3, 4} Αντιστροφών ή Στοιχειώδες Προσηµασµένο στη Περιττή Γινόµενο Στοιχειώδες Μετάθεση του A Γινόµενο του A (,,3,4) 0+0+00 Άρτια a a a 33 a 44 +a a a 33 a 44 (,,4,3) 0+0+ Περιττή a a a 34 a 43 a a a 34 a 43 (,3,,4) 0++0 Περιττή a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 3 a 44 (,3,4,) 0++ Άρτια a a 3 a 34 a 4 +a a 3 a 34 a 4 (,4,,3) 0++0 Άρτια a a 4 a 3 a 43 +a a 4 a 3 a 43 (,4,3,) 0++3 Περιττή a a 4 a 33 a 4 a a 4 a 33 a 4 (,,3,4) +0+0 Περιττή a a a 33 a 44 a a a 33 a 44 (,,4,3) +0+ Άρτια a a a 34 a 43 +a a a 34 a 43 (,3,,4) ++0 Άρτια a a 3 a 3 a 44 +a a 3 a 3 a 44 (,3,4,) ++3 Περιττή a a 3 a 34 a 4 a a 3 a 34 a 4 (,4,,3) ++03 Περιττή a a 4 a 3 a 43 a a 4 a 3 a 43 (,4,3,) ++4 Άρτια a a 4 a 33 a 4 +a a 4 a 33 a 4 (3,,,4) +0+0 Άρτια a 3 a a 3 a 44 +a 3 a a 3 a 44 (3,,4,) +0+3 Περιττή a 3 a a 34 a 4 a 3 a a 34 a 4 (3,,,4) ++03 Περιττή a 3 a a 3 a 44 a 3 a a 3 a 44 (3,,4,) ++4 Άρτια a 3 a a 34 a 4 +a 3 a a 34 a 4 (3,4,,) ++04 Άρτια a 3 a 4 a 3 a 4 +a 3 a 4 a 3 a 4 (3,4,,) ++5 Περιττή a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 (4,,,3) 3+0+03 Περιττή a 4 a a 3 a 43 a 4 a a 3 a 43 (4,,3,) 3+0+4 Άρτια a 4 a a 33 a 4 +a 4 a a 33 a 4 (4,,,3) 3++04 Άρτια a 4 a a 3 a 43 +a 4 a a 3 a 43 (4,,3,) 3++5 Περιττή a 4 a a 33 a 4 a 4 a a 33 a 4 (4,3,,) 3++05 Περιττή a 4 a 3 a 3 a 4 a 4 a 3 a 3 a 4 (4,3,,) 3++6 Άρτια a 4 a 3 a 3 a 4 +a 4 a 3 a 3 a 4 (ε) Γνωρίζουµε ότι η det(a) ισούται µε το άθροισµα των προσηµασµένων στοιχειωδών γινοµένων του A Εποµένως από την πέµπτη στήλη του παραπάνω πίνακα παίρνουµε

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ότι 3 Εστω det(a) a a a 33 a 44 a a a 34 a 43 a a 3 a 3 a 44 +a a 3 a 34 a 4 + a a 4 a 3 a 43 a a 4 a 33 a 4 a a a 33 a 44 + a a a 34 a 43 + a a 3 a 3 a 44 a a 3 a 34 a 4 a a 4 a 3 a 43 + a a 4 a 33 a 4 +a 3 a a 3 a 44 a 3 a a 34 a 4 a 3 a a 3 a 44 +a 3 a a 34 a 4 + a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 a 3 a 4 a 4 a a 3 a 43 + a 4 a a 33 a 4 + a 4 a a 3 a 43 a 4 a a 33 a 4 a 4 a 3 a 3 a 4 + a 4 a 3 a 3 a 4 A 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (α) Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της ορίζουσας για να υπολογίσετε την det(a) (ϐ) Υπολογίσετε την det(a) χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα συµπαραγόντων (γ) Υπολογίσετε την det(a) µε αναγωγή γραµµών (α) Εστω a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 ένα στοιχειώδες γινόµενο του πίνακα A, όπου (j, j, j 3, j 4, j 5 ) είναι µία µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5} Εφόσον a a 3 a 4 a 5 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j Εφόσον a a a 3 a 4 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 5 Εφόσον a 3 a 3 a 34 a 35 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 3 3 Εφόσον a 4 a 4 a 43 a 45 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 4 4 Εφόσον a 5 a 53 a 54 a 55 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 5 Άρα το µοναδικό στοιχειώδες γινόµενο του πίνακα A το οποίο µπορεί να είναι µη µηδενικό είναι το a a 5 a 33 a 44 a 5

5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 47 Αυτό το στοιχειώδες γινόµενο αντιστοιχεί στη µετάθεση (, 5, 3, 4, ) Το πλήθος των αντιστροφών στη µετάθεση (, 5, 3, 4, ) είναι 0 + 3 + + 5 και άρα είναι περιττή Εποµένως το προσηµασµένο στοιχειώδες γινόµενο που αντιστοιχεί στο στοιχειώδες γινόµενο a a 5 a 33 a 44 a 5 είναι το a a 5 a 33 a 44 a 5 Άρα, εφόσον η det(a) ισούται µε το άθροισµα των προσηµασµένων στοιχειωδών γινο- µένων του A, έχουµε ότι det(a) a a 5 a 33 a 44 a 5 (5 ( 4) 3 ( )) 0 (ϐ) Χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα συµπαραγόντων παίρνουµε ότι det(a) 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 +0 +0 5 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ανάπτυγµα συµπα- ϱαγόντων ως προς την η γραµµή

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 0 +0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 ( 4) 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 ανάπτυγµα συµπα- ϱαγόντων ως προς την η γραµµή 0 0 3 0 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 3 0 0 + 0 0 0 0 ) ανάπτυγµα συµπα- ϱαγόντων ως προς την η γραµµή ( 60) 0 0 ( 60) (0 0 ( )) ορίζουσα πίνακα 0 Σηµείωση : Θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε την det(a) παίρνοντας αναπτύγµατα συµπαραγόντων και ως προς άλλες γραµµές ή στήλες (γ) Χρησιµοποιώντας αναγωγή γραµµών παίρνουµε ότι det(a) 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 κοινός παράγοντας από την η γραµµή

5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 49 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 εναλλάσσουµε τη η και την 5η γραµµή ( 5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 ( 5) ( ( ) 3 ( 4)) ορίζουσα τριγωνικού πίνακα 0 4 Εστω A 0 0 0 0 a 5 0 0 0 a 4 a 5 0 0 a 33 a 34 a 35 0 a 4 a 43 a 44 a 45 a 5 a 5 a 53 a 54 a 55 Χρησιµοποιήστε τον ορισµό της ορίζουσας για να υπολογίσετε την det(a) Εστω a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 ένα στοιχειώδες γινόµενο του πίνακα A, όπου (j, j, j 3, j 4, j 5 ) είναι µία µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5} Εφόσον a a a 3 a 4 0, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 5 Αφού (j, j, j 3, j 4, j 5 ) είναι µία µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5} πρέπει τα j, j, j 3, j 4 και j 5 να είναι διαφορετικά µεταξύ τους Εποµένως, εφόσον j 5, πρέπει j 5 Εφόσον a a a 3 0 και j 5, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0 πρέπει j 4 Αφού (j, j, j 3, j 4, j 5 ) είναι µία µετάθεση του συνόλου {,, 3, 4, 5} πρέπει τα j, j, j 3, j 4 και j 5 να είναι διαφορετικά µεταξύ τους Εποµένως, εφόσον j 5 και j 4, πρέπει j 3 4, 5 Εφόσον a 3 a 3 0 και j 3 4, 5, για να έχουµε a j a j a 3j3 a 4j4 a 5j5 0