Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο όχημα, όπου η εντολή κατεύθυνσης πορείας και η πραγματική κατεύθυνση πορείας του οχήματος. Δίνονται: G 1 (s) = 10/[s10), G 2 (s) = 1/s 2 και F 1 (s) = ks 1. Να προσδιοριστούν: α. Το απαιτούμενο εύρος τιμών της παραμέτρου k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (2,0 μον.). β. Η τιμή του k όταν μια ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ισούται με s = 1 (1,0 μον.). G 1(s) G 2(s) Λύση α. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Επομένως το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι: Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s k s s 1 0 s Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει: Άρα το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: K > 0,1

2 β. Αφού s = 1 είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, θα έχουμε: ή Επομένως: k = 1,9 ΘΕΜΑ 2 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος με κατάλληλους μετασχηματισμούς του δομικού διαγράμματος. β. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων του δομικού διαγράμματος του σχήματος και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. Λύση α. Υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η παρακάτω σειρά: 1/G 3(s)

3 G 1(s) G 2(s)G 3(s) /G 3(s) G 1(s) G 2(s)G 3(s) / [1 G 2(s)G 3(s)] 1 /G 3(s) G 1(s)G 2(s)G 3(s) / [1 G 2(s)G 3(s)] 1 /G 3(s) Επομένως: ή β. Ορίζουμε τα σήματα στο δομικό διάγραμμα, τα οποία θα αντιστοιχούν στους κόμβους του διαγράμματος ροής σημάτων: E 1(s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) E 5(s) R 1(s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι:

4 = E 5 (s)g 3 (s) E 5 (s) = E 4 (s)g 2 (s) E 4 (s) = E 3 (s) E 3 (s) = E 2 (s)g 1 (s) E 2 (s) = E 1 (s) R 1 (s) = E 1 (s) E 5 (s)f 1 (s) E 1 (s) = Χ(s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: 1 1 E 1(s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) E 5(s) 1 G 1(s) 1 G 2(s) G 3(s) 1 Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος, ο E 1 (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s), με απολαβή: Q 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι: Βρόχος 1: E 1 (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e 1 (s), Βρόχος 2: E 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e 2 (s), και Βρόχος 3: E 4 (s)e 5 (s)e 4 (s) με απολαβές αντίστοιχα: B 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)(1) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) B 2 (s) = G 1 (s)g 2 (s)[f 1 (s)] = G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) B 3 (s) = G 2 (s)g 3 (s)(1) = G 2 (s)g 3 (s) Παρατηρούμε ότι, όλοι οι βρόχοι ανά δύο, έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) = 1 ΣL1 = 1 [B 1 (s) B 2 (s) B 3 (s)] = = 1 [ G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) G 2 (s)g 3 (s)] = = 1 G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) G 2 (s)g 3 (s) Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι, αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επομένως: Δ 1 (s) = 1 Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι:

5 ή ΘΕΜΑ 3 Ο (3,0 μονάδες) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s) = 1/[s 2 4s 3], μοναδιαία αρνητική ανάδραση και ελεγκτή G C (s) = k/s. α. Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος, να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και να γραφεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. β. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. γ. Το εύρος τιμών της παραμέτρου k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι 0<k<12. Εάν η είσοδος του συστήματος είναι μια συνάρτηση ράμπας της μορφής x(t) = Atu(t), να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του Α ώστε το σφάλμα ταχύτητας να είναι μικρότερο του 3%. Λύση: α. Το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος είναι το ακόλουθο: G c (s) G(s) και ισοδύναμα: G c (s)g(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: β. Oι ρίζες του τριωνύμου s 2 4s 3 είναι ρ 1 = 1 και ρ 2 = 3. Επομένως: Υπολογισμός σταθερών σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης:

6 Υπολογισμός σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: γ. Για να έχουμε e v < 3% θα πρέπει: Δίνεται ότι το σύστημα είναι ευσταθές για 0 < k < 12. Ο υπολογισμός των οριακών τιμών για το A γίνεται με βάση τις οριακές τιμές του k, δηλ. για k=0 (οπότε Α=0) και για k=12 (οπότε A=0,12). Άρα το κατάλληλο εύρος τιμών του Α είναι: 0 < Α < 0,12. ΘΕΜΑ 4 Ο (3,0 μονάδες) Να προσδιοριστεί η βηματική απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και απολαβή απευθείας κλάδου: G(s) = 100/[s 2 30s 100] Λύση Το δομικό λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση είναι το ακόλουθο: G(s) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Επομένως, η βηματική απόκριση του συστήματος θα είναι: αφού οι ρίζες του τριωνύμου s 2 30s 100 είναι ρ 1 = 10 και ρ 2 = 20.

7 Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: Επομένως: και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: