Τρίτο πακέτο ασκήσεων

ΕΚΠΑ Ακαδημαϊκό έτος 018-019 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Τρίτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 18 Ιανουαρίου (στο μάθημα της κ. Κουραντή, του κ. Παπανδρέου ή του κ. Πινόπουλου). Θα υπάρξει και δυνατότητα να στείλετε τις λύσεις ηλεκτρονικά με σύνδεσμο που θα ανακοινωθεί στο eclass. Φροντίστε να κρατήσετε ένα αντίγραφο για τον εαυτό σας για να μπορέσετε να κάνετε αυτο-βαθμολόγηση. Οι λύσεις θα αναρτηθούν στο τέλος της ίδιας μέρας και εργασίες δε θα γίνονται δεκτές μετά από αυτή την ημέρα. Οι συνολικές μονάδες για το πακέτο είναι 10. Σε κάθε άσκηση αναφέρονται οι μονάδες που της αντιστοιχούν. Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ (10 ερωτήσεις 0.3 μονάδες = 3 μονάδες) 1. Μακροπρόθεσμα όλοι οι παραγωγικοί συντελεστές είναι μεταβλητοί ενώ βραχυπρόθεσμα όλοι οι παραγωγικοί συντελεστές είναι σταθεροί. ΛΑΘΟΣ Μακροπρόθεσμα όντως όλοι είναι μεταβλητοί όμως βραχυπρόθεσμα κάποιοι (έστω ένας) είναι σταθεροί, όχι όλοι.. Βραχυπρόθεσμα, όταν το μέσο προϊόν αυξάνεται πρέπει να αυξάνεται οπωσδήποτε και το οριακό. ΛΑΘΟΣ Υπάρχει περίπτωση να αυξάνεται το μέσο προϊόν και να μειώνεται το οριακό. Δες διάγραμμα στην Άσκηση 1 παρακάτω. 3. Δυο εισροές, κεφάλαιο και εργασία, έχουν την ίδια τιμή, ww KK = ww LL. Ο συνδυασμός τους που εξασφαλίζει το χαμηλότερο κόστος για δεδομένο επίπεδο προϊόντος είναι το σημείο όπου η κλίση της καμπύλης ισοπαραγωγής είναι ίση με -1. ΣΩΣΤΟ Στο σημείο που ελαχιστοποιείται το κόστος ισχύει ότι ο MRTS, ο οποίος δείχνει την κλίση της καμπύλης ισοπαραγωγής, είναι ίσος με τον λόγο των τιμών των εισροών, δηλαδή -1. 4. Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι yy = ff(xx 1, xx ) = xx 1 xx, τότε οι αποδόσεις κλίμακας είναι αύξουσες. ΣΩΣΤΟ ff(ttxx 1, ttxx ) = ttxx 1 ttxx = tt xx 1 xx = tt yy, δηλαδή ff(ttxx 1, ttxx ) > tttt(xx 1, xx ) = tttt άρα αύξουσες. 1

5. Η συνάρτηση παραγωγής ff(xx 1, xx ) = (xx 1 ) /3 + (xx ) /3 έχει σταθερές αποδόσεις κλίμακας. ΛΑΘΟΣ ff(ttxx 1, ttxx ) = (ttxx 1 ) /3 + (ttxx ) /3 = tt /3 [(xx 1 ) /3 + (xx ) /3 ] = tt 3 ff(xx 1, xx ) = tt 3 yy, δηλαδή ff(ttxx 1, ttxx ) < tttt(xx 1, xx ) = tttt άρα φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. 6. Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί δύο μεταβλητούς παραγωγικούς συντελεστές, (xx 1, xx ), και έχει συνάρτηση παραγωγής yy = ff(xx 1, xx ) = (xx 1 + 4xx ) 1/. Σε αυτή την περίπτωση, ο MRTS (οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης) μεταξύ xx 1 και xx είναι σταθερός. ΣΩΣΤΟ MMMMMMMM = ff xx 1 = MMMM 1 = (xx 1 + 4xx ) 1 ff xx MMMM (xx 1 + 4xx ) 1 = 1 7. Η συνάρτηση κόστους CC(yy) = 10 + 3yy έχει οριακό κόστος μικρότερο από το μέσο κόστος για όλα τα επίπεδα προϊόντος. ΣΩΣΤΟ MMMM = 3 < AAAA = (10 yy) + 3 8. Το μέσο σταθερό κόστος δεν μεταβάλλεται με το προϊόν. ΛΑΘΟΣ AAAAAA = FFFF, άρα AAAAAA μειώνεται καθώς αυξάνεται το προϊόν, και αντίστροφα. 9. Αν το μέσο μεταβλητό κόστος υπερβαίνει την τιμή αγοράς, τότε η επιχείρηση θα παράγει μια θετική ποσότητα προϊόντος. ΛΑΘΟΣ Αφού η επιχείρηση δεν καλύπτει ούτε το μεταβλητό της κόστος, τότε δεν θα παράγει και άρα θα κλείσει. 10. Αν η συνάρτηση μακροπρόθεσμου κόστους είναι CC(yy) = yy + 1, τότε η μακροπρόθεσμη καμπύλη προσφοράς της επιχείρησης είναι yy = pp. ΛΑΘΟΣ To πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιχείρησης είναι H συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει: max ππ = pppp CC(yy) yy

= 0 pp = 0 pp = MMMM pp = yy yy Αντιστρέφοντας την τελευταία έκφραση παίρνουμε την συνάρτηση προσφοράς yy = pp. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ/ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (7 μονάδες) 1. Έστω η συνάρτηση παραγωγής = ff(kk, LL) = KKKK 0.8KK 0.LL, όπου η ποσότητα παραγόμενου προϊόντος, και KK, LL οι αντίστοιχες εισροές κεφαλαίο και εργασία. Έστω ότι η ποσότητα του κεφαλαίου είναι σταθερή και ίση με 10. (α) Σε ποια ποσότητα εργασίας το μέσο προϊόν φθάνει το μέγιστο; Πόσες μονάδες προϊόντος παράγονται σε αυτή την περίπτωση; (β) Σε ποια ποσότητα εργασίας το οριακό προϊόν θα είναι μηδέν; Πόσες μονάδες προϊόντος παράγονται σε αυτή την περίπτωση; (γ) Σχεδιάστε τις καμπύλες συνολικού, μέσου και οριακού προϊόντος της εργασίας (δείξτε τα σημεία που βρήκατε στα (α) και (β)). (1 μον) Εφόσον η ποσότητα κεφαλαίου είναι σταθερή και ίση με 10, τότε αντικαθιστώντας ΚΚ = 10 στην συνάρτηση παραγωγής έχω (1) = 10LL 80 0.LL (α) Μέσο προϊόν εργασίας: AAAA LL = LL Άρα χρησιμοποιώντας την (1) έχουμε () ΑΑΑΑ LL = 10 80 LL 0.LL Οριακό προϊόν εργασίας Άρα χρησιμοποιώντας την (1) έχουμε ΜΜΜΜ LL = (3) ΜΜΜΜ LL = 10 0.4LL Το μέσο προϊόν γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσο με το οριακό. Άρα από () και (3) έχω ΑΑΑΑ LL = MMMM LL 10 80 LL 0.LL = 10 0.4LL LL = 0 3

Άρα το μέσο προϊόν γίνεται μέγιστο για 0 μονάδες εργασίας. Αντικαθιστώντας LL = 0 στην (1) έχω = 40. (β) Χρησιμοποιώντας την () έχουμε ΜΜΜΜ LL = 0 10 0.4LL = 0 LL = 5 Άρα το οριακό προϊόν γίνεται μηδέν για 5 μονάδες εργασίας. Αντικαθιστώντας LL = 5 στην (1) βρίσκω το συνολικό προϊόν = 45. (γ) Παρατηρείστε ότι η παραγωγή ξεκινάει από 10 μονάδες εργασίας και μετά! 45 10 10 4

. Έστω η συνάρτηση παραγωγής = ff(kk, LL) = KKKK, όπου η ποσότητα παραγόμενου προϊόντος, ΚΚ η εισροή κεφάλαιο και LL η εισροή εργασία. Η επιχείρηση μπορεί να αγοράσει τις εισροές KK, LL σε τιμές ww KK, ww LL. Έστω ότι η ποσότητα του κεφαλαίου είναι σταθερή και ίση με 100. A. Μεγιστοποίηση κερδών (α) Αν η τιμή του προϊόντος είναι pp, ποια είναι η συνάρτηση ζήτησης για εργασία; (β) Ποια είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης; Β. Ελαχιστοποίηση κόστους (γ) Ποια είναι η συνάρτηση παράγωγης ζήτησης για εργασία; (δ) Bρείτε τις συναρτήσεις συνολικού (TC), μέσου μεταβλητού (AVC), μέσου σταθερού (AFC), μέσου συνολικού (AC) και οριακού κόστους (MC). (ε) Αν η τιμή του προϊόντος είναι pp, ποια είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης; Συγκρίνετε την απάντηση σας με αυτήν που βρήκατε στο ερώτημα (β). (στ) Αν pp = ww LL = ww KK = 1, η επιχείρηση κάνει ζημιές η κέρδη; Αν κάνει ζημιές, θα κλείσει ή θα συνεχίσει να λειτουργεί; ( μον) Εφόσον η ποσότητα του κεφαλαίου είναι σταθερή και ίση με 100, τότε αντικαθιστώντας ΚΚ = 100 στην συνάρτηση παραγωγής έχω A. Μεγιστοποίηση κερδών = 10 LL (α) Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα της εργασίας για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της με περιορισμό την συνάρτηση παραγωγής που έχει max ππ = pppp ww LL LL 100ww KK LL με περιορισμό = 10 LL Αντικαθιστώντας τον περιορισμό στην αντικειμενική συνάρτηση, το παραπάνω πρόβλημα μεγιστοποίησης γράφεται ως Η συνθήκη πρώτης τάξης γράφεται ως max ππ = pp10 LL ww LL LL 100ww KK LL ππ LL = 0 pp5 LL = ww LL Λύνοντας την παραπάνω έκφραση ως προς LL, παίρνουμε την συνάρτηση ζήτησης για την εργασία: LL = 5pp ww LL 5

(β) Αντικαθιστούμε το LL στην συνάρτηση παραγωγής και έτσι παίρνουμε την συνάρτηση προσφοράς για το προϊόν: Β. Ελαχιστοποίηση κόστους = 10 LL = 50pp ww LL (γ) Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα της εργασίας για να ελαχιστοποιήσει το κόστος της με περιορισμό την συνάρτηση παραγωγής που έχει mmmmmm ww LL LL + 100ww KK LL με περιορισμό = 10 LL Για να βρούμε την συνάρτηση παράγωγης ζήτησης της εργασίας, πρέπει να λύσουμε τον περιορισμό (δηλαδή την συνάρτηση παραγωγής) ως προς LL = 10 LL LL = 100 (δ) Αντικαθιστούμε το LL που βρήκαμε παραπάνω στην συνάρτηση ww LL LL + 100ww KK και έτσι παίρνουμε την συνάρτηση συνολικού κόστους: CC = ww LL 100 + 100ww KK, από την οποία είναι εύκολο να βρούμε το μεταβλητό κόστος και το σταθερό κόστος ως VVVV = ww LL 100, FFFF = 100ww KK Σύμφωνα με τις παραπάνω εκφράσεις υπολογίζουμε: ΑΑΑΑΑΑ = VVVV = ww LL ΑΑΑΑ = CC yy = 100 ΑΑΑΑΑΑ = FFFF = 100ww KK = 100 ww LL 100 ww LL + 100ww KK = ΑΑΑΑΑΑ + ΑΑΑΑΑΑ MMMM = = 50 ww LL (ε) Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα προϊόντος που μεγιστοποιεί τα κέρδη της 6

max ππ = pppp CC H συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει: = 0 pp = 0 pp = MMMM (1) Aντικαθιστώντας στην (1) την έκφραση του MMMM που βρήκαμε στο ερώτημα (δ), και λύνοντας ως προς, παίρνουμε την συνάρτηση προσφοράς pp = 50 ww LL = 50pp ww LL Η απάντηση είναι ίδια. Η μεγιστοποίηση κέρδους συνεπάγεται ελαχιστοποίηση κόστους και το αντίθετο. (στ) ππ = pppp TTTT = 50 15 = 75 άρα ζημιές 75. Άμα σταματήσει να λειτουργεί τότε θα έχει ζημιές ίσες με το σταθερό κόστος, 100. Άρα, θα συνεχίσει να λειτουργεί. 3. Έστω η συνάρτηση παραγωγής = ff(kk, LL) = KK + LL, όπου η ποσότητα προϊόντος, ΚΚ η εισροή κεφάλαιο και LL η εισροή εργασία. Η επιχείρηση μπορεί να αγοράσει τις εισροές KK, LL σε τιμές ww KK, ww LL. A. Μεγιστοποίηση κερδών (α) Αν η τιμή του προϊόντος είναι pp, ποιες είναι οι συναρτήσεις ζήτησης για LL και KK; (β) Ποια είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης; Β. Ελαχιστοποίηση κόστους (γ) Ποιες είναι οι συναρτήσεις παράγωγης ζήτησης για LL και KK; (δ) Αν η τιμή του προϊόντος είναι pp, ποια είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης; Συγκρίνετε την απάντηση σας με αυτήν που βρήκατε στο ερώτημα (β). ( μον) A. Μεγιστοποίηση κερδών (α) Η επιχείρηση επιλέγει τις ποσότητες LL και KK για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της με περιορισμό την συνάρτηση παραγωγής που έχει max ππ = pppp ww LLLL ww KK KK LL,KK με περιορισμό = KK + LL Αντικαθιστώντας τον περιορισμό στην αντικειμενική συνάρτηση, το παραπάνω πρόβλημα μεγιστοποίησης γράφεται ως 7

Οι συνθήκες πρώτης τάξης γράφονται ως max ππ = pp KK + LL ww LLLL ww KK KK LL,KK ππ LL = 0 pp(ll) 1 = ww LL ππ KK = 0 pp(kk) 1 = ww KK Λύνοντας την πρώτη έκφραση ως προς LL, παίρνουμε την συνάρτηση ζήτησης για εργασία LL = pp 4ww LL ενώ λύνοντας την δεύτερη έκφραση ως προς ΚΚ, παίρνουμε την συνάρτηση ζήτησης για κεφάλαιο ΚΚ = pp 4ww KK (β) Αντικαθιστούμε τα LL και KK στην συνάρτηση παραγωγής και παίρνουμε την συνάρτηση προσφοράς για το προϊόν: = KK + LL = pp + pp = pp(ww LL + ww KK ) ww LL ww KK ww LL ww KK Β. Ελαχιστοποίηση κόστους (γ) Η επιχείρηση επιλέγει τις ποσότητες LL και KK για να ελαχιστοποιήσει το κόστος της με περιορισμό την συνάρτηση παραγωγής που έχει mmmmmm LL,KK Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange και παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης ww LL LL + ww KK KK με περιορισμό = KK + LL LL = ww LL LL + ww KK KK λλ KK + LL LL LL = 0 ww LL = λλ (1) LL 8

LL KK = 0 ww KK = λλ () KK LL = 0 = KK + LL (3) H (3) ουσιαστικά μας δίνει πίσω τον περιορισμό. Διαιρούμε τις (1) και () κατά μέλη και παίρνουμε ww LL ww KK = KK (4) LL και Επίλυση των (3) και (4) μας δίνει τις συναρτήσεις παράγωγης ζήτησης για τις εισροές LL = (ww KK ) [ww LL + ww KK ] KK = (ww LL ) [ww LL + ww KK ] Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην συνάρτηση ww LL LL + ww KK KK παίρνουμε την συνάρτηση κόστους (ww KK ) CC = ww LL [ww LL + ww KK ] + ww (ww LL ) KK [ww LL + ww KK ] (5) (δ) Η επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα προϊόντος που μεγιστοποιεί τα κέρδη της H συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει: max ππ = pppp CC = 0 pp = 0 pp = MMMM Παραγωγίζοντας την (5) ως προς παίρνουμε το MMMM 9

MMMM = = ww LLww KK [ww LL + ww KK ] Συνεπώς έχουμε pp = ww LLww KK [ww LL + ww KK ] = pp(ww LL + ww KK ) ww LL ww KK Η απάντηση είναι ίδια. Η μεγιστοποίηση κέρδους συνεπάγεται ελαχιστοποίηση κόστους και το αντίθετο. 4. Έστω ένας κλάδος όπου nn επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία. Η συνάρτηση κόστους της κάθε μιας επιχείρησης είναι CC() = + 1. Η συνάρτηση ζήτησης του κλάδου είναι QQ DD = 48 pp. (α) Βρείτε την ποσότητα προϊόντος για την οποία το οριακό κόστος ισούται με το μέσο συνολικό κόστος. Τι σημαίνει αυτή η ποσότητα προϊόντος για την κάθε επιχείρηση; (β) Ποια είναι η μικρότερη τιμή για την οποία θα γίνονται πωλήσεις; (γ) Ποια είναι η συνάρτηση της καμπύλης προσφοράς για κάθε μια επιχείρηση; Ποια είναι η καμπύλη προσφοράς για όλο τον κλάδο; (δ) Αν υπάρχουν 30 επιχειρήσεις, ποια είναι η τιμή και η συνολική ποσότητα ισορροπίας στην αγορά; Ποιο είναι το κέρδος της κάθε επιχείρησης; (1 μον) (α) Το οριακό κόστος είναι ίσο με To μέσο συνολικό κόστος είναι ίσο με MMMM = = ΑΑΑΑ = CC = 1 + Άρα έχουμε MMMM = AAAA = 1 + = 1 Στο σημείο όπου = 1, ελαχιστοποιείται το μέσο συνολικό κόστος. (β) VVCC = και άρα AAAAAA =. Ισχύει MMMM = > AAAAAA άρα πωλήσεις θα γίνονται για όλες τις θετικές τιμές. (γ) To πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιχείρησης είναι 10

max ππ = pppp CC() H συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει: = 0 pp = 0 pp = MMMM Γνωρίζουμε από (α) ότι MMMM = συνεπώς pp =. Αντιστρέφοντας την τελευταία έκφραση παίρνουμε την συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης SS = pp Εφόσον υπάρχουν nn επιχειρήσεις, η συνάρτηση προσφοράς του κλάδου θα είναι (δ) Για nn = 30, QQ SS = 30pp = 15pp H αγορά βρίσκεται σε ισορροπία όταν QQ SS = nn SS = nnnn QQ DD = QQ SS 48 pp = 15pp pp = 3 Άρα QQ = 45 και = QQ nn = 1.5. Το κέρδος της κάθε επιχείρησης είναι ππ = pp (1 + ) = 3 1.5 (1 + 1.5 ) = 1.5 5. Έστω ένας κλάδος όπου nn επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία. Η συνάρτηση κόστους της κάθε επιχείρησης είναι CC() = 3 8 + 10. Η συνάρτηση ζήτησης του κλάδου είναι QQ DD = 10 10pp. (α) Βρείτε το για το οποίο η κάθε επιχείρηση επιτυγχάνει το ελάχιστο δυνατό μέσο κόστος της. (β) Πόσες επιχειρήσεις θα δραστηριοποιηθούν στον κλάδο σε μακροχρόνια ισορροπία; (γ) Ποιο είναι το συνολικό πλεόνασμα των επιχειρήσεων (παραγωγού) στην μακροχρόνια ισορροπία; (1 μον) (α) Το οριακό κόστος είναι ίσο με To μέσο κόστος είναι ίσο με MMMM = = 6 16 + 10 11

ΑΑΑΑ = CC = 8 + 10 Άρα έχουμε MMMM = AAAA 6 16 + 10 = 8 + 10 = Στο σημείο όπου =, ελαχιστοποιείται το μέσο κόστος, το οποίο είναι ίσο με AAAA mmmmmm = (β) To πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιχείρησης είναι H συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει: max ππ = pppp CC() = 0 pp = 0 pp = MMMM Στην μακροχρόνια ισορροπία η κάθε επιχείρηση θα λειτουργεί στο ελάχιστο μέσο κόστος pp = MMMM = AAAA mmmmmm =, και θα κάνει μηδενικά κέρδη, ππ = 0. Η μακροχρόνια καμπύλη προσφοράς του κλάδου είναι pp =. Αντιστρέφοντας την καμπύλη ζήτησης και εξισώνοντας με την προσφορά έχουμε (10 QQ) 10 = QQ = 100 Η κάθε επιχείρηση παράγει στο ελάχιστο μέσο κόστος, =, άρα nn = QQ = 100 nn = 50 (γ) Στην μακροχρόνια περίοδο ισχύει: πλεόνασμα παραγωγού = κέρδη = 0. 1