ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ Πηγάδι δυναμικού του πυρήνα-πρότυπο Φλοιών Οι προβλέψεις των μαζών των πυρήνων από τον ημι-εμπειρικό τύπο μάζας της ενέργειας σύνδεσης αποκλίνουν από τις πειραματικές τιμές των μαζών λόγω κβαντομηχανικών διορθώσεων. Ο πυρήνας στη θεμελιώδη του κατάσταση θεωρείται ένα κβαντομηχανικό σύστημα πεπερασμένου μεγέθους, με στροφορμή J με κβαντικό αριθμό j, ακέραιο πολλαπλάσιο του ½. Αν η στροφορμή j δεν είναι μηδέν, τότε ο πυρήνας έχει μαγνητική διπολική ροπή και ίσως και ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Η αλληλεπίδραση της μαγνητικής διπολικής ροπής του πυρήνα και των μαγνητικών ροπών των ηλεκτρονίων έχει σαν αποτέλεσμα τον υπέρλεπτο διαχωρισμό των ενεργειακών καταστάσεων των ηλεκτρονίων. Από τον υπέρλεπτο αυτό διαχωρισμό μπορεί να υπολογιστεί η στροφορμή j και η μαγνητική διπολική ροπή του πυρήνα. Το πυρηνικό πρότυπο φλοιών θεωρεί ότι: 1. κάθε νετρόνιο κινείται ανεξάρτητα σε κοινό πηγάδι δυναμικού που είναι η σφαιρική μέση τιμή των πυρηνικών δυναμικών όλων των νουκλεονίων. κάθε πρωτόνιο κινείται ανεξάρτητα σε κοινό πηγάδι δυναμικού που είναι η σφαιρική μέση τιμή των πυρηνικών δυνάμεων από όλα τα νουκλεόνια μαζί με το δυναμικό Coulomb των άλλων πρωτονίων Μια γραφική προσέγγιση ενός πυρηνικού πηγαδιού φαίνεται στο σχήμα 7 για τον πυρήνα 08 8Pb, όπου η ενέργεια διαχωρισμού των νετρονίων S n = 7.4 MeV αντιστοιχεί σε βάθος 51 MeV με ακτίνα πηγαδιού 6.5 fm, ενώ η παρατηρούμενη ενέργεια διαχωρισμού των πρωτονίων S p = 8.0 MeV και το μέσο ηλεκτροστατικό δυναμικό και κάθε συνεισφορά ασυμμετρίας στο πηγάδι αντιστοιχεί σε <U> = 11 MeV. Επισημαίνεται ότι E n F ~ E p F. Ο συνυπολογισμός της επίδρασης Coulomb βρίσκεται με την άθροιση του δυναμικού Coulomb U C (r) ενός πρωτονίου που βρίσκεται μέσα σε μια ομοιόμορφη φορτισμένη σφαίρα ολικού φορτίου (Z-1)e που αντιστοιχεί σε μια ομοιόμορφη κατανομή των υπόλοιπων (Ζ-1) πρωτονίων. Z 1 e 3 r 4πε or R, r < R UC ( r) = ( Z 1) e, r > R 4πε or R = ακτίνα του πυρήνα 5.1 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 58
Σχήμα 7: Πηγάδι πυρηνικού δυναμικού νετρονίων και πρωτονίων. Ενέργειες των νουκλεονίων Ας θεωρήσουμε το πυρηνικό δυναμικό με άπειρα τοιχώματα στη θέση r = R, όπότε οι κυματοσυναρτήσεις των νουκλεονίων στη θέση r = R και έξω από την περιοχή αυτή. Οι εξισώσεις Schrödinger των πρωτονίων και νετρονίων γίνονται: ψn = Enψn mn 5. ψ p ( Ep U) ψ p mp = Όπου έχει αγνοηθεί κάθε όρος σχετικά με το spin των νουκλεονίων. Η απαγορευτική αρχή του Pauli απαιτεί να ΜΗΝ υπάρχουν δύο νετρόνια ή δύο πρωτόνια στην ίδια ακριβώς κατάσταση. Στο πρότυπο φλοιών για τη θεμελιώδη κατάσταση ενός πυρήνα με Ν νετρόνια και Ζ πρωτόνια, οι Ν χαμηλότερες καταστάσεις νετρονίων καταλαμβάνονται μέχρι την ενέργεια Fermi των νετρονίων E F F n και οι Ζ χαμηλότερες καταστάσεις καταλαμβάνουν μέχρι την ενέργεια E p Fermi των πρωτονίων. Η πυκνότητα καταστάσεων Ν(Ε), όπως αποδεικνύεται παρακάτω βρίσκεται: N E V me 3π = 3 5.3 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 59
Όπου V = όγκος του συστήματος, δηλ. ο όγκος του πυρήνα V = 4πR 3 /3 και: N F 3 p F 3 me n n V mp E U Z V 3π 3π 5.4 Η απόδειξη της 5.3 έχει ως εξής: Η κυματοσυνάρτηση σωματιδίου που κινείται ελέυθερα σε περιορισμένο χώρο είναι λύσεις στασίμων κυμάτων της μορφής: Ψ(x,y,z) = (σταθερά)sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z), k j = n j π/l, j = x, y, z, n j = 1,,3,. Θεωρούμε σφαίρα πλεγματικών σημείων του χώρου, ακτίνας k o, οπότε σε: (ένα τεταρτημόριο της σφαίρας αυτής) X (την πυκνότητα των πλεγματικών σημείων) έχουμε: 3 3 3 o L V π k = o 3 1 4π k 4 8 3 π 3 ( π ) 5.5 Στην περίπτωση του νουκλεονίου με spin ½ έχουμε για κάθε τιμή του k δύο καταστάσεις του spin και χρησιμοποιώντας την 5.5 βρίσκουμε την πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων: N o V 3 o = 3 5.6 ( π ) 4π k 3 Αλλά η ενέργεια Ε του νουκλεονίου είναι: ( x y z ) E = k + k + k = m m k 5.7 Οπότε η 5.6 σύμφωνα με την 5.7 γίνεται: N E V me 3π = 3 5.8 Για ελαφρούς πυρήνες Α 40: 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 60
Αριθμός νετρονίων Αριθμός πρωτονίων Ν/V 0.5«πυκνότητα πυρηνικής ύλης» Ν/V 0.085 fm -3. Οπότε από την 5.4 βρίσκουμε E F n 38 MeV ανεξάρτητα από τον πυρήνα!!. Για βαρύτερους πυρήνες έχουμε αύξηση της ενέργειας Fermi των νετρονίων με αντίστοιχες ταχύτητες των νετρονίων μικρές u F/c 0.1. Αντίστοιχα ένα πρωτόνιο στην ενέργεια Fermi έχει κινητική ενέργεια (E p F -<U>) 38 MeV Σε ένα πεπερασμένο βάθος πηγαδιού το βάθος του E F n ως προς το εξωτερικό δυναμικό εκτός του πυρήνα είναι ίσο με την ενέργεια για να αποσπάσουμε ένα νετρόνιο από τον πυρήνα. Η ενέργεια συτή καλείται ενέργεια διαχωρισμού νετρονίου S n : S n (Ν, Ζ) = Β(Ν, Ζ) Β(Ζ, Ν-1) 5.9 Και είναι της τάξης των 8 MeV, οπότε το ολικό βάθος του πηγαδιού του νετρονίου είναι 46 MeV Η χαρακτηριστική ταχύτητα ενός νουκλεονίου στην ενέργεια Fermi και η ακτίνα R του πυρήνα ορίζουν μια χαρακτηριστική πυρηνική κλίμακα: t πυρ R 1 3 3 =.6 10 A s u F 5.10 Ενεργειακοί φλοιοί και στροφορμή Από την αρχή της γέννεσης της πυρηνικής φυσικής, πολλοί ερευνητές προσπάθησαν με παρόμοια προσέγγιση, όπως αυτή των ενεργειακών φλοιών των ηλεκτρονίων των ατόμων, να υπολογίσουν τις ενεργειακές καταστάσεις του πυρήνα, αλλά μόνο το 1949 η M. Meyer (Γερμανία) και οι O. Haxel, J. Jensen και H. Suess (ΗΠΑ), εισηγήθηκαν την προσέγγιση του κεντρικού πεδίου των πυρηνικών δυνάμεων, το οποίο οδηγεί στην δομή του προτύπου των φλοιών, προκειμένου να ερμηνεύσουν πειραματικές μετρήσεις σκέδασης νετρονίων από νουκλεόνια. Πιο συγκεκριμένα, καθιέρωσαν την ισχυρή σύζευξη μεταξύ spin και τροχιακής στροφορμής κάθε νουκλεονίου και θεώρησαν την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger με την άποψη ότι η αλληλεπίδραση του κάθε νουκλεονίου με ΌΛΑ τα άλλα νουκλεόνια μπορεί να παρασταθεί με σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, όπως ένα πηγάδι τετραγωνικού δυναμικού απείρου βάθους, ακτίνας r o. Οι Μ. Mayer, J. Jensen και E. Wigner μοιράστηκαν το Nobel Φυσικής το 1963 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 61
Έστω, ότι έχουμε τις συντεταγμένες (r, θ, φ), οπότε η κυματοσυνάρτηση γράφεται: Ψ(r, θ, φ) = u l (r)y lm (θ, φ) Όπου l = 0, 1,, 3, και m = -l, -l+1,, l-1, l, είναι οι κβαντικοί αριθμοί της τροχιακής στροφορμής. Οι καταστάσεις l = 0, 1,, 3, καλούνται s, p, d, f, g, h,, όπως και στην ατομική φασματισκοπία. Η εξίσωση 5. για τα νετρόνια γίνεται: ( + 1) 1 d l l ( ru ) + ul = Eul 5.11 m r dr m r n l n Με οριακές συνθήκες ότι το u l (r) είναι πεπερασμένο στο r = 0 και μηδέν στο r = R. Όταν l = 0 (καταστάσεις s), έχουμε λύσεις πεπερασμένες στο r = 0 τις: ( kr) k sin u0 ( r) = με E = 5.1 kr m n Η οριακή συνθήκη στο r = R ικανοποιείται με τις τιμές k = k n = nπ/r, όπου n = 1,, 3, και οι αντίστοιχες ενεργειακές στάθμες 1s, s, 3s,, δίνονται από τη σχέση: E ns nπ = m n R 5.13 Όταν l = 1 (καταστάσεις p) η εξίσωση Schrödinger γίνεται: 1 d ( ru ) + ul = Eul 5.14 m r dr n l mnr Οπότε βρίσκουμε ότι η πεπερασμένη λύση r = 0 είναι: ( kr) sin kr cos kr k u0 ( r) = με E = kr m 5.15 n R l (r) = u l (r)/r 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 6
Διαλέγουμε τα k, ώστε u l (R) = 0. Θέτουμε kr = x και βρίσκουμε τις τιμές του x για τις οποίες το u l (R) = 0. Αυτές είναι : x 1p = 4.49, x 1p = 7.73,, και οι αντίστοιχες ενέργειες : E np xnp = mn R 5.16 Σημειώνεται ότι οι συναρτήσεις u 0 (r) και u 1 (r) είναι ειδικές περιπτώσεις των συναρτήσεων Bessel j l (kr). Για οποιοδήποτε l, οι τιμές που μηδενίζουν το j l (x) και δίνουν επιτρεπτές τιμές στο k, δίνονται στον πίνακα παρακάτω: 1p X nl Νετρόνιο Πρωτόνιο 1s 3.14 1s ½ 1s ½ 1s 1p 4.49 1p 3/ 6 6 1p 3/ 1p 1/ 8 8 1p 1/ 1d 5.76 1d 5/ 14 14 1d 5/ 1d s 1/ 16 16 s 1/ s 6.8 1d 3/ 0 0 1d 3/. Σχήμα 8 : Θεωρητική αναπαραγωγή των διεγερμένων καταστάσεων πυρήνων με διάφορα πρότυπα. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 63
Για κάθε E(n, l) υπάρχουν l+1 επιτρεπτές τιμές του κβαντικού αριθμού m και άν θεωρήσουμε τις δύο ιδιοκαταστάσεις του spin, m s = +½ και m s = -½, τότε έχουμε τελικά (l+1) = 4l+ τιμές της ίδιας ενέργειας για δεδομένα (n, l), όπως φαίνεται και στο σχήμα 8. Οι συνολικοί αριθμοί των νετρονίων και πρωτονίων, αντίστοιχα,, 8, 0, 8, 50, 8, 16 είναι οι αντίστοιχοι ατομικοί αριθμοί ων ευγενών αερίων στην ατομική φυσική. Για μεγαλύτερες ενέργειες διέγερσης έχουμε τον αριθμό N(x) των ενεργειακών καταστάσεων με ενέργεια μικρότερη από (ђ /m n )(x/r), σχήμα 9. Σχήμα 9 : Θεωρητική εκτίμηση της συνάρτησης πυκνότητας διεγερμένων καταστάσεων του πυρήνα. Για μεγάλα x, έχουμε την ασυμπτωτική συνάρτηση: N x 3 1 3 4x 9π V me n 3π S 1 = = 1 9π 8x 3π 8 V mne 5.17 Ουσιαστικά η σχέση 5.17 αποτελεί μια επέκταση της συνηθισμένης πυκνότητας καταστάσεων και περιλαμβάνει μια διόρθωση για τα φαινόμενα επιφανείας (εμβαδού S) και ακολουθεί την ακριβή συνάρτηση Ν(x) με εξαιρετική ακρίβεια, σχήμα 9. Η εισαγωγή στους υπολογισμούς της σύζευξης spin-τροχιάς διαχωρίζει κάθε μια από τις (4l+) διπλά εκφυλισμένες στάθμες (n, l) σε δύο στάθμες που χαρακτηρίζουμε σαν nl l+½ και nl l-½. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 64
Η μεγάλη επιτυχία του προτύπου των φλοιών είναι η πρόβλεψη των στροφορμών των πυρήνων στη θεμελιώη τους κατάσταση. Οι τιμές αυτές ακολουθούν απλούς κανόνες : 1. πυρήνες με άρτιο αριθμό πρωτονίων και άρτιο αριθμό νετρονίων (άρτιοιάρτιοι), έχουν μηδενική στροφορμή και θετική ομοτιμία.. πυρήνες με άρτιο αριθμό πρωτονίων και περιττό αριθμό νετρονίων ή αντίστροφα (άρτιοι-περιττοί) έχουν στροφορμή και ομοτιμία ίσες με αυτές του περιττού νουκλεονίου στον ασυμπλήρωτο φλοιό. 3. πυρήνες με περιττό αριθμό πρωτονίων και περιττό αριθμό νετρονίων (περιττοί-περιττοί), το περιττό πρωτόνιο με το περιττό νετρόνιο δεν συνδυάζουν τη στροφορμή τους κατά συστηματικό τρόπο, οπότε δεν υπάρχει κάποιος απλός εμπειρικός κανόνας. Για τον λόγο αυτό υπάρχουν μόνο τέσσερις σταθεροί πυρήνες ( 6 10 14 1H, 3Li, 5B, 7N ), ενώ οι υπόλοιποι διασπώνται με εκπομπή β-σωματιδίων σε άρτιους-άρτιους πυρήνες. Μαγικοί Αριθμοί Τα νουκλεόνια στον πυρήνα «γεμίζουν» τις στάθμες των πυρηνικών φλοιών διαφορετικά από ότι τα ηλεκτρόνια τις αντίσοιχες στάθμες των ατομικών φλοιών. Για παράδειγμα έχουμε «κλειστό» φλοιό στον πυρήνα για Ζ = 8 (Οξυγόνο), ενώ στο άτομο έχουμε «κλειστό» φλοιό για Ζ = 10 (Νέον), σχήμα 30. Σχήμα 30 : Οι πρώτες 8 ενεργειακές καταστάσεις των νουκλεονίων του πυρήνα. Οι αριθμοί σε παρένθεση δείχνουν τον μέγιστο αριθμό νουκλεονίων που μπορεί να καταλάβει κάθε ενεργειακή στάθμη. Οι παχιές πλάγιες γραμμές ενώνουν ενεργειακές καταστάσεις με τον ίδιο βασικό κβαντικό αρiθμό n. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 65
Η διαφορά αυτή οφείλεται στους εξής λόγους: 1. Τα νουκλεόνια βρίσκονται σε διαφορετικό ενεργειακό δυναμικό (πυρήνα) από ότι βρίσκονται τα ηλεκτρόνια, όπως φαίνεται και στο σχήμα 31. Σχήμα 31 : Σύγκριση δυναμικών (α) ηλεκτρονίων σε βαρύ άτομο και (β) νουκλεονίων σε βαρύ πυρήνα. Οι κβαντικοί αριθμοί του ου φλοιού είναι : n =, l = 1. O φλοιός περιέχει τις καταστάσεις p 3/ και p 1/ και παρατηρούμε ότι η s 1/ κατάσταση (n =, l = 0) βρίσκεται σε υψηλότερη ενεργειακή κατάσταση και βρίσκεται στον τρίτο φλοιό. Σχήμα 3 : Ενεργειακό διάγραμμα ισοτόπων του Μολύβδου. Η μεγάλη απαιτούμενη ενέργεια διέγερσης του 08 Pb αποδεικνύει τους κλειστούς πυρηνικούς φλοιούς για 8 και 16 νουκλεόνια. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 66
Μετά τον πυρήνα Οξυγόνο-16 (Ζ = 8 και Ν = 8), ο επόμενος «διπλός» κλειστούφλοιού πυρήνας είναι το Ασβέστιο-40 (Ζ = 0 και Ν = 0), με τον τρίτο φλοιό κλειστό και για τα πρωτόνια και για τα νετρόνια. Μετά το Ασβέστιο η γραμμή σταθερότητας περνάει απότον διπλά κλειστό φλοιό πυρήνα του Μολύβδου-08 (Ζ = 8 και Ν = 16), που όπως φαίνεται και από το σχήμα 3, απαιτείται πολύ μεγάλη ενέργεια για να διεγερθεί. Για τα πρωτόνια ο επόμενος κλειστός φλοιός μετά το 8 είναι μάλλον το 114 παρά το 16, ενώ για τα νετρόνια ο επόμενος κλειστός φλοιός πέραν του 16 είναι το 184. Αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται στην επέκταση της γραμμής σταθερότητας και αποκαλολύνται «νησίδα σταθερότητας» πέραν των γνωστών ορίων του περιοδικού πίνακα και έχουμε : Ζ = 114, Ν = 184 και Α = 98.. Την ισχυρή σύζευξη spin-τροχιάς των νουκλεονίων στον πυρήνα. Στα άτομα η ασθενής σύζευξη spin-τροχιάς, δηλ. ένα ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο, έχει σαν αποτέλεσμα η κατάσταση με L και S αντι-παράλληλα (j = l - ½) να βρίσκεται λίγο χαμηλότερα ενεργειακά από την κατάσταση με L και S παράλληλα (j = l + ½). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την λεπτή υφή (fine structure) των ατομικών φασμάτων. Στον πυρήνα η σύζευξη spin-τροχιάς, αποτέλεσμα των πυρηνικών δυνάμεων, η ενεργειακή διαφορά των ενεργειακών καταστάσεων είναι ισχυρότερη και αντίθετη. Η κατασταση p 3/ βρίσκεται σημαντικά χαμηλότερα από την κατάσταση p 1/. Το φαινόμενο γίνεται πιο έντονο όσο αυξάνεται το l, οπότε έχουμε μεγάλη υφή και όχι λεπτή υφή των ατόμων, όπως φαίνεται και στο σχήμα 30, όπου ο ενεργειακός διαχωρισμός των καταστάσεων 4f 7/ και 4f 5/ είναι τόσο μεγάλος που καταλαμβάνουν θέση σε διαφορετικούς φλοιούς. Η περιοδικότητα των πυρηνικών ιδιοτήτων άρχισε να είναι παρόμοια με την περιοδικότητα των ατομικών ιδιοτήτων και διαφορετική από τις αναμενόμενες ιδιότητες των πυρήνων. Πιο συγκεκριμένα, τα πυρηνικά spins και οι πυρηνικές ενέργειες σύνδεσης έδειξαν διαδικασία συνεπή με την ανεξάρτητη κίνηση των νουκλεονίων μέσα στον πυρήνα. Για απολύτως συγκεκριμένους αριθμούς νετρονίων ή πρωτονίων, οι πυρήνες έχουν μια ασυνήθη σταθερότητα πολύ μεγαλύτερη από εκείνη των ατόμων των σπανίων αερίων. Οι αριθμοί αποκαλέστηκαν μαγικοί αριθμοί και είναι :, 8, 0, 8, 50, 8, 16 Στο σχήμα 33 παρουσιάζεται ένα έντονο φαινόμενο των μαγικών αριθμών, όπου συγκρίνονται οι ενεργειακές καταστάσεις διέγερσης μερικών MeV, από ένα σύνολο ελαφρών πυρήνων. Ο «διπλά» μαγικός πυρήνας 16 8Ο, απαιτείται σημαντική ενέργεια ~ 6 MeV για να διεγερθεί, ενώ ο πυρήνας 17 8Ο, με πολύ λιγότερη ενέργεια ~ 1 MeV διεγείρεται από τη θεμελιώδη στην πρώτη διηγερμένη στάθμη. Ο πυρήνας 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 67
19 9 F περιέχει ενεργειακές στάθμες ακόμα πιο χαμηλής ενέργειας από το 1 MeV, που ομαδοποιούνται μαζί. Σχήμα 33 : Οι πρώτες ενεργειακές καταστάσεις διαφόρων ελαφρών πυρήνων. Η ασυνήθης σταθερότητα που συνδέεται άμεσα νε τα οκτώ νετρόνια και οκτώ πρωτόνια ( 8 Ο) απεικονίζεται στις πρώτες διεγερμένες καταστάσεις του οξυγόνου. Πυρηνικό δυναμικό-πυρηνικές δυνάμεις Ολες οι πυρηνικές ιδιότητες αντανακλούν τις ιδιότητες της ισχυρής αλληλεπίδρασης μεταξύ των νουκλεονίων που τα συγκρατούν δέσμια. Η προέλευση της ισχυρής αλληλεπίδρασης οφείλεται στη δομή του νουκλεονίου από τον συνδυασμό quark-gluon. Θα αναπτύξουμε μόνο την ενδο-νουκλεονική αλληλεπίδραση υπό το φως της ημιεμπειρικής διαδικασίας, χρησιμοποιώντας πειραματικά δεδομένα και μελετώντας ένα σύστημα δύο σωμάτων. Η κατανόηση της δύναμης αυτής έχει βοηθήσει στην ανάπτυξη των πυρηνικών προτύπων δομής του πυρήνα. Από την διαπίστωση της ύπαρξης του πυρήνα, έπεται ότι μια ισχυρή πυρηνική ελκτική δύναμη υπερνικά την άπωση των Ζ πρωτονίων που περιλαμβάνονται στον πυρηνικό όγκο. Η εμβέλεια της πυρηνικής δύναμης αναδεικνύεται με τα πειράματα σκέδασης σωματιδίων-α, τα οποία έδειξαν αποκλίσεις από την καθαρή απωστική δύναμη Coulomb για ελαφρείς πυρήνες σε αποστάσεις προσέγγισης της τάξης της 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 68
πυρηνικής ακτίνας, έστω 4x10-15 m και για ενδο-νουκλεονική εμβέλεια, αποστάσεις μικρότερες αυτής της τιμής. Ένα σύνολο νουκλεονίων που αλληλεπιδρά ελκτικά με δυνάμεις μικρής εμβέλειας θα «καταρρεύσει» σε ένα μέγεθος της τάξης της εμβέλειας της δύναμης. Η ολική δυναμική ενέργεια του πυρήνα με Α νουκλεόνια θα αυξάνει με τον αριθμό των αλληλεπιδρώντων ζευγών, κατά Α, ενώ από τη μέτρηση των πυρηνικών μαζών η ενέργεια σύνδεσης μεταβάλεται με την αύξηση του Α. Οπότε θεωρείται απαραίτητο να καθιερωθεί μια δύναμη που παρέχει κορεσμό, δηλ. περιορίζει τον αριθμό των ελκτικών αλληλεπιδράσεων μέσα στον πυρήνα. Ένας τρόπος για εξασφάλιση κορεσμού είναι η υπόθεση δυναμικής ενέργειας V ενός ζεύγους νουκλεονίων λόγω πυρηνικών δυνάμεων, όπως στο σχήμα 34, το οποίο προκαλεί ελκτική δύναμη F = - V/ r σε μεγάλη απόσταση και απωστική δύναμη σε πολύ μικρές αποστάσεις. Σχήμα 34 : Αναπαράσταση του ενδο-πυρηνικού δυναμικού (α) απωστικός πυρήνας, (b) δυναμικό Yukawa, (c) τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού που συνήθως χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς. Αν η ενδοσωματιδιακή απόσταση είναι r για ελάχιστο δυναμικό V = -Vo, τότε σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας τα σωματίδια έχουν σχετική ορμή της τάξης ђ/r. Η αντίστοιχη κινητική ενέργεια είναι ½ђ /μr, όπου μ είναι η ανηγμένη μάζα (1/μ = 1/m n + 1/m p ~ /m p ) του συστήματος θεωρώντας ΜΗ σχετικιστική κίνηση. Αν V o ενέργεια. > 1 μr τότε δημιουργείται μια δέσμια κατάσταση με αρνητική διακριτή 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 69
1 Αν V o < τότε η ολική ενέργεια του συστήματος βρίσκεται στο «συνεχές» μr και η αλληλεπίδραση γίνεται με την διαδικασία της σκέδασης. Η ύπαρξη του απωστικού πυρήνα δημιουργεί δυσκολίες στους πυρηνικούς υπολογισμούς. Οπότε είναι σύνηθες για προβλήματα με μικρή σχετική ορμή να προσεγγίζεται το δυναμικό με μία απλή σφαιρικά συμμετρική δομή με κατάλληλη εμβέλεια αλληλεπίδρασης, όπως στο σχήμα 34, δηλ. το τετραγωνικό πηγάδι ακτίνας R. V Vo for r < R = 0 for r > R 5.18 Ή το δυναμικό Yukawa : V ( r R) exp / = Vo 5.19 r/ R Για ένα σύστημα νουκλεονίου-νουκλεονίου σε χαμηλές ενέργειες, είναι βολικό να θεωρηθεί ένα τετραγωνικό πηγάδι με ακτίνα 1.5.0 fm και βάθος 30-60 MeV. Το Δευτέριο (A =, Z = N = 1) Το δευτέριο αποτελεί δέσμια κατάσταση νετρονίου-πρωτονίου (n-p) που διαχωρίζεται με απορρόφηση ακτίνων-γ ενέργειας Ε γ > Ε Β (ενέργεια σύνδεσης =.45 ± 0.000 MeV). Το δευτέριο ΔΕΝ έχει σταθερές διηγερμένες καταστάσεις, αλλά έχει στροφορμή 1ђ, μαγνητική διπολική ροπή μ d και ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Η μαγνητική διπολική ροπή του δευτερίου μ d =/= μ p + μ n ΔΕΝ αποτελεί το άθροισμα των μαγνητικών διπολικών ροπών του νετρονίου και του πρωτονίου. Η μαγνητική διπολική ροπή μ d οφείλεται σε προσεγγιστική σχετική τροχιακή κίνηση των δύο σωματιδίων. Δομή του Δευτερίου Η θεμελιώδης κατάσταση του δευτερίου με συνολική τροχιακή στροφορμή l = 0 (S-κατάσταση) είναι σταθερή με παράλληλα spin των δύο σωματιδίων, οπότε έχουμε την 3 S 1 τριπλή κατάσταση, ενώ η μοναδιαία κατάσταση 1 S 0 με αντιπαράλληλα spin των δύο σωματιδίων είναι ασταθής. Για να βρούμε την κυματοσυνάρτηση Ψ(r) του δευτερίου, χρησιμοποιούμε σφαιρικά συμμετρικό τετραγωνικό πηγάδι, όπως στο σχήμα 35. Έστω : 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 70
u(r) = r Ψ, για κάθε r < R. Επίσης θεωρούμε ότι l = 0, οπότε η κυματοσυνάρτηση που ισχύει είναι : du dr μ + ( V0 ε ) u = 0 5.0 μ = ανηγμένη μάζα των μαζών των νετρονίου και πρωτονίου και ε = ενέργεια σύνδεσης του δευτερίου. Σχήμα 35 : Τετραγωνικό πηγάδι πυρηνικού δυναμικού και αντίστοιχων κυματοσυναρτήσεων εντός και εκτός πυρήνα. Η λύση της εξίσωσης 5.0 είναι : A μ u = sin kdr, kd = V 0 ε k d 5.1 Εξαιρώντας την λύση cos(k d r) δεν μηδενίζεται για r = 0. H «εσωτερική» (r= 0, r =R), κυματοσυνάρτηση πρέπει να «γυρίσει» στη θέση R του τετραγωνικού δυναμικού για να συναντήσει την «εξωτερική» (r>r) κυματοσυνάρτηση ομαλά, η οποία μηδενίζεται καθώς απομακρύνεται από τηνα ρχή των αξόνων. Η εξίσωση 5.0 για r>r, όπου V = 0 γίνεται : 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 71
du dr μ + ( ε ) u = 0 5. Η λύση της εξίσωσης 5. είναι : u = Bexp a( r R), a = με = ( 0.3) fm 5.3 Η ποσότητα 1/α = 4.31 fm είναι η παράμετρος μεγέθους (size parameter) του δευτερίου. Η συνέχεια των λύσεων 5.1 και 5.3 στο συνοριακό σημείο r = R διασφαλίζεται με την εξίσωση των σχέσεων και των παραγώγων τους, οπότε : A u R k R B u R 5.1 k = sin d = = 5.3 d 5.4 και A r R kd cos kdr 1 du kd B ( a ) 1 du = = = u( R) dr A 5.1 sin kr B u R dr d k = r= R d a ε kd cot ( kdr) = a cot ( kdr) = = kd Vo ε 5.3 1 5.5 Η ποσότητα ε/(v o -ε) είναι πολύ μικρή αν θεωρήσουμε το V o =30-60 MeV. Αν δε αγνοήσουμε και το ε σε σχέση με το V o τότε : π kr d = π VR o = = 10 μ 8μ kd = ( Vo ε ) 8 MeVm 5.6 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 7
Που αποτελεί τη σχέση εμβέλειας κεντρικής δύναμης και βάθους δυναμικού. Υπολογίζεται ότι για βάθη δυναμικού 30 MeV, αντιστοιχεί η ακτίνα του δευτερίου σε 1.83 fm. Πιο αυστηρά η σχέση 5.6 γίνεται : VR o π 8μ 5.7 Που αποτελεί την συνθήκη ύπαρξης δέσμιας κατάστασης του δευτερίου. Η μαγνητική διπολική ροπή του δευτερίου σε μονάδες πυρηνικής μαγνητόνης (μ Ν = eђ/m p ) είναι : μd = 0.857411± 0.000019 < μp + μ n μ p =.7971± 0.0000 + 0.87956 ± 0.00007 μn = 1.91315 ± 0.00007 5.8 Η προσέγγιση των δύο τιμών πιστοποιεί την αρνητική τιμή της μαγνητικής διπολικής ροπής του νετρονίου, αλλά δεν μπορεί να εξηγήσει τη διαφορά, αν τα δύο σωματίδια βρίσκονται σε σχετική κίνηση καθαρής S-κατάστασης. Τέτοια κατάσταση είναι σφαιρικά συμμετρική χωρίς ηλεκτρικές ροπές, ενώ σε πειράματα μαγνητικού συντονισμού έχει βρεθεί ότι το δευτέριο έχει ΗΤΡ = 0.9 fm που αντιστοιχεί σε διαμήκη κατανομή της συνάρτησης πυκνότητας κατά μήκος του άξονα του spin. Αυτό εξηγείται, αν θεωρηθεί ότι η κυματοσυνάρτηση του δευτερίου έχει μικρό ποσοστό (7%) συνιστώσας D-κατάστασης που υποδεικνύει κίνηση των δύο σωματιδίων με σχετική τροχιακή κίνηση στροφορμής κβαντικού αριθμού l =. Η D-κατάσταση αντιστοιχεί στην 3 D 1 τριπλή κατάσταση. Απλή Θεωρία του Δευτερίου (H. Enge) Θεωρούμε την κβαντομηχανική ανάλυση του δευτερίου και την σύγκριση με πειραματικά αποτελέσματα προκειμένου να προσδιοριστούν οι παράμετροι σχετικά με τις πυρηνικές δυνάμεις. Για τον λόγο αυτό θεωρούμε την εξίσωση Schrödinger δύο σωμάτων : 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 73
m Ψ+ VΨ = EΨ m=, mm p p n m + m 5.9 n V = δυναμικό δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των δύο σωμάτων, Ε = ολική ενέργεια συστήματος. Παίρνουμε την θεμελιώδη σταθερή κατάσταση του δευτερίου με Ε = -Ε Β = -.5 MeV. Για λόγους ευκολίας των πράξεων θεωρούμε το δυναμικό σαν μια συνάρτηση διαχωρισμού των δύο σωματιδίων, δηλ. V = V(r), όπως αυτό σχεδιάζεται στο σχήμα 36 : V r = ( + 1) l l mr 5.30 Είναι το γνωστό φυγοκεντρικό δυναμικό, διότι η παράγωγός του ως προς r δίδει l l+ 1 την κλασική φυγόκεντρο δύναμη, όταν η στροφορμή είναι Σχήμα 36 : Παράσταση του φυγοκεντρικού δυναμικού για διάφορες τροχιακές στροφορμές l. Οπότε η κυματοσυνάρτηση του δευτερίου περιγράφεται από την ul Ψ= Ylm, ( θ, ϕ r ) με το πρώτο μέρος λύσης της ακτινικής εξίσωσης κύματος 5.31 και το δεύτερο μέρος που είναι η συνάρτηση των σφαιρικών αρμονικών. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 74
( + 1) l l dul m + E V u l dr mr = 0 5.31 Η επίδραση του φυγοκεντρικού δυναμικού είναι προφανώς να διατηρήσει τα σωματίδια χωριστά. Για να έχουμε δέσμια κατάσταση χρειαζόμαστε ένα ελκτικό δυναμικό (αρνητικό), το οποίο τουλάχιστον θα «ακυρώνει» το απωστικό δυναμικό σε μια απόσταση r. H κατάσταση είναι πιο απλή όταν l = 0, τότε για οποιοδήποτε σύστημα δύοσωμάτων με σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, η ελάχιστη κβαντομηχανική κατάσταση είναι αυτή με l = 0, δηλ. η S-κατάσταση. Για να λύσουμε την εξίσωση Schrödinger, επινοούμε μι απλή συνάρτηση δυναμικού με τετραγωνικό πηγάδι, πως στο σχήμα 37. Ο «σκληρός» πυρήνας του Σχήμα 37 : Τετραγωνικό πηγάδι πυρηνικού δυναμικού και αντίστοιχων κυματοσυναρτήσεων εντός και εκτός πυρήνα, θεωρώντας επιπλέον και την περιοχή Ι της πυρηνικής «καρδιάς» (core). δυναμικού (άπειρο ύψος) για r < c αποτρέπει τα δύο σωματίδια να πλησιάσουν μεταξύ τους σε απόσταση μικρότερη από c. Από μελέτες σκέδασης και μελέτες πυρηνικής δομής, πιστοποιείται ότι το δυναμικό νετρονίου-πρωτονίου περιέχει τέτοιο σκληρό πυρήνα. Εφόσον η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι μηδενική στην περιοχή Ι, επιλύουμε την ακτινική εξίσωση στις περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 75
Περιοχή ΙΙ Για l = 0, έχουμε : du II + m [ V o E b] u II dr = 0 5.3 Η λύση που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες u ΙΙ = 0, για r = c είναι : u = Asin K r c II ( 1 ) ( o b) K = mv E Α = σταθερά κανονικοποίησης Περιοχή ΙΙΙ Η ακτινική εξίσωση γίνεται : duiii dr 5.33 m Eu b III = 0 5.34 Η λύση που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες u ΙΙΙ = 0, για r = είναι : u III κ = = Be κr 1 me Β = σταθερά κανονικοποίησης b 5.35 Οι πλήρεις κυματοσυναρτήσεις των περιοχών ΙΙ και ΙΙΙ έχουν την μορφή ul Ψ= Ylm, ( θ, ϕ r ), η οποία με l = 0 μας δίδει : Υ ο,ο = 1/ 4π και u o = u II /u III, αντίστοιχα. Οι λύσεις u II και u III καθώς και οι παράγωγοί τους πρέπει να είναι συνεχείς στη θέση r = c+b : 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 76
( c b) κ + AK cos Kb = κ Be Kcot Kb κ ( c b) + = Asin Kb= Be κ 5.36 Η σχέση 5.36 συνδέει την ενέργεια σύνδεσης Ε b των δύο νουκλεονίων με το πλάτος b και το βάθος V o του τετραγώνικού δυναμικού. Έχοντας την πειραματική μέτρηση του Ε b και την θεωρητική εκτίμηση του τετραγωνικού δυναμικού V o = 40 MeV, επιλύουμε την 5.36 και βρίσκουμε το βάθος b του δυναμικού. Από τον κυματαριθμό σε fm -1 που δίδεται από : 1 k mt 0.187 mt fm = = 1 5.37 Για πρόβλημα νετρονίου-πρωτονίου με μάζα m = 0.504 amu έχουμε k = 0.1555 T fm -1, οπότε : Κ = 0.955 fm -1, κ = 0.3 fm -1, Επομένως : b 1 κ 1 = arc cot = arc cot 0.43 = 1.895 K K 0.955 1 fm 5.38 Η συνάρτηση arccot είναι κυκλική, επομένως υπάρχουν άπειρες τιμές του b που ικανοποιούν την εξίσωση. Η κυματοσυνάρτηση θεμελιώδους κατάστασης έχει μεγαλύτερη δυνατή τιμή μήκους κύματος, η οποία αντιστοιχεί σε γωνία Kb στο ο τεταρτημόριο. Προφανώς μπορούμε να επιλέγουμε όποιο κυματαριθμό Κ ή βάθος πηγαδιού Vo του πυρηνικού δυναμικού και να επιλύουμε ως προς b. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 77
Σχήμα 38 : (a) : Σωστή ενέργεια σύνδεσης του δευτερίου, (b) : Οριακή ενέργεια σύνδεσης νετρονίου-πρωτονίου, (c) : Σωστό μέγεθος δευτερίου. Στο σχήμα 38, όπου παρίσταται το βάθος δυναμικού Vo και η παράμετρος b, αποδεικνύεται ότι ένα τετραγωνικό πηγάδι οποιουδήποτε πλάτους μπορεί να προσαρμοστεί σε βάθος ώστε να δώσει τη σωστή ενέργεια σύνδεσης του δευτερίου. Κανονικοποίηση Κυματοσυναρτήσεων Δευτερίου Η συνθήκη κανονικοποίησης στις κυματοσυναρτήσεις u II και u III δίδει : c+ b κr c = 5.39 c+ b A sin K r c dr + B e dr 1 Θέτουμε sin K(r-c) = ½[1-cosK(r-c)], οπότε : A + K κ 1 B sin k( c+ b) b Kb e 1 = κ A = 1+ κb κ sin 1+ κb B = κ ( c+ b) ( Kb) e 5.40 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 78
Προκειμένου να συγκρίνουμε την θεωρητική τιμή μεγέθους του δευτερίου με την μέση τιμή (ηλεκτρομαγνητική) που παρετήρησε ο McIntyre et al( ), υπολογίζουμε την μέση τετραγωνική απόσταση του πρωτονίου από το κέντρο μάζας του συστήματος, η οποία είναι η μέση τιμή της απόστασης r μεταξύ νετρονίουπρωτονίου : A c+ b B κr < rd >= sin 4 r K r c dr+ r e c 4κ dr c+ b 3 1 1 ( c+ b)( 1+ κb) c κb < rd >= + + 8κ 8K 8κ 4 4 1 ( + κb) 5.41 Στον ανωτέρω υπολογισμό έχουμε θεωρήσει το πρωτόνιο ως σημειακό σωματίδιο, ενώ ΔΕΝ είναι. Η σχέση 5.41 αλλάζει λαμβάνοντας υπόψη την μέση ακτίνα του πρωτονίου : ( + )( 1+ κ ) 3 1 1 c b b c κb < rd >= + + +< r p > 8κ 8K 8κ 4 4 1 κ ( + b) 5.4 Για V o = 40 MeV, K = 0.955 fm -1, έπεται ότι b = 1.895 fm, κ = 0.3 fm -1, c = 0.4 fm και <r p > = 0.8 fm, επομένως βρίσκουμε : <r d > =. fm, η οποία βρίσκεται σε πολύ καλή συμφωνία με την πειραματική τιμή.1 fm του McIntyre. Εξάρτηση των πυρηνικών δυνάμεων από το spin Η ολική στροφορμή του δευτερίου είναι J = 1, οπότε η ολική ιδιοστροφορμή είναι S = 1, δηλαδή έχουμε κατάσταση με παράλληλα spin των πρωτονίου και νετρονίου (τριπλή 3 S 1 -κατάσταση). Αν οι πυρηνικές δυνάμεις είναι ανεξάρτητες του spin, τότε θα παρατηρήσουμε και την μοναδιαία 1 S 0 -κατάσταση, η οποία όμως ΔΕΝ είναι σταθερή!. Επομένως συμπεραίνουμε ότι οι δυνάμεις μεταξύ νετρονίου και πρωτονίου με κατάσταση των παράλληλων spin, είναι ισχυρότερες σε σχέση με τις δυνάμεις στην κατάσταση των αντι-παράλληλων spin. ( ) Phys. Rev. 98 (1955), 158 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 79
Αν θεωρήσουμε σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, σχήμα 39 και μια S-κατάσταση με την αντίστοιχη εξίσωση Schrödinger, τότε η δέσμια κατάσταση θα έχει κυματοσυνάρτηση έξω από το πηγάδι δυναμικού, όπως η u III. Στο όριο της μηδενικής ενέργειας σύνδεσης θα ισχύει u III = σταθερή. Αυτό γίνεται όταν έχουμε ημιτονοειδή κυματοσυνάρτηση μέσα στο πηγάδι με το ημίτονο να παίρνει τιμές μεταξύ των (ο, π/) και στο όριο ισχύει : Kb = π/ Η ενέργεια σύνδεσης στην οριακή δέσμια κατάσταση είναι μηδέν, έχουμε Vo = T, οπότε ισχύει : V o b 10 MeV fm - Σχήμα 39 : Η φύση των κυματοσυναρτήσεων εκτός πυρηνικού δυναμικού ανάλογα με την κατάσταση του εξερχομένου σωματιδίου. 5_Dynamiko_Pyrhna.doc 80