Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα

Μέθοδοι µελέτης και βελτίωσης της ευστάθειας συστηµάτων. Συχνοτικά διαγράµµατα Εισαγωγή Μελέτη συστήµατος αιώρησης µαγνητικού τρένου. Τις προηγούµενες δύο δεκαετίες, κατασκευάστηκαν πρωτότυπα µαγνητικά (aglev) τρένα που ταξιδεύουν µε ταχύτητες µέχρι και 600 χιλιόµετρα ανά ώρα. Τα πλεονεκτήµατα αυτών είναι οι υψηλές ταχύτητες, τα µηδενικά κινητά τµήµατα άρα και οι απώλειες από αυτά, η σχετικά µικρή κατανάλωση ενέργειας και τέλος η ελάχιστη ηχορύπανση. Εντούτοις σοβαρά µειονεκτήµατα εµποδίζουν την ανάπτυξη αυτής της µορφής τρένων, τα πλέον σηµαντικά είναι η υψηλή δαπάνη συντήρησης των εγκαταστάσεων, η ηλεκτρονική πολυπλοκότητα, οι περίπλοκες διατάξεις ανατροφοδότησης προκειµένου να αποτρέψουν την αστάθεια του όλου συστήµατος (την οποία και θα µελετήσουµε σε αυτή την άσκηση). Ακόµη η χρήση υπεραγωγών (ανάγκη κρυογονικών εγκαταστάσεων) καθιστά το κόστος λειτουργίας πολύ υψηλό. Κλείνοντας αυτή την µικρή αναφορά στα µαγνητικά τρένα, που σίγουρα αποτελούν το µέλλον στις συγκοινωνίες, αναφέρουµε µια καινούργια ιδέα που φαίνεται να κερδίζει έδαφος όπου µε την χρήση µονίµων µαγνητών και κλειστών σπειρών, µπορεί το όχηµα από µια ταχύτητα και πάνω να πλέει χωρίς την χρήση των σύνθετων συστηµάτων που να ορίζουν το ρεύµα των ηλεκτροµαγνητών προκειµένου αυτό να αιωρείται. Στην εικόνα φαίνονται τα πηνία αιώρησης τόσο στο κινούµενο τµήµα όσο και στο υπόβαθρο της γραµµής. Στο πλάι είναι τα πηνία κίνησης. 6-

Η αρχή λειτουργίας προκειµένου το τρένο να αιωρείται φαίνεται στο δίπλα σχήµα. Ουσιαστικά τα πηνία αιώρησης δηµιουργούν ζευγάρια αντιθέτων µαγνητικών πόλων µε αυτά που είναι τοποθετηµένα στο υπόβαθρο, µε αποτέλεσµα την δηµιουργία απωστικών δυνάµεων και τελικά την ανύψωση του τρένου. Η συνάρτηση µεταφοράς του συγκροτήµατος µάζα οχήµατος και πηνίων αιώρησης είναι µε καλή προσέγγιση Y ( ) G ( ) X ( ) Το διάγραµµα βαθµίδων του ανοικτού συστήµατος φαίνεται στο επόµενο σχήµα παρατηρούµε ότι το σύστηµα είναι ασταθές µε αποτέλεσµα την ανατροπή του τρένου. Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος µε µοναδιαία αρνητική ανατροφοδότηση είναι: G() F() + G() H() + + + + Η συνάρτηση αυτή είναι της µορφής [ω/)( +ω )] της οποίας ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Lalace είναι η συνάρτηση του ηµιτόνου. Εποµένως το κλειστό σύστηµα είναι ασταθές. 6-

Το εξοµοιωµένο σύστηµα της άσκησης είναι εχόµενοι ότι I εποµένως και η σταθερά ολοκλήρωσης Τ I είναι: Οι τιµές των εξαρτηµάτων θα είναι: T I I ec R R C 7kΩ ΜΩ µf Το σύστηµα στον απ ευθείας δρόµο έχει συνάρτηση ενός διπλού ολοκληρωτή εποµένως είναι ασταθές. Η χρονική απόκριση αυτού φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Η κυκλική συχνότητα χωρίς απόσβεση είναι ω ο ra/ec οπότε η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τα6,8 ec. 6-3

Η συνάρτηση του ανοικτού βρόχου του συστήµατος είναι: G() H() Το διάγραµµα Boe του συστήµατος απεικονίζεται στο επόµενο γράφηµα. Το σύστηµα είναι ασταθές και στην συχνότητα ra/ec ισχύουν τα κριτήρια του BODE. 6-

Προκειµένου να βελτιώσουµε το σύστηµα θα χρησιµοποιήσουµε έναν ελεγκτή PID. Το διάγραµµα βαθµίδων αυτού του συστήµατος µε την χρήση του ελεγκτή είναι. Παρατηρούµε ότι ήδη στον απ ευθείας δρόµο υπάρχουν δύο ολοκληρώσεις εποµένως είναι πλεονασµός να χρησιµοποιήσουµε και άλλον ολοκληρωτή έτσι το διάγραµµα βαθµίδων γίνεται Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι G() F() + G() H() (k + + ( (k + k ) k )) k + + k k + k 6-5

Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση είναι της γενικής µορφής ζω + ω F( ) o o + ζω + ω o o απ όπου φαίνεται ότι πρόκειται για σύστηµα ης Τάξεως : µε κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος ω o και συντελεστής απόσβεσης του συστήµατος k ζω Επιθυµώντας το σύστηµα να έχει συντελεστή απόσβεση ζ 0,707 (ελάχιστος χρόνος αποκατάστασης) και κυκλική ιδιοσυχνότητα περίπου ra/ec. o Οπότε: ω Ο k o ζ ω 0,707, αντικαθιστώντας στην συνάρτηση µεταφοράς θα έχουµε k + k. + F( ) + k + k +. + 6-6

Με την βοήθεια του προγράµµατος MatLab καταγράφουµε την χρονική απόκριση του συστήµατος. Στο Coan Winow ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς >> aglevtf([. ],[. ]) και µε την εντολή >> te(aglev) Παρατηρούµε ότι το σύστηµα έχει υπερύψωση % και χρόνο αποκατάστασης,89ec είναι δε σύµφωνο µε τις προδιαγραφές που θέσαµε (βλέπε σελ. 6-6). 6-7

Η συνάρτηση του ανοικτού βρόχου είναι. G( ) H ( ) (( k + k. + ) ) Στο Coan Winow ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς >> aglev OLtf([. ],[ 0 0]) και µε την εντολή >> boe(aglev OL) Τα διαγράµµατα Boe είναι Παρατηρώντας το διάγραµµα φάσεως διαπιστώνουµε ότι για µικρές συχνότητες η φάση ασυµπτωτικά παίρνει τιµή µεγαλύτερες -80º, οπότε το σύστηµα είναι ευσταθές. 6-8

Στο Coan Winow ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς >> aglev OLtf([. ],[ 0 0]) και µε την εντολή >> rlocu(aglev OL) Το δε διάγραµµα τόπου ριζών µε την χρήση του MatLab είναι. Επιβεβαιώνουµε από το διάγραµµα τόπου ριζών ότι τα κλειστό σύστηµα µε Κ (Gain) έχει δύο συζυγείς πόλους στα σηµεία -0,707±j0,707. Ο συντελεστής απόσβεσης είναι ζ0,7 και η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος χωρίς απόσβεσης είναι ω ra/ec. Από το διάγραµµα του τόπου ριζών µπορούµε να τροποποιήσουµε την συµπεριφορά του συστήµατος (χρονική απόκριση κλπ.) σύµφωνα µε επιθυµητά δεδοµένα, απλά αλλάζοντας την θέση των πόλων αυτού. 6-9

Το ανάλογο σύστηµα είναι αυτό του σχήµατος Επιλέγουµε τις ακόλουθες τιµές: R R R R 3 R P P C C 7kΩ ΜΩ ΜΩ 0 kω 00 kω 0kΩ 0kΩ µf,7µf Εξηγήστε αναλυτικά γιατί επιλέγουµε τις προηγούµενες τιµές. Προετοιµασία. Αν η συνάστηση µεταφοράς του συγκροτήµατος µάζα οχήµατος και πηνίων αιώρησης είναι G()0/. Υπολογίστε τον ελεγκτή ώστε το βελτιωµένο σύστηµα να έχει ζ0,8 και και κυκλική ιδιοσυχνότητα περίπου 0 ra/ec.. Με την βοήθεια του Matlab καταγράψτε την χρονική απόκριση του συστήµατος και επιβεβαιώστε την ορθότητα των προδιαγραφών. 3. Με την βοήθεια του Matlab xαράξτε τα διαγράµµατα BODE του υπο µελέτη συστήµατος.. Με την βοήθεια του Siulink καταγράψτε τις χρονικές αποκρίσεις του συστήµατος χωρίς και µε τον ελεγκτή. Τι παρατηρείται; 5. Υπολογίστε την συχνότητα µε την οποία πρέπει να τροφοδοτήσετε τα τροποποιηµένα συστήµατα (σελίδες 6- & 6-6) από την γεννήτρια ώστε να πάρετε πλήρεις και αξιοποιήσιµες καταγραφές στην οθόνη του παλµογράφου.(βήµατα 6-7 8 και 9 του πειραµατικού µέρους). 6-0

Πειραµατικό µέρος Σηµείωση: Όπως γνωρίζουµε προκειµένου να χαράξουµε ένα αξιόπιστο διάγραµµα πλάτους και φάσης του ανοικτού βρόχου ενός συστήµατος (διαγράµµατα Boe) θα πρέπει να η ανεξάρτητη µεταβλητή ω (ra/ec) να πάρει τιµές που να καλύπτει τουλάχιστον µία δεκάδα πάνω από την µεγαλύτερη συχνότητα θλάσεως και µία δεκάδα κάτω από την µικρότερη συχνότητα θλάσεως. Από τα διαγράµµατα Boe του συστήµατος σελίδα 6-8, συµπεραίνοµε ότι η περιοχή συχνοτήτων της ανεξάρτητης µεταβλητής (πεδίο ορισµού) θα πρέπει να είναι από 0, ra/ec ως 0 ra/ec. (0,06Hz ως,59hz) Το φασίµετρο που διαθέτουµε στο εργαστήριο έχει περιοχή λειτουργίας από Hz ως 00Hz, συµπεραίνοµε ότι δεν µπορεί να χρησιµοποιήσουµε για µελέτη του συστήµατος Ερώτηµα: Αν χρησιµοποιούσαµε έναν κλασικό παλµογράφο προκειµένου να µετρήσουµε µε χρήση των σχηµάτων Liajou τι πρόβληµα θα αντιµετωπίζαµε; Προκειµένου να ξεπεράσουµε το προηγούµενο πρόβληµα θα µελετήσουµε ένα ισοδύναµο σύστηµα όπου θα πραγµατοποιήσουµε κλιµάκωση χρόνου. (µελετήστε την κλιµάκωση χρόνου από το βιβλίο Σήµατα, Συστήµατα και Κυκλώµατα του Ηρακλή ηµόπουλου.) Jule Antoine Liajou (March, 8 - June, 880) 6-

Σχεδιάζουµε το ισοδύναµο σύστηµα το οποίο θα είναι κατά εκατό φορές ταχύτερο από το πραγµατικό. Η συνάρτηση µεταφοράς του αρχικού συστήµατος. (βλέπε σχήµα β- σελίδα 6-) θέτοντας /00 θα πάρει την µορφή F () G() G() o 00 A + H() 0 + + o + + 0 00 ω ( 00) + ω Το εξοµοιωµένο σύστηµα στο ανάπτυγµα της άσκησης είναι εχόµενοι ότι I 00 εποµένως και η σταθερά ολοκλήρωσης Τ I 0,0 είναι: Οι τιµές των εξαρτηµάτων θα είναι: T I I 0 0,0ec R R C 7kΩ 00Ω 00nF 6-

Ακολουθώντας την µεθοδολογία της σελίδας 6-5 υπολογίζουµε την συνάρτηση του βελτιωµένου συστήµατος: 0 (k + G() F () + G() H() 0 + ( (k + 0 k + 0 k F () + 0 k + 0 k k k ) )) 0 k + 0 k + 0 k + 0 k Επιθυµώντας το σύστηµα να έχει συντελεστή απόσβεση ζ 0,7 (ελάχιστος χρόνος αποκατάστασης) και κυκλική ιδιοσυχνότητα περίπου 00 ra/ec Προκύπτουν οι σταθερές του PD ελεγκτή. 0 ω o 00 ω Ο 0 0 ζ ωo 0,707 00 ζ ωo 0 k k 0 0 k 0,0 αντικαθιστώντας στην συνάρτηση µεταφοράς θα έχουµε G() F () + G() H() F () + 0 + 0 + 0 0 k + 0 k + 0 k + 0 k 0 0,0 + 0 + 0 0,0 + 0 6-3

Με την βοήθεια του προγράµµατος MatLab καταγράφουµε την χρονική απόκριση του συστήµατος. Στο Coan Winow ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς >> aglevtf([ 0000],[ 0000]) και µε την εντολή >> te(aglev) Η συνάρτηση του ανοικτού βρόχου είναι. G( ) H ( ) (( k + k + 0000 ) ) Στο Coan Winow ορίζουµε την συνάρτηση µεταφοράς >>aglevoltf([ 0000],[ 0 0]) και µε την εντολή >>boe(aglevol) Τα διαγράµµατα Boe είναι 6-

Στο επόµενο σχήµα φαίνεται το πειραµατικό µοντέλο του τροποποιηµένου συστήµατος το οποίο και θα µελετήσουµε πειραµατικά. Οι τιµές των σταθερών είναι οι ακόλουθες Σταθερά ολοκλήρωσης T I / I /000,0ec Σταθερά αναλογικού ελεγκτή. Σταθερά διαφορικού ελεγκτή. 0,0ec Επιλέγουµε τις ακόλουθες τιµές: R R R R 3 R P P C C 7kΩ 00Ω 00Ω 0 kω 00 kω 0kΩ 0kΩ 00nF 330nF Με βάση τις τιµές που των εξαρτηµάτων που επιλέχθηκαν Συµπληρώστε τον επόµενο πίνακα Θέση ποτενσιόµετρου Αναλογικού ελεγκτή Σταθερά Αναλογικού ελεγκτή Θέση ποτενσιόµετρου ιαφορικού ελεγκτή 0% 0% 0% 0% 50% 50% 90% 90% 00% 00% Σταθερά ιαφορικού ελεγκτή(ec) 6-5

. Συνδεσµολογήστε το ανάλογο κύκλωµα του συστήµατος.(χωρίς ελεγκτής) σχήµα σελίδα (6- ).. Συνδέστε την γεννήτρια ακουστικών συχνοτήτων, τα ηλεκτρονικά βολτόµετρα και το φασίµετρο και τον ψηφιακό παλµογράφο στο σύστηµα όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα. 3. Με την βοήθεια του παλµογράφου και ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝ Ε ΕΜΕΝΗ Η ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ Χ.Σ., καταγράψτε την κυµατοµορφή εξόδου. Μετρήστε όλα τα χαρακτηριστικά αυτής.. Αποσυνδέστε το καλώδιο ανασύζευξης. 5. Συνδέστε την γεννήτρια ακουστικών συχνοτήτων 6. Ρυθµίστε την γεννήτρια για να πάρετε ηµιτονικό σήµα και παρατηρήστε τις κυµατοµορφές εισόδου εξόδου του ανοικτού συστήµατος. Τι παρατηρείτε; 7. Ρυθµίστε την γεννήτρια για να πάρετε τετραγωνικό σήµα και καταγράψτε τις κυµατοµορφές εισόδου εξόδου του ανοικτού συστήµατος. Τι παρατηρείτε; 6-6

8. Συµπληρώστε µε τις κατάλληλες µετρήσεις τον επόµενο πίνακα ώστε να µπορείτε να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα Boe. f(hz) ω(ra/ec) Vin(volt) Vout(volt) A(b) φ( ) 9. Επαναλάβατε τα βήµατα -6 για το βελτιωµένο σύστηµα (σελίδα 6-5). f(hz) ω(ra/ec) Vin(volt) Vout(volt) A(b) φ( ) 0. Χαράξτε σε ηµιλογαριθµικό χαρτί τα διαγράµµατα BODE των δύο συστηµάτων. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε το excel.. Συγκρίνατε τα αποτελέσµατα της προετοιµασία µε αυτά του πειραµατικού µέρους, δώστε τα συµπεράσµατά σας 6-7

Σηµειώσεις 6-8

Σηµειώσεις 6-9