Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Transcript

1 Ορίζουσες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ο- ϱιζουσών και των εφαρµογών τους. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Ορίζουσες Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Ιδιότητες 3 3 Υπολογισµός Οριζουσών 4 4 Εφαρµογές Αντιστροφή Πίνακα Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer

3 Κ. Κυρίτσης 3 Ορίζουσες 1 Ορισµός Για τον πίνακα 2 2 A = ( ) a b c d ορίζουµε την ορίζουσά του να είναι ο αριθµός det A = a d b c. (1) Χρησιµοποιείται και ο συµβολισµός det A = a b c d. (2) Για πίνακες µεγαλύτερης διάστασης η ορίζουσα ορίζεται επαγωγικά. Ξεκινάµε µε έναν πίνακα A διάστασης n n. Ορίζουµε την ελάσσονα ο- ϱίζουσα του a ij στοιχείου να είναι η ορίζουσα του πίνακα M ij ο οποίος προκύπτει από τον A αν διαγράψουµε την i γραµµή και την j στήλη (πρόκειται για την ορίζουσα ενός πίνακα (n 1) (n 1)). Την συµβολίζουµε µε det M ij. Εν συνεχεία ορίζουµε το συµπλήρωµα του a ij στοιχείου να είναι A ij = ( 1) i+j det M ij. Η ορίζουσα του αρχικού πίνακα A είναι τώρα det A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n = a 11 det M 11 a 12 det M 12 + ± a 1n det M 1n. (3) Στην δεύτερη σειρά της παραπάνω σχέσης, τα πρόσηµα πηγαίνουν εναλλάξ, ξεκινώντας µε το +. Ο ορισµός που δώσαµε υπολογίζει την ορίζουσα αναπτύσσοντας ως προς την πρώτη γραµµή. 2 Ιδιότητες Μερικές ϐασικές ιδιότητες των οριζουσών είναι οι εξής: 1. det(ab) = det(a) det(b). (4) 2. Αν A T ο ανάστροφος του πίνακα A, τότε ισχύει det(a T ) = det(a). (5) 3. Αν ο A έχει µια γραµµή ή στήλη µηδενική, A = 0.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Ορίζουσες 4. Αν ο A έχει δύο ίδιες γραµµές ή στήλες είναι A = Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος, η ορίζουσα είναι το γινόµενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Αν µε στοιχειώδεις πράξεις γραµµών ή στηλών από τον A πάρουµε τον B, τότε 1. Εναλλαγή γραµµών συνεπάγεται A = B. 2. Πολλαπλασιασµός γραµµής η στήλη µε αριθµό λ συνεπάγεται B = λ A. Κατά συνέπεια λa = λ n A. 3. Αν το πολλαπλάσιο µιας γραµµής ή στήλης προστεθεί σε άλλη γραµµή η στήλη αντίστοιχα, τότε B = A. 3 Υπολογισµός Οριζουσών Μια ορίζουσα n n µπορεί να αναπτυχθεί ως προς οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη επιθυµούµε. Είναι det(a) = n a ij A ij = j=1 n a ij A ij. (6) Ενας µνηµονικός κανόνας για τα πρόσηµα στο ανάπτυγµα είναι ο εξής (7) Για τον υπολογισµό µιας ορίζουσας εφαρµόζουµε στοιχειώδεις πράξεις γραµµών ή στηλών για να απλοποιήσουµε µια γραµµή ή στήλη και µετά αναπτύσσουµε ως προς αυτή την γραµµή ή στήλη. 4 Εφαρµογές 4.1 Αντιστροφή Πίνακα i=1 Ορίζουµε τον προσαρτηµένο πίνακα του A να είναι ο πίνακας µε στοιχεία adja = (A ij ) T. (8)

5 Κ. Κυρίτσης 5 Ορίζουσες Ισχύει ότι A adja = adja A = det(a)i n. (9) Αν det(a) 0, τότε ο αντίστροφος του A είναι A 1 = 1 det(a) adja. Αν det(a) = 0 ο πίνακας δεν αντιστρέφεται. 4.2 Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer Εστω το τετραγωνικό γραµµικό σύστηµα A X = B. Ορίζουµε να είναι D = det A και D i = det A i, όπου A i ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν αντικατασταθεί η i στήλη µε τον πίνακα B. Αν είναι D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την x i = D i D.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Ορίζουσες ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Ορίζουσες Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

8 Κ. Κυρίτσης 8 Ορίζουσες Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ