Χειμερινό. Εξάμηνο. Διδάσκων Πατλάκης

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Χειμερινό Εξάμηνο 018-019 Διδάσκων Κωνσταντίνος Πατλάκης Σέρρες 018

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ Στην Τοπογραφία υπάρχουν τρία Θεμελιώδη προβλήματα. Τα προβλήματα αυτά σχετίζονται με την εύρεση συντεταγμένων σημείων και με τον προσδιορισμό άλλων χρήσιμων ποσοτήτων, όπως γωνίες διεύθυνσης και αποστάσεις. Γωνία Διεύθυνσης Γωνία διεύθυνσης ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ορίζεται η γωνία που διαγράφεται δεξιόστροφα (με τη φορά των δεικτών του ρολογιού), από την ημιευθεία στο σημείο Α, παράλληλη προς τον θετικό ημιάξονα Οy, έως το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Αν ο θετικός ημιάξονας Οy (χαρτογραφικός Βορράς ή Βορράς τετραγωνισμού) έχει τη διεύθυνση του γεωγραφικού Βορρά, τότε η γωνία διεύθυνσης αποκαλείται αζιμούθιο. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, αν γνωρίζουμε τη γωνία διεύθυνσης G AB μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης G ΒΑ από τον τύπο: Αν G ΑΒ > 00 g τότε αφαιρώ 00 g Αν G ΑΒ < 00 g τότε προσθέτω 00 g G ΒΑ =G ΑΒ ± 00 g Y Y Y Y B B G BA ΔY G AΒ Y A A X ΔX X O X A X B X Y

Πρώτο Θεμελιώδες Πρόβλημα Έχουμε γνωστές τις ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου Α και θέλουμε να υπολογίσουμε τις ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου Β. Τα μεγέθη που μετρούνται ή είναι ήδη γνωστά είναι οι πολικές συντεταγμένες του σημείου Β με πόλο το σημείο Α: Η οριζόντια απόσταση S AB μεταξύ των δύο σημείων Α και Β Η γωνία διεύθυνσης G AB Οι σχέσεις που μας δίνουν τις άγνωστες ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου Β είναι: X B =X A +S οριζ. ΑΒ ημg AB Y B =Y A +S οριζ. ΑΒ συν G AB Δεύτερο Θεμελιώδες Πρόβλημα Έχουμε γνωστές τις ορθογώνιες συντεταγμένες δύο σημείων Α και Β. Χωρίς να απαιτείται να μετρηθεί ή να είναι γνωστό κανένα άλλο μέγεθος, υπολογίζονται η οριζόντια απόσταση S οριζ. ΑΒ μεταξύ των δύο σημείων και η γωνία διεύθυνσης G AB ή G ΒΑ Γνωστά: X A,Y A, X B,Y B Υπολογίζονται: S οριζ. ΑΒ,G AB ή G ΒΑ Η οριζόντια απόσταση δίνεται από τον τύπο: S οριζ. ΑΒ =S οριζ. ΒΑ = ΔX +ΔY = (Χ B Χ Α ) +(Y B Y Α ) Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης υπολογίζουμε πρώτα την τιμή μιας βοηθητικής ή ενδιάμεσης γωνίας και μετά κάνουμε διερεύνηση τεταρτημορίου για την αναγωγή της γωνίας στο σωστό τεταρτημόριο. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης G AB. Υπολογίζουμε πρώτα την γωνία α AΒ με τον παρακάτω τύπο: α AΒ = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ B Χ Α Y B Y Α Έπειτα κάνουμε διερεύνηση τεταρτημορίου και ανάλογα με τα πρόσημα των ΔΧ και ΔY υπολογίζουμε τη γωνία G AB συναρτήσει της α AΒ.

Διερεύνηση Τεταρτημορίου ΔΧ + + 0 0 + 0 ΔY + + + 0 0 0 G AΒ α AΒ 00 g α AΒ 00 g +α AΒ 400 g α AΒ 0 g 00 g 100 g 300 g απροσδιόριστο ΔX > 0, ΔY > 0 G AΒ =α AΒ ΔX > 0, ΔY < 0 G AΒ = 00 α AΒ ΔX < 0, ΔY < 0 G AΒ = 00 + α AΒ ΔX < 0, ΔY > 0 G AΒ = 400 α AΒ ΔX = 0, ΔY > 0 G AΒ =0 g ΔX = 0, ΔY < 0 G AΒ = 00 g ΔX > 0, ΔY = 0 G AΒ = 100 g ΔX < 0, ΔY = 0 G AΒ = 300 g ΔX = 0, ΔY = 0 G AΒ =απροσδιόριστο Τρίτο Θεμελιώδες Πρόβλημα Έχουμε γνωστή τη γωνία διεύθυνσης μιας πλευράς μιας πολυγωνικής γραμμής (πολυγωνικής όδευσης) και μετρημένες τις γωνίες θλάσης (οριζόντιες γωνίες) σε κάθε κορυφή της πολυγωνικής αυτής γραμμής. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης οποιασδήποτε πλευράς της όδευσης. Με το τρίτο Θεμελιώδες Πρόβλημα, «μεταφέρουμε» τη γωνία διεύθυνσης κατά μήκος μιας τεθλασμένης γραμμής. Y Y Y Σ 0 G Σ0 Σ 1 β Σ n+1 ω G Σ1 Σ Σ β n 1 β 1 G Σn Σ n+1 β 4 Σ n 1 β n G Σ0 Σ 1 Σ 1 β 3 Σ 4 Σ n Σ 3

Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: G Σ1 Σ =β 1 ω ω = 400 g (00 g +G Σ0 Σ 1 ) } G Σ 1 Σ =β 1 400 g + 00 g +G Σ0 Σ 1 Ομοίως έχουμε: G Σ1 Σ =G Σ0 Σ 1 +β 1 + 00 g k 400 g G Σ Σ 3 =G Σ1 Σ +β + 00 g k 400 g G Σ3 Σ 4 =G Σ Σ 3 +β 3 + 00 g k 400 g G Σn 1 Σ n =G Σn Σ n 1 +β n 1 + 00 g k 400 g G Σn Σ n+1 =G Σn 1 Σ n +β n + 00 g k 400 g Αθροίζοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ο τύπος: G Σn Σ n+1 =G Σ0 Σ 1 + β i + 00 g k 400 g n i=1 με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης οποιασδήποτε πλευράς μιας πολυγωνικής όδευσης. Το k είναι ένας ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε η τελική τιμή της γωνίας διεύθυνσης να είναι μεταξύ των 0 g και 400 g. Γι αυτό το τρίτο Θεμελιώδες Πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί και με τη βοήθεια της αριθμητικής υπολοίπων με τον τύπο: G Σn Σ n+1 = ([G Σ0 Σ 1 + n β i=1 i G Σn Σ n+1 = mod[ G Σ0 Σ 1 + + 00 g ] mod 400) ή n β i=1 i + 00 g, 400] Έστω ότι έχουμε το παρακάτω σχήμα, όπου έχουμε τοποθετήσει τρίποδα και ταχύμετρο στο σημείο Τ 9, έχουμε προσανατολίσει στο σημείο Σ 3 και έχουμε σκοπεύσει στο σημείο Σ 6 μετρώντας ταυτόχρονα την οριζόντια γωνία (γωνία θλάσης) β. Τα σημεία Τ 9 και Σ 3 έχουν γνωστές συντεταμένες. Y Σ 3 G Τ9 Σ 6 β Τ 9 Σ 6 G Τ9 Σ 3 Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης G Τ9 Σ 6 μπορούμε να εφαρμόσουμε το 3 ο Θεμελιώδες, G Τ9 Σ 6 =G Σ3 Τ 9 +β+00 g k 400 g

ή μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο G Τ9 Σ 6 =G Τ9 Σ 3 +β k 400 g Που απορρέει από το 3 ο Θεμελιώδες Πρόβλημα και είναι αυτός που χρησιμοποιείται συνήθως στην επίλυση της ταχυμετρίας. Ένας ακόμα τύπος που προκύπτει είναι: β=g Τ9 Σ 6 G Τ9 Σ 3 + (400 g ) για τον υπολογισμό της οριζόντιας γωνίας μεταξύ δύο ευθύγραμμων τμημάτων. Προσοχή αφαιρούμε τη γωνία διεύθυνσης του αριστερού ευθύγραμμου τμήματος από τη γωνία διεύθυνσης του δεξιού ευθύγραμμου τμήματος και προσθέτουμε 400 g αν χρειαστεί (δλδ. αν η γωνία βγει αρνητική). Για το ποιο ευθύγραμμο τμήμα είναι δεξιά και ποιο αριστερά, αρκεί να «σταθούμε» πάνω στην κορυφή της σχηματιζόμενης γωνίας (π.χ. στο Τ 9, στο παραπάνω σχήμα) «κοιτώντας» προς τη σχηματιζόμενη γωνία που θέλουμε να υπολογίσουμε. ΠΡΟΣΟΧΗ! Σε όλους τους παραπάνω τύπους των Θεμελιωδών Προβλημάτων και γενικότερα σε όλους τους τύπους που εφαρμόζουμε για τον υπολογισμό μιας ποσότητας, στρογγυλοποίηση στα δεκαδικά ψηφία κάνουμε μόνο στο τελικό αποτέλεσμα και όχι σε ενδιάμεσες πράξεις.

ΕΜΒΑΔΑ Ο υπολογισμός του Εμβαδού ενός γηπέδου (οικόπεδο, αγροτεμάχιο κ.ά.) μπορεί να γίνει με το διαχωρισμό του σε τμήματα (π.χ. τρίγωνα, τετράγωνα, τραπέζια κ.ά.) για καθένα από τα οποία μπορεί να εφαρμοστεί κάποιος τύπος υπολογισμού του Εμβαδού και στο τέλος να αθροιστούν όλα τα εμβαδά των επιμέρους τμημάτων. Επίσης μπορεί να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός γηπέδου αν γνωρίζουμε τις ορθογώνιες συντεταγμένες στις κορυφές του, ή με τη βοήθεια των πολικών συντεταγμένων (γωνία και απόσταση). Γ Εμβαδόν Τριγώνου Α Δ Β Ε= 1 Ε= 1 (ΑΒ) (ΓΔ), οποιαδήποτε βάση με το αντίστοιχο ύψος (ΓΑ) (ΑΒ) ημ(γαβ ), οποιεσδήποτε δύο πλευρές με την περιεχόμενή τους γωνία (ΑΒ)+(ΒΓ )+(ΓΑ) Ε= τ (τ (ΑΒ)) (τ (ΒΓ )) (τ (ΓΑ)), όπου τ =, τύπος του Ήρωνα Εμβαδόν Τετραπλεύρου Τετράγωνο Δ Γ α Ε = (ΑΒ) (ΒΓ ) = α Α α Β Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο Δ Γ b Ε = (ΑΒ) (ΒΓ ) = α b Α α Β

Παραλληλόγραμμο Δ Γ h b Ε=(AB) h=α h Ε = (AB) (ΒΓ ) ημ ΑΒΓ =α b ημαβγ Α α Β Τραπέζιο Δ Κ Γ Ε= 1 [(ΑΒ) + (ΓΔ)] (ΚΛ) Α Λ Β Ρόμβος Δ α α Α Γ Ε = (ΑΒ) (ΒΓ ) ημ ΑΒΓ =α ημαβγ Ε= 1 [(ΑΓ ) (ΒΔ)] α α Β Δελτοειδές Τετράπλευρο Δ b b Α α α Γ Ε = (ΑΒ) (ΑΔ) ημ ΒΑΔ =α b ημβαδ Ε= 1 [(ΑΓ ) (ΒΔ)] Β

Εγγράψιμο Τετράπλευρο Δ Α d α c b Β Γ s= (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)+(ΔΑ) = a+b+c+d Ε= (s a) (s b) (s c) (s d) Τύπος του Brahmagupta Τυχαίο - Ακανόνιστο Τετράπλευρο Δ Α d α Κ c Β b Γ s= (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)+(ΔΑ) = a+b+c+d ημιπερίμετρος +ΒΓΔ Ε= (s a) (s b) (s c) (s d) a b c d συν ( ΒΑΔ ),τύπος του Bretschneider Ε= 1 4 4 (ΑΓ) (ΒΔ) [(ΒΓ ) + (ΑΔ) (ΑΒ) (ΓΔ) ], τύπος του Bretschneider με τις διαγωνίους και τις πλευρές Ε= 1 (ΑΓ ) (ΒΔ) ημ ΒΚΓ, τύπος με τις διαγωνίους και μία από τις σχηματιζόμενες γωνίες στην τομή τους (οποιαδήποτε) Ε= 1 ((ΑΓ ) (ΒΓ ) ημ ΑΒΓ + (ΒΓ ) (ΓΔ) ημ ΒΓΔ (ΑΒ) (ΓΔ) ημ(αβγ +ΒΓΔ )), οποιεσδήποτε τρεις διαδοχικές πλευρές και οι περιεχόμενές τους γωνίες.

Ε= 1 ((ΑΒ) (ΒΓ ) ημ ΑΒΓ + (ΓΔ) (ΔΑ) ημ ΓΔΑ ), όλες οι πλευρές και δύο απέναντι γωνίες (οποιεσδήποτε) Ε= 1 ( (ΑΒ) σφ ΔΑΒ +σφαβγ + (ΓΔ) σφ ΒΓΔ +σφγδα )=1 ( (ΒΓ ) σφ ΑΒΓ +σφβγδ + (ΔΑ) σφ ΓΔΑ +σφδαβ ) Δ Μ4 Α Μ Κ Μ1 Β Μ3 Γ Αν Μ1, Μ, Μ3 και Μ4 είναι τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα Μ1Μ και Μ3Μ4 είναι οι διάμεσοι του τετραπλεύρου ενώ το σχήμα που προκύπτει από την ένωση των μέσων των πλευρών είναι ένα παραλληλόγραμμο. Το εμβαδό αυτού του παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του αρχικού τετραπλεύρου. Οπότε προκύπτει ο παρακάτω τύπος: Ε = (Μ1Μ) (Μ3Μ4) ημ Μ4ΚΜ, τύπος με τις διαμέσους και μία από τις σχηματιζόμενες γωνίες στην τομή τους (οποιαδήποτε) Εμβαδό με ορθογώνιες συντεταγμένες Για τον υπολογισμό του εμβαδού μιας πολυγωνικής επιφάνειας, αν είναι γνωστές οι ορθογώνιες συντεταγμένες (X,Y) στις κορυφές της χρησιμοποιείται η μέθοδος Gauss, ή αλλιώς Shoelace Formula όπως είναι ευρύτερα διαδεδομένη. Για την εφαρμογή της μεθόδου χρησιμοποιούνται οι παρακάτω ισοδύναμοι τύποι, όπου n ο αριθμός των κορυφών της πολυγωνικής επιφάνειας: n 1 Εμβαδον = 1 X i Y i+1 +X n Y 1 X i+1 Y i X 1 Y n i=1 n 1 i=1 ή ο ίδιος τύπος χωρίς τους τελεστές αθροίσματοςς Εμβαδον = 1 (X 1Y +X Y 3 +X 3 Y 4 + +X n 1 Y n )+X n Y 1 (X Y 1 +X 3 Y +X 4 Y 3 + +X n Y n 1 ) X 1 Y n Ή εναλλακτικά, οι παρακάτω τύποι: Εμβαδον = 1 n (X iy i+1 X i+1 Y i ) i=1 n Εμβαδον = 1 X i (Y i+1 Y i 1 ) = 1 Y i (X i 1 X i+1 ) i=1 n i=1

Εμβαδον = 1 n (X i+1 +X i ) i=1 (Y i+1 Y i ) Προσοχή, στους παραπάνω τύπους όταν το i παίρνει την τιμή n+1 τότε «επιστρέφουμε» στην πρώτη κορυφή και ουσιαστικά γίνεται 1. Γι αυτό μπορούμε να γράψουμε τους παραπάνω τύπους με τη βοήθεια της αριθμητικής υπολοίπων. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για έναν από τους τύπους. Εμβαδον = 1 n (X iy i+1 X i+1 Y i ), i(mod n) i=0 ΠΡΟΣΟΧΗ! Στους παραπάνω τύπους να μην παραλείπετε το σύμβολο της απόλυτης τιμής. Όταν η αρίθμηση των κορυφών της πολυγωνικής επιφάνειας είναι αριστερόστροφη, τότε ο τύπος εντός της απόλυτης τιμής θα δώσει θετικό αποτέλεσμα, αν όμως η αρίθμηση είναι δεξιόστροφη (ίδια με τη φορά των δεικτών του ρολογιού) θα δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. Η τιμή του εμβαδού μιας επιφάνειας δεν μπορεί να είναι αρνητική, επομένως πρέπει να πάρουμε την απόλυτη τιμή του αποτελέσματος από την εφαρμογή των παραπάνω τύπων. Υπάρχουν περιπτώσεις που η αριστερόστροφη αρίθμηση μπορεί να δώσει αρνητικό αποτέλεσμα, οπότε να χρησιμοποιείτε πάντα τις απόλυτες τιμές. Ένας εύκολος τρόπος για την εφαρμογή των παραπάνω τύπων και τον υπολογισμό του Εμβαδού, χωρίς να πρέπει να τους θυμάστε είναι ο ακόλουθος: Έστω ότι έχουμε την παρακάτω πολυγωνική επιφάνεια και έχουμε ονομάσει τις κορυφές όπως φαίνεται στο σχήμα. Επιλέγουμε τη φορά που θα ακολουθήσουμε και έστω ότι αυτή είναι δεξιόστροφη με αρχή την κορυφή Α. Συντάσσουμε λοιπόν ένα πίνακα με τις συντεταγμένες των κορυφών της επιφάνειας και στο τέλος ξαναγράφουμε την κορυφή που θεωρήσαμε ως αρχή. ΚΟΡΥΦΕΣ Χ Υ Η Α Β Α Χ Α Υ Α Β Χ Β Υ Β Γ Χ Γ Υ Γ Δ Χ Δ Υ Δ Γ Ε Ε Χ Ε Υ Ε Ζ Χ Ζ Υ Ζ Η Χ Η Υ Η Α Χ Α Υ Α Ζ Δ Υπολογίζουμε τα γινόμενα μεταξύ των συντεταγμένων που «ενώνουν» τα μπλε βέλη και τα προσθέτουμε. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα X Α Y Β +X Β Y Γ +X Γ Y Δ +X Δ Y Ε + X Ε Y Ζ +X Ζ Y Η +X Η Y Α.

Υπολογίζουμε τα γινόμενα μεταξύ των συντεταγμένων που «ενώνουν» τα κόκκινα βέλη και τα προσθέτουμε. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα X Β Y Α +X Γ Y Β +X Δ Y Γ +X Ε Y Δ + X Ζ Y Ε +X Η Y Ζ +X Α Y Η. Αφαιρούμε το δεύτερο άθροισμα (κόκκινα βέλη) από το πρώτο άθροισμα (μπλε βέλη) και διαιρούμε την απόλυτη τιμή του αποτελέσματος με το δύο () για να υπολογίσουμε το εμβαδό της επιφάνειας. Εμβαδό με πολικές συντεταγμένες Ο υπολογισμός του εμβαδού μιας πολυγωνικής επιφάνειας μπορεί να γίνει και με τη βοήθεια των πολικών συντεταγμένων των κορυφών της με πόλο ένα σταθερό σημείο. Το σημείο αυτό μπορεί να είναι είτε μέσα στην πολυγωνική επιφάνεια είτε έξω από αυτήν. Γνωρίζοντας λοιπόν τις διευθύνσεις και αποστάσεις των κορυφών από κοινό σημείο υπολογίζουμε το εμβαδό της επιφάνειας. Α Β S ΣΑ S ΣB S ΣΓ Γ Η S ΣΗ Σ S ΣΔ S ΣΖ S ΣΕ Δ Ζ Ε Εμβαδον = 1 n S i S i+1 ημ(g i+1 G i ) i=1 Όπου S οι αποστάσεις και G οι γωνίες διεύθυνσης από το σταθερό σημείο (π.χ. το Σ στο παραπάνω σχήμα). Για ευκολία γράφουμε μόνο το δεύτερο σημείο, π.χ. το G ΣΑ στον τύπο το γράφουμε ως G Α και το S ΣΑ το γράφουμε ως S Α Στον παραπάνω τύπο όταν το i παίρνει την τιμή n+1 τότε «επιστρέφουμε» στην πρώτη κορυφή και ουσιαστικά γίνεται 1. Ο ίδιος τύπος ισχύει και αν το σημείο π.χ. το Σ, βρίσκεται εκτός της πολυγωνικής επιφάνειας.

ΔΙΑΝΟΜΗ ΓΗΠΕΔΟΥ Στην Τοπογραφία απαιτείται συχνά η διανομή των αρχικών εκτάσεων σε επιμέρους επιφάνειες. Οι επιφάνειες αυτές είτε πρέπει να είναι ισεμβαδικές, είτε ανάλογες του αρχικού εμβαδού συναρτήσει των ποσοστών συνιδιοκτησίας επί της αρχικής έκτασης. Εκτός όμως από την έκταση τους που θα είναι γνωστή πριν γίνει η διανομή συνήθως πρέπει να πληρούν και κάποιες άλλες συνθήκες, όπως π.χ. συγκεκριμένο μήκος προσώπου σε κάποια οδό. Η διανομή μιας επιφάνειας σε επιμέρους τμήματα μπορεί να γίνει είτε γεωμετρικά είτε αναλυτικά. Παρακάτω παρουσιάζονται μέθοδοι διανομής ενός γηπέδου σε επιμέρους επιφάνειες είτε με ευθεία που διέρχεται από γνωστό σημείο, είτε με ευθεία γνωστής διεύθυνσης (π.χ. παράλληλη προς μία πλευρά της αρχικής επιφάνειας). Διανομή Τριγώνου Διανομή με ευθεία σταθερού σημείου Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γνωστές τις ορθογώνιες συντεταγμένες των κορυφών του. Ζητείται να διανεμηθεί το τρίγωνο σε δύο τμήματα από τα οποία το ένα να έχει εμβαδόν ίσο με Ε 1, με ευθεία που διέρχεται από την κορυφή του Α. Α Γ Δ Β Έστω το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, όπου h είναι το ύψος από την κορυφή Α προς τη βάση ΒΓ και Δ είναι σημείο επί της ΒΓ ώστε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΔ να είναι ίσο με Ε 1. Γνωρίζοντας τις ορθογώνιες συντεταγμένες όλων των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ, υπολογίζουμε το εμβαδόν του, Ε, με τη μέθοδο Gauss. n Ε= 1 Y i (X i 1 X i+1 ) = 1 Y Α (X Γ X Β )+Y Β (X Α X Γ )+Y Γ (X Β X Α ) i=1 Όμως γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν τριγώνου δίνεται και από τον τύπο, Ε= 1 (ΒΓ ) h

Επιλύοντας την παραπάνω σχέση ως προς h, υπολογίζουμε το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. h= E (ΒΓ ) Επίσης γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ ισούται με Ε 1. Ε 1 = 1 (ΒΔ) h (ΒΔ) = E 1 h = E 1 Ε (ΒΓ ) Υπολογίζουμε, λοιπόν, το μήκος της πλευράς ΒΔ και συνεπώς γνωρίζουμε την θέση του σημείου Δ. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Δ, μπορούμε να εφαρμόσουμε το 1 ο Θεμελιώδες Πρόβλημα της Τοπογραφίας από το σημείο Β, αφού θα έχουμε υπολογίσει με το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα τη γωνία διεύθυνσης G ΒΔ =G ΒΓ. Εναλλακτικά: Χ Δ =Χ Β + (ΒΔ) (ΒΓ ) (Χ Γ Χ Β )=Χ Β + Ε 1 Ε (Χ Γ Χ Β ) Y Δ =Y Β + (ΒΔ) (ΒΓ ) (Y Γ Y Β )=Y Β + Ε 1 Ε (Y Γ Y Β ) Διανομή με ευθεία παράλληλη στη βάση Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γνωστές τις ορθογώνιες συντεταγμένες των κορυφών του. Ζητείται να διανεμηθεί το τρίγωνο σε δύο τμήματα από τα οποία το ένα να έχει εμβαδόν ίσο με Ε 1, με ευθεία παράλληλη στη βάση του ΒΓ. Α Λ Γ Κ Β Έστω το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος, όπου h είναι το ύψος από την κορυφή Α προς τη βάση ΒΓ και ΚΛ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στην πλευρά ΒΓ ώστε το εμβαδόν τριγώνου ΑΚΛ να είναι ίσο με Ε 1. Από την ομοιότητα των ΑΚΛ και ΑΒΓ προκύπτει η σχέση: (ΒΓ ) (ΚΛ) = h 1 h Επίσης, παίρνοντας το λόγο των εμβαδών των δύο τριγώνων προκύπτει η σχέση:

Ε 1 Ε = (ΚΛ) h 1 (ΒΓ) h Αντικαθιστώντας την πρώτη σχέση στη δεύτερη έχουμε: Ε 1 Ε = (ΚΛ) (ΒΓ ) (ΚΛ) = (ΒΓ ) Ε 1 Ε Από την ομοιότητα των ΑΚΛ και ΑΒΓ προκύπτουν και οι σχέσεις: (ΒΑ) (ΚΑ) = (ΒΓ ) (ΚΛ) (ΚΑ) = (ΒΑ) (ΚΛ) (ΒΓ ) (ΓΑ) (ΛΑ) = (ΒΓ ) (ΚΛ) (ΛΑ) = (ΓΑ) (ΚΛ) (ΒΓ ) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ, μπορούμε να εφαρμόσουμε το 1 ο Θεμελιώδες Πρόβλημα της Τοπογραφίας από το σημείο Α, αφού θα έχουμε υπολογίσει με το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα τη γωνία διεύθυνσης G ΑΒ =G ΑΚ. Ομοίως υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Λ. Εναλλακτικά: Χ Κ =Χ Α + (ΚΑ) (ΒΑ) (Χ Β Χ Α ) Y Κ =Y Α + (ΚΑ) (ΒΑ) (Y Β Y Α ) και Χ Λ =Χ Α + (ΛΑ) (ΓΑ) (Χ Γ Χ Α ) Y Λ =Y Α + (ΛΑ) (ΓΑ) (Y Γ Y Α ) Διανομή Πολυγωνικής Επιφάνειας Διανομή με ευθεία σταθερού σημείου Δίνεται πολυγωνική επιφάνεια με γνωστές τις ορθογώνιες συντεταγμένες των κορυφών της. Επίσης δίνεται ένα σημείο Μ 1 στην περιφέρειά της με γνωστές ορθογώνιες συντεταγμένες. Ζητείται να υπολογισθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 1 και διανέμει την επιφάνεια σε δύο τμήματα από τα οποία το ένα έχει εμβαδόν ίσο με Ε 1. Πρέπει να υπολογίσουμε τη θέση ενός νέου σημείου Μ στην περιφέρεια της έκτασης, τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα Μ 1 Μ να διανέμει την έκταση στα δύο επιθυμητά τμήματα.

Έστω ότι έχουμε την παρακάτω πολυγωνική επιφάνεια ΑΒΓΔΕΑ και το σημείο Μ 1 βρίσκεται επί της πλευράς ΓΔ. Θέλουμε να υπολογίσουμε πρώτα την πλευρά πάνω στην οποία θα βρίσκεται το σημείο Μ και έπειτα τις συντεταγμένες του σημείου αυτού. Σημειώνεται πως το ευθύγραμμο τμήμα Μ 1 Μ χωρίζει την επιφάνεια σε δύο τμήματα από τα οποία επιλέγεται το αριστερό σε σχέση με το ευθύγραμμο τμήμα να έχει εμβαδόν ίσο με Ε 1. Μ Β Α Ε Γ Ε Ε Β Ε Α Δ Μ 1 Ε Δ Γ Αρχικά εξετάζουμε το ενδεχόμενο το σημείο Μ να ταυτίζεται με την κορυφή Ε. Υπολογίζουμε το εμβαδό Ε Α του τριγώνου Μ 1 ΔΕ. Αν Ε Α =Ε 1 τότε το σημείο Μ ταυτίζεται με την κορυφή Ε και έχουμε επιλύσει το πρόβλημά μας. Αν Ε Α >Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΔΕ. Αν Ε Α <Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται δεξιότερα από την κορυφή Ε. Στην τελευταία περίπτωση εξετάζουμε αν το σημείο Μ ταυτίζεται με την κορυφή Α. Υπολογίζουμε το εμβαδόν Ε Β του τριγώνου Μ 1 ΕΑ. Αν Ε Α +Ε Β =Ε 1 τότε το σημείο Μ ταυτίζεται με την κορυφή Α. Αν Ε Α +Ε Β >Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΕΑ. Αν Ε Α +Ε Β <Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται δεξιότερα της κορυφής Α. Στην τελευταία περίπτωση εξετάζουμε αν το σημείο Μ ταυτίζεται με την κορυφή Β. Υπολογίζουμε το εμβαδόν Ε Γ του τριγώνου Μ 1 ΑΒ. Αν Ε Α +Ε Β +Ε Γ =Ε 1 τότε το σημείο Μ ταυτίζεται με την κορυφή Β. Αν Ε Α +Ε Β +Ε Γ >Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΑΒ. Αν Ε Α +Ε Β +Ε Γ <Ε 1, τότε το σημείο Μ βρίσκεται δεξιότερα της κορυφής Β. Αν ισχύει η τελευταία περίπτωση, το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΒΓ. Έστω ότι στο παραπάνω σχήμα βρήκαμε πως Ε Α +Ε Β <Ε 1 και Ε Α +Ε Β +Ε Γ >Ε 1, συνεπώς το σημείο Μ βρίσκεται επί της πλευράς ΑΒ. Αφού εντοπίσαμε σε ποια πλευρά της πολυγωνικής επιφάνειας θα βρίσκεται το σημείο Μ, πρέπει να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του. Οι άγνωστοί μας είναι τα X M και Y M, συνεπώς θα πρέπει να καταστρώσουμε ένα σύστημα τουλάχιστον δύο εξισώσεων στις οποίες θα έχουμε τους παραπάνω αγνώστους.

Για το τμήμα Μ 1 ΔΕΑΜ της αρχικής επιφάνειας έχουμε το εμβαδόν του το οποίο ισούται με Ε 1. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για τον υπολογισμό του εμβαδού κατά Gauss, έχουμε την πρώτη εξίσωσή μας με αγνώστους τα X M και Y M. n Ε 1 = 1 Y i (X i 1 X i+1 ) = i=1 = 1 Y Α (X Μ X Ε )+Y Ε (X Α X Δ )+Y Δ (X Ε X Μ1 )+Y Μ! (X Δ X Μ )+Y Μ (X Μ1 X Α ) Το σημείο Μ βρίσκεται επί της πλευράς ΑΒ, συνεπώς η γωνία διεύθυνσης G ΑΜ είναι ίση με τη γωνία διεύθυνσης G ΑΒ. Οπότε προκύπτει η δεύτερη εξίσωσή μας με αγνώστους τα X M και Y M. X Μ X Α = X B X Α Y Μ Y Α Y B Y Α Επιλύοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων με τους δύο αγνώστους υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Βέβαια μπορούμε αντί να σχηματίσουμε εξισώσεις για την εύρεση των άγνωστων συντεταγμένων, να αναγάγουμε το πρόβλημά μας σε διανομή τριγωνικής επιφάνειας. Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε το σημείο Μ ώστε το τρίγωνο Μ 1 ΑΜ που αποτελεί τμήμα του τριγώνου Μ 1 ΑΒ, να έχει εμβαδόν ίσο με Ε =Ε 1 (Ε Α +Ε Β ). Εργαζόμαστε λοιπόν όπως στην ενότητα διανομής τριγώνου με ευθεία που περνάει από σταθερό σημείο.

ΤΑΧΥΜΕΤΡΙΑ ΜΕ ΣΤΑΔΙΑ Για την αποτύπωση μιας έκτασης, ενός κτιρίου και γενικότερα για την μέτρηση σημείων λεπτομερειών στο πεδίο χρησιμοποιούμε ταχύμετρο (ηλεκτρονικό θεοδόλιχο) σταδία και μετροταινία. Οι εργασίες πεδίου περιλαμβάνουν: Εύρεση ή υλοποίηση σταθερών σημείων (π.χ. καρφιά με ροδέλα στο έδαφος) για τα οποία γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τους ή τις υπολογίζουμε «στήνοντας» μια πολυγωνική όδευση. Κέντρωση και οριζοντίωση του ταχυμέτρου σε σταθερό σημείο. Μέτρηση Ύψους Οργάνου (συμβολίζεται συχνά ως Υ.Ο. ή J o ) Προσανατολισμός σε κάποιο άλλο σταθερό σημείο. Συνήθως όταν προσανατολίζουμε σε κάποιο σημείο, θέλουμε η ένδειξη του οριζόντιου κύκλου να είναι 0 g.0000 (μηδενισμός). Σκόπευση στο σημείο που θέλουμε να αποτυπώσουμε, τοποθετώντας την σταδία «κατακορυφωμένη» στο σημείο αυτό και σκοπεύοντας επί της σταδίας. Ανάγνωση των νημάτων του σταυρονήματος πάνω στη σταδία (lάνω, lκάτω, lμέσον). Η ποσότητα g = lανω lκατω καλείται αποκοπτόμενο και χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόστασης από το σημείο στάσης ως το σημείο σκόπευσης και τον υπολογισμό της υψομετρικής διαφοράς μεταξύ των δύο αυτών σημείων. Το lμέσον χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του υψομέτρου του σημείου σκόπευσης. Βέβαια το lμέσον δεν είναι απαραίτητο να σημειωθεί κατά τις εργασίες πεδίου καθώς μπορεί να υπολογιστεί ως lμεσον = (lανω + lκατω)/. Η ανάγνωσή του όμως κατά την διάρκεια των εργασιών πεδίου μας δίνει τη δυνατότητα να ελέγξουμε την ορθότητα των αναγνώσεων στην σταδία αφού η τιμή που θα «διαβάσουμε» θα πρέπει να είναι ίση ή πολύ κοντά στην τιμή που προκύπτει από τον παραπάνω τύπο. Καταγράφουμε την οριζόντια γωνία Hz και την ζενίθεια απόσταση V (συνήθως την αποκαλούμε κατακόρυφη γωνία, αν και η κατακόρυφη γωνία μετριέται από τον ορίζοντα σκόπευσης, παίρνει και αρνητικές τιμές και είναι συμπληρωματική της ζενίθειας απόστασης). Όταν σκοπεύουμε ένα σημείο λεπτομέρειας καλό είναι μετά την ανάγνωση της σταδίας να διορθώνουμε την σκόπευση με τον μικροβατικό κοχλία της οριζόντιας κίνησης ώστε να σκοπεύουμε ακριβώς π.χ. την γωνία κτιρίου και μετά να καταγράφουμε την οριζόντια γωνία Hz. Αν δεν μπορούμε να σκοπεύσουμε κάποιο σημείο (λόγω έλλειψης ορατότητας), σκοπεύουμε κάποιο σημείο όσο πιο κοντά είναι δυνατόν επί συγκεκριμένης διεύθυνσης και μετράμε την οριζόντια απόσταση (με τη μετροταινία) μεταξύ των δύο αυτών σημείων. Έχουμε τα απαραίτητα δεδομένα για τον υπολογισμό των συντεταγμένων των σημείων λεπτομέρειας. Για κάθε σημείο ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: Έστω σημείο στάσης οργάνου Σ με συντεταγμένες (X Σ,Y Σ,Η Σ ), Ύψος Οργάνου Υ.Ο. και σημείο προσανατολισμού (μηδενισμού) Π με συντεταγμένες (X Π,Y Π,Η Π ). Υπολογίζουμε τη γωνία διεύθυνσης G ΣΠ με το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα. Για όλα τα σημεία λεπτομέρειας που μετρήθηκαν από το σημείο Σ με προσανατολισμό στο σημείο Π η γωνία αυτή παραμένει σταθερή. Η οριζόντια γωνία μεταξύ της διεύθυνσης μηδενισμού και της διεύθυνσης σκόπευσης έχει καταγραφεί. Αν δεν έχουμε μηδενίσει ακριβώς, δλδ. ο οριζόντιος κύκλος δείχνει κάτι άλλο από 0 g στην σκόπευση προς το σημείο προσανατολισμού,

τότε η οριζόντια γωνία πρέπει να «διορθωθεί» Hz = Hz σκόπευσης Hz μηδενισμού (+400 g ), όπου Hz σκόπευσης η ένδειξη του ταχυμέτρου για την οριζόντια γωνία κατά την σκόπευση του σημείου λεπτομέρειας και Hz μηδενισμού η ένδειξη του ταχυμέτρου για την οριζόντια γωνία κατά την σκόπευση του σημείου προσανατολισμού (π.χ. 0 g.0145 ή 399 g.990). Υπολογίζουμε τη γωνία διεύθυνσης από το σημείο στάσης του οργάνου Σ προς το σημείο σκόπευσης i με τον παρακάτω τύπο: G Σi =G ΣΠ + Hz ( 400 g ) Όπου Hz η δεξιόστροφη οριζόντια γωνία μεταξύ της διεύθυνσης προσανατολισμού και της διεύθυνσης σκόπευσης του σημείου i. Αν η γωνία διεύθυνσης G Σi είναι μεγαλύτερη των 400 g τότε αφαιρούμε 400 g. Υπολογίζουμε την οριζόντια απόσταση από το σημείο στάσης ως το σημείο σκόπευσης (λεπτομέρειας) S οριζ. Σi = 100 (lανω lκατω) ημ V Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες (X i,y i ) του σημείου λεπτομέρειας με την εφαρμογή του 1 ου Θεμελιώδους Προβλήματος X i =X Σ +S οριζ. Σi ημg Σi Y i =Y Σ +S οριζ. Σi συν G Σi Υπολογίζουμε την υψομετρική διαφορά μεταξύ του κέντρου του σκοπευτικού άξονα στο σημείο στάσης και του σημείου σκόπευσης. ΔH Σi = 50 (lανω lκατω) ημ( V ) Υπολογίζουμε το υψόμετρο Η i του σημείου λεπτομέρειας (στο σημείο που «πατάει» η σταδία) H i =H Σ +ΔH Σi +Υ.Ο. lμεσον

ΚΑΝΝΑΒΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Ο κάνναβος, που σημαίνει σκελετός, χρησιμοποιείται από τους Μηχανικούς με την έννοια του χωρισμού μιας επιφάνειας σχεδίασης σε κανονικά τετράγωνα. Ο κάνναβος τετραγωνισμού λοιπόν είναι ο διαχωρισμός μιας επιφάνειας σχεδίασης σε τετράγωνα διαστάσεων 10cm x 10cm το καθένα, με στόχο την υποβοήθηση της σχεδίασης με ορθογώνιες συντεταγμένες. Οι γραμμές του καννάβου είναι παράλληλες στους άξονες Οx και Οy, ενώ το βήμα του καννάβου είναι ανάλογο της κλίμακας σχεδίασης. Αν η κλίμακα σχεδίασης είναι 1/Κ τότε το βήμα του καννάβου είναι Κ/10 μέτρα και ο οπλισμός του, δλδ. οι τετμημένες των κάθετων γραμμών και οι τεταγμένες των οριζόντιων γραμμών του είναι πολλαπλάσια του βήματός του. Πριν σχεδιάσουμε οτιδήποτε στο χαρτί μας, σχεδιάζουμε τον κάνναβο τετραγωνισμού. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε να σχεδιάσουμε τα παρακάτω σημεία λεπτομέρειας σε κλίμακα 1:00 : Σημείο Χ Υ 1 1001.31 819.003 1000.111 811.993 3 105.06 801.3 4 1013.489 808.116 5 1004.776 805.418 6 1034.330 813.083 7 1011.109 815.596 Βρίσκουμε το X max =1034.330 και το X min =1000.111 Βρίσκουμε το Y max =819.003 και το Y min =801.3 Τα όρια του καννάβου θα είναι: κατά Χ, από το αμέσως μικρότερο από το Χ min ακέραιο πολλαπλάσιο του βήματος έως το αμέσως μεγαλύτερο από το X max ακέραιο πολλαπλάσιο του βήματος και κατά Y, από το αμέσως μικρότερο από το Y min ακέραιο πολλαπλάσιο του βήματος έως το αμέσως μεγαλύτερο από το Y max ακέραιο πολλαπλάσιο του βήματος. Στο παραπάνω παράδειγμα το βήμα του καννάβου είναι 00/10=0m και τα όριά του θα είναι κατά Χ, από Χ=1000m έως Χ=1040m και κατά Y, από Υ=800m έως Υ=80m. Επομένως ο κάνναβός μας θα έχει διαστάσεις στο χαρτί 0cm x 10cm. Επιλέγουμε λοιπόν, το χαρτί σχεδίασης ώστε να χωρέσει ο κάνναβός μας και να μπορούν να σχεδιαστούν τα σημεία λεπτομέρειας. Το χαρτί που θα επιλεγεί πρέπει να έχει διαστάσεις μεγαλύτερες από τις διαστάσεις του καννάβου, αφού θα πρέπει να αφήσουμε περιθώριο -3 cm γύρω από τον κάνναβο ώστε να χωρέσει ο οπλισμός του και φυσικά θα πρέπει να υπάρχει χώρος να χωρέσει το υπόμνημα και η πινακίδα με τα στοιχεία του σχεδίου και του συντάκτη του σχεδίου. Ανάλογα με το είδος του σχεδίου μπορεί να απαιτηθεί περισσότερος χώρος ώστε να τοποθετηθούν υπεύθυνες δηλώσεις μηχανικού, πίνακας συντεταγμένων, οδοιπορικοί χάρτες, αποσπάσματα ορθοφωτοχαρτών κ.α. Ακολουθεί ένα πρότυπο πινακίδας για την άσκηση 5 (Αποτύπωση περιοχής του Τ.Ε.Ι.) Οι συντεταμένες στον οπλισμό είναι τυχαίες και η πινακίδα είναι σε σμίκρυνση 67%

ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Οι ισοϋψείς καμπύλες είναι οι κλειστές γραμμές που χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση του ανάγλυφου του εδάφους στο χαρτί. Οι γραμμές αυτές είναι ο συνηθέστερος τρόπος απεικόνισης υψομέτρων και υψομετρικών διαφορών σε ένα χάρτη ή τοπογραφικό διάγραμμα. Οι ισοϋψείς καμπύλες: Συνδέουν σημεία που έχουν το ίδιο υψόμετρο. Δεν τέμνονται ή συνδέονται με άλλες ισοϋψείς, εκτός από περιπτώσεις όπου παρατηρείται απότομη πλαγιά βουνού ή κατακόρυφοι βραχώδεις όγκοι. Η υψομετρική διαφορά μεταξύ διαδοχικών ισοϋψών καμπυλών ονομάζεται ισοδιάσταση και η τιμή της εξαρτάται κυρίως από την κλίμακα απεικόνισης. Όταν οι ισοϋψείς είναι πολύ κοντά μεταξύ τους τότε αυτό υποδηλώνει απότομες αλλαγές στην κλίση του εδάφους, ενώ αντίθετα όταν τα διαστήματα μεταξύ των καμπυλών είναι μεγάλα, αυτό υποδηλώνει περιοχές με μικρότερη κλίση. Ανά 5 ισοϋψείς, έχουμε τις λεγόμενες κύριες ισοϋψείς καμπύλες. Οι υπόλοιπες ονομάζονται δευτερεύουσες. Π.χ. αν έχω ισοδιάσταση 0.m τότε οι ισοϋψείς καμπύλες ξεκινώντας από το 0 και ανεβαίνοντας ανά 5 x 0.=1m π.χ. 0m, 1m, 35m, 36m, 100m, 104m είναι κύριες ισοϋψείς και απεικονίζονται με πιο παχιά γραμμή από όλες τις υπόλοιπες. Οι ισοϋψείς καμπύλες σχεδιάζονται συνήθως με καφέ χρώμα. Το υψόμετρο που απεικονίζει κάθε καμπύλη αναγράφεται σε κάποιο σημείο της, «κόβοντας» την καμπύλη στο σημείο εκείνο. Σχεδίαση Ισοϋψών Για να σχεδιάσουμε ισοϋψείς καμπύλες πρέπει να υπάρχουν τα υψόμετρα από διάφορα σημεία διάσπαρτα στο χώρο για τον οποίο θέλουμε να απεικονίσουμε το ανάγλυφό του. Αφού μεταφέρουμε τα σημεία αυτά στο χαρτί σχεδίασης (συνήθως χρησιμοποιούμε την «τελεία» που συμβολίζουμε τα σημεία ως υποδιαστολή για την τιμή του υψομέτρου), πρέπει να τα ενώσουμε μεταξύ τις δημιουργώντας τρίγωνα. Μία μέθοδος σχεδιασμού τριγώνων είναι ο τριγωνισμός Delaunay. Η μέθοδος αυτή απαγορεύει την ύπαρξη κάποιου υψομετρικού σημείου εντός του περιγεγραμμένου κύκλου οποιουδήποτε τριγώνου. Ουσιαστικά αυτή η μέθοδος μεγιστοποιεί τις τιμές των γωνιών των τριγώνων ώστε να μην υπάρχουν τρίγωνα με «ακραίες» οξείες γωνίες (δλδ πολύ μικρές γωνίες). Πρακτικά όταν σχεδιάζουμε τα τρίγωνα με το χέρι καλό είναι να προσπαθούμε να δημιουργήσουμε σχεδόν ισόπλευρα τρίγωνα. 51 00 5.1 5. 08 50 83 51. 43 51. 83 51. 67

Σε κάθε πλευρά των σχηματιζόμενων τριγώνων με γραμμική παρεμβολή υπολογίζουμε τα σημεία με υψόμετρα πολλαπλάσια της ισοδιάστασης. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε κλιμακόμετρο είτε απλό χάρακα. Στο παραπάνω σχήμα, για παράδειγμα, θέλουμε να σχεδιάσουμε ισοϋψείς με ισοδιάσταση 0.m, δλδ. 0cm. Σε κάθε πλευρά των τριγώνων που σχεδιάσαμε θα υπολογίσουμε τα σημεία με υψόμετρα ακέραια πολλαπλάσια του 0. μεταξύ των δύο τιμών στα άκρα της πλευράς. 5.1 51.00 Έστω η παραπάνω πλευρά ενός από τα τρίγωνα. Στην πλευρά αυτή θα πρέπει να παρεμβάλουμε τα υψόμετρα 51.0, 51.40, 51.60, 51.80 και 5.00. Μετράμε με το χάρακα το μήκος της πλευράς, π.χ. 11.3cm Υπολογίζουμε την υψομετρική διαφορά των δύο σημείων στα άκρα της πλευράς (διατηρούμε το πρόσημο της υψομετρικής διαφοράς). Από το σημείο με υψόμετρο 51.00m πηγαίνουμε στο σημείο με υψόμετρο 5.1m. Η υψομετρική διαφορά είναι +.1m. Άρα στα 11.3cm έχουμε υψομετρική διαφορά +.1m. Από το σημείο 51.00m θέλουμε να βρούμε στα πόσα cm θα σχεδιάσουμε το σημείο 51.0m. Σε πόσα εκατοστά δλδ. θα έχουμε υψομετρική διαφορά 51.0-51.00=+0.m. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο αναγωγής στη μονάδα και υπολογίζουμε πως το σημείο με υψόμετρο 51.0m θα βρίσκεται σε απόσταση 0. 11.3 = 1.07cm από το σημείο με.1 υψόμετρο 51.00m. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και τις αποστάσεις των υπόλοιπων σημείων, είτε από το αρχικό σημείο (στο παράδειγμα, από το σημείο με υψόμετρο 51.00m) είτε από το αμέσως προηγούμενο υπολογισμένο σημείο. Το σημείο με υψόμετρο 51.40m θα βρίσκεται σε απόσταση 0.4 11.3 =.14cm από το σημείο με υψόμετρο 51.00m ή σε.1 απόσταση 1.07 από το σημείο με υψόμετρο 51.0m. Γνωρίζουμε πως στη συγκεκριμένη πλευρά έχουμε αύξηση του υψομέτρου κατά 0.m στα 1.07cm, άρα για τα υπόλοιπα σημεία δεν απαιτείται υπολογισμός αφού το σημείο με υψόμετρο 51.60m θα βρίσκεται σε απόσταση 3 x 1.07cm=3.1cm από το σημείο με υψόμετρο 51.00m, το σημείο με υψόμετρο 51.80m σε απόσταση 4 x 1.07cm=4.8cm από το σημείο με υψόμετρο 51.00m κ.ο.κ. 51.00 51.0 51.40 51.60 51.80 5.1 5.00 Σχεδιάζουμε όλα τα σημεία σε όλες τις πλευρές των τριγώνων και στο τέλος ενώνουμε τα σημεία με ίδιο υψόμετρο. Μπορούμε να τα ενώσουμε ανά δύο με ευθείες γραμμές σχηματίζοντας μια τεθλασμένη ισοϋψή αντί για καμπύλη και στο τέλος να διορθώσουμε την τεθλασμένη γραμμή δίνοντάς της καμπυλότητα.

Κλίση Ισοϋψών Για να υπολογίσουμε την κλίση του εδάφους σε μια περιοχή, επιλέγουμε δύο σημεία, έστω Α και Β. Μετράμε την απόστασή τους με ένα κλιμακόμετρο και υπολογίζουμε τα υψόμετρά τους Η Α και Η Β με γραμμική παρεμβολή μεταξύ δύο διαδοχικών ισοϋψών καμπυλών. Η κλίση υπολογίζεται σε ποσοστό επί τοις εκατό (%) δίνοντας την υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων στην περιοχή που απέχουν μεταξύ τους 100 μέτρα. υψομετρικη διαφορα κλιση = οριζοντια αποσταση 100 = Η Β Η Α 100 % οριζ. S AB Αν π.χ., έχουμε τα σημεία Α με Η Α = 54.1m και Β με Η B = 58.18m που απέχουν μεταξύ τους 139.1m τότε η κλίση της περιοχής είναι: 58.18 54.1 α= 100 % =.85 % 139.1

ΚΕΝΤΡΩΣΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΣΗ ΤΑΧΥΜΕΤΡΟΥ Ακολουθείστε την παρακάτω διαδικασία για την τοποθέτηση του ταχυμέτρου σε ένα σημείο με σήμανση στο έδαφος πριν ξεκινήσετε τις μετρήσεις. 1. Τοποθετήστε τον τρίποδα πάνω από το σημείο, ελευθερώστε τα πόδια του τρίποδα (ξεβιδώστε τις βίδες των ποδιών του τρίποδα, ή ανοίξτε τα ειδικά κουμπώματα που ασφαλίζουν τα πόδια του) και κρατώντας τον τρίποδα από την κεφαλή του σηκώστε μέχρι το ύψος κάτω από το σαγόνι σας.. Ασφαλίστε τα πόδια του τρίποδα και ανοίξτε τα ώστε να «κατέβει» στο ύψος του στέρνου σας και οι μύτες των ποδιών του να αποτελούν τις κορυφές ενός νοητού ισόπλευρου τρίγωνου. Φροντίστε η κεφαλή του τρίποδα να είναι σχεδόν παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο, 3. Κοιτάξτε από πάνω, από την οπή που βρίσκεται ο κοχλίας συγκράτησης του ταχυμέτρου (στο κέντρο της κεφαλής του τρίποδα) και φροντίστε να βλέπετε το σημείο (καρφί, ορειχάλκινο μπουλόνι κ.ά.). Σε περίπτωση που δεν βλέπετε το σημείο, μετακινήστε τον τρίποδα μέχρι να επιτευχθεί. Φροντίστε τα πόδια του τρίποδα να είναι σταθερά, πακτωμένα στο έδαφος ώστε να μην μετακινούνται. Αν μετράτε σε πεζοδρόμια, φροντίστε οι μύτες των ποδιών να βρίσκονται σε αρμούς. Αν μετράτε σε περιοχή με κλίση, η καλύτερη τοποθέτηση είναι με τα δύο πόδια στην κατωφέρεια. 4. Ανοίξτε τη θήκη στην οποία βρίσκεται το ταχύμετρο. Με τα δύο χέρια προσεκτικά βγάζετε το ταχύμετρο και το τοποθετείτε στην κεφαλή του τρίποδα. Κρατώντας το, σφίγγεται τον κοχλία συγκράτησης του οργάνου που βρίσκεται στο κέντρο της κεφαλής του τρίποδα μέχρι το ταχύμετρο να είναι ασφαλισμένο και να μην μπορεί να μετακινηθεί πάνω στην κεφαλή του τρίποδα. 5. Ελέγχεται να δείτε αν το καρφί φαίνεται από την διάταξη οπτικής κέντρωσης του οργάνου. Αν δεν είναι ορατό, τότε πιάνετε τον τρίποδα από τα δύο πόδια (το τρίτο παραμένει πακτωμένο στο έδαφος) και τα μετακινείται, κοιτώντας παράλληλα από την διάταξη οπτικής κέντρωσης μέχρι να δείτε το καρφί. όταν αυτό επιτευχθεί αφήστε με προσοχή τα πόδια του τρίποδα να ακουμπήσουν στο έδαφος φροντίζοντας το καρφί να συνεχίσει να είναι ορατό. Πακτώστε τα πόδια του τρίποδα στο έδαφος. 6. Κοιτώντας μέσα από τη διάταξη οπτικής κέντρωσης, περιστρέψτε τους κοχλίες του τρικοχλίου μέχρι το κέντρο των ομόκεντρων κύκλων ή του σταυρονήματος που φέρει η διάταξη οπτικής κέντρωσης να ταυτίζονται με το κέντρο της κεφαλής του καρφιού. 7. Τοποθετείστε την φυσαλίδα της σφαιρικής αεροστάθμης στο κέντρο. Έτσι έχετε την χοντρική οριζοντίωση του οργάνου. Αυτό επιτυγχάνεται με την μετακίνηση των ποδιών του τρίποδα πάνω ή κάτω ανάλογα με την κατεύθυνση προς την οποία θέλετε να μετακινηθεί η φυσαλίδα. Παρατηρείστε με ποιο πόδι του τρίποδα η φυσαλίδα δημιουργεί μια νοητή ευθεία. Χαλαρώστε το κούμπωμα του συγκεκριμένου ποδιού ώστε αυτό να μπορεί να προεκτείνεται ελεύθερα ενώ ταυτόχρονα ασφαλίστε το με το χέρι σας ώστε να μην πέσει ο τρίποδας και το θεοδόλιχο στο έδαφος. Ανεβάστε ή κατεβάστε το πόδι μέχρι η φυσαλίδα να αρχίσει να μετακινείται. Αν μετακινηθεί η φυσαλίδα προς το κέντρο της αεροστάθμης ασφαλίστε το πόδι του τρίποδα όταν θα βρίσκεται στο κέντρο. Αν δεν μετακινηθεί η φυσαλίδα προς το κέντρο, θα μετακινείται κυκλικά στην περιφέρεια της αεροστάθμης. Προσπαθήστε να φέρεται την φυσαλίδα απέναντι από ένα άλλο πόδι του τρίποδα. Πηγαίνετε στο πόδι εκείνο και επαναλαμβάνετε τη διαδικασία. Αυτό γίνεται μέχρι να έρθει η φυσαλίδα στο κέντρο της αεροστάθμης. Το πιο σύνηθες είναι να κρατήσετε ένα πόδι σταθερό και να εκτελείτε την παραπάνω διαδικασία μόνο στα δύο πόδια του τρίποδα από τα οποία είναι ορατή η σφαιρική αεροστάθμη. Αν η φυσαλίδα είναι σχεδόν στο κέντρο μετακινείστε τους κοχλίες του τρικοχλίου ώστε η φυσαλίδα της σφαιρικής αεροστάθμης να έρθει ακριβώς στο κέντρο. 8. Αφού έχει τοποθετηθεί η φυσαλίδα στο κέντρο της σφαιρικής αεροστάθμης κοιτάξτε από την οπτική κέντρωση για να δείτε αν το κέντρο των ομόκεντρων κύκλων ή του

σταυρονήματος ταυτίζεται με το κέντρο της κεφαλής του καρφιού. Αν έχει μετακινηθεί λίγο, χαλαρώστε τον κοχλία στήριξης του ταχυμέτρου πάνω στον τρίποδα (ΠΡΟΣΟΧΗ, μην τον ξεβιδώσετε, απλά χαλαρώστε τον, μισή περιστροφή περίπου) και σύρετε το ταχύμετρο πάνω στην κεφαλή του τρίποδα με προσεκτικές κινήσεις ακολουθώντας κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις (όχι περιστροφικές κινήσεις), κοιτώντας παράλληλα μέσα από τη διάταξη της οπτικής κέντρωσης, μέχρι να έχετε ταύτιση του κέντρου των ομόκεντρων κύκλων ή του σταυρονήματος με το κέντρο της κεφαλής του καρφιού. 9. Βιδώστε (σφίξτε) τον κοχλία συγκράτησης του οργάνου πάνω στην κεφαλή του τρίποδα. 10. Περιστρέψτε το ταχύμετρο μέχρι η σωληνωτή αεροστάθμη να βρίσκεται παράλληλα σε δύο κοχλίες του τρικοχλίου. Περιστρέψτε του δύο κοχλίες ταυτόχρονα με αντίρροπες κινήσεις ώσπου να έρθει η φυσαλίδα στο κέντρο της σωληνωτής αεροστάθμης. Περιστρέψτε το ταχύμετρο εκατό βαθμούς (100 grad) ώστε η σωληνωτή αεροστάθμη να έρθει σε θέση παράλληλη με τον τρίτο κοχλία (που δεν «πειράξατε» πριν). Έπειτα περιστρέψτε αυτόν τον τρίτο κοχλία μέχρι η φυσαλίδα να έρθει στο κέντρο της αεροστάθμης. Το ταχύμετρο πρέπει να έχει πλέον οριζοντιωθεί. Περιστρέψτε το ταχύμετρο σε τυχαία θέση και ελέγξτε την σωληνωτή αεροστάθμη. Η φυσαλίδα πρέπει να βρίσκεται στο κέντρο. 11. Κοιτάξτε μέσα από την διάταξη της οπτικής κέντρωσης να δείτε αν έχει μετακινηθεί το κέντρο του σταυρονήματος από το κέντρο της κεφαλής του καρφιού. Αν ναι, τότε επαναλάβετε τις οδηγίες των βημάτων 8 και 9. 1. Αν χρειάστηκε η εφαρμογή του βήματος 11 τότε πρέπει να επαναλάβετε το βήμα 10 και μετά το βήμα 11. Επαναλαμβάνετε τα βήματα 10 και 11 ωσότου η φυσαλίδα βρίσκεται στο κέντρο της σωληνωτής αεροστάθμης και το κέντρο των ομόκεντρων κύκλων ή του σταυρονήματος της οπτικής κέντρωσης ταυτίζεται με το κέντρο της κεφαλής του καρφιού. Είστε έτοιμοι να χρησιμοποιήσετε το ταχύμετρο για την αποτύπωση σημείων λεπτομερειών.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1 Έστω δύο σημεία Α και Β στο χώρο. Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι X A = 567.861m και Y A = 38.41m, ενώ η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση είναι S οριζ. ΑΒ = 833.66m. Δίνεται η γωνία διεύθυνσης G AB = 65.89 g. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Β. B Y G AΒ A Λύση Η συγκεκριμένη άσκηση απαιτεί απλή εφαρμογή του 1 ου της Τοπογραφίας. Θεμελιώδους Προβλήματος X Β =X A +S οριζ. ΑΒ ημg AB Y B =Y A +S οριζ. ΑΒ συν G AB X B =X A +S οριζ. ΑΒ ημg AB = 567.861 + 833.66 ημ 65.89 = = 567.861 + 833.66 0.85451330019349 = 567.861 + 41.4019343 = 4989. 63m Y B =Y A +S οριζ. ΑΒ συν G AB = 38.41 + 833.66 συν 65.89 = = 38.41 + 833.66 0.51949481170938 = 38.41 + 1471.8875847 = 1710. 300m Παρατηρήσεις: ΠΡΟΣΟΧΗ! Ο υπολογιστής τσέπης (επιστημονικό κομπιουτεράκι) να είναι ρυθμισμένος σε Grads για τον σωστό υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών. Αν κάνετε τους υπολογισμούς σε οποιοδήποτε πρόγραμμα στον ΗΥ το πιο πιθανό είναι οι υπολογισμοί να απαιτούν τα γωνιακά μεγέθη σε ακτίνια (radians), οπότε θα πρέπει να κάνετε τις απαραίτητες μετατροπές πριν την εισαγωγή των μεγεθών αυτών στις εξισώσεις. Οι στρογγυλοποιήσεις των αριθμών πρέπει να γίνονται στο τελικό αποτέλεσμα του συνόλου των πράξεων και όχι σε ενδιάμεσα στάδια για την αποφυγή σφαλμάτων στρογγυλοποίησης.

Άσκηση Έστω δύο σημεία Γ και Δ στο χώρο. Οι συντεταγμένες του σημείου Γ είναι Χ Γ = 100.64m και Y Γ = 396.51m, ενώ η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση είναι S οριζ. ΓΔ = 57.118m. Δίνεται η γωνία διεύθυνσης G ΓΔ = 11.9916 g. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Δ. Y Γ G ΓΔ Δ Λύση Η συγκεκριμένη άσκηση απαιτεί απλή εφαρμογή του 1 ου της Τοπογραφίας. Θεμελιώδους Προβλήματος X Δ =X Γ +S οριζ. ΓΔ ημg ΓΔ Y Δ =Y Γ +S οριζ. ΓΔ συν G ΓΔ X Δ =X Γ +S οριζ. ΓΔ ημg ΓΔ = 100.64 + 57.118 ημ 11.9916 = = 100.64 + 57.118 ( 0.1875170305703) = 100.64 10.6954478 = 89. 947m Y Δ =Y Γ +S οριζ. ΓΔ συν G ΓΔ = 396.51 + 57.118 συν 11.9916 = = 396.51 + 57.118 ( 0.98311966559791) = 396.51 56.10769491 = 4018. 69m

Άσκηση 3 Έστω δύο σημεία Π και Ρ στο χώρο. Οι συντεταγμένες του σημείου Ρ είναι X P = 00.111m και Y P = 51.99m, ενώ η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση είναι S οριζ. ΠΡ = 33.988m. Δίνεται η γωνία διεύθυνσης G ΠΡ = 11.5535 g. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Π. Y Π G ΠΡ Y G ΡΠ Ρ Λύση Η συγκεκριμένη άσκηση απαιτεί απλή εφαρμογή του 1 ου της Τοπογραφίας. Θεμελιώδους Προβλήματος X Π =X Ρ +S οριζ. ΡΠ ημg ΡΠ Y Π =Y Ρ +S οριζ. ΡΠ συν G ΡΠ Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ X Ρ = 00.111m Y Ρ = 51.99m την οριζόντια απόσταση S οριζ. ΡΠ =S οριζ. ΠΡ = 33.988m Πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία διεύθυνσης G ΡΠ από τη γωνία διεύθυνσης G ΠΡ G ΡΠ =G ΠΡ ± 00 g = 11.5535 g ± 00 g Επειδή η γωνία διεύθυνσης G ΠΡ είναι μικρότερη των 00 βαθμών, προσθέτουμε 00 βαθμούς, συνεπώς έχουμε G ΡΠ =G ΠΡ + 00 g = 11.5535 g + 00 g = 31.5535 g Οπότε, X Π =X Ρ +S οριζ. ΡΠ ημg ΡΠ = 00.111 + 33.988 ημ 31.5535 = = 00.111 + 33.988 ( 0.9433338470907) = 00.111 3.0586160 = 3. 170m Y Π =Y Ρ +S οριζ. ΡΠ συν G ΡΠ = 51.99 + 33.988 συν 31.5535 = = 51.99 + 33.988 0.33130676379784 = 51.99 + 11.8845743 = 510. 704m

Άσκηση 4 Έστω δύο σημεία Α και Β στο χώρο. Δίνεται η γωνία διεύθυνσης G AB = 345.861 g. Να υπολογιστεί η γωνία διεύθυνσης G BA και να γίνει προσεγγιστικό σχήμα όπου θα φαίνεται η σχετική θέση των δύο σημείων. Λύση Η συγκεκριμένη άσκηση απαιτεί απλή εφαρμογή του τύπου G ΒΑ =G ΑΒ ± 00 g G ΒΑ =G ΑΒ ± 00 g = 345.861 g ± 00 g Επειδή η γωνία διεύθυνσης G ΑΒ είναι μεγαλύτερη των 00 βαθμών, αφαιρούμε 00 βαθμούς, συνεπώς έχουμε G ΒΑ =G ΑΒ 00 g = 345.861 g 00 g = 145. 861 g Για να σχεδιάσουμε τα δύο σημεία στο χώρο, τοποθετούμε το σημείο Α αυθαίρετα, σχεδιάζουμε τη διεύθυνση του Βορρά στο σημείο και γράφουμε δεξιόστροφα γωνία ίση με G ΑΒ. Από το σημείο Α φέρουμε ημιευθεία στη διεύθυνση που ορίζει η γωνία G ΑΒ. Το σημείο B βρίσκεται επί της συγκεκριμένης ημιευθείας. Επειδή δεν γνωρίζουμε την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων, τοποθετούμε το σημείο Β αυθαίρετα επί της ημιευθείας. Σχεδιάζουμε και τη γωνία G BA σχεδιάζοντας τη διεύθυνση του Βορρά στο σημείο Β και γράφοντας δεξιόστροφα γωνία ωσότου συναντήσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ. Y Y G AB G AB A A Y Y Y G ΒΑ B G AB B G AB A A

Άσκηση 5 Έστω τα δύο σημεία Α και Β της Άσκησης 1. Οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι X A = 567.861m και Y A = 38.41m και οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι X B = οριζ. 4989.63m και Y B = 1710.300m. Να υπολογιστεί η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση S ΑΒ και η γωνία διεύθυνσης G AB. Λύση Η συγκεκριμένη άσκηση απαιτεί απλή εφαρμογή του ου της Τοπογραφίας. Θεμελιώδους Προβλήματος S οριζ. ΑΒ = ΔX +ΔY = (Χ B Χ Α ) +(Y B Y Α ) α AΒ = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ B Χ Α Y B Y Α Διερεύνηση τεταρτημορίου για την εύρεση του G AΒ Υπολογίζουμε την απόσταση με απλή αντικατάσταση των τιμών των συντεταγμένων στον αντίστοιχο τύπο. S οριζ. ΑΒ = ΔX +ΔY = (Χ B Χ Α ) +(Y B Y Α ) = = (4989.63 567.861) + (1710.300 38.41) = (41.40) + (1471.888) = = 5863187.645604 + 166454.84544 = 809641.930148 = 833.668303 = = 833. 66m Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G AΒ, βρίσκουμε πρώτα την βοηθητική γωνία α AΒ α AΒ = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ B Χ Α 4989.63 567.861 41.40 = τοξεφ = τοξεφ Y B Y Α 1710.300 38.41 1471.888 = = τοξεφ 41.40 = τοξεφ(1.64509935538573587107591881991) = 65.88987794 = 1471.888 = 65.89 g Στη συνέχεια εφαρμόζουμε διερεύνηση τεταρτημορίου βάσει του προσήμου των διαφορών των συντεταγμένων ΔΧ και ΔΥ. ΔΧ>0 και ΔΥ>0, άρα G AΒ =α AΒ = 65. 89 g

Άσκηση 6 Έστω δύο σημεία Σ 1 και Σ 7 στο χώρο. Οι συντεταγμένες του σημείου Σ 1 είναι X Σ1 = 1000.000m και Y Σ1 = 93.419m και οι συντεταγμένες του σημείου Σ 7 είναι X Σ7 = 81.446m και Y Σ7 = 987.15m. Να υπολογιστεί η μεταξύ τους οριζόντια απόσταση οριζ. S Σ7 Σ 1 και οι γωνίες διεύθυνσης G Σ1 Σ 7 και G Σ7 Σ 1. Y Y G Σ1 Σ 7 G Σ7 Σ 1 Σ 1 Σ 7 Λύση Υπολογίζουμε την απόσταση με απλή αντικατάσταση των τιμών των συντεταγμένων στον αντίστοιχο τύπο. οριζ. S Σ7 Σ 1 = ΔX +ΔY = (Χ Σ1 Χ Σ7 ) +(Y Σ1 Y Σ7 ) = = (1000.000 81.446) + ( 93.419 ( 987.15)) = (187.554) + (54.706) = = 35176.50916 + 99.746436 = 38169.4935 = 195.369500178 = = 195. 370m Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ1 Σ 7, βρίσκουμε πρώτα την βοηθητική γωνία α Σ1 Σ 7 α Σ1 Σ 7 = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ Σ 7 Χ Σ1 81.446 1000.000 = τοξεφ Y Σ7 Y Σ1 987.15 ( 93.419) = 81.446 1000.000 187.554 187.554 = τοξεφ = τοξεφ = τοξεφ 987.15 + 93.419 54.706 54.706 = = τοξεφ(3.483990787116586846049793441304) = 81.934564584 = 81.933 g Στη συνέχεια εφαρμόζουμε διερεύνηση τεταρτημορίου βάσει του προσήμου των διαφορών των συντεταγμένων ΔΧ και ΔΥ. ΔΧ<0 και ΔΥ<0, άρα G Σ1 Σ 7 = 00 g +α Σ1 Σ 7 = 81. 933 g Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ7 Σ 1 εφαρμόζουμε τον τύπο G Σ7 Σ 1 =G Σ1 Σ 7 ± 00 g = 81.933 g ± 00 g Επειδή η γωνία διεύθυνσης G Σ1 Σ 7 είναι μεγαλύτερη των 00 βαθμών, αφαιρούμε 00 βαθμούς, συνεπώς έχουμε G Σ7 Σ 1 =G Σ1 Σ 7 00 g = 81.933 g 00 g = 81. 933 g

Άσκηση 7 Έστω τρία σημεία Α, Σ 1 και Τ 13 στο χώρο. Οι συντεταγμένες των σημείων Σ 1 (X Σ1 = 153.487m, Y Σ1 = 9.308m) και Τ 13 (X T13 = 89.353m, Y T13 = 00.901m) είναι γνωστές. Τοποθετώντας το ταχύμετρο στο σημείο Σ 1 μετράμε την οριζόντια απόσταση προς το οριζ. σημείο Α, S Σ1 Α = 3.190m, και την δεξιόστροφη οριζόντια γωνία προσανατολίζοντας (μηδενίζοντας) στο σημείο Τ 13 και στοχεύοντας το σημείο Α, Hz T13 Σ 1 Α = 370.6597 g. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Α. Λύση Σχεδιάζουμε τη σχετική θέση των σημείων στο χώρο ώστε να έχουμε μια εικόνα του προβλήματος. Έστω τυχαία προσανατολισμένο (δλδ, όχι προς το Βορρά) σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων Χ και Υ. T 13 A Σ 1 G Σ1 T 13 Hz Τ13Σ1Α G Σ1 A Έχουμε ουσιαστικά ένα πρόβλημα αποτύπωσης ενός σημείου λεπτομέρειας Α. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του σημείου Α θα χρησιμοποιήσουμε το 1 ο και το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα της Τοπογραφίας. Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ1 Τ 13, βρίσκουμε πρώτα την βοηθητική γωνία α Σ1 Τ 13 α Σ1 Τ 13 = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ Τ Χ 13 Σ 1 89.353 153.487 64.134 = τοξεφ = τοξεφ Y Τ13 Y Σ1 00.901 9.308 8.407 = τοξεφ 64.134 = τοξεφ(.57689654665831661106507551) = 73.45546110051 8.407 = 73.4555 g Στη συνέχεια εφαρμόζουμε διερεύνηση τεταρτημορίου βάσει του προσήμου των διαφορών των συντεταγμένων ΔΧ και ΔΥ. ΔΧ<0 και ΔΥ<0, άρα G Σ1 Τ 13 = 00 g +α Σ1 Τ 13 = 73. 4555 g Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ1 Α εφαρμόζουμε τον τύπο G Σ1 Α =G Σ1 Τ 13 +Hz Τ13 Σ 1 A = 73.4555 g + 370.6597 g = 644.115 g

Άσκηση 8 Έστω δύο σημεία Σ 1 και Σ 4 υλοποιημένα με καρφί και ροδέλα στο έδαφος και ένα σημείο λεπτομέρειας (π.χ. γωνία κτιρίου) όπου έχει ονομαστεί (αριθμηθεί) στο αυτοσχέδιο υπαίθρου ως σημείο 68. Οι συντεταγμένες των σημείων Σ 1 (X Σ1 = 531.999m, Y Σ1 = 183.190m) και Σ 4 (X Σ4 = 5300.10m, Y Σ4 = 30.553m) είναι γνωστές. Τοποθετώντας το ταχύμετρο στο σημείο Σ 1 μετριέται η δεξιόστροφη οριζόντια γωνία προσανατολίζοντας (μηδενίζοντας) στο σημείο Σ 4 και στοχεύοντας το σημείο 68, Hz = 69.9634 g. Η σταδία τοποθετείται κατακόρυφα στο σημείο 68 και καταγράφονται οι αναγνώσεις των νημάτων του σταυρονήματος του τηλεσκοπίου του ταχυμέτρου καθώς και η ζενίθεια απόσταση, Vz = 101.4981 g. Οι αναγνώσεις στη σταδία είναι: l άνω = 1.193m, l κάτω = 0.975m και l μέσο = 1.084m. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου 68. Λύση Έχουμε ένα πρόβλημα αποτύπωσης ενός σημείου λεπτομέρειας. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του σημείου 68 θα χρησιμοποιήσουμε το 1 ο και το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα της Τοπογραφίας καθώς και τον τύπο υπολογισμού της οριζόντιας απόστασης από τις αναγνώσεις της σταδίας και την ζενίθεια απόσταση. οριζ. Υπολογίζουμε την οριζόντια απόσταση S Σ1 68 68. οριζ. S Σ1 68 μεταξύ του σημείου Σ 1 και του σημείου = 100 (l άνω l κάτω ) ημ Vz = 100 (1.193 0.975) ημ 101.4981 = = 100 0.18 (0.9997313917) = 100 0.18 0.99944634489 = 1. 788m Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ1 Σ 4, βρίσκουμε πρώτα την βοηθητική γωνία α Σ1 Σ 4 α Σ1 Σ 4 = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ Σ Χ 4 Σ 1 5300.10 531.999 = τοξεφ Y Σ4 Y Σ1 30.553 183.190 = = τοξεφ 1.897 47.363 = 16.9488017761 = 16.949 g = τοξεφ 1.897 47.363 = τοξεφ(0.7301163355361780963349077) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε διερεύνηση τεταρτημορίου βάσει του προσήμου των διαφορών των συντεταγμένων ΔΧ και ΔΥ. ΔΧ<0 και ΔΥ>0, άρα G Σ1 Σ 4 = 400 g α Σ1 Σ 4 = 383. 0751 g Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ1 68 εφαρμόζουμε τον τύπο G Σ1 68 =G Σ1 Σ 4 + Hz = 383.0751 g + 69.9634 g = 453.0385 g Επειδή η γωνία διεύθυνσης G Σ1 68 είναι μεγαλύτερη των 400 βαθμών, αφαιρούμε 400 βαθμούς, συνεπώς έχουμε G Σ1 68 = 53. 0385 g Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου 68 εφαρμόζοντας το 1 ο Πρόβλημα. Θεμελιώδες

οριζ. X 68 =X Σ1 +S Σ1 68 ημg Σ1 68 = 531.999 + 1.788 ημ 53.0385 = = 531.999 + 1.788 0.740037968450851 = 531.999 + 16.139476 = 539. 13m οριζ. Y 68 =Y Σ1 +S Σ1 68 συν G Σ1 68 = 183.190 + 1.788 συν 53.0385 = = 183.190 + 1.788 0.67565093690669 = 183.190 + 14.6538486 = 197. 844m

Άσκηση 9 Έστω δύο σημεία Σ και Σ 8 υλοποιημένα με καρφί και ροδέλα στο έδαφος και ένα σημείο λεπτομέρειας (π.χ. γωνία κτιρίου) όπου έχει ονομαστεί (αριθμηθεί) στο αυτοσχέδιο υπαίθρου ως σημείο 4. Οι συντεταγμένες και τα υψόμετρα των σημείων Σ (X Σ = 719.030m, Y Σ = 19.64m, H Σ = 85.713m ) και Σ 8 (X Σ8 = 656.904m, Y Σ8 = 105.55m, H Σ8 = 85.976m) είναι γνωστά. Τοποθετώντας το ταχύμετρο στο σημείο Σ μετριέται η δεξιόστροφη οριζόντια γωνία προσανατολίζοντας (μηδενίζοντας) στο σημείο Σ 8 και στοχεύοντας το σημείο 4, Hz = 41.165 g. Η σταδία τοποθετείται κατακόρυφα στο σημείο 4 και καταγράφονται οι αναγνώσεις των νημάτων του σταυρονήματος του τηλεσκοπίου του ταχυμέτρου καθώς και η ζενίθεια απόσταση, Vz = 96.3671 g. Οι αναγνώσεις στη σταδία είναι: l άνω = 1.31m, l κάτω = 1.085m και l μέσο = 1.158m. Το ύψος οργάνου (από την κεφαλή του καρφιού στο Σ έως το χαρακτηριστικό σημείο επί του ταχυμέτρου) είναι 1.65m. Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες (X 4,Y 4 ) και το υψόμετρο, H 4, του σημείου 4. Λύση Έχουμε ένα πρόβλημα αποτύπωσης ενός σημείου λεπτομέρειας. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του σημείου 4 θα χρησιμοποιήσουμε το 1 ο και το ο Θεμελιώδες Πρόβλημα της Τοπογραφίας, καθώς και τους τύπους υπολογισμού της οριζόντιας απόστασης και του υψομέτρου από τις αναγνώσεις της σταδίας και την ζενίθεια απόσταση. Υπολογίζουμε την οριζόντια απόσταση S οριζ. Σ 4 μεταξύ του σημείου Σ και του σημείου 4. S οριζ. Σ 4 = 100 (l άνω l κάτω ) ημ Vz = 100 (1.31 1.085) ημ 96.3671 = = 100 0.146 (0.9983708461) = 100 0.146 0.99674706667 = 14. 553m Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ Σ 8, βρίσκουμε πρώτα την βοηθητική γωνία α Σ Σ 8 α Σ Σ 8 = τοξεφ ΔΧ ΔY = τοξεφ Χ Σ 8 Χ Σ 656.904 ( 719.030) = τοξεφ = Y Σ8 Y Σ 105.55 19.64 656.904 + 719.030 = τοξεφ = τοξεφ 6.16 6.16 = τοξεφ 105.55 19.64 3.71 3.71 = = τοξεφ(.600361673414304993536167341) = 76.788163661148 = 76.788 g Στη συνέχεια εφαρμόζουμε διερεύνηση τεταρτημορίου βάσει του προσήμου των διαφορών των συντεταγμένων ΔΧ και ΔΥ. ΔΧ>0 και ΔΥ<0, άρα G Σ Σ 8 = 00 g α Σ Σ 8 = 13. 118 g Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης G Σ 4 εφαρμόζουμε τον τύπο G Σ 4 =G Σ Σ 8 + Hz = 13.118 g + 41.165 g = 364. 3383 g

Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου 4 εφαρμόζοντας το 1 ο Πρόβλημα. Θεμελιώδες X 4 =X Σ +S οριζ. Σ 4 ημg Σ 4 = 719.030 + 14.553 ημ 364.3383 = = 719.030 + 14.553 ( 0.5313348865841) = 719.030 7.7348171 = 76. 763m Y 4 =Y Σ +S οριζ. Σ 4 συν G Σ 4 = 19.64 + 14.553 συν 364.3383 = = 19.64 + 14.553 0.8471633765117 = 19.64 + 1.387686 = 141. 593m Για τον υπολογισμό του υψομέτρου του σημείου 4 εφαρμόζουμε τον τύπο Η 4 =Η Σ +50 (l άνω l κάτω ) ημ Vz + Υ Ο l μέσο Οι αναγνώσεις στη σταδία αναφέρονται στην στόχευση του σημείου 4. Η 4 = 85.713 + 50 (1.31 1.085) ημ( 96.3671) + 1.65 1.158 = = 85.713 + 50 0.146 ημ(19.734) + 1.65 1.158 = = 85.713 + 50 0.146 0.11388330514454 + 1.65 1.158 = = 85.713 + 0.83134817555157 + 1.65 1.158 = 87. 038m