5. Αυτεπαγγή-Χρητικότητα nucance Capaciance Εδώ εισάγουµε τα δύο τελευταία στοιχεία κυκλµάτν, τα πηνία και τους πυκντές. Οι τεχνικές ανάλυσης κυκλµάτν που εισήχθικαν νρίτερα ακόµα ισχύουν εδώ. Ένα πηνίο είναι ένα ηλεκτρικό στοιχείο που αντιτάσσει οποιαδήποτε αλλαγή στο ηλεκτρικό ρεύµα. Αποτελείται από ένα καλώδιο που τυλίγεται γύρ από έναν ενισχυτικό πυρήνα το υλικό του οποίου µπορεί να είναι µαγνητικό (magneic) ή µη (nonmagneic). Η παράµετρος του πηνίου (επαγγικότηταinucance) αφορά την προκληθείσα τάση και το ρεύµα (που συνδέεται µε τα µαγνητικά πεδία περισσότερες λεπτοµέρειες στην σειρά µαθηµάτν για ηλεκτροµαγνητικά πεδία). Ένας πυκντής είναι ένα ηλεκτρικό στοιχείο που αποτελείται από δύο αγγούς που χρίζονται από έναν µοντή (insulaor) ή ένα διηλεκτρικό υλικό (ielecric). Ο πυκντής είναι η µόνη συσκευή εκτός της µπαταρίας που µπορεί να αποθηκεύσει ηλεκτρική ενέργεια. Η παράµετρος χρητικότητα (capaciance) συνδέει το ρεύµα µετατοπίσεν (isplacemen curren) µε την τάση (συνδεδεµένη µε τα ηλεκτρικά πεδία περισσότερες λεπτοµέρειες στην σειρά µαθηµάτν για ηλεκτροµαγνητικά πεδία). Η ενέργεια µπορεί να αποθηκευτεί και στα ηλεκτρικά και µαγνητικά πεδία. Ως εκ τούτου τα πηνία και οι πυκντές είναι σε θέση να αποθηκεύουν ενέργεια. Επειδή τα πηνία και οι πυκντές δεν µπορούν να παράγουν ενέργεια είναι ταξινοµηµένοι ς παθητικά στοιχεία (passive elemens).
Το πηνίο Η αυτεπαγγή περιγράφει το πηνίο και συµβολίζεται µε το σύµβολο L. Σύµβολο: L (Αυτεπαγγή) Ηλεκτρικό σύµβολο: Μονάδα: Henrys (H) L = L σε vols, L σε Henrys, σε Amperes και σε secons. Το πιό πάν διάγραµµα απεικονίζει την παθητική σύµβαση (passive sign convenion). Εάν η αναφορά ρεύµατος είναι στην κατεύθυνση της ανόδου τάσης τότε η πιο πάν εξίσση πρέπει να έχει το µείον σηµάδι. Σηµείση: Όπς µπορεί να φανεί από την εξίσση πιό πάν η πτώση τάσης στα τερµατικά ενός πηνίου είναι ανάλογη µε το ρυθµό µεταβολής του ρεύµατος στο πηνίο. ) Εάν το ρεύµα είναι σταθερό, τότε η τάση στα άκρα του πηνίου είναι µηδέν. Κατά συνέπεια το πηνίο συµπεριφέρεται ς βραχυκύκλµα στην παρουσία ενός σταθερού συνεχούς ρεύµατος (c). ) Το ρεύµα δεν µπορεί να αλλάξει στιγµιαία σε ένα πηνίο. Εάν αυτό µπορούσε να συµβεί τότε θα απαιτούσε µια άπειρη τάση και αυτό δεν είναι δυνατό. Παραδείγµατος χάριν όταν κάποιος ανοίξει το διακόπτη (swich) σε ένα κύκλµα πηνίν σε ένα πραγµατικό σύστηµα, το ρεύµα συνεχίζει αρχικά να ρέει στον αέρα πέρα από το διακόπτη (να σχηµατίσει τόξο). Η αλλαγή (άνοιγµα - κλείσιµο (swiching)) τν επαγγικών κυκλµάτν είναι ένα σηµαντικό πρόβληµα εφαρµοσµένης µηχανικής.
Παράδειγµα 5. Η ανεξάρτητη πηγή ρεύµατος στο κύκλµα παράγει µηδέν ρεύµα για <0 και ένα σήµα 0e 5 A για >0 a) Σχεδιάστε το σήµα. b) Σε ποια στιγµή του χρόνου είναι το ρεύµα µέγιστο; c) Εκφράστε την τάση στα τερµατικά του πηνίου 00 mh σαν µιά συνάρτηση χρόνου. ) Σχεδιάστε την τάση. e) Είναι η τάση και το ρεύµα στα µέγιστα τους συγχρόνς; f) Σε ποια στιγµή του χρόνου αλλάζει πολικότητα της τάσης; g) Υπάρχει ποτέ στιγµιαία αλλαγή στην τάση στα άκρα του πηνίου; Αν ναι πότε; (6.p3) 00 mh 3
4
Το ρεύµα σε ένα πηνίο σε σχέση µε την τάσης στα άκρα του πηνίου µπορεί να βρεθεί ς εξής: = L ( ) = (0) τ L 0 5
Παράδειγµα 5. Η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου00 mh που φαίνεται πιό πάν δίδεται από: ( ) 0 = 0e για > 0 = 0 για < 0 Υποθέστε = 0 για < 0. a) Σχεδιάστε την τάση σε σχέση µε το χρόνο. b) Βρείτε το ρεύµα του πηνίου σε σχέση µε το χρόνο. c) Σχεδιάστε το ρεύµα σε συνάρτηση µε το χρόνο (6.p33). τείνει στα A 6
Ισχύ και ενέργεια στο πηνίο Power an Energy in he nucor Ξέρουµε ότι P = = (Υποθέτουµε οτι 0 ενέργεια για 0 ρεύµα) W = L Ο πυκντής Η χρητικότητα (capaciance) αντιπροσπεύεται µε το C. Σύµβολο: C Σύµβολο κυκλώµατος: Μονάδες: Faras (F) C 7
= C (Με βάση το διάγραµµα αναφοράς αντέρ) Εάν η τάση είναι σταθερή τότε το ρεύµα = 0 και ς εκ τούτου ο πυκντής συµπεριφέρεται όπς ένα ανοικτό κύκλµα στο συνεχές ρεύµα (c). Επίσης ( ) = (0) τ C 0 P = = W = C 8
Παράδειγµα 5.3 Το σήµα τάσης στα άκρα ενός πυκντή 0.5µF δίδεται πιό κάτ. v ( ) = 0 γιά 0 v ) 4 ( = γιά 0 ( ) 4 ( ) v = e γιά (a) Βρείτε τις εκφράσεις γιά το ρεύµα, την ισχύ και ενέργεια. (b) Σχεδιάστε την τάση, το ρεύµα την ισχύ και την ενέργεια σε συνάρτηση µε το χρόνο. Ευθυγραµµίστε τις παραστάσεις κάθετα (c) ιευκρινίστε το διάστηµα του χρόνου όταν αποθηκεύεται η ενέργεια στον πυκντή. () ιευκρινίστε το διάστηµα του χρόνου όταν παραδίδεται η ενέργεια από τον πυκντή. (e) Υπολογίστε τα πιό κάτ ολοκληρώµατα p και 0 p και σχολιάστε τη σηµασία τους. (6.4p40) 9
0
Σε σειρά και παράλληλοι συνδυασµοί αυτεπαγγής και χρητικότητας Series-Parallel Combinaions of nucance an Capaciance Πηνία σε σειρά nucors in Series L L L 3 L eq 3 L = L L L... eq 3 L N Πηνία παράλληλα nucors in Parallel L L L 3 L eq
Πυκντές σε σειρά Capaciors in Series C C C N C eq N C = C C... eq C N Πυκντές παράλληλοι Capaciors in Parallel C C C 3 C eq C... = eq C C C N 3
Παράδειγµα 5.4 Βρείτε την ισοδύναµη χρητικότητα (capaciance) όσον αφορά τα τερµατικά a, b στο πιό κάτ κύκλµα.(6.4p68) 8µF a 6µF 4µF b 5µF µf.6µf 6µF 4
6.Απόκριση κυκλµάτν RL και RC πρώτου βαθµού Response of Firs Orer RL an RC Circuis Φυσική απόκριση (Naural Response): Καµία εξτερική πηγή διέγερσης L eq 0 R eq 0 C eq R eq Βηµατική Απόκριση (Sep Response): Εξετάζει τα ρεύµατα και τις τάσεις που προκύπτουν όταν αποκτιέται ενέργεια από ένα πηνίο ή έναν πυκντή λόγ της ξαφνικής εφαρµογής µιας συνεχούς τάσης ή µιας πηγής ρεύµατος. Τέσσερις δυνατότητες υπάρχουν και οι ακόλουθες είναι οι γενικές διαµορφώσεις. Εάν τα πηγές ρεύµατος ή οι πηγές τάσεις είναι µηδέν τότε έχουµε τη φυσική απόκριση (naural response). R h h L h/rh R h L R h h C h/rh R h C 5
Φυσική απόκριση κυκλµάτν RL Naural Response of an RL circui = 0 s R 0 L R Υποθέστε ότι ο διακόπτης ήταν στην κλειστή θέση για πολύ χρόνο (όλα τα ρεύµατα και οι τάσεις έχουν φθάσει σε µια σταθερή τιµή). Πριν από την απελευθέρση του διακόπτη το πηνίο εµφανίζεται ς βραχυκύκλµα, έτσι η τάση στα άκρα του πηνίου είναι 0. Ως εκ τούτου το ρεύµα στην R 0 είναι 0 και όλο το ρεύµα ρέει διαµέσου του L. Φυσική απόκριση: Βρείτε την τάση και το ρεύµα στα τερµατικά της αντίστασης R αφότου ανοικτεί ο διακόπτης (το πηνίο αρχίζει να απελευθερώνει ενέργεια). 6
7
Παράδειγµα 6. Ο διακόπτης είναι κλειστός για πολύ προτού ανοίξει στο χρόνο = 0. Να βρεθεί a) L () για 0 b) 0 () για 0 c) 0 () για 0 (7.p8) = 0 Ω 0 0 A 0.Ω Η 0Ω 40Ω 0 L 8
Η βηµατική απόκριση σε κυκλώµατα RL The Sep Response for an RL circui R = 0 S L () Αφότου ο διακόπτης κλείσει εφαρµόζοντας το νόµο KL παίρνουµε S = R L 9
0
Παράδειγµα 6. Βρείτε την βηµατική απόκριση του ακόλουθου RC κυκλώµατος. (circuis3.3p9) = 0 R E C
Παράδειγµα 6.3 Ο πυκντής πιό κάτ φορτίστηκε αρχικά σε µια τάση 0 προτού να συνδεθεί το κύκλµα. Βρείτε την τάση του πυκντή c () για >0 και σχεδιάστε τη συνάρτηση τάσης µε το χρόνο. (circuisex) 30kΩ 38kΩ a 5 0kΩ 0.µF b
3
Φυσική και Βηµατική Απόκριση Κυκλµάτν RLC ευτέρου Βαθµού Σε αυτό το µέρος θα επικεντρθούµε µόνο σε δύο είδη κυκλµάτν RLC, τα κυκλώµατα σειράς και παράλληλα. Παράλληλα Κυκλώµατα RLC Φυσική Απόκριση Για να βρεθεί η φυσική απόκριση σε ένα παράλληλο κύκλµα RLC πρέπει να βρεθεί η τάση στα άκρα τν στοιχείν στο σχήµα πιο κάτ. A = 0 C C L L R R Υποθέτουµε ότι ο διακόπτης ανοίγει στον χρόνο =0. Για να βρούµε την τάση πρέπει πρώτα να βρούµε την διαφορική εξίσση που χαρακτηρίζει το κύκλµα. KCL στο Α = 0 C c L R L R τ = 0 0 Αν παραγγήσουµε τότε παίρνουµε C = 0 L R = 0 LC RC ή RC LC = 0-4
ιαφορική εξίσση δευτέρου βαθµού Κυκλώµατα τα οποία περιλαµβάνουν πηνία και πυκντές δίνουν συστήµατα δευτέρου βαθµού. Ας υποθέσουµε ότι η λύση είναι της µορφής: s = Ae () οπου Α και s είναι άγνστες σταθερές. Αντικαθιστούµε την εξίσση () στην διαφορική εξίσση και έχουµε As e s Ae Ase RC s s RC s Ae LC LC s s = 0 = 0 (A=0 δεν είναι δυνατή λύση) s Η λύση ισχύει µόνο αν: s = 0 RC LC Η εξίσση αυτή ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσση (characerisic equaion) της διαφορικής εξίσσης. Οι δύο ρίζες είναι: s = RC RC LC s = RC RC LC 5
s s Τότε = Ae και = Ae ικανοποιούν την διαφορική εξίσση καθώς επίσης και το άθροισµα τους. s s = = Ae Ae Η γενική µορφή της λύσης της διαφορικής εξίσσης δίνεται από την πιο πάν µορφή (η γνώση τν µαθηµατικών σας σε αυτό το στάδιο δεν µας επιτρέπει µια πιο ολοκληρµένη ανάλυση). Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσσης συνδέονται µε τις παραµέτρους RLC του κυκλώµατος και η αρχική κατάσταση µας δίνει τις σταθερές Α και Α. (Εάν οι ρίζες s και s ισούνται τότε η λύση αλλάζει µορφή) Παράµετρος Ορισµός Τιµή στην φυσική απόκριση s, s Χαρακτηριστικές s = α ± α 0 ρίζες α Συχνότητα Neper 0 Γνιακή συχνότητα συντονισµού α = 0 = RC LC Μορφές φυσικής απόκρισης παράλληλν κυκλµάτν RLC Υπέρ Αποσβόµενη Απόκριση Over ampe Response Η λύση της διαφορικής εξίσσης είναι της µορφής s s = A e Ae όπου s, = α ± α 0 όταν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγµατικές (όχι όµς s = s ) τότε έχουµε την υπέρ αποσβόµενη απόκριση (over ampe response) δηλαδή όταν: α > 0' 6
5000 000 Παράδειγµα: ( ) = ( 4e 6e )v, 0 Υπό Αποσβόµενη Απόκριση - Uner ampe Response Εάν 0' > α τότε οι χαρακτηριστικές ρίζες γίνονται µιγαδικές και έτσι έχουµε την υπό αποσβόµενη απόκριση (uner ampe response). s s = α = α = α = α όπου = j j j ( α ) α 0 0 0 α Η είναι η αποσβόµενη γνιακή συχνότητα. Η µορφή της τάσης () γίνεται: 7
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] e B B e A A j A A e A A ja A e e e A e A e e A A e j e e B B e j j j j j θ θ α α α α α α α α θ α α sin cos )sin ( )cos ( sin cos sin cos ) ( sin cos sin cos ) ( ± = = = = = ± = = Σε αυτήν την περίπτση έχουµε ταλάντση η οποία κάνει απόσβεση µε εκθετική µορφή. Το α ονοµάζεται συντελεστής απόσβεσης (amping facor) αφού καθορίζει πόσο γρήγορα µειώνεται η ταλάντση. Εάν το α=0 τότε η ταλάντση γίνεται µε γνιακή συχνότητα 0. Εάν το 0 α τότε η ταλάντση γίνεται µε γνιακή συχνότητα. Κριτική Απόσβεση Criically Dampe Response Έχουµε αυτού του είδους απόσβεση εάν: 0 =α ή 0 =α T T f π π = = = 8
Όταν έχουµε κριτική απόσβεση σηµαίνει ότι είµαστε στο όριο της ταλάντσης. Επιπρόσθετα οι δύο χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγµατικές και ίσες. s = s = α = RC Τότε η αρχική γενική µορφή της τάσης δεν ισχύει και έτσι παίρνουµε: s ( ) = Ae (µόνο µία χαρακτηριστική ρίζα έχουµε). Η ανάλυση της φυσικής απόκρισης κυκλµάτν RLC σε σειρά γίνεται µε τον ίδιο τρόπο αλλά αυτή τη φορά θέλουµε το ρεύµα που διαπερνά το κύκλµα. 9
Παράδειγµα 6.4 a) Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές ρίζες της τάσης () εάν R=00Ω, L=50mH και C=0.µF. b) Τι θα είναι η απόκριση; [υπό αποσβόµενη (uner ampe), κριτικά αποσβόµενη (criically ampe), υπέρ αποσβόµενη (over ampe)] c) Επαναλάβετε τον υπολογισµό µε R=3.5 Ω. ) Ποία τιµή της R θα κάνει την απόκριση να έχει κριτική απόσβεση (criically ampe); C L R v c L R - 30
3