ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

Transcript

1 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα α,β του πεδίου ορισμού της; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Αν f(), τότε f() κοντά στο β. Αν f(), τότε f() γ. Η εικόνα f(δ), ενός διαστήματος Δ, μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f, είναι διάστημα. δ. Αν f : συνεχής στο, τότε η f είναι πάντα παραγωγίσιμη στο ε. Για κάθε ισχύει: ln (Μονάδες ) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(), με α. Να βρείτε τις f () και f () β. Δείξτε ότι ( ) f () f () f() για κάθε,, γ. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) f( h) f( ) δ. Υπολογίστε το h h (Μονάδες 8) Σελίδα από

2 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται συνάρτηση g με τύπο g() 3 α για την οποία: g() 5 α. i) Βρείτε το πεδίο ορισμού της g (Μονάδες ) ii) Δείξτε ότι α 4 β. Υπολογίστε το g () 4g() 5 g () 5 g() γ. i) Δείξτε ότι, όπου ν φυσικός αριθμός. (Μονάδες 3) ν ii) Yπολογίστε το 3 g () ημ g() 3 g() ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 5,5 για την οποία: f() και f() f( ) Αν η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα την, να αποδείξετε ότι: α. i) f() ii) f( 3) f( 4) β. Η γραφική παράσταση της f και η ευθεία ε με εξίσωση y 3, έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη, γ. Υπάρχουν [ 5,) και (,5], τέτοιοι, ώστε να ισχύει: f( ) f() f( ), για κάθε [ 5,5] δ. f() f( ) Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από

3 9 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () ημ Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α,β του πεδίου ορισμού της; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Αν f() κοντά στο, τότε f() β. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα., > γ. Ισχύει ln, < δ. Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο και είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε (f() g()) f() g() ε. Αν f : δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη στο (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση α. Βρείτε την f () β. Δείξτε ότι f f(), Σελίδα από

4 γ. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) δ. Υπολογίστε το f( ) f() ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται συνάρτηση g με τύπο g() 3 α για την οποία ισχύει: g() 3 α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της g (Μονάδες 3) β. Δείξτε ότι α γ. Υπολογίστε το δ. i. Δείξτε ότι g() ν ii. Υπολογίστε το g () g() g () 9 *, ν (Μονάδες 3) 3 g() συν g () 3 g() ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 3,3 για την οποία ισχύουν: f(), 7 f(4) f() και η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα την 9. Να αποδείξετε ότι: α. i) f(4) ii) f(5) f() β. Η γραφική παράσταση της f και η ευθεία ε με εξίσωση y 9 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη 4, γ. Υπάρχουν [3,9) και (9,3] τέτοιοι, ώστε να ισχύει: f( ) f() f( ) για κάθε [3,3] f(5) ( 5) δ. Να δείξετε ότι 5 f() ( 5) 8 Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από

5 9 ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α. Αν z,z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: z z z z Β. Έστω Μ(,y) η εικόνα του μιγαδικού z yi στο μιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουμε ως μέτρο του z ; (Μονάδες ) Β. Πότε δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες; (Μονάδες ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z,z μιγαδικοί αριθμοί, τότε πάντα ισχύει: z z z z β. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι γ. Αν f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και τότε δ. Ισχύει f (f()), A ημ α ε. Αν α : τότε f η αντίστροφή της, ΘΕΜΑ ο Δίνεται ο μιγαδικός z w, όπου z με z yi,, y 3 4i α. Να γράψετε τον w στην μορφή α βi, α, β β. Αν οι εικόνες του w είναι σημεία του άξονα ', να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες του z γ. Αν w, τότε: i) Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες του z ii) Να δείξετε ότι: z 3 δ. Αν ισχύει z 5, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες του w Σελίδα από

6 ΘΕΜΑ 3 ο f() Έστω ότι για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν: 3 και g() f() για κάθε α. Να βρείτε το όριο f() β. Αν για ισχύει: τον λ γ. Να βρείτε τα όρια: i) g() g() 3 ii) g () g() f () ( )f() λ( ) ( ), να βρείτε (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει: f(f()) f() για κάθε α. Να δείξετε ότι: i) Η f είναι στο ii) f() (Μονάδες 3) β. Να δείξετε ότι γ. Αν w και ισχύει f () f(), f( w ) f( w 4),τότε: i) Nα βρείτε που ανήκουν οι εικόνες του w ii) Να δείξετε ότι w 3 4i 8 Ευχόμαστε επιτυχία!!! Σελίδα από