Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του

Το υδρογράφηµα απορροής Το διάγραµµα της παροχής σαν συνάρτηση του χρόνου σε ένα ορισµένο σηµείο της κοίτης ενός υδατορρεύµατος [Q = Q(t)] καλείται υδρογράφηµα και έχει τα γενικά χαρακτηριστικά που φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα: Το υδρογράφηµα και τα χαρακτηριστικά του Το νερό που ρέει στα υδατορρεύµατα, προέρχεται από πηγές που έχουν σχετικά σταθερή παροχή στην διάρκεια του χρόνου (υπόγεια ή βασική ροή) και από την άµεση απορροή που οφείλεται στην βροχή. Εάν έχουµε µια περίοδο χωρίς βροχή, η παροχή είναι σχετικά σταθερή, αυξάνει όµως απότοµα µετά από έντονες βροχοπτώσεις ή καταιγίδες, δηµιουργώντας πληµµυρικές αιχµές, δηλαδή µικρές χρονικές περιόδους µε απότοµη αύξηση και κατόπιν µείωση της παροχής. Οι πληµµυρικές αιχµές αντιστοιχούν σε παροχή πολλές φορές µεγαλύτερη από την βασική ροή του ποταµού και µπορούν να δηµιουργήσουν υπερχειλίσεις και πληµµύρα. Η ταχεία αυτή αυξοµείωση της παροχής, που καταγράφεται στα αντίστοιχα πληµµυρικά υδρογραφήµατα, µεταδίδεται από τα ανάντη προς τα κατάντη µε την µορφή κύµατος. Ένα πρώτο µέληµα του Πολιτικού Μηχανικού, στα πλαίσια της αντιπληµµυρικής προστασίας, είναι ο προσδιορισµός του υδρογραφήµατος που θα προκύψει από την βροχή ή την καταιγίδα σε µια περιοχή που τροφοδοτεί ένα υδατόρρευµα, την λεκάνη απορροής. Η µέγιστη παροχή αλλά και το υδρογράφηµα που προσδιορίζει το πώς θα αρχίσει να αυξάνει η παροχή, καθώς θα συγκεντρώνονται στο υδατόρρευµα όλο και µεγαλύτερες ποσότητες νερού (καµπύλη συγκεντρώσεως), σε πόσο χρόνο θα φθάσει το µέγιστο της παροχής (χρόνος συγκεντρώσεως) και τέλος µε ποιο ρυθµό θα εκτονωθεί η παροχή αυτή (καµπύλη εκτονώσεως) και σε πόσο χρόνο θα αποκατασταθεί η κανονική ροή (βασική ροή) στο υδατόρρευµα (χρόνος εκτονώσεως), εξαρτώνται τόσο από τα χαρακτηριστικά της λεκάνης απορροής (επιφάνεια, µορφή, ανάγλυφο, κλίσεις, βλάστηση κλπ), όσο και από την διάρκεια και ένταση της βροχής. Η καταγραφή σε διάγραµµα της µεταβολής της βροχής στον χρόνο [P = P(t)] ονοµάζεται υετόγραµµα. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΑ ΙΑΙΟΥ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ Το µοναδιαίο υδρογράφηµα Η αρχή του µοναδιαίου υδρογραφήµατος πρωτοπαρουσιάσθηκε από τον SHERMAN στα 94. Σύµφωνα µε αυτή γίνεται αποδεκτό ότι µία βροχή µε σταθερή µοναδιαία ένταση επάνω σε µία λεκάνη απορροής και µε µοναδιαία διάρκεια, γεννά ένα µοναδιαίο υδρογράφηµα που είναι χαρακτηριστικό για την λεκάνη απορροής. Τα υδρογραφήµατα που προέρχονται από βροχές πολλαπλάσιας εντάσεως ή/και διάρκειας, καθώς και αυτά που προέρχονται από σύνθετες µορφές βροχής µπορούν να υπολογισθούν από το µοναδιαίο υδρογράφηµα, εφαρµόζοντας τις αρχές α) της γραµµικότητας και β) της σταθερότητας στο χρόνο. Το τι θα θεωρηθεί σαν µοναδιαία διάρκεια και ένταση της βροχής το καθορίζουµε ανάλογα µε τα δεδοµένα του συγκεκριµένου προβλήµατος, γενικά όµως προτιµούµε να ορίσουµε σαν διάρκεια την ώρα και σαν ένταση το mm/ώρα. Σε κάθε περίπτωση η διάρκεια και το ύψος του µοναδιαίου υδρογραφήµατος δεν είναι αντιστοίχως ίσα µε ώρα και m /sec, δηλαδή τις µονάδες του χρόνου και της παροχής, αλλά πολλαπλάσια τους, αφού εξαρτώνται από την έκταση και τα χαρακτηριστικά της λεκάνης απορροής. 3 3 4 5 6 7 P.4 Q..8.6.4. 3 4 5 6 7 Μοναδιαίο υδρογράφηµα Q(t) που αντιστοιχεί σε µια µοναδιαία βροχή P(t), για µια δεδοµένη λεκάνη απορροής Η θεωρία του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι εφαρµογή της θεωρίας συστηµάτων στην Υδρολογία. Το σύστηµα είναι η λεκάνη απορροής που µετατρέπει την βροχή που δέχεται σε απορροή. Επειδή το µοντέλο αυτό της λεκάνης απορροής δεν περιγράφει µε λεπτοµέρεια τις διεργασίες που µετατρέπουν την βροχή (είσοδος) σε απορροή (έξοδος) το αποκαλούµε µαύρο κουτί. Το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα (ΣΜΥ) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

3 Ένα βήµα πιο πέρα από την έννοια του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι η έννοια του στιγµιαίου µοναδιαίου υδρογραφήµατος που προκύπτει εάν η διάρκεια της µοναδιαίας βροχής που παράγει το υδρογράφηµα τείνει προς το µηδέν, τείνει δηλαδή η βροχή να µετατραπεί σε ένα παλµό Dirac (συνάρτηση δ(t), όπου δ +, µε t ). Το Μ.Υ. και τοσ.μ.υ. µπορούν να παρασταθούν µαθηµατικά από ένα συνελικτικό γινόµενο: όπου: Q(t) = P(t) * υ(t) = P(r) υ(t - r)dr (Μ.Υ.) Ο t ) = h( τ)δ(t - τ)dτ = h(t) ( (Σ.Μ.Υ.) Q(t) είναι το υδρογράφηµα απορροής P(t) είναι η βροχή που προκαλεί το υδρογράφηµα υ(t) είναι το µοναδιαίο υδρογράφηµα Ο(t) είναι ή έξοδος του συστήµατος δ(t) παλµός Dirac (είσοδος του συστήµατος) h(t) είναι το στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα (παλµική απόκριση του συστήµατος (λεκάνη απορροής)) Μ.Β. M.Y. t t t t Σ.Μ.Β. Σ.Μ.Υ t Θεωρία του στιγµιαίου µοναδιαίου υδρογραφήµατος και του µοναδιαίου υδρογραφήµατος. t Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

4 Σ.Μ.Β. Σ.Μ.Υ t t δ (Παλµός Dirac) t I Σύστηµα O Απόκριση Συστήµατος t Εφαρµογή της θεωρίας συστηµάτων στην λεκάνη απορροής (στιγµιαίο µοναδιαίο υδρογράφηµα) Σύνθετα υδρογραφήµατα Τα υδρογραφήµατα που προέρχονται από βροχές πολλαπλάσιας εντάσεως ή/και διάρκειας, καθώς και αυτά που προέρχονται από σύνθετες µορφές βροχής µπορούν να υπολογισθούν από το µοναδιαίο υδρογράφηµα, εφαρµόζοντας τις αρχές: α) της γραµµικότητας, δηλαδή διπλάσια ένταση βροχής θα δώσει διπλάσια παροχή, τριπλάσια ένταση θα δώσει τριπλάσια παροχή κοκ. 3 3 4 5 6 7 P 3 3 4 5 6 7 P Q Q.8.8.6.6.4.4...8.8.6.6.4.4.. 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 Υδρογράφηµα από βροχή διπλάσιας έντασης β) της σταθερότητας στον χρόνο, δηλαδή κάθε παράταση της διάρκειας της βροχής θα θεωρηθεί σαν µια νέα βροχή που αρχίζει όταν τελειώνει η προηγούµενη και είναι τελείως Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

ανεξάρτητη από αυτήν, άρα παράγει ένα δικό της υδρογράφηµα, που αρχίζει όµως όταν αρχίζει η νέα αυτή περίοδος της βροχής. Τα υδρογραφήµατα που προκύπτουν µε αυτόν τον τρόπο παρουσιάζουν αλληλεπικαλύψεις και το πραγµατικό τελικό αποτέλεσµα θα είναι το άθροισµα των τεταγµένων (δηλαδή των παροχών), των υδρογραφηµάτων. 5 3 3 4 5 6 7 P 3 3 4 5 6 7 P. Q. Q.8.8.6.6.4.4. 3 4 5 6 7. 3 4 5 6 7 Υδρογράφηµα από βροχή διπλάσιας διάρκειας Η συνηθέστερη βέβαια περίπτωση στην πραγµατικότητα είναι να έχουµε µια βροχή αρκετά µεγάλης διάρκειας µε συνεχώς µεταβαλλόµενη ένταση. Το υδρογράφηµα που θα προκύψει θα είναι ένα σύνθετο υδρογράφηµα και θα το υπολογίσουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω, αφού χωρίσουµε την συνολική διάρκεια της βροχής σε περιόδους ίσες µε την διάρκεια της µοναδιαίας βροχής, υπολογίσουµε τα ανεξάρτητα υδρογραφήµατα για κάθε περίοδο, σύµφωνα µε τα παραπάνω, και τελικά συνθέσουµε το τελικό υδρογράφηµα, προσθέτοντας τις τεταγµένες των ανεξάρτητων υδρογραφηµάτων κατά τους ίδιους χρόνους. 3 3 4 5 6 7 P Q 3.8 4 3.6 3.4 3..8 3.6.4..8.6.4..8.6.4. 3 4 5 6 7 Σύνθετο υδρογράφηµα Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Εφαρµογή Γνωρίζοντας το µοναδιαίο υδρογράφηµα διάρκειας µίας ώρας σε µία λεκάνη απορροής, Χρόνος (t) MY 4 8 3 4 5 8 6 6 7 4 8 9 ζητείται το υδρογράφηµα απορροής που θα προκύψει από το ακόλουθο υετόγραµµα: 4 4 6 Λύση Χρόνος (t) MY Βροχή(mm/h) 4 4 Σύνθετο υδρογράφηµα 4 4 4 8 8 8 6 3 6 6 44 4 4 3 6 8 5 8 8 48 3 8 6 6 6 6 6 4 48 6 6 7 4 4 3 4 4 8 8 4 3 86 9 4 6 4 6 6 8 6 36 8 8 6 4 4 3 Υπολογισµός συνθέτου υδρογραφήµατος Παροχή (m 3 /sec) 4 8 6 4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 Χρόνος (ώρες) η ώρα βροχής η ώρα βροχής 3η ώρα βροχής 4η ώρα βροχής 5η ώρα βροχής 6η ώρα βροχής Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Υπολογισµός του µοναδιαίου υδρογραφήµατος για µικρότερη διάρκεια βροχής. 7 Όταν για µια λεκάνη διατίθεται το µοναδιαίο υδρογράφηµα για µοναδιαία βροχή σχετικά µεγάλης διάρκειας και απαιτείται µοναδιαίο υδρογράφηµα για µοναδιαία βροχή µικρότερης διάρκειας, αυτό µπορεί να προσδιοριστεί µε την εφαρµογή µιας ειδικής αλλά απλής µεθόδου που ονοµάζεται «Μέθοδος της καµπύλης S». Η µέθοδος της καµπύλης S Αν υποτεθεί ότι µια βροχής µοναδιαίας έντασης αρχίζει την χρονική στιγµή και συνεχίζεται για πολύ µεγάλο χρόνο, πολλαπλάσιο της διάρκειας της µοναδιαίας βροχής t, από µια χρονική στιγµή και µετά η καµπύλη του υδρογραφήµατος απορροής θα γίνει µια ευθεία οριζόντια, παράλληλη µε τον άξονα του χρόνου. Αυτό θα συµβεί διότι δεν θα υπάρχουν πλέον φαινόµενα συγκεντρώσεως της παροχής απορροής στην λεκάνη και εφόσον η βροχή είναι σταθερή, και η απορροή θα είναι επίσης σταθερή. Η αρχή αυτού του υδρογραφήµατος µέχρι και την σταθεροποίηση της παροχής έχει την µορφή ενός πεπλατυσµένου γράµµατος S λατινικού και για τον λόγο αυτό καλείται «καµπύλη S». 3 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 Σχηµατισµός της καµπύλης S Αν τώρα υποθέσουµε ότι µπορεί να υπάρξει µια «αρνητική βροχή» της ιδίας εντάσεως µε την µοναδιαία, τότε προφανώς αυτή θα δώσει µια αντίστοιχη αρνητική παροχή και ένα αντίστοιχο αρνητικό υδρογράφηµα S. Αν η «αρνητική βροχή» αρχίσει σε χρόνο τ µικρότερο από την διάρκεια της µοναδιαίας βροχής και αυτή προστεθεί στην βροχής µεγάλης διάρκειας και µοναδιαίας εντάσεως που έδωσε το υδρογράφηµα S προηγουµένως, τότε το αποτέλεσµα θα είναι µια βροχή µοναδιαίας εντάσεως και διάρκειας µικρότερης από την διάρκεια της αρχικής µοναδιαίας βροχής. Το αντίστοιχο υδρογράφηµα θα προκύψει από την πρόσθεση του αρχικού Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

υδρογραφήµατος µε το αρνητικό από τη ν «αρνητική βροχή» και το τελικό αποτέλεσµα θα είναι ένα υδρογράφηµα που θα αντιστοιχεί στην βροχής µοναδιαίας εντάσεως και διάρκειας µικρότερης από αυτήν της αρχικής µοναδιαίας βροχής. 8 3 5 5 5 6 6 6 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 Η καµπύλη S 3 5 5 5 7 3 9 5 3 37 43 49 55 6 67 73 79 Μετατόπιση της καµπύλης S Στην πράξη, προκειµένου να υπολογισθεί το µοναδιαίο υδρογράφηµα για βροχή µικρότερης διάρκειας, απλά υπολογίζεται η καµπύλη S, κατά τα γνωστά, και στην συνέχεια αφαιρείται η καµπύλη S από τον εαυτό της αφού µετατοπισθεί κατά χρόνο τ, όση είναι η διάρκεια του χρόνου για την νέα µοναδιαία βροχή. Το αποτέλεσµα είναι ένα νέο υδρογράφηµα το οποίο µπορεί να γίνει µοναδιαίο και συγκρίσιµο µε το αρχικό εφόσον οι τεταγµένες του πολλαπλασιαστούν µε τον λόγο t/ τ, ώστε τα δύο υδρογραφήµατα να αντιστοιχούν στον ίδιο όγκο βροχής. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

9 7 6 5 4 3-4 7 36958334374434649 Μοναδιαίο υδρογράφηµα για µικρότερη διάρκεια που υπολογίστηκε µε την µέθοδο της καµπύλης S Υπολογισµός του ΣΜΥ µιας λεκάνης και του ΜΥ για διάρκεια τ από το ΣΜΥ Εάν για µια λεκάνη έχουµε το υδρογράφηµα S της λεκάνης, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα για οποιαδήποτε διάρκεια t µικρότερη αυτής του ΜΥ. Ο υπολογισµός γίνεται, κατά τα γνωστά, αφαιρώντας από την αρχική καµπύλη S τον εαυτό της µετατοπισµένο κατά t. S S Q(MY t) = Ι t QiS Q Qi (MY t) is = i =,,..., n Ι t Εάν t τείνει προς το, τότε: Q( ΣMY) = Ι dq dt Και αντίστροφα εάν το ΣΜΥ είναι γνωστό: Q τ τ = Q( ΣMY)Ιdt Μετατροπή του ΣΜΥ σε ΜΥ διάρκειας τ Q t MY διάρκειας τ) = ( Q ΣΜΥ + Q ( t ΣΜΥ t- τ ) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Γ B Β+Γ Γ+ Μ.Υ. ( τ) A Α+Β Σ.Μ.Υ. τ τ Υπολογισµός του ΜΥ διάρκειας τ από το ΣΜΥ Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Προσδιορισµός του µοναδιαίου υδρογραφήµατος Το µοναδιαίο υδρογράφηµα (ΜΥ) µιας λεκάνης είναι ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό στοιχείο της λεκάνης και επιτρέπει τον άµεσο προσδιορισµό της απορροής για οποιαδήποτε βροχόπτωση. Πως όµως προσδιορίζεται το µοναδιαίο υδρογράφηµα; Υπάρχουν τρεις τρόποι:. Εάν έχουµε ταυτόχρονη καταγραφή της βροχής και της παροχής στην έξοδο της λεκάνης, δηλαδή ένα υετόγραµµα και το αντίστοιχο υδρογράφηµα, λύνουµε το αντίστροφο πρόβληµα και υπολογίζουµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα.. Εκτιµούµε το µοναδιαίο υδρογράφηµα από τα γεωµορφολογικά χαρακτηριστικά της λεκάνης (ανάγλυφο, κλίσεις, υδρογραφικό δίκτυο κλπ.) 3. Με βάση τυπικά µοναδιαία υδρογραφήµατα και τον χωρισµό της λεκάνης σε υπολεκάνες. Ο πλέον αξιόπιστος τρόπος είναι προφανώς ο πρώτος, και αυτός πρέπει να εφαρµόζεται πάντα όταν βέβαια υπάρχουν διαθέσιµα τα κατάλληλα δεδοµένα από υδρολογικές µετρήσεις. Προσδιορισµός του ΜΥ από ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος Στην συνέχεια παρουσιάζεται η διαδικασία βήµα-βήµα για τον προσδιορισµό του ΜΥ από ένα ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος. Έστω το ακόλουθο υετόγραµµα και το αντίστοιχο υδρογράφηµα: Q P 3 3 4 5 6 7 Σχ.7 Ζεύγος ταυτόχρονων καταγραφών της βροχής (υετόγραµµα) και της απορροής (υδρογράφηµα) ιακριτοποιούµε το υετόγραµµα και το υδρογράφηµα, δηλαδή ορίζουµε µια µοναδιάια διάρκεια του χρόνου, πχ. Την ώρα, και χωρίζουµε την συνολική διάρκεια, τόσο του υετογράµµατος, όσο και του υδρογραφήµατος σε ίσες περιόδους. Υπολογίζουµε κατόπιν Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

για την βροχή την µέση ένταση της στην διάρκεια κάθε χρονικής περιόδου, δηλαδή προσεγγίζουµε τη µεταβλητή ένταση µε µια ισοδύναµη σε όγκο βροχής σταθερή ένταση, στην διάρκεια µιας περιόδου κάθε φορά (Σχήµα 6.8). Q P X X 3 X 4 X 5 P P P 3 X X 6 3 3 4 5 6 7 ιακριτοποίηση του υετογράµµατος και του αντίστοιχου υδρογραφήµατος Με την διακριτοποίηση, η συνεχής βροχή επιµερίζεται σε r περιόδους µε αντίστοιχες σταθερές εντάσεις P, P,..., P r. Το υδρογράφηµα απορροής υποδιαιρείται αντίστοιχα σε m περιόδους και οι τεταγµένες του Χ, Χ,..., Χ m- είναι γνωστές. Θεωρούµε ότι οι τεταγµένες Χ, Χ,..., Χ m- του γνωστού υδρογραφήµατος ι προέκυψαν από επαλληλία τριών υδρογραφηµάτων, που αντιστοιχούν στις τρεις περιόδους της βροχής στην οποία αντιστοιχεί, και που προέκυψαν από ένα µοναδικό µοναδιαίο υδρογράφηµα µε τεταγµένες u i. Το µοναδιαίο υδρογράφηµα θα έχει n περιόδους και n- τεταγµένες u, u,, u n όπου m = n + ( r ) (6.) Στο παράδειγµα (Σχ.6.8) r = 3 και P, P, και P 3, m = 7 και Χ, Χ,..., Χ 6, άρα n = m ( r ) = 7 3 + = 5 Oι τεταγµένες του µοναδιαίου υδρογραφήµατος είναι u, u, u 3, και u 4 Εάν υποθέσουµε οτι το µοναδιαίο υδρογράφηµα της λεκάνης έχει τεταγµένες u τότε το υδρογράφηµα απορροής θα αντιστοιχεί στη σύνθεση τριών υδρογραφηµάτων: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

P u P u P u 3 P 3 u 3 P 3 u 4 3 Q Q P 3 u P 3 u P u P u P u 3 X X X 3 X 4 X 5 X 6 P u 4 P u 4 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 Ανάλυση του σύνθετου υδρογραφήµατος σε απλά υδρογραφήµατα πολλαπλάσια του µοναδιάιου σύµφωνα µε τις αντίστοιχες εντάσεις της βροχής. Από την αντιστοιχία του τελικού υδρογραφήµατος µε την βροχή και το µοναδιαίο υδρογράφηµα (άγνωστο προς το παρόν) Προκύπτει το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων: P u = X P u + P u = X P 3 u + P u + P u 3 = X 3 P 3 u + P u 3 + P u 4 = X 4 P 3 u 3 + P u 4 = X 5 P 3 u 4 = X 6 Έχουµε ένα σύστηµα 6 εξισώσεων µε 4 αγνώστους τα u, u, u 3, και u 4. Το σύστηµα αυτό µπορεί να επιλυθεί µόνο κατά την έννοια των ελάχιστων τετραγωνικών σφαλµάτων (µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων), δηλαδή επειδή δεν είναι δυνατή η ακριβής επίλυση του συστήµατος, επιδιώκεται να βρεθούν προσεγγιστικές τιµές των αγνώστων που παρουσιάζουν συνολικά τις ελάχιστες αποκλίσεις από τις πραγµατικές τιµές τους. Σε µητρωική µορφή το σύστηµα γράφεται: Pu = X Το τετραγωνικό σφάλµα στην εκτίµηση των Χ είναι: Q = ( Pu X ) ( Pu X ) Όπου µε «Τ» συµβολίζεται ο ανάστροφος ενός πίνακα ή ανύσµατος. Εάν ελαχιστοποιήσουµε αυτό το σφάλµα (παραγωγίζοντας και θέτοντας την παράγωγο ίση µε µηδέν) dq/du = = d[( Pu X ) ( Pu X )]/du Θα προκύψει το αντίστοιχο σύστηµα κανονικών εξισώσεων Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

P Pu = P X 4 το οποίο είναι ένα σύστηµα 4 εξισώσεων µε 4 αγνώστους και λύνεται κατά τα γνωστά ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να προσδιοριστεί το µοναδιαίο υδρογράφηµα λεκάνης απορροής για την οποία διατίθεται το ακόλουθο ζεύγος καταγραφών βροχής και απορροής (υετόγραµµα- υδρογράφηµα): Λύση P =, P =, P 3 = X =9, X =4, X 3 =8, X 4 =7, X 5 =35, X 6 = Η βροχή διαρκεί 3 χρονικές περιόδους, ενώ η απορροή διαρκεί 7 χρονικές περιόδους. Το µοναδιαίο υδρογράφηµα που αναζητούµε θα έχει n περιόδους που θα ικανοποιούν την σχέση: m = n + (r ) ή 7 = n + (3-) και n = 5 άρα θα προσδιορίσουµε 4 τεταγµένες, τις u, u, u 3 και u 4. Γράφουµε το αντίστοιχο σύστηµα των εξισώσεων: Υπολογισµός µοναδιαίου υδρογραφήµατος από ζεύγος υετογράµµατος-υδρογραφήµατος απορροής Υετόγραµµα Υδρογράφηµα απορροής Ύψος βροχής σε mm.5.5.5 3 Χρόνος σε ώρες P u = X P u + P u = X P 3 u + P u + P u 3 = X 3 P 3 u + P u 3 + P u 4 = X 4 P 3 u 3 + P u 4 = X 5 P 3 u 4 = X 6 P Pu = P X Παροχή m3/s 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 Για να επιλύσουµε το πρόβληµα µε την βοήθεια λογιστικού φύλλου, ανοίγουµε το λογιστικό φύλλο και εισάγουµε τα δεδοµένα: Χρόνος 9 4 X= 8 3 u= u u u3 u4 7 4 35 5 6 Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

5 P= Στην συνέχεια υπολογίζουµε µε την σειρά τους απαραίτητους όρους ώστε να καταλήξουµε στις τιµές του µοναδιαίου υδρογραφήµατος: 7.667 u= 7.6 6.6 9.333 Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Το τυπικό υδρογράφηµα της SCS 6 H SCS (Soil Conservation Service, ΗΠΑ) µετά από µελέτη µεγάλου αριθµού λεκανών απορροής όρισε ένα τυπικό αδιάστατο υδρογράφηµα που µπορεί να εφαρµοστεί σε οποιαδήποτε λεκάνη εάν γνωρίζουµε το εµβαδόν και τον χρόνο συγκεντρώσεως της λεκάνης. Προφανώς δεν είναι δυνατόν ένα τέτοιο υδρογράφηµα να έχει την ακρίβεια του υδρογραφήµατος που υπολογίζεται από ένα ζεύγος πραγµατικού υετογράµµατος και αντίστοιχου υδρογραφήµατος. Όµως εάν µια λεκάνη χωριστεί σε αρκετές υπολεκάνες και σε αυτές εφαρµοστεί το τυπικό υδρογράφηµα, το δε τελικό υδρογράφηµα της λεκάνης υπολογιστεί µε σύνθεση των υδρογραφηµάτων των υπολεκανών, τότε το υδρογράφηµα αυτό θα είναι απολύτως ικανοποιητικό. Τιµές του τυπικού υδρογραφήµατος της SCS. (Απλού και αθροιστικού)....3....6.3.9.7.4.3.35.5.47.65.6.66.7.7.8.63.8.93.8.9.99.3...375..99.45..93.5.3.86.589.4.78.65.5.68.75.7.46.79.8.39.8.9.33.849..8.87..7.98.4.47.934.6.7.953.8.77.967 3..55.977 3..4.984 3.4.9.989 3.6..993 3.8.5.995 4...997 4.5.5.999 5....6.56.75 Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

7.8.6.4. 3 4 5 ιάγραµµα του τυπικού υδρογραφήµατος της SCS. (Απλού και αθροιστικού) Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Εκτίµηση του µοναδιαίου υδρογραφήµατος µιας λεκάνης απορροής µε την µέθοδο των ισοχρόνων. 8 Ισόχρονες καµπύλες είναι οι καµπύλες που προσδιορίζουν σηµεία της λεκάνης από τα οποία το νερό της βροχής φθάνει στην έξοδο της λεκάνης στον ίδιο ακριβώς χρόνο. Ο χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει ως την έξοδο της λεκάνης εξαρτάται από την διαδροµή που θα ακολουθήσει (απόσταση), τις κλίσεις και τα χαρακτηριστικά της επιφάνειας πάνω στην οποία κινείται. 8 7 6 Λεκάνη χωρισµένη µε ισόχρονες καµπύλες σε ζώνες 5 4 3 Εµβαδό (km ) 4 Ιστόγραµµα Χρόνου-Εµβαδών Χρόνος(ώρες) ιόδευση µέσα από ιδεατό γραµµικό ταµιευτήρα Γραµµικός ταµιευτήρας: S = K D και I D = ds / dt Η εξίσωση αποθήκευσης σε πεπερασµένη µορφή: Όπου S = K D, S = K D I + I D + D t t = S S Προκύπτει οτι: D = m I + m I + m D Όπου: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

m =.5 t Κ +.5 t, m =.5 t Κ +.5 t, m Κ.5 t = Κ +.5 t 9 Επειδή όµως: Ι = Ι στην αρχή και το τέλος κάθε χρονικού διαστήµατος: όπου m = m + m D = m I + m D Παράδειγµα: Σε µία λεκάνη απορροής έχουν χαραχθεί οι ισόχρονες καµπύλες που την χωρίζουν για t= ώρα σε ζώνες και έχει υπολογισθεί το διάγραµµα χρόνου εµβαδών. Επίσης έχει εκτιµηθεί το Κ=4.5 ώρες. Ζητείται το Σ.Μ.Υ. και το µοναδιαίο υδρογράφηµα διάρκειας µιας ώρας. Λύση: Πρώτα υπολογίζονται οι συντελεστές m = m + m και m, εφόσον τα Κ και t είναι γνωστά. m =. m =. m =.8 m' = m + m =. Στην συνέχεια υπολογίζεται βήµα-βήµα το Σ.Μ.Υ. µε την ακόλουθη διαδικασία: Χρόνοι Εµβαδά M' x I x m x D Σ.Μ.Υ = D = m' x I + m x D.78.. 8 4.45 4.4. 5.56 4.4 x.8 = 3.6 9. 6.8 3 9.56 9. x.8 = 7.8 7.9 3.5 4 9 6.. 3.4 4. 5 4.4. 46.6 38.5 Ο υπολογισµός του Σ.Μ.Υ. και του Μ.Υ. διάρκειας µιας ώρας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα, και στο αντίστοιχο διάγραµµα: Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Χρόνοι Εµβαδά m' x I x.78 M x D Σ.Μ.Υ = D = m' x I + m x D.. 8 4.45. 4.4. 5.56 3.56 9. 6.8 3 9.56 7.9 7.9 3.5 4 9 6. 4.9 3.4 4. 5 4.4 4.33 46.6 38.5 6 55 3.58 37.6 67.8 57. 7 44 4.46 54.7 78.7 73.3 8 3 7.79 6.99 8.8 79.8 9 4 3.34 64.6 78. 79.4 6.67 6.37 69. 73.5. 55.4 55. 6.. 44.9 44. 49.7 3. 35.35 35.4 39.8 4. 8.8 8.3 3.8 5..6.6 5.5 6. 8. 8..4 7. 4.48 4.5 6.3 8..58.6 3. 9. 9.7 9.3.4. 7.4 7.4 8.3. 5.93 5.9 6.7. 4.74 4.7 5.3 3. 3.8 3.8 4.3 4. 3.4 3. 3.4 5..43.4.7 6..94.9. 7..55.6.7 8..4..4 9.... 3..8.8.9 3..64.6.7 3..5.5.6 33..4.4.5 34..33.3.4 35..6.3.3 36.... 37..7.. 38..3.. 39.... 4..9.. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4

Εµβαδά / παροχή 9 8 7 6 5 4 3 5 9 3 7 5 9 33 37 4 Χρόνος Εµβαδά Σ.Μ.Υ Μ.Υ. Μ.Βαφειάδης, Σηµειώσεις, «Υδρογραφήµατα», ΤΥΤΠ-ΑΠΘ, 4