Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019

Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Θεωρούµε Ω το δειγµατοχώρο ενός πειράµατος τύχης και ω τα στοιχεία αυτού, δηλ. τα απλά γεγονότα του πειράµατος τύχης. Θεωρούµε τη συνάρτηση X η οποία σε κάθε απλό γεγονός ενός πειράµατος τύχης αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό, δηλ. X : Ω R ω X(ω) = x R. Σε αυτή την περίπτωση το σύνολο τιµών R της παραπάνω συνάρτησης αποτελεί το νέο δειγµατοχώρο του πειράµατος τύχης και κάθε πραγµατικός αριθµός είναι πλέον ένα απλό γεγονός.

Θεωρούµε A ένα υποσύνολο του R. Ορίζουµε την αντίστροφη εικόνα του A µέσω της X ως εξής : X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A}. Ορισµός Τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) καλείται η συνάρτηση X : Ω R για την οποία το σύνολο X 1 (, x] = {ω Ω : X(ω) x}, αποτελεί γεγονός του Ω, για κάθε πραγµατικό αριθµό x.

Ασκηση 1 Ενα περιοδικό δηµοσιεύει τις ϕωτογραφίες τριών ηθοποιών Α,Β,Γ και Ϲητά από τους αναγνώστες να αντιστοιχίσουν σωστά τα ονόµατα τους στις ϕωτογραφίες. Ενας αναγνώστης δε ξέρει κανέναν από τους ηθοποιούς και κάνει µια αντιστοίχιση στην τύχη. Αν η σωστή σειρά είναι ΒΑΓ, να ϐρεθεί η τυχαία µεταβλητή η οποία ορίζεται στο δειγµατοχώρο Ω και εκφράζει τον αριθµό των σωστών απαντήσεων που έχει ϐρει ο αναγνώστης.

Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων που σχετίζονται µε µια τυχαία µεταβλητή X συνδέεται µε τη συνάρτηση κατανοµής αυτής. Ορισµός Η συνάρτηση F : R [0, 1] µε F X (x) = P(X x) = P({ω Ω : X(ω) x}), όπου x είναι οι τιµές που παίρνει η τ.µ. X, καλείται συνάρτηση κατανοµής (σ.κ.) της X. Για να είναι µια πραγµατική συνάρτηση F, συνάρτηση κατανοµής µιας τ.µ. ϑα πρέπει να ικανοποιεί τα εξής : να είναι αύξουσα, lim F(x) x = 1, lim F(x) x = 0, να είναι δεξιά συνεχής για όλα τα x, P(α < X β) = F(β) F(α).

Στον παρακάτω πίνακα δίνονται µερικές από τις πιθανότητες ενδεχοµένων σχετικών µε µια τ.µ. X Ενδεχόµενο X β X < β X > α X α X = α α < X β α < X < β α X < β α X β Πιθανότητα P(X β) = F(β) P(X < β) = F(β ) P(X > α) = 1 F(α) P(X α) = 1 F(α ) P(X = α) = F(α) F(α ) P(α < X β) = F(β) F(α) P(α < X < β) = F(β ) F(α) P(α X < β) = F(β ) F(α ) P(α X β) = F(β) F(α )

Ασκήσεις 2. Να οριστεί η συνάρτηση κατανοµής για την τ.µ. X της Άσκησης 1. 3. Ενα ηλεκτρονικός υπολογιστής παράγει τυχαίους αριθµούς X στο διάστηµα [0,1]. Η συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X ικανοποιεί τον τύπο F(t) = { 0, t < 0 t, 0 t < 0.25 0.25, 0.25 t < 0.5 t 2, 0.5 t < 1 1, t 1 α) Να γίνει η γραφική παράσταση της F(t). ϐ) Να διαπιστωθεί ότι P(X = α) = 0, α R. γ) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(0.25 X 0.5), P(X < 0.1), P(X > 0.75), P(X > 0.5)..

Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Ορισµός ιακριτή τυχαία µεταβλητή είναι µια τ.µ. που παίρνει διακριτές τιµές. Το σύνολο τιµών της διακριτής τ.µ. είναι πεπερασµένο ή άπειρα αριθµίσιµο. Συµβολίζουµε µε R X το σύνολο τιµών µιας διακριτής τ.µ. X. Ορισµός Η συνάρτηση f X : R X [0, 1] µε f X (x) = P(X = x), για κάθε x R X, καλείται συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) της τ.µ. X.

Ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας f (x) 0, µε f (x) = 0, για κάθε x που δεν ανήκει στο R X, x R X f (x) = 1.

Ασκηση 4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 3 ϕορές (πιθανά αποτελέσµατα Κ ή Γ). Η τυχαία µεταβλητή X µετράει πόσα Κ εµφανίστηκαν. Να ϐρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η συνάρτηση κατανοµής της X.

Σχέση µεταξύ συνάρτησης πιθανότητας και συνάρτησης κατανοµής µια διακριτής τ.µ. Θεωρούµε X µια διακριτή τ.µ. και f X η συνάρτηση πιθανότητας της X και F X η συνάρτηση κατανοµής της X. Τότε οι σχέσεις που συνδέουν τη σ.π. της X µε τη σ.κ. της X είναι οι εξής : F X (x) = P(X x) = u x P(X = x) = u x f X (u), f X (x) = P(X = x) = F X (x) F X (x 1). Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να υπολογίζουµε τις πιθανότητες η τ.µ. να παίρνει συγκεκριµένες τιµές.

Ορισµός Εστω X µια τ.µ. και h(x) : R R µια σύναρτηση της X. Τότε, και η Y = h(x), αποτελεί µια τ.µ. Αν η X είναι διακριτή τ.µ. µε σ.π. f X (x), τότε και η Y = h(x) ϑα είναι διακριτή τ.µ. και η συνάρτηση πιθανότητας f Y (y) αυτής ϑα δίνεται από τη σχέση f Y (y) = P(Y = y k ) = P(h(X) = y k ) = P({x k : h(x k ) = y k }) = f X (x k ). h(x k )=y k

Ασκήσεις 5. Να ϐρεθεί η τιµή της σταθεράς c, έτσι ώστε ο παρακάτω τύπος να ορίζει µια συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τ.µ. X f X (x) = c 3x 1 4 x, R X = {1, 2, 3,...}. Στη συνέχεια να προσδιοριστεί η αντίστοιχη συνάρτηση κατανοµής αυτής. 6.Ο παρακάτω πίνακας δίνει της τιµές που παίρνει η συνάρτηση πιθανότητας της διακρτιής τ.µ. X x 0 1 2 3 f X (x) = P(X = x) 1 8 3 8 2 8 2 8. Να προσδιοριστεί η σ.π. της Y = (X 1) 2.

Ας είναι X µια διακριτή τ.µ., R X το σύνολο τιµών αυτής και f X (x) η σ.π. αυτής, τότε Ορισµός Η µέση τιµή ή αναµενόµενη τιµή της διακριτής τ.µ. δίνεται από τη σχέση E[X] = µ = x R X xf X (x). Ιδιότητες της µέσης τιµής 1. Αν X = c µε P(X = c) = 1, τότε E[X] = c. 2. Αν Y = g(x), τότε E[Y ] = E[g(x)] = x R X g(x)f X (x). 3. E[λ 1 g 1 (X) + λ 2 g 2 (X) +... + λ n g n (X)] = λ 1 E[g 1 (X)] + λ 2 E[g 2 (X)] +... + λ n E[g n (X)]. 4. E[aX + β] = ae[x] + β.

Ασκηση 7 Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τ.µ. X έχει τη µορφή f X (x) = c(x 2 + 2 x + 1), x R X = { 2, 1, 0, 1, 2}, όπου c R µια σταθερά. α) Να υπολογιστεί η τιµή του c. ϐ) Να ϐρεθεί η E[X] και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι µέσες τιµές των τυχαίων µεταβλητών Y 1 = X, Y 2 = 5X 3 X.

Ορισµός ιασπορά ή διακύµανση της διακριτής τ.µ. X είναι η αναµενόµενη απόκλιση από την µέση τιµή αυτής και δίνεται από τη σχέση Var(X) = x R X (x µ) 2 f X (x). Ιδιότητες της διασποράς 1. Από τον ορισµό της διασποράς έχουµε Var(X) = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] (E[X]) 2. 2. Αν Y = ax + β, τότε Var(Y ) = a 2 Var(X). 3. Ισχύει Var(X) = 0 X = σταθερά.

Ορισµός Η τυπική απόκλιση της διακριτής τ.µ. Q δίνεται από τη σχέση σ = Var(X). Ορισµός είκτης διασποράς της διακριτής τ.µ. Q δίνεται από τη σχέση I = σ µ. Η σπουδαιότητα του δείκτη διασποράς είναι ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως µέτρο σύγκρισης διαφορετικών τ.µ. Επισης, δίνει την τυπική απόκλιση µιας τ.µ. ως ποσοστό της µέσης τιµής αυτής.

Ασκήσεις 8. Να υπολογιστεί η διασπορά της διακριτής τ.µ. Y = 2X + 3, αν είναι γνωστό ότι E[2X + 3] = 7 και E[(X + 2) 2 ] = 17. 9. Ενα ϐιβλιοπωλείο αγοράζει 10 αντίτυπα ενός ϐιβλίου µε 20 ευρώ και το πουλάει 30 ευρώ. Αν υποθέσουµε ότι µετά από ένα έτος υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής των απούλητων ϐιβλίων προς 15 ευρώ και X είναι η τ.µ. που µετράει τον αριθµό των αντίτυπων που πουλούνται σε ένα έτος µε συνάρτηση πιθανότητας f (x) = 2x + 1, x = 1, 2, 3,..., 10, 120 να υπολογιστεί η µέση τιµή της X και το µέσο κέρδος του ϐιβλιοπωλείου σε ένα έτος από τις πωλήσεις του συγκεκριµένου ϐιβλίου.

10. Κάποιος χρησιµοποιεί το εξής µοντέλο πρόβλεψης δυο µετροχών Α,Β σε ένα διάστηµα ενός έτους. Η τιµή της µετοχής Α ϑα µεταβληθεί σε ποσοστό 10%,5%,-10% ανάλογα µε το αν η οικονοµία το επόµενο έτος ϐρεθεί σε κατάσταση ανάπτυξης, στασιµότητας, ύφεσης. Τα αντίστοιχα ποσοστά για τη µετοχή Β είναι 15%,5%,-15%. Για την κατάσταση της οικονοµίας έχει προβλέψει ότι υπάρχει πιθανότητα 0.20,0.60 και 0.20 να ϐρεθεί σε κατάσταση ανάπτυξης, σταστιµότητας και ύφεσης αντίστοιχα. Σε ποια µετοχή ϑα τον συµβολεύατε να επενδύσει

11. Ο αριθµός των αυτοκινήτων που πουλάει µια έκθεση αυτοκινήτων σε µια εβδοµάδα περιγράφεται από την τ.µ. X µε συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο f (x) = { cx, x = 1, 2, 3, 4, 5 c(10 x), x = 6, 7, 8, 9. α) Να ϐρεθεί η τιµή της σταθεράς c. ϐ) Ποια η πιθανότητα να πουληθούν σε µια εβδοµάδα ακριβώς 7 αυτοκίνητα, λιγότερα από 4 αυτοκίνητα. περισσότερα από 4 αυτοκίνητα, άρτιος αριθµός αυτοκινήτων, περισσότερα από 5 αυτοκίνητα γνωρίζοντας ότι έχουν πουληθεί τουλάχιστον 3.

Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Ορισµός Συνεχής τυχαία µεταβλητή X είναι µια τ.µ. που παίρνει τιµές σε κάποιο διάστηµα (α,β) ή σε όλο το R, το οποίο σύνολο τιµών συµβολίζεται πάλι µε R X. Η συνάρτηση πιθανότητας ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π) µια συνεχούς τ.µ. X έχει τις ιδιότητες f X (x) 0, για κάθε x R X. f X(x) = 1. Παρατήρηση Σε αντίθεση µε την περίπτωση των διακριτών τ.µ. οι τιµές που παίρνει η σ.π. µιας συνεχούς τ.µ. δεν παριστάνουν πιθανότητες.

Αν η f X (x) σ.π.π. της συνεχούς τ.µ. X είναι συνεχής, τότε η σ.κ. αυτής δίνεται από τη σχέση x F X (x) = f X (t)dt, και ισχύει F (x) = f X (x), x R. Για τον υπολογισµό των πιθανοτήτων που αφορούν τη συνεχή τ.µ. X ισχύει Γενικότερα ισχύει P(α < X β) = β α f X (x)dx = F(β) F(α). P(α < x < β) = P(α X β) = P(α x < β) = διότι η συνάρτηση F X (x) είναι συνεχής. β f X (x)dx, α

Ας είναι X µια συνεχής τ.µ. µε σ.π.π. f X (x). Ορισµός Η µέση τιµή ή αναµενόµενη τιµή της συνεχούς τ.µ. δίνεται από τη σχέση E[X] = µ = xf X (x). Ορισµός ιασπορά ή διακύµανση της διακριτής τ.µ. X είναι η αναµενόµενη απόκλιση από την µέση τιµή αυτής και δίνεται από τη σχέση Var(X) = (x µ) 2 f X (x). Για τη µέση τιµή και για τη διασπορά ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες µε τη µέση τιµή και τη διασπορά µιας διακριτής τ.µ.

Ασκηση 12 Το σφάλµα X που γίνεται κατά τη µέτρηση µέσω ενός οργάνου είναι µια συνεχής τ.µ. µε σ.π.π. { } c(4 x f X (x) = 2 ), 2 x 2. 0, αλλού α) Να υπολογιστεί η τιµή της σταθεράς c. ϐ) Να υπολογιστεί η σ.κ. της τ.µ. X. γ) Να υπολογιστούν οι παρακάτω πιθανότητες το σφάλµα της µέτρησης να είναι ϑετικό, το σφάλµα της µέτρησης να είναι µικρότερο του 1 κατ απόλυτη τιµή, το σφάλµα της µέτρησης να είναι µικρότερο του 1 2 ή µεγαλύτερο του 1 2.

Ασκηση 13 Η εβδοµαδιαία κυκλοφορία σε 1000-αδες ϕύλλα µιας εφηµερίδας είναι τ.µ. X µε σ.π.π f X (x) = { c(1 1 x 2 ), 1 x 2 0, αλλού Να υπολογιστεί η µέση εβδοµαδιαία κυκλοφορία της εφηµερίδας και η διακύµανση της X. }.