t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι μη μηδενική Προσαρτημένος πίνακας και αντίστροφος πίνακας, κανόνας του Cramer Συμβολισμοί: Το σύνολο είναι το ή το To σύνολο των m πινάκων με στοιχεία από το συμβολίζεται με Ο ταυτοτικός I (ή απλά I αν δεν υπάρχει ασάφεια για το ) και ο μηδενικός m πίνακας συμβολίζεται 0 m ( ή απλά 0 αν δεν υπάρχει ασάφεια για τα m, ) πίνακας με 0 Έστω Υπολογίστε τις ορίζουσες των πινάκων 0 0 t t, Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του Υπολογίστε την ορίζουσα του Βρείτε τις ορίζουσες των στοιχειωδών πινάκων D( i, ), M ( i, j, ), E( i, j), όπου i j 4 Έστω X, Y, a και a Αν τρεις από τις στήλες του Δείξτε τα εξής, είναι οι, X Y και X ay, τότε det( ) 0 b Αν τρεις από τις στήλες του, είναι οι X Y, X ay και X 5 Έστω a και 0 3 a 0 a Υπολογίστε τον προσαρτημένο πίνακα adj( ) και την ορίζουσα det a Y, τότε det( ) 0 b Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος αν μόνο αν a 8 Για a 8 υπολογίστε τον χρησιμοποιώντας το adj( ) 0 c Για a 8, λύστε το σύστημα x 6 Βρείτε τα a τέτοια ώστε ο είναι αντιστρέψιμος, όπου: a a a a b a a

2 a a c a a 7 Έστω x,, x, y,, y και ( a ij ), όπου aij xi y j Δείξτε ότι det( aij ) 0 αν 3 8 Δείξτε ότι det a( b a)( c b)( d c), όπου a a a a a b b b a b c c a b c d 9 Υπολογίστε τις ορίζουσες των x a x a y b y b a, B z c z c b w d w d c 0 Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο,, όπου det Έστω Δείξτε τα εξής det det det για κάθε 3 a b det για κάθε Έστω

3 Δείξτε τα εξής a Για κάθε έχουμε b Για κάθε έχουμε D a b 0 a 0 0 b a b b a b 0 0 a 0 b a det D ( a b )det D( ) det D ( ) a b 3 (Ορίζουσα Vadermode) Έστω,, x x και, x x x3 x x x x3 x x x x x Δείξτε ότι det ( x x ) i j i j 4 Έστω τέτοιο ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης είναι ίσο με Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικό X τέτοιο ώστε X X 5 Χρησιμοποιώντας ορίζουσες και τον κανόνα του Cramer απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα Για ποιες τιμές της παραμέτρου a το σύστημα ax y z x ay z x y az έχει μοναδική λύση; Για τις τιμές αυτές του a βρείτε τις λύσεις 6 Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι det( adj( )) det( ), όπου b Δείξτε ότι adj( adj( )) det( ), όπου 3 c Αληθεύει τo συμπέρασμα του a χωρίς την υπόθεση ότι ο είναι αντιστρέψιμος; d Αληθεύει τo συμπέρασμα του b χωρίς την υπόθεση ότι ο είναι αντιστρέψιμος; 7 Έστω, B αντιστρέψιμοι Δείξτε ότι adj( B) adj( B) adj( ) 8 a Έστω ( a ij ) άνω τριγωνικός Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν aii 0 για κάθε i,, Στην περίπτωση αυτή δείξτε, χρησιμοποιώντας τον προσαρτημένο πίνακα, ότι ο είναι άνω τριγωνικός a b b Υπολογίστε τον αντίστροφο του 0 c Έστω τέτοιος ώστε ο πίνακας I είναι μη αντιστρέψιμος Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικό X 0 Έστω, B έτσι ώστε X X ή X X Δείξτε τα εξής 3

4 a Αν B I, τότε B I b Αν B B 0, τότε B B Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογείστε τις απαντήσεις με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα a Έστω, B Τότε B αντιστρέψιμος αν και μόνο αν, B αντιστρέψιμοι b Έστω c Αν Τότε det( ) det αν και μόνο αν άρτιος αντισυμμετρικός όπου περιττός, τότε ο δεν είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον I d Έστω, B Τότε det( B) det det B e Αν αντιστρέψιμος με, t τότε det {, } 4

5 Υποδείξεις-Απαντήσεις Παρακάτω δίνονται συνήθως σύντομες υποδείξεις ή τελικές απαντήσεις σε υπολογιστικές ασκήσεις t t 4 t det( ) 6, ( ), det( ) Εφαρμόζοντας τις γραμμοπράξεις και 4 3 προκύπτει πίνακας με δύο ίσες γραμμές και επομένως η ορίζουσα του αρχικού πίνακα ισούται με 0 3 det D( i, ), det M ( i, j, ), det E( i, j) 4 aαφαιρώντας από τη στήλη X ay τη στήλη X και a φορές τη στήλη Y προκύπτει μηδενική στήλη a 4 5 a adj( ) 3 6 a, det 8 a 3 a 4 b 3 6 a 8 a a 8 a 3 c a x x 3 6 a 8 a a a 8 6 cπροσθέτοντας στην πρώτη στήλη του κάθε άλλη στήλη του και βγάζοντας κοινό παράγοντα από τη νέα πρώτη στήλη, παίρνουμε a det( ) ( a )det a a Αφαιρώντας την πρώτη γραμμή του νέου πίνακα από κάθε άλλη γραμμή του δίνει τριγωνικό πίνακα και έχουμε 0 a 0 0 det( ) ( a )det 0 0 a 0 ( a )( a ) a Άρα det 0 a, 7 Μετά τις γραμμοπράξεις και 3 και βγάζοντας κοινό παράγοντα από τις γραμμές και 3, τι παρατηρείτε στο νέο πίνακα; 8 Υπολογίζουμε 5

6 a 3 a a b b b 4 a 0 b a b a b a det( ) a det a det a b c c 0 b a c a c a a b c d 0 b a c a d a b a b a b a ( ba) 3 ( ba) a det b a c a c a a( b a)det b a c a c a b a c a d a b a c a d a c b c b a( b a)det a( b a)( c b)det c b d b c b d b a( b a)( c b)( d c) 9 det( ) 0, det( B) abc 0 Ένας τρόπος είναι με επαγωγή στο χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα ως προς την πρώτη στήλη a Αναπτύξτε την ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη και στη συνέχεια αναπτύξτε την ορίζουσα του δεύτερου προκύπτοντος πίνακα πάλι ως προς την πρώτη στήλη b Προκύπτει εύκολα από το a με επαγωγή a Ένας τρόπος είναι να ξεκινήσουμε με, να βγάλουμε κοινό παράγοντα το a b, να συνεχίσουμε με, και να αναπτύξουμε την ορίζουσα ως προς την τελευταία γραμμή b Προκύπτει εύκολα από το a με επαγωγή 3 Ένας τρόπος είναι με επαγωγή στο ξεκινώντας με τις στηλοπράξεις,,3,,, i i συνεχίζοντας με τις γραμμοπράξεις x, 0,3,, i, και βγάζοντας κοινό παράγοντα από τις στήλες i i,, το x x,, x x αντίστοιχα Τότε παίρνουμε det( ) ( x x )( x x )det 0 x x3 x 0 x x x x x3 x ( x x )( x x )det x x3 x Στην τελευταία ορίζουσα εφαρμόζει η επαγωγική υπόθεση 4 Προσθέστε στην πρώτη γραμμή του I κάθε άλλη γραμμή για να δείξετε ότι det( I ) 0 Άρα το σύστημα ( I ) X 0 έχει μη μηδενική λύση 5 6 a Λαμβάνοντας ορίζουσες στη σχέση adj( ) (det( )) I παίρνουμε det( ) det( adj( )) (det( )) Διαιρώντας με det( ) που από την υπόθεση είναι διάφορο του μηδενός προκύπτει το ζητούμενο b Θεωρήστε τη σχέση B adj( B) det( B) I, όπου B adj( ) και χρησιμοποιείστε το a c Αληθεύει Πράγματι αν ο ήταν μη αντιστρέψιμος και μη μηδενικός, τότε από τη σχέση adj( ) (det( )) I 0 έπεται ότι ο adj( ) είναι μη αντιστρέψιμος Άρα det( adj( )) 0 d Αληθεύει 7 Έχουμε 6

7 ( B) adj( B) (det( B)) I det( )det( B) I det( B)det( ) I det( B)( adj( )) (det( B) I ) adj( ) Badj( B) adj( ) Επειδή οι,b είναι αντιστρέψιμοι, ο B είναι αντιστρέψιμος Πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά με τον ( B) παίρνουμε ότι adj( B) adj( B) adj( ) 8 9 Έχουμε 0 det( I ) det(( I )( I ) det( I )det( I ) det( I ) 0 ή det( I ) 0 Άρα ένα από τα γραμμικά συστήματα ( I ) X 0 ή ( I ) X 0 έχει μη μηδενική λύση 0 b B B 0 ( I)( B I ) I Εφαρμόστε το a στην τελευταία σχέση a Σ b Σ c Σ d Λ e Σ 7