ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Αα. (α) Αα. (γ) Α3α. (α) Α4α. (γ) Αβ. (γ) Αβ. (δ) Α3β. (β) Α4β. (β) Α0. α.λ β.λ γ.σ δ.λ ε.σ ΘΕΜΑ B Β. Σωστή απάντηση είναι η (β). Όταν αφήσουμε κάθε σώμα από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου να κάνει ταλάντωση, το πλάτος Α θα ισούται με την αρχική επιμήκυνσή του Δ. Στη θέση ισορροπίας έχουμε: mg F 0 k mg 0 A, () k H κινητική ενέργεια στη θέση ισορροπίας είναι μέγιστη και ίση με την ενέργεια ταλάντωσης, επομένως K Kmax Umax K ka, () Aντικαθιστώντας τη σχέση () στη () παίρνουμε: Για το σώμα Α έχουμε K mg k K mg k Για το σώμα Β έχουμε K mg k Επειδή m Β>m A παίρνουμε Κ Β>Κ Α.
Β. Σωστή απάντηση είναι η (β). Eo kao 0,5J, () E Eo Q 0,08J E ka 0,08J, () Διαιρώντας τις σχέσεις (),() κατά μέλη παίρνουμε: ka E 0,08 A 8 A 6 A 0,4 E 0 ka 0,5 A0 50 A0 00 A0 0 Β3. Σωστή απάντηση είναι η (α). Η ιδιοσυχνότητα f o του ταλαντωτή είναι f o k. m Το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό, άρα ο διεγέρτης βρίσκεται σε συχνότητα fo και το πλάτος ταλάντωσης είναι Α max. Aν το ελατήριο αντικατασταθεί με ένα σκληρότερο σταθεράς k > k, η νέα ιδιοσυχνότητα γίνεται Είναι f o>f o, επομένως το μέγιστο της καμπύλης συντονισμού μετατοπίζεται δεξιότερα. Ο διεγέρτης βρίσκεται στη συχνότητα f o, άρα το πλάτος ταλάντωσης από Α max γίνεται Α <Α max (δες σχήμα). k f o, m Β4. Σωστή απάντηση είναι η (α). ΟΙ δύο ταλαντώσεις έχουν ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης Δφ=π/3 rad. H εξίσωση απομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι x A t, () όπου το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι
A A A AA 4m 4m 4m4m A 4m 3 H γωνία θ δίνεται από τη σχέση 4m 3 3 rad 4m 4m 3 3 Αντικαθιστώντας στη σχέση () παίρνουμε: x 4 0t, (S.I.) 3 Όταν η απομάκρυνση μηδενίζεται έχουμε 0 4 0t 3 0t 3 0 0t 3 Για η φορά (κ=) η παραπάνω εξίσωση δίνει: 0t t 3 5 ΘΕΜΑ Γ Γ) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι f 5 f Hz άρα ω=πf=0 rad/. rad N D m kg0 ή D 00 m Γ) Εφόσον τη χρονική στιγμή t=0 ο ρυθμός μεταβολής της ορμής (η συνισταμένη δύναμη ΣF) είναι αρνητικός το σώμα βρίσκεται σε θετική απομάκρυνση. Το σώμα επιταχύνεται, άρα πλησιάζει προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του. N F Dx 0N 00 x x 0,m m Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση. 3
m U E m Dx DA x D m kg 3 0,m 0,4m N 00 m Γ3) H εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο είναι x A t, () όπου Α=0,4m και ω=0rad/. Εύρεση της αρχικής φάσης φ ο. Tη χρονική στιγμή t=0, x=0,m και υ<0. o 6 6 0, 0,4 5 5 o 6 6 (), (3) Επειδή η ταχύτητα τη στιγμή t=0 είναι αρνητική, επιλέγουμε τη φ ο=5π/6. Αντικαθιστώντας στη σχέση () παίρνουμε: 5 x 0,4 0t, (S.I.) 6 Γ4) K 3U E A E U 3U U Dx DA x K U E K E U 4 4 To σώμα ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση Α/. Θα φτάσει για πρώτη φορά στη θέση Α/ τη χρονική στιγμή t και θα επιστρέψει σε αυτή τη στιγμή t. Θα ισχύει K 3U για το χρονικό διάστημα Δt =t -t. Στη συνέχεια θα φτάσει στη θέση +Α/ τις στιγμές t 3 και t 4 (δες σχήμα) όπου και πάλι θα ισχύει K 3U για το χρονικό διάστημα Δt =t 4-t 3. Για x=-a/: 4
5 5 0t 0t 6 6 H παραπάνω εξίσωση δίνει λύσεις. 7 5 7 5 6 6 6 6 30 ( 0 0t 0t t 5 5 3 6 6 6 6 30 ( 0) 0t 0t t t t t 30 Για x=a/: 5 5 0t 0t 6 6 H παραπάνω εξίσωση δίνει λύσεις. 5 5 4 6 6 6 6 30 ( ) 0t 0t t3 5 5 5 5 6 6 6 6 6 30 ( ) 0t 0t t4 t t4 t3 30 Το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μιας περιόδου που ικανοποιείται η σχέση K 3U, είναι Δt = Δt + Δt = π/5. 5
ΘΕΜΑ Δ Δ) Στη θέση τα ελατήρια έχουν παραμορφωθεί κατά Δ έχουμε: ισορροπίας όπου F 0 F F mg 0 k k mg k mg, () Σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσης που απέχει x από τη θέση ισορροπίας ισχύει: F F F mg k( x) k( x) mg () F k kx mg F kx Άρα το Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D=k. Δ) Τη χρονική στιγμή t=0, το σώμα Σ βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση (+Α), τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος και δεν έχουν δυναμική ενέργεια. Όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη δυναμική του ενέργεια το σώμα Σ βρίσκεται στην κάτω αρνητική του θέση (-Α) για πρώτη φορά. Άρα, το χρονικό διάστημα Δt=π/0 αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα μισής περιόδου της ταλάντωσης του Σ. m m N k 00 0 D 0 k 00 m Από τη σχέση () έχουμε mg 0,m k 6
Δ3) Βρίσκουμε πρώτα την εξίσωση θέσης για την ταλάντωση του σώματος Σ. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ είναι στο x=+α, άρα φ ο=π/. Επίσης D rad 0 m H εξίσωση θέσης του σώματος Σ είναι: x t o x 0,0t, (SI) Tη χρονική στιγμή t =T/8: T 3 3 x 0, 0, 0,05 m, max 0 T 8 4 4 Tη χρονική στιγμή t =T/3: T x 0, 0, 0,05m, max 0 T 3 6 6 To μήκος της τροχιάς που διένυσε το σώμα Σ από τη χρονική στιγμή t έως τη στιγμή t (δες σχήμα) είναι 0,05 m 0,0m 0,0m 0,05m 0,05( 3)m Δ4) m T k 5 Άρα, η γραφική παράσταση αντιστοιχεί σε χρόνο από 0 μέχρι Τ. Στην τυχαία θέση που η απομάκρυνση του σώματος είναι x από τη θέση ισορροπίας έχουμε F k ( x) k kt o F 0 00t, (SI) H γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου () σε σχέση με το χρόνο δίνεται στο διπλανό σχήμα. 7
Δ5) du dw F Fdx F, () dt dt dt Tην t =5T/6: 5T 3 F 0 0 0 0 0 0 F 5N T 6 6 6 H ταχύτητα υ του σώματος Σ τη χρονική στιγμή 5Τ/6 είναι 5T rad 3 3 m 0 0,m T 6 6 Αντικαθιστώντας στη σχέση () παίρνουμε du 3 m du J 5,5 3 dt dt. 8