Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων, πρώτου και δεύτερου βαθµού. Η γνώση των ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων είναι απολύτως απαραίτητη για την ανάλυση προβληµάτων σε συνεχή χρόνο στη δυναµική µακροοικονοµική. 1 Π1.1 Ορισµοί Μία διαφορική εξίσωση, είναι µία µαθηµατική εξίσωση προερχόµενη από µία άγνωστη συνάρτηση, µίας ή περισσοτέρων µεταβλητών, η οποία συνδέει την ίδια τη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων βαθµών. Ενώ η λύση µίας απλής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση ενός συνόλου σταθερών που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις, η λύση µίας διαφορικής εξίσωσης, ή ενός συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, συνίσταται στην εξεύρεση συναρτήσεων, οι οποίες, µαζί µε τις παραγώγους τους, ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση ή το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγµα, η λύση στη διαφορική εξίσωση, y (t) = dy (Π1.1) dt = a είναι µία συνάρτηση y(t), της οποίας η πρώτη παράγωγος ισούται µε a. Η λύση αυτή είναι η εξίσωση, y(t) = at + c (Π1.2) όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ένα άλλο παράδειγµα είναι διαφορική εξίσωση, d 2 y y (t) = (Π1.3) dt = a 2 η οποία έχει λύση, Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών 1 για οικονοµολόγους. Βλ. Chiang (1974) και Simon and Blume (1994) για δύο από τα πιο πλήρη εγχειρίδια. Για µια πιο προχωρηµένη προσέγγιση βλ. Boyce and DiPrima (1977).

2 y(t) = a (Π1.4) 2 t 2 + bt + c όπου b και c είναι δύο οποιεσδήποτε σταθερές. Μία λύση σε µία διαφορική εξίσωση είναι µία συνάρτηση y(t), η οποία µαζί µε τις παραγώγους της, ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. Μία γενική λύση είναι το σύνολο όλων των λύσεων µίας διαφορικής εξίσωσης. Μία ειδική λύση απαιτεί τον προσδιορισµό της σταθεράς ή των σταθερών της ολοκλήρωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις ταξινοµούνται από το βαθµό τους, που δεν είναι άλλος από το βαθµό της υψηλότερης παραγώγου που εµφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγµα, η (Π1.1) είναι διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού, ενώ η (Π1.3) είναι διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθµού. Μία διαφορική εξίσωση είναι γραµµική, αν η άγνωστη συνάρτηση y(t) και οι παράγωγοί της είναι γραµµικές, ενώ αλλοιώς είναι µη γραµµική. Μία διαφορική εξίσωση µπορεί να επιλυθεί µε µία µέθοδο η οποία είναι γνωστή ως διαχωρισµός µεταβλητών, εάν µπορεί να γραφεί ως η εξίσωση ενός όρου ο οποίος περιέχει µόνο το y, µε έναν όρο ο οποίος περιέχει µόνο το t. Για παράδειγµα, η εξίσωση, g(y) y = f (t) (Π1.5) µπορεί να γραφεί ως, g(y)dy = f (t)dt (Π1.6) Οι µεταβλητές είναι διαχωρισµένες και η λύση της είναι, g(y)dy = f (t)dt + c (Π1.7) όπου c είναι µία αυθαίρετη σταθερά. Τέλος, µία διαφορική εξίσωση, f (t, y) + g(t, y) dy (Π1.8) dt = 0 που ισοδυναµεί µε, f (t, y)dt + g(t, y)dy = 0 (Π1.9) ονοµάζεται ακριβής, εάν υπάρχει µία συνάρτηση U(t,y) ούτως ώστε, du U t dt + U y dy fdt + gdy (Π1.10) 2

3 Μία διαφορική εξίσωση είναι ακριβής αν αποτελεί ακριβώς τη συνολική διαφοροποίηση µίας συνάρτησης. Π1.2 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτου Βαθµού Διακρίνουµε τις γραµµικές διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού σε εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές, και εξισώσεις µε µεταβλητούς συντελεστές. Π1.2.1 Σταθεροί Συντελεστές Μία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές έχει τη µορφή, y (t) + ay(t) = b (Π1.11) όπου a και b είναι δεδοµένες σταθερές. Για να βρεθεί η συνάρτηση y(t) η οποία ικανοποιεί την (Π1.11), παρατηρείστε ότι, d(e at y(t)) = ae at y(t) + e at y (t) = e at y (t) + ay(t) (Π1.12) dt Δηλαδή, αν η διαφορική εξίσωση (Π1.11) πολλαπλασιαστεί µε e at, η αριστερή της πλευρά θα είναι µία ακριβής διαφορική εξίσωση, δηλαδή η συνολική παράγωγος κάποιας συνάρτησης σε σχέση µε το t. Η e at καλείται συντελεστής ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε dt, έχουµε, d( e at y(t) ) = be at dt της οποίας το ολοκλήρωµα είναι, e at y(t) = e at b a + c όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές έχουµε, e at y(t) = b (Π1.13) a + ce at ως την οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση (Π1.11). Η οικογένεια αυτή καλείται η γενική λύση της (Π1.11). 3

4 Προκειµένου να προσδιορίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης c χρειαζόµαστε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Για παράδειγµα αν στο σηµείο t=0, γνωρίζουµε ότι, y(0) = y 0 τότε γνωρίζουµε ότι, y 0 = b, δηλαδή ότι. a + c c = y b 0 a H ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) η οποία ικανοποιεί y(0) = y 0 είναι, y(t) = y 0 e at + (1 e at ) b (Π1.14) a = b a + (y b 0 a )e at Συµπερασµατικά, για να επιλύσουµε µία γραµµική διαφορική εξίσωση πρώτου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές, πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για να υπολογίσουµε τη σταθερά της ολοκλήρωσης χρησιµοποιούµε την αξία της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο. Το σηµείο που χρησιµοποιούµε λέγεται αρχική συνθήκη ή οριακή συνθήκη. Π1.2.2 Μεταβλητή Δεξιά Πλευρά Εάν η δεξιά πλευρά της (Π1.11) δεν ήταν σταθερή, αλλά µία γνωστή συνάρτηση του χρόνου, η διαδικασία επίλυσης είναι παρόµοια. Πολλαπλασιάζουµε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και λαµβάνουµε το ολοκλήρωµα. Για παράδειγµα, στη διαφορική εξίσωση, y (t) + ay(t) = be λt (Π1.15) πολλαπλασιάζοντας µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και διαχωρίζοντας τις µεταβλητές έχουµε, ( ) = be (a+λ)t dt d e at y (Π1.16) Λαµβάνοντας τα ολοκληρώµατα και των δύο πλευρών της (Π1.16), b e at y(t) = (Π1.17) a + λ e(a+λ)t + c Διαιρώντας και τις δύο πλευρές µε το συντελεστή ολοκλήρωσης, b y(t) = (Π1.18) a + λ eλt + ce at 4

5 Η (Π1.18) είναι η οικογένεια των συναρτήσεων που ικανοποιεί την (Π1.15). Και πάλι η άγνωστη σταθερά c µπορεί να προσδιοριστεί από µία οριακή συνθήκη. Π1.2.3 Μεταβλητοί Συντελεστές Η γενική µορφή µιας γραµµικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθµού είναι, y (t) + a(t)y(t) = b(t) (Π1.19) όπου οι a(t) και b(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Ο συντελεστής ολοκλήρωσης είναι, e a(t ) dt καθώς, d(y(t)e a(t ) dt ) = e a(t ) dt y (t) + a(t)y(t) (Π1.20) dt Έτσι, πολλαπλασιάζοντας τη (Π1.19) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης αυτόν και λαµβάνοντας το ολοκλήρωµα, έχουµε, y(t)e a(t ) dt = b(t)e a(t ) dt dt + c (Π1.21) Διαιρώντας την (Π1.21) µε το συντελεστή ολοκλήρωσης έχουµε τελικά, y(t) = e a(t ) dt b(t)e a(t ) dt dt + e a(t ) dt c (Π1.22) όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Η (Π1.22) είναι η γενική λύση της (Π1.19). Μια ειδική λύση απαιτεί µία οριακή συνθήκη που θα προσδιορίσει τη σταθερά c. Προσοχή: Μην εφαρµόζετε µηχανιστικά τη λύση (Π1.22) σε οποιαδήποτε εξίσωση. Είναι απλούστερο πολλές φορές να πολλαπλασιάζετε µε το συντελεστή ολοκλήρωσης και να λαµβάνετε το ολοκλήρωµα. Π1.2.4 Οµογενείς και Μη Οµογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Εάν b(t)=0 στη (Π1.19), η διαφορική εξίσωση που προκύπτει ονοµάζεται οµογενής. Αλλοιώς είναι µη οµογενής. Η γενική λύση µιας διαφορικής εξίσωσης συνίσταται από το άθροισµα της γενικής λύσης στη σχετική οµογενή διαφορική εξίσωση (θέτοντας b(t)=0 και επιλύοντας) και µίας ειδικής λύσης στη συνολική εξίσωση. Για παράδειγµα, η γενική λύση στην οµογενή εξίσωση, y (t) + ay(t) = 0 (Π1.23) 5

6 @ που προέρχεται από την (Π1.11) είναι, y(t) = ce at (Π1.24) Μία ειδική λύση, θέτοντας y (t) = 0 για παράδειγµα, είναι, y _ = b a (Π1.25) Κατά συνέπεια, η γενική λύση της µη οµογενούς διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) είναι το άθροισµα των (Π1.24) και (Π1.25), δηλαδή της γενικής λύσης της σχετικής οµογενούς διαφορικής εξίσωσης και της ειδικής λύσης για σταθερό y. Η µεθοδολογία αυτή δεν είναι τόσο απαραίτητη για την επίλυση γραµµικών εξισώσεων πρώτου βαθµού, αλλά καθίσταται πολύ χρήσιµη για διαφορικές εξισώσεις βαθµού ανώτερου του πρώτου. Σε πολλές οικονοµικές εφαρµογές, ενδιαφερόµαστε για τη συµπεριφορά της λύσης µιας διαφορικής εξίσωσης καθώς η ανεξάρτητη µεταβλητή, συνήθως ο χρόνος, τείνει στο άπειρο. Η τιµή την οποία προσεγγίζει η λύση, αν προσεγγίζει κάποια τιµή, αναφέρεται ως σταθερά κατάσταση, ή στάσιµη κατάσταση, ή κατάσταση ισορροπίας. Για παράδειγµα, από την (Π1.13), που είναι η γενική λύση της (Π1.11), έχουµε για a > 0, b lim y(t) = lim t t a + ce at = b a Η ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Π1.11) µπορεί κατά συνέπεια να ερµηνευτεί οικονοµικά και ως η κατάσταση ισορροπίας, ή η στάσιµη κατάσταση. Π1.3 Γραµµικές Διαφορικές Εξισώσεις Δευτέρου Βαθµού Μία γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού έχει τη µορφή, y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = h(t) (Π1.26) όπου a(t), b(t), h(t) είναι γνωστές συναρτήσεις, και αναζητείται η συνάρτηση y(t). Η (Π1.26) αποκαλείται η πλήρης εξίσωση. Σχετική µε την (Π1.26) είναι µία οµογενής διαφορική εξίσωση στην οποία το h(t)=0. y (t) + a(t) y (t) + b(t)y(t) = 0 (Π1.27) η οποία ονοµάζεται η ανηγµένη εξίσωση. Η πλήρης εξίσωση είναι µη οµογενής, ενώ η ανηγµένη είναι οµογενής. Η ανηγµένη εξίσωση έχει ενδιαφέρον λόγω των ακολούθων δύο θεωρηµάτων. 6

7 Θεώρηµα 1: Η γενική λύση της πλήρους εξίσωσης (Π1.26) είναι το άθροισµα οποιασδήποτε ειδικής λύσης της πλήρους εξίσωσης και της γενικής λύσης της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27). Θεώρηµα 2: Οποιαδήποτε λύση y(t) της ανηγµένης εξίσωσης (Π1.27) στο διάστηµα t 0 t t 1 µπορεί να εκφραστεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός, y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), t 0 t t 1 οποιωνδήποτε δύο ειδικών λύσεων y 1, y 2 οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Π1.3.1 Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Εξετάζουµε τώρα τη διαφορική εξίσωση (Π1.26), µε σταθερούς συντελεστές, δηλαδή, a(t)=a, b(t)=b. Υποθέτουµε επίσης ότι h(t)=0. Η διαφορική εξίσωση λαµβάνει τη µορφή, y (t) + a y (t) + by(t) = 0 (Π1.28) Εµπνεόµενοι από τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας διαφορικής εξίσωσης µε σταθερούς συντελεστές, δοκιµάζουµε τη γενική λύση, y(t) = ce rt µε άγνωστες σταθερές c και r. Η λύση αυτή συνεπάγεται, y (t) = rce rt και y (t) = r 2 ce rt Αντικαθιστώντας στην (Π1.28) έχουµε, ce rt (r 2 + ar + b) = 0 (Π1.29) Για µη µηδενικό c, η δοκιµαστική µας λύση ικανοποιεί την (Π1.28) µόνον εφόσον το r είναι λύση (ρίζα) της δευτεροβάθµιας εξίσωσης, r 2 + ar + b = 0 (Π1.30) Η εξίσωση (Π1.30) αποκαλείται η χαρακτηριστική εξίσωση της (Π1.28). Έχει δύο ρίζες που ανευρίσκονται από, r 1,r 2 = a ± a2 4b (31) 2 Ξεχωρίζουµε τρεις περιπτώσεις: Περίπτωση 1: a 2 > 4b Στην περίπτωση αυτή οι ρίζες είναι πραγµατικές και διακριτές. Η γενική λύση της (Π1.28) λαµβάνει τη µορφή, 7

8 y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.32) όπου r 1,r 2 είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 2: a 2 < 4b Στην περίπτωση αυτή οι ρίζες είναι ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών αριθµών. r 1,r 2 = a, 2 ± i 4b a = α ± iβ 2 όπου, α = a και β = 4b a. 2 2 Η γενική πραγµατική λύση στην περίπτωση αυτή είναι, y(t) = e αt (k 1 cosβt + k 2 sinβt) (Π1.33) όπου k 1,k 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Περίπτωση 3: a 2 = 4b Στην περίπτωση αυτή και οι δύο ρίζες είναι ίδιες και ισούνται µε a/2. Μπορεί κανείς να δείξει ότι η γενική λύση της (Π1.28) στην περίπτωση αυτή λαµβάνει τη µορφή, y(t) = c 1 e rt + c 2 te rt = e rt (c 1 + c 2 t) (Π1.34) όπου r = a / 2 είναι η διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Π1.30), και c 1,c 2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Π1.3.2 Μη Οµογενείς Εξισώσεις µε Σταθερούς Συντελεστές Είδαµε πιο πάνω πως µπορούµε να βρούµε τη λύση οποιασδήποτε οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης δευτέρου βαθµού µε σταθερούς συντελεστές. Για να βρούµε τη λύση µιας µη οµογενούς εξίσωσης, θέλουµε µία ειδική λύση της πλήρους εξίσωσης. Αν η πλήρης εξίσωση είναι της µορφής, y (t) + a y (t) + by(t) = h (Π1.35) τότε µία ειδική λύση είναι η σταθερή συνάρτηση, y _ = h b 8

9 Για εξισώσεις χωρίς σταθερούς συντελεστές υπάρχουν πιο προχωρηµένες µέθοδοι, όπως η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, ή η µέθοδος των µεταβολών στις παραµέτρους. Π1.4 Ένα Ζεύγος Γραµµικών Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτου Βαθµού Ερχόµαστε τέλος σε µία περίπτωση που έχει εκτεταµένες εφαρµογές στα οικονοµικά, ένα ζεύγος γραµµικών διαφορικών εξισώσεων πρώτου βαθµού. x (t) = a 1 x(t) + y(t) + p(t) y (t) = a 2 x(t) + y(t) + g(t) (Π1.36) όπου a 1,a 2,, είναι δεδοµένες σταθερές, και p(t),g(t) είναι δεδοµένες συναρτήσεις. Η λύση του συστήµατος (Π1.36) θα είναι δύο συναρτήσεις x(t) και y(t), που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις. Το οµογενές σύστηµα που αντιστοιχεί στην (Π1.36) δίνεται από, x (t) = a 1 x(t) + y(t) y (t) = a 2 x(t) + y(t) (Π1.37) Μία µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την y(t) και τις παραγώγους της στο σύστηµα (37), καταλήγουµε σε µία δευτεροβάθµια εξίσωση που περιέχει µόνο το x(t) και τις παραγώγους του. x (t) (a1 + ) x (t) + (a 1 a 2 )x(t) = 0 (Π1.38) H (Π1.38) είναι µία οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθµού µε χαρακτηριστική εξίσωση, r 2 (a 1 + )r + (a 1 a 2 ) = 0 (Π1.39) Αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές, η λύση της (Π1.38) είναι, x(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t (Π1.40) Επιλύοντας την πρώτη εξίσωση της (Π1.37) ως προς y(t), έχουµε, y(t) = 1 x (t) a 1 x(t) Υποκαθιστώντας τη γνωστή λύση (Π1.40) για το x(t) και την πρώτη παράγωγό του, έχουµε, 9

10 ( ) y(t) = 1 (r 1 a 1 )c 1 e r 1t + (r 2 a 1 )c 2 e r 2t (Π1.41) Συνεπώς, η λύση του συστήµατος (Π1.37) είναι οι συναρτήσεις (Π1.40) και (Π1.41), αν οι ρίζες της (Π1.39) είναι πραγµατικές και διακριτές. Ανάλογα µπορούµε να επιλύσουµε το σύστηµα αν έχουµε µιγαδικές ή επαναλαµβανόµενες ρίζες. Υπάρχει ωστόσο και µία δεύτερη και πιο άµεση µέθοδος επίλυσης του οµογενούς συστήµατος (Π1.37). Η εµπειρία µας από τις πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις µας υποδεικνύει να δοκιµάσουµε το ζεύγος, x(t) = Ae rt, y(t) = Be rt ως ειδικές λύσεις για την (Π1.37). Υποκαθιστώντας αυτές στην (Π1.37) έχουµε, rae rt = a 1 Ae rt + Be rt rbe rt = a 2 Ae rt + Be rt (Π1.42) Διαιρώντας και τις δύο εξισώσεις µε µπορούµε να ξαναγράψουµε το σύστηµα (Π1.42) ως, e rt a 1 r A (Π1.43) a 2 r B = 0 0 Για να ισχύει η (Π1.43), η ορίζουσα της µήτρας των συντελεστών πρέπει να µηδενική. a 1 r = 0 (Π1.44) r a 2 Λαµβάνοντας την ορίζουσα έχουµε µία δευτεροβάθµια εξίσωση στο r. r 2 (a 1 + )r + (a 1 a 2 ) = 0 (Π1.45) η οποία αναφέρεται ως χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος (Π1.37). Η (Π1.45) είναι ακριβώς η ίδια µε την (Π1.39), στην οποία καταλήξαµε µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Οι ρίζες της δίνονται από, r 1,r 2 = (a + b ) ± (a )2 4(a 1 a 2 ) (Π1.46) 2 Σηµειώστε για µελλοντική χρήση ότι, 10

11 r 1 + r 2 = a 1 + r 1 r 2 = a 1 a 2 (Π1.47) Εάν οι ρίζες είναι πραγµατικές και r 1 r 2, τότε η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος (Π1.37) δίνεται από, x(t) = A 1 e r 1t + A 2 e r 2t y(t) = B 1 e r 1t + B 2 e r 2t (Π1.48) όπου, A 1, A 2 καθορίζονται από οριακές συνθήκες, οι ρίζες ορίζονται από την (Π1.46), και οι B 1, B 2 ορίζονται από τη (Π1.42) ως, B 1 = r a 1 1 A 1 και B 2 = r a 2 1 A 2 Η λύση είναι ακριβώς ίδια µε την (Π1.40) και την (Π1.41). Αντίστοιχες είναι και οι λύσεις σε περίπτωση ταυτόσηµων ριζών, ή µιγαδικών ριζών. Έχοντας βρει τη γενική λύση στο οµογενές σύστηµα (Π1.37), µένει να βρούµε µια ειδική λύση στην (Π1.36), χρησιµοποιώντας για παράδειγµα τη µέθοδο των µεταβολών στις παραµέτρους. Για την ειδική περίπτωση που p και g είναι σταθερές, µία ειδική λύση µε σταθερά x και y µπορεί να βρεθεί λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων, a 1 x s + y s + p = 0 a 2 x s + y s + g = 0 Τα σηµεία αυτά µπορούν να θεωρηθούν σηµεία ισορροπίας. Το αν το σύστηµα συγκλίνει στην ισορροπία εξαρτάται από το αν και οι δύο ρίζες είναι πραγµατικές και µικρότερες του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή η ισορροπία είναι ένας σταθερός κόµβος. Στην περίπτωση που έχουµε µία θετική και µία αρνητική ρίζα, η ισορροπία καλείται σαγµατικό σηµείο. Η αρνητική ρίζα αντιστοιχεί στην προκαθορισµένη µεταβλητή, και η θετική ρίζα στην µη προκαθορισµένη µεταβλητή. 11

12 Βιβλιογραφία Boyce W.. and DiPrima R.C. (1977), lementary Differential quations and Boundary Value Problems, New York, Wiley. Chiang A. (1974), Fundamental Methods of Mathematical conomics, New York, McGraw Hill. Simon C.P and Blume L. (1994), Mathematics for conomists, New York, Norton. 12