ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ: Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης χωρίς δυνατότητα προγραμματισμού και γραφικών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: καμία Σελίδα 1/5 EL
ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ A 1) Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g που ορίζονται από τις σχέσεις f ( x) x 8x 5 και gx ( ) 3x 7. Σελίδα 1/ Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραφικών τους παραστάσεων. ) Να λυθεί η εξίσωση x e 4e x. 3) x Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση f( x) (4 x )e. 4) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες συντεταγμένων. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τρίτου βαθμού f Να προσδιορισθούν τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος f ( x) καθώς και το διάστημα στο οποίο η f ( x) είναι αρνητική. 5) Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση f ( x) sinx. Να βρεθεί μία εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x 0. 6) Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση 3 f ( x) x 3x 9x 10. Να βρεθούν οι συντεταγμένες και το είδος των ακρότατων της γραφικής παράστασης της f. Σελίδα /5
ΣΥΜΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ A Σελίδα / 7) Να υπολογίσετε το e 1 3 x 1 dx. 8) Θεωρούμε την συνάρτηση h που ορίζεται από την σχέση hx ( ) 486 6x, x 0. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της h και από τους άξονες συντεταγμένων. 9) Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση x f ( x) 3e 3x x. Να προσδιορίσετε την αρχική συνάρτηση F( x ) της f ( x ) αν γνωρίζουμε ότι F(0) 4. 10) Σε ένα Ευρωπαϊκό σχολείο φοιτούν 750 μαθητές, εκ των οποίων 400 είναι κορίτσια. Το σχολείο αποτελείται από ένα τμήμα πρωτοβάθμιας και ένα τμήμα δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Γνωρίζουμε ότι στο τμήμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης φοιτούν 00 κορίτσια και 150 αγόρια. Ένα άτομο επιλέγεται στην τύχη από αυτούς τους 750 μαθητές. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να είναι αγόρι της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. 11) Οι έξι όψεις ενός ζαριού είναι αριθμημένες όπως φαίνεται στο σχήμα. Ρίχνουμε το ζάρι 4 φορές. Να υπολογισθεί η πιθανότητα να πάρουμε το τρία μόνο μία φορά. 1) Υπάρχουν 3 μαθητές μέσα σε μία τάξη. Σε ένα διαγωνισμό η τάξη κέρδισε 5 εισιτήρια για ένα διεθνές παιχνίδι ποδοσφαίρου. Η δασκάλα της τάξης ετοίμασε 3 φακέλους: 5 από αυτούς περιέχουν ένα εισιτήριο και 7 είναι άδειοι. Η δασκάλα ζητά από τους μαθητές της να επιλέξουν ένα φάκελο στην τύχη και να τον κρατήσουν. Ο Hans πρόκειται να πάει να επιλέξει ένα φάκελο αμέσως μετά την Άννα που πηγαίνει πρώτη, αλλά πριν να κάνει την επιλογή φακέλου παραπονιέται ότι η Άννα έχει περισσότερες πιθανότητες από αυτόν να κερδίσει ένα φάκελο με εισιτήριο. Δείξτε αν ο Hans έχει δίκαιο ή άδικο. Σελίδα 3/5
ΕΡΩΤΗΣΗ B1 ΑΝΑΛΥΣΗ Σελίδα 1/1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g που ορίζονται από τις σχέσεις 3x f (x) = και g (x) = x + 6. x 1 a) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. 1 Μονάδα b) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες συντεταγμένων. c) Να ορισθούν τα διαστήματα στα οποία η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 3 d) Να προσδιορισθούν οι συντεταγμένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g. e) Να βρεθεί μία εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο για το οποίο είναι x 4. 4 4 5 f) Δείξτε ότι η f (x) μπορεί να πάρει την μορφή f (x) = 3. 3 x 1 g) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των f και g στο ίδιο σύστημα αξόνων. 3 h) Να σκιάσετε το χωρίο που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και του άξονα των y. Να υπολογισθεί το εμβαδόν αυτού του χωρίου. Σελίδα 4/5
ΕΡΩΤΗΣΗ B ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σελίδα 1/1 a) Ένας άνδρας επιλέγει στην τύχη 6 αχλάδια μέσα από ένα μεγάλο καλάθι μέσα στο οποίο το 10% των αχλαδιών είναι χαλασμένα. i. Υπολογίστε την πιθανότητα ώστε ακριβώς ένα από τα αχλάδια που επέλεξε να είναι χαλασμένα. ii. Υπολογίστε την πιθανότητα ώστε τουλάχιστον δύο από τα αχλάδια να είναι χαλασμένα. 3 4 b) Μερικές ημέρες αργότερα πηγαίνει εκδρομή με την οικογένεια του. Επιλέγει τυχαία 3 μήλα μέσα από ένα καλάθι που περιέχει 3 κόκκινα μήλα, πράσινα μήλα και 1 κίτρινο μήλο. i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να επιλέξει όλα τα κόκκινα μήλα. 4 ii. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να επιλέξει ένα μήλο από κάθε χρώμα. 4 Σελίδα 5/5