4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται ισοδύναμα ως α (x ρ 1 )(x ρ 2 ) = 0 Παράδειγμα: Αν ρ 1 = 1, ρ 2 = 2 οι ρίζες της εξίσωσης x 2 3x + 2 = 0, τότε το τριώνυμο γράφεται ισοδύναμα:.. Δ=β 2 4αγ αν Δ>0 Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: x 1,2 = β± Δ 2α Παραγοντοποίηση της παράστασης αx 2 + βx + γ αx 2 + βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ) αν Δ=0 Μία διπλή λύση, την: x 0 = β 2α αx 2 + βx + γ = a(x x 0 ) 2 αν Δ<0 Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις Η παράσταση αx 2 + βx + γ δεν παραγοντοποιείται π.χ. 1: Δίνεται η εξίσωση λx 2 (λ 1)x 1 = 0, με παράμετρο λ 0. i. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό -2 ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ 0 iii. Για λ=2 να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 : I) είναι 2 ου βαθμού αν και μόνο αν II) είναι 1 ου βαθμού αν και μόνο αν III) έχει δύο ρίζες άνισες αν και μόνο αν IV) έχει μία ρίζα διπλή αν και μόνο αν V) δεν έχει καμία ρίζα αν και μόνο αν VI) έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν VII) έχει ρίζα το x 0 = 1 αν και μόνο αν VIII) έχει ρίζα το x 0 = 0 αν και μόνο αν π.χ. 2: Δίνεται η εξίσωση (λ 2 λ)x 2 (λ 2 1)x + λ 1 = 0, όπου λ R. i. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού. ii. Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα η εξίσωση παίρνει τη μορφή λx 2 (λ + 1)x + 1 = 0 iii. Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες iv. Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης αν αυτή είναι 2 ου βαθμού
π.χ. 3: Δίνεται η εξίσωση 2x 2 + λx 36 = 0, με λ R i. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii. Υποθέτουμε ότι μία από τις ρίζες είναι ο αριθμός ρ α) Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 2x 2 λx 36 = 0 β) Να δείξετε ότι ρ 0 και ο αριθμός 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ρ 36x2 + λx + 2 = 0.
π.χ. 4: i. Να λύσετε την εξίσωση x 2 3x 4 = 0 (1) ii. Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: α 2 3αβ 4β 2 = 0 a) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι λύση της εξίσωσης (1) β b) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β
i. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2 ου βαθμού με αντικατάσταση Η εξίσωση αx 4 + βx 2 + γ = 0, α 0 λέγεται Διτετράγωνη και μετατρέπεται σε εξίσωση 2 ου βαθμού με την αντικατάσταση x 2 = t π.χ. 1: Να λύσετε τη διτετράγωνη εξίσωση 3x 4 x 2 4 = 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ξεχνάμε στο τέλος να μετατρέψουμε τις τιμές που βρίσκουμε για το t σε τιμές για το x (2 η αντικατάσταση) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: x 2 = α α μη αρνητικός x = α ή x = α
Η εξίσωση αx 2 + β x + γ = 0, α 0 με την ιδιότητα x 2 = x 2 και την αντικατάσταση: x = t, μετατρέπεται σε εξίσωση 2 ου βαθμού: π.χ. 2: Να λυθεί η εξίσωση x 2 8 x + 15 = 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν ξεχνάμε στο τέλος να μετατρέψουμε τις τιμές που βρίσκουμε για το t σε τιμές για το x (2 η αντικατάσταση) ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: x = a a μη αρνητικός x = +α ή x = α
Με τη μέθοδο της αντικατάστασης μπορούν να μετατραπούν σε 2 ο -βάθμιες και άλλες εξισώσεις, όπως: x 10 + x 5 2 = 0 ή (x 2 + x 1) 2 + 3 x 2 + x 1 4 = 0
ii. Άθροισμα και γινόμενο ριζών της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0 (Τύποι του Vieta) Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 (1), α 0, τότε : 1. S = x 1 + x 2 = β και P = x α 1 x 2 = γ α 2. Η (1) γράφεται επίσης x 2 Sx + P = 0 ( ) Δηλαδή τα x 1 και x 2 είναι και ρίζες της ( ) π.χ. 1: Δίνονται οι αριθμοί x 1 = 1 και x 2 3 2 = 1 2+ 3 α) Να δείξετε ότι x 1 + x 2 = 4 και x 1 x 2 = 1 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2 ου βαθμού με ρίζες τα x 1 και x 2
Μπορούμε να κατασκευάσουμε μία εξίσωση που να έχει ρίζες x 1 και x 2, χωρίς αυτές να μας δίνονται, αρκεί να γνωρίζουμε το άθροισμά τους S και το γινόμενό τους P. π.χ. 2: Να κατασκευάσετε εξίσωση 2 ου βαθμού με ρίζες α και β, τέτοιες ώστε α + β = 2 και α 2 β + αβ 2 = 30 και να βρείτε τα α, β. π.χ. 3: Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α+β=12 και α 2 + β 2 = 272. a) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, να δείξετε ότι α β = 64 b) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2 ου βαθμού με ρίζες α και β.