Είναι πλεονάζων ο Νόµος του Gauss στον Ηλεκτροµαγνητισµό;

Είναι πλεονάζων ο Νόµος του Gauss στον Ηλεκτροµαγνητισµό; Κώστας Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων Όπως γνωρίζουµε, οι εξισώσεις του Maxwell περιγράφουν τη συµπεριφορά (δηλαδή, τους νόµους µεταβολής στο χώρο και τον χρόνο) του ηλεκτροµαγνητικού (Η/Μ) πεδίου. Το πεδίο αυτό παρίσταται µε το διατεταγµένο ζεύγος ( E, B), όπου E και B το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο, αντίστοιχα. Οι εξισώσεις του Maxwell επιβάλλουν επιπρόσθετα κάποιες οριακές συνθήκες στην επιφάνεια διαχωρισµού δύο µέσων, ενώ κάποιες φυσικές απαιτήσεις είναι αυτονόητες (για παράδειγµα, το Η/Μ πεδίο θα πρέπει να τείνει στο µηδέν µακριά από τις «πηγές» του, δηλαδή, τα ηλεκτρικά φορτία και τα ηλεκτρικά ρεύµατα). Οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούν ένα σύστηµα τεσσάρων µερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ Ε) το οποίο είναι αυτο-συνεπές, µε την έννοια ότι οι εξισώσεις αυτές είναι συµβατές µεταξύ τους και το σύστηµα δεν οδηγεί σε αντιφατικά συµπεράσµατα. Η συµβατότητα του συστήµατος, όµως, οδηγεί και σε δύο σηµαντικές αναγκαίες συνθήκες: την διατήρηση του φορτίου και την εξίσωση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Τονίζουµε ότι οι συνθήκες αυτές δεν είναι και ικανές! ηλαδή, αν και κάθε λύση ( E, B) του συστήµατος Maxwell σε έναν χώρο χωρίς ελεύθερες πηγές υπακούει στην κυµατική εξίσωση χωριστά για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο, ένα αυθαίρετο ζεύγος λύσεων ( E, B) της κυµατικής εξίσωσης δεν ικανοποιεί απαραίτητα το σύστη- µα Maxwell. Επίσης, η αρχή διατήρησης του φορτίου δεν µπορεί να υποκαταστήσει οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του Maxwell. Ο λόγος για τον οποίο ισχύουν οι παραπάνω επισηµάνσεις είναι ότι, και οι δύο αυτές αναγκαίες συνθήκες προκύπτουν µε παραγώγιση του συστήµατος Maxwell και, όπως γνωρίζουµε, µε την παραγώγιση ε- νός συστήµατος χάνεται ένα µέρος της πληροφορίας που αυτό µας παρέχει! (Θυµηθείτε, π.χ., ότι η παραγώγιση των σχέσεων Cauchy-Riemann στη µιγαδική ανάλυση οδηγεί στην εξίσωση του Laplace, από την οποία δεν παίρνουµε ποτέ πίσω τις σχέσεις Cauchy-Riemann.) Οι εξισώσεις του Maxwell γράφονται, σε διαφορική µορφή, ρ B ( a) E = ( c) E = ε t ( b) B = ( d) B = µ J + ε µ όπου ρ, J οι πυκνότητες φορτίου και ρεύµατος, αντίστοιχα (οι «πηγές» του Η/Μ πεδίου). Τόσο τα πεδία, όσο και οι πηγές, είναι συναρτήσεις των χωρο-χρονικών µεταβλητών (x,y,z,t). Οι (1a) και (1b), που περιγράφουν το div του Η/Μ πεδίου για κάθε E (1) 1

Κ. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ χρονική στιγµή, αποτελούν τον νόµο του Gauss για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο, αντίστοιχα. Από φυσική άποψη, η (1a) εκφράζει τον νόµο του Coulomb στον ηλεκτρισµό, ενώ η (1b) αποκλείει την ύπαρξη µαγνητικών πόλων ανάλογων µε τα ηλεκτρικά φορτία. Η (1c) εκφράζει τον νόµο Faraday-Henry (νόµος της επαγωγής) ενώ η (1d) εκφράζει τον νόµο Ampère-Maxwell. Οι (1a) και (1d), οι οποίες εµπεριέχουν τις πηγές του Η/Μ πεδίου, αποτελούν τις µη-οµογενείς εξισώσεις του Maxwell, ενώ οι (1b) και (1c) αποτελούν τις οµογενείς εξισώσεις του συστήµατος. Με κατάλληλη παραγώγιση των (1a) και (1d) (βλ. [1], σελ. 134-6) παίρνουµε ως αναγκαία συνθήκη συµβατότητας του συστήµατος (1) την εξίσωση συνεχείας, η οποία εκφράζει την αρχή διατήρησης του φορτίου: ρ J + = (2) Αν και οι πυκνότητες φορτίου και ρεύµατος στα δεξιά µέλη των (1a) και (1d) επιλέγονται ελεύθερα και θεωρούνται εξαρχής γνωστές, η σχέση (2) θέτει έναν σοβαρό περιορισµό στις συναρτήσεις που τις εκφράζουν. Μία διαφορετική παραγώγιση οδηγεί στην εξίσωση του Η/Μ κύµατος (βλ. [1], σελ. 161-4), η οποία δεν θα µας απασχολήσει στο παρόν σηµείωµα. Από κάποιους επιστήµονες, εν τούτοις, έχει αµφισβητηθεί η ανεξαρτησία των ε- ξισώσεων του Maxwell. Συγκεκριµένα, υποστηρίζεται ότι οι (1a) και (1b) οι εξισώσεις για το div του Η/Μ πεδίου, που εκφράζουν τον νόµο του Gauss για τα αντίστοιχα πεδία είναι «πλεονασµατικές», αφού «µπορούν να εξαχθούν» από τις (1c) και (1d) σε συνδυασµό µε την εξίσωση συνεχείας (2). Αν τούτο αληθεύει, ο νόµος του Coulomb ο σηµαντικότερος πειραµατικός νόµος του ηλεκτρισµού παύει να έχει ανεξάρτητη υπόσταση και υποβαθµίζεται σε παράγωγο θεώρηµα! Το ίδιο ισχύει και για την µη ύπαρξη µαγνητικών πόλων στη Φύση. Απ όσο γνωρίζουµε, ο πρώτος που αµφισβήτησε την σηµασία των δύο νόµων του Gauss στον ηλεκτροµαγνητισµό ήταν ο Julius Adams Stratton το 1941, στο φηµισµένο βιβλίο του [2]. Υπάρχουν δύο, κυρίως, γραµµές σκέψης που επιχειρούν να αιτιολογήσουν την πιο πάνω αµφισβήτηση. Σύµφωνα µε την πρώτη (που οφείλεται στον ίδιο τον Stratton), ο νόµος του Gauss για το µαγνητικό πεδίο είναι συνέπεια του νόµου του Faraday, ενώ ο νόµος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο προκύπτει από τον νόµο Ampère Maxwell και την αρχή διατήρησης του φορτίου. Όλα αυτά µε βάση το σκεπτικό ότι «µέχρι κάποια στιγµή στο παρελθόν δεν υπήρχε το Η/Μ πεδίο, ούτε οι πηγές του» στην περιοχή του χώρου που µας ενδιαφέρει. Ας τα δούµε αυτά αναλυτικά: Παίρνοντας το div της (1c), το αριστερό µέλος µηδενίζεται εκ ταυτότητος ενώ στο δεξί µέλος µπορούµε να εναλλάξουµε τη σειρά των παραγωγίσεων ως προς τις µεταβλητές χώρου και χρόνου. Το αποτέλεσµα είναι: = ( B) (3) Από την άλλη, παίρνοντας το div της (1d) και χρησιµοποιώντας την εξίσωση συνεχείας (2), βρίσκουµε ότι 2

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΣΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟ ρ E = ε (4) Και ακολουθεί το εξής σκεπτικό: Σύµφωνα µε τις (3) και (4), οι ποσότητες B και ( E ρ / ε ) είναι χρονικά σταθερές σε κάθε σηµείο (x,y,z) της περιοχής Ω του χώρου που µας ενδιαφέρει. Υποθέτουµε τώρα ότι υπήρχε κάποια χρονική περίοδος κατά την οποία δεν υφίστατο Η/Μ πεδίο, ούτε πηγές Η/Μ πεδίου, στην περιοχή Ω. Την περίοδο αυτή, εποµένως, B = και E ρ / ε = εκ ταυτότητος. Αργότερα, αν και εµφανίστηκε Η/Μ πεδίο µέσα στην Ω, τα αριστερά µέλη στην (5) εξακολούθησαν να µηδενίζονται παντού στην περιοχή αυτή, αφού, ό- πως είπαµε, οι παραπάνω ποσότητες είναι χρονικά αµετάβλητες σε κάθε σηµείο τής Ω. Έτσι, από τις εξισώσεις για το rot του Η/Μ πεδίου, και από την αρχή διατήρησης του φορτίου η οποία από παράγωγο θεώρηµα αναβαθµίστηκε σε θεµελιώδη νόµο καταλήξαµε στις σχέσεις (5), που δεν είναι άλλες από τις δύο πρώτες εξισώσεις του Maxwell, (1a) και (1b)! Σύµφωνα µε το παραπάνω σκεπτικό, η θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού δεν βασίζεται πλέον στις 4 ανεξάρτητες εξισώσεις του Maxwell, αλλά σε 3 µόνο ανεξάρτητες εξισώσεις: τον νόµο Faraday-Henry (1c), τον νόµο Ampère Maxwell (1d), και την αρχή διατήρησης του φορτίου (2). Πού βρίσκεται το πρόβληµα στην παραπάνω προσέγγιση; Το πρόβληµα έγκειται στην υπόθεση ότι, για κάθε περιοχή Ω του χώρου υπάρχει κάποια χρονική περίοδος κατά την οποία το Η/Μ πεδίο εντός της Ω είναι µηδέν. Η υπόθεση αυτή είναι αυθαίρετη και δεν επιβάλλεται από την ίδια τη θεωρία. (Ενδεχο- µένως καµία τέτοια περιοχή δεν υφίσταται στο Σύµπαν!) Έτσι, το επιχείρηµα που ο- δήγησε από τις σχέσεις (3) και (4) στις σχέσεις (5) είναι έωλο, αφού βασίστηκε σε µία αυθαίρετη και τεχνητή αρχική συνθήκη: ότι το Η/Μ πεδίο είναι µηδέν τη χρονική στιγµή t=. Ας υποθέσουµε, εν τούτοις, ότι υπάρχει περιοχή Ω στην οποία το Η/Μ πεδίο είναι µηδέν για t < t και διάφορο του µηδενός για t > t. Το κρίσιµο ερώτηµα είναι τι ισχύει για t=t. Συγκεκριµένα, αν η συνάρτηση που εκφράζει το Η/Μ πεδίο είναι ή όχι συνεχής τη χρονική στιγµή αυτή. Στην περίπτωση που είναι συνεχής, το πεδίο ξεκινά από την τιµή µηδέν και βαθµιαία αυξάνει, παίρνοντας µη-µηδενικές τιµές. Έτσι, το επιχείρηµα που οδήγησε από τις σχέσεις (3) και (4) στις σχέσεις (5) µπορεί να γίνει αποδεκτό. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου η δηµιουργία του Η/Μ πεδίου είναι τόσο απότοµη ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ακαριαία, µε συνέπεια η αρχική τιµή του πεδίου να µην θεωρείται µηδενική. Για παράδειγµα, τη στιγµή που συνδέουµε τις ά- κρες ενός µεταλλικού σύρµατος µε µία πηγή συνεχούς ρεύµατος, εµφανίζεται ξαφνικά ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του σύρµατος και µαγνητικό πεδίο στο εξωτερικό του. Ένα ακόµα πιο «δραµατικό» παράδειγµα αιφνίδιας εµφάνισης Η/Μ πεδίου στον χώρο είναι η λεγόµενη δίδυµος γένεση, κατά την οποία ένα φορτισµένο σωµάτιο και το (αντίθετα φορτισµένο) αντίστοιχο αντισωµάτιο εµφανίζονται ταυτόχρονα. Σε περιπτώσεις σαν τις παραπάνω, το Η/Μ πεδίο είναι ασυνεχές τη στιγµή t=t και η χρονική του παράγωγος για t=t δεν ορίζεται. Έτσι, ο συλλογισµός που οδηγεί από τις σχέσεις (3) και (4) στις σχέσεις (5) καταρρέει. (5) 3

Κ. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Σε ό,τι αφορά την αρχή διατήρησης του φορτίου, αναφέραµε νωρίτερα ότι η σχέση (2) προκύπτει από τις δύο µη-οµογενείς εξισώσεις του Maxwell, ήτοι, τον νόµο του Gauss (1a) για το ηλεκτρικό πεδίο και τον νόµο Ampère Maxwell (1d). ηλαδή, η διατήρηση του φορτίου είναι αναγκαία συνθήκη για την ισχύ των εξισώσεων Maxwell. εν είναι όµως και ικανή, άρα δεν µπορεί να υποκαταστήσει οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήµατος. Πράγµατι, από τον νόµο Ampère Maxwell και την διατήρηση του φορτίου προκύπτει η χρονική παράγωγος του νόµου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο [σχέση (4)], τούτο όµως δεν σηµαίνει αναγκαία ότι και ο ίδιος νόµος του Gauss θα πρέπει να ισχύει. Βέβαια, ο αντίστροφος συλλογισµός είναι ορθός (επειδή ισχύει ο νόµος του Gauss, θα ισχύει και η χρονική παράγωγός του). Μία συγγενής γραµµή σκέψης σε ό,τι αφορά τον νόµο του Gauss και την ανεξαρτησία των εξισώσεων του Maxwell, βασίζεται στο εξής σκεπτικό: Το σύστηµα Maxwell αποτελείται από δύο βαθµωτές Μ Ε (1a) και (1b) και δύο διανυσµατικές Μ Ε (1c) και (1d). Αν «σπάσουµε» τις δύο τελευταίες σε ορθογώνιες συνιστώσες, παίρνουµε 6 βαθµωτές Μ Ε. Έτσι, το σύστηµα αποτελείται συνολικά από 8 βαθµωτές Μ Ε. Από την άλλη, το σύστηµα περιέχει µόνο 6 άγνωστες συναρτήσεις τις 3 συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου και τις 3 του µαγνητικού. Άρα, το σύστηµα Maxwell µοιάζει να είναι «υπερπροσδιορισµένο» (overdetermined), δηλαδή, έχει περισσότερες εξισώσεις (8) σε σύγκριση µε τον αριθµό των αγνώστων (6). Η εύκολη σκέψη είναι ότι δύο από τις εξισώσεις «περισσεύουν». Και, µε βάση το σκεπτικό που οδήγησε από τις σχέσεις (3) και (4) στις σχέσεις (5), αυτές που πρέπει να «θυσιαστούν» είναι οι (1a) και (1b) ο νόµος του Gauss για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο! Είναι όµως έτσι; Όπως αναφέραµε στην αρχή, οι εξισώσεις του Maxwell επιβάλλουν επιπρόσθετα κάποιες οριακές συνθήκες, οι οποίες ισχύουν για κάθε χρονική στιγµή στην επιφάνεια διαχωρισµού δύο µέσων (βλ. [1], σελ. 133-4). Οι οριακές συνθήκες είναι περιορισµοί που αφορούν το Η/Μ πεδίο και υφίστανται σε ένα δεδοµένο υποσύνολο σηµείων του χώρου ανεξάρτητα από το πέρασµα του χρόνου. Επειδή, όµως, ο χώρος και ο χρόνος εµπλέκονται ισότιµα στο πρόβληµα, αναρωτιόµαστε αν οι εξισώσεις του Maxwell επιβάλλουν ανάλογες «οριακές συνθήκες» και ως προς τον χρόνο. ηλαδή, αν για κάθε δοσµένη χρονική στιγµή t το Η/Μ πεδίο υπόκειται σε έναν συγκεκριµένο περιορισµό σε όλα τα σηµεία r ( x, y, z) του χώρου. Οι οριακές συνθήκες ως προς τον χρόνο είναι αυτό που ονοµάζουµε αρχικές συνθήκες. Ας προσέξουµε ότι οι αληθινά «δυναµικοί» νόµοι του ηλεκτροµαγνητισµού αυτοί, δηλαδή, που περιγράφουν τη χρονική µεταβολή των πεδίων είναι οι (1c) και (1d). Αν αντιµετωπίσουµε τις εξισώσεις αυτές σαν διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως ως προς τον χρόνο, που ισχύουν σε κάθε σηµείο (x,y,z) µιας περιοχής Ω, θα χρειαστεί να γνωρίζουµε αν υφίστανται τυχόν περιορισµοί σε ό,τι αφορά τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος για οποιαδήποτε χρονική στιγµή t=t. Και, για να έχουν γενική ισχύ αυτοί οι περιορισµοί, δεν θα πρέπει να εξαρτώνται, τελικά, από το ποια είναι η στιγµή αυτή. Θα πρέπει, δηλαδή, να ισχύουν σε όλα τα σηµεία του χώρου για κάθε t. Όπως είδαµε, οι (1c) και (1d) σε συνδυασµό µε την εξίσωση συνεχείας (2) οδηγούν στις σχέσεις (3) και (4). Από αυτές προκύπτει µε ολοκλήρωση ότι, για οποιαδήποτε χρονική στιγµή t, B( r, t ) = a( r ) 1 και E ( r, t) ρ ( r, t) = b( r ) ε (6) 4

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΣΤΟΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟ Οι παραπάνω σχέσεις θα µπορούσαν να είναι οι ζητούµενοι περιορισµοί στις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος αν γνωρίζαµε τις συναρτήσεις a( r ) και b( r ) που εµφανίζονται στα δεξιά µέλη τής (6). Προς το παρόν, οι συναρτήσεις αυτές δείχνουν αυθαίρετες. Ευτυχώς, υπάρχουν δύο πειραµατικά επιβεβαιωµένοι νόµοι που µας δίνουν τις τιµές τους: ο νόµος του Coulomb και η απουσία µαγνητικών φορτίων. Μαθηµατικά εκφρασµένοι, οι νόµοι αυτοί αντιστοιχούν στις δύο πρώτες εξισώσεις του Maxwell (1a) και (1b), σύµφωνα µε τις οποίες και οι δύο συναρτήσεις a( r ) και b( r ) στην (6) είναι εκ ταυτότητος µηδέν. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι οι εξισώσεις που εκφράζουν τον νόµο του Gauss για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο δεν θα πρέπει να θεωρούνται ως δυναµικές εξισώσεις του συστήµατος Maxwell αλλά ως αναγκαίοι περιορισµοί στις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος, οι οποίοι περιορισµοί πρέπει να ισχύουν για κάθε χρονική στιγµή t. Οι σχέσεις (3) και (4) µας λένε απλά ότι, αν οι παραπάνω περιορισµοί στις αρχικές συνθήκες ισχύουν κάποια χρονική στιγµή, τότε θα ισχύουν και κάθε επόµενη στιγµή. Οι (3) και (4), όµως, δεν προσδιορίζουν από µόνες τους ποιοι ακριβώς είναι οι εν λόγω περιορισµοί. Αυτό µας το λέει ο ίδιος ο νόµος του Gauss (1a) και (1b), τον οποίο οι σχέσεις (3) και (4) δεν υποκαθιστούν! Βλέπουµε, λοιπόν, ότι οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούνται από έξι βαθµωτές δυναµικές εξισώσεις που αφορούν το rot του Η/Μ πεδίου, µαζί µε δύο επί πλέον εξισώσεις για το div του πεδίου που συνιστούν αναγκαίους περιορισµούς στις αρχικές συνθήκες και δεν εντάσσονται στη δυναµική του προβλήµατος. Το σύστηµα Maxwell, εποµένως, δεν είναι υπερπροσδιορισµένο, αφού εµπεριέχει τον ίδιο αριθµό βαθµωτών δυναµικών εξισώσεων και βαθµωτών πεδίων. Επί πλέον, οι τέσσερις διανυσµατικές εξισώσεις (1) του συστήµατος είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και η ταυτόχρονη ισχύς τους επιβάλλει ως αναγκαίες συνθήκες τόσο την αρχή διατήρησης του φορτίου, όσο και την κυµατική εξίσωση για το Η/Μ πεδίο σε περιοχές του χώρου που δεν περιέχουν πηγές. Φυσικά, καµία από τις πιο πάνω αναγκαίες συνθήκες δεν µπορεί να υποκαταστήσει οποιαδήποτε εξίσωση του συστήµατος Maxwell. Συµπερασµατικά: Είναι λάθος να «αποκαθηλώσουµε» τον νόµο του Gauss στον ηλεκτροµαγνητισµό επειδή είναι, υποτίθεται, «άµεση συνέπεια» των δύο εξισώσεων Maxwell για το rot του Η/Μ πεδίου και της αρχής διατήρησης του φορτίου. Το µόνο που µπορούµε να πούµε είναι ότι ο νόµος του Gauss δεν εντάσσεται στις δυναµικές εξισώσεις του προβλήµατος αλλά αποτελεί περιοριστικό κανόνα στις αρχικές συνθήκες. Η τελευταία παρατήρηση εξηγεί, ίσως, γιατί ο νόµος του Gauss έχει ακόµα µεγαλύτερο ενδιαφέρον στα στατικά προβλήµατα του ηλεκτροµαγνητισµού! * Ευχαριστώ τον Αριστείδη Μαγουλά για χρήσιµες συζητήσεις και κάποιες καλές ιδέες πάνω στο ζήτηµα της ανεξαρτησίας των εξισώσεων του Maxwell. Αναφορές 1. C. J. Papachristou, Introduction to Electromagnetic Theory and the Physics of Conducting Solids (META Publishing, 217). 1 2. J. A. Stratton, Electromagnetic Theory (McGraw-Hill, 1941). 1 http://metapublishing.org/index.php/mp/index και https://arxiv.org/abs/1711.9969 5