(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς αντίστοιχα κ, ν µε κ ν, τότε υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π ( χ), υ( χ ) τέτοια ώστε να ισχύει: ( χ) = δ ( χ) π ( χ) + υ( χ). Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης (x) = δ(x) π(x) + υ(x) ( ιαιρετέος = ιαιρέτης επί πηλίκο συν υπόλοιπο) Παρατηρήσεις. 1. Το (χ) είναι ο διαιρετέος, το δ(χ) ο διαιρέτης, το π(χ) το πηλίκο και το υ(χ) το υπόλοιπο της ευκλείδιας διαίρεσης. 2. Το πολυώνυµο υ(χ), είτε είναι το µηδενικό πολυώνυµο, είτε έχει βαθµό µικρότερο από το ν (δηλαδή από το βαθµό του δ(χ)). 3. Από το προηγούµενο προκύπτει ότι: Η διαίρεση τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει 0, ή όταν ο βαθµός του γίνει µικρότερος από το βαθµό του διαιρέτη (και όχι νωρίτερα). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 128

4. Αν υ(χ)=0 (µηδενικό πολυώνυµο), αν δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0, τότε η διαίρεση είναι τέλεια. Προφανώς, σε αυτήν την περίπτωση, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται ( χ) = δ ( χ) π ( χ) και τότε λέµε ότι το δ(χ) διαιρεί το (χ), ή ότι το δ(χ) είναι παράγοντας του (χ), ή ότι το δ(χ) είναι διαιρέτης του (χ). 5. Ο βαθµός του πηλίκου π(χ) είναι ίσος µε τη διαφορά των βαθµών του (χ) και του δ(χ). ιαίρεση µε διαιρέτη το χ-ρ Θεώρηµα 1 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου (χ) µε το χ-ρ, είναι ο αριθµός (ρ), δηλαδή η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου (χ) (του διαιρετέου) για χ=ρ. Proof Ειδικά στην περίπτωση όπου ο διαιρέτης δ(χ) είναι δ(χ)=χ-ρ, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: (χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ) (1). Επειδή όµως ο διαιρέτης είναι 1 ου βαθµού και το υπόλοιπο πρέπει να είναι µικρότερου βαθµού, έχουµε υ(χ)=υ (σταθερός αριθµός), οπότε η (1) γίνεται (χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ (2). Αν θέσουµε τώρα στην (2) χ=ρ έχουµε: (ρ)=υ. Θεώρηµα 2 Ένα πολυώνυµο (χ) έχει παράγοντα το χ-ρ, αν και µόνο αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα του (χ), δηλαδή αν ισχύει (ρ)=0. Proof Έστω ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του P(χ). Τότε θα ισχύει: P(χ)=(χ-ρ)π(χ). Για χ=ρ στη διπλανή σχέση παίρνουµε: Ρ(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)=0 που σηµαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ). Αντίστροφα ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 129

Έστω ότι ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), δηλαδή έστω ότι ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση: Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+Ρ(ρ) παίρνουµε ότι Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ), που σηµαίνει ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ). Προσοχή: Οι επόµενες 6 προτάσεις είναι ισοδύναµες (δηλαδή σηµαίνουν ακριβώς το ίδιο πράγµα). Έτσι, η µετάβασή µας από τη µια στην άλλη γίνεται αυτόµατα, µε κριτήριο πάντα τα δεδοµένα και τα ζητούµενα της κάθε άσκησης. Οι 6 ισοδύναµες προτάσεις «κλειδιά» 1. Το χ-ρ διαιρεί το (χ). 2. Το χ-ρ είναι παράγοντας του (χ). 3. Η διαίρεση (χ):(χ-ρ) είναι τέλεια. 4. Το υπόλοιπο της διαίρεσης (χ):(χ-ρ) είναι 0. 5. Το ρ είναι ρίζα του (χ). 6. Ισχύει (ρ)=0. Το σχήµα Horner Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (χ):(χ-ρ), ή και µια οποιαδήποτε αριθµητική τιµή (ρ) ενός πολυωνύµου (χ), µπορούµε να τα βρούµε και µε την εφαρµογή µιας διαδικασίας η οποία είναι γνωστή ως σχήµα Horner. Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να βρούµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( χ 2χ 1) : ( χ 2). Εφαρµόζουµε τα επόµενα βήµατα: 1. Γράφω, τον ένα δίπλα στον άλλο, τους συντελεστές και το σταθερό όρο του διαιρετέου (αν το πολυώνυµο δεν είναι πλήρες, συµπληρώνω µε 0) και, πιο δίπλα, το 2. 2. «Κατεβάζω» στην µεθεπόµενη (3 η ) γραµµή το συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου (δηλαδή το 1). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 130

3. Πολλαπλασιάζω το 1 µε το ρ=2 και γράφω το αποτέλεσµα στη 2 η γραµµή, κάτω από το 2 ο συντελεστή του πολυωνύµου. 4. Προσθέτω (κατακόρυφα) και γράφω το αποτέλεσµα στην 3 η γραµµή, δίπλα από το 1 που έχω γράψει εκεί από το 2 ο βήµα. 5. Επαναλαµβάνω τα βήµατα 3 και 4, όσες φορές χρειάζεται. 6. Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας, στην τελευταία (3 η ) γραµµή, βλέπω τους συντελεστές του πηλίκου και (στην τελευταία δεξιά θέση) το υπόλοιπο της διαίρεσης. Το σχήµα Horner για το παράδειγµά µας επόµενο πίνακα: χ χ χ φαίνεται στον ( 2 1) : ( 2) Συντελεστές ιαιρετέου ρ 1-2 0-1 2 2 0 0 1 0 0-1 Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Άρα η διαίρεση χ χ χ δίνει (δευτεροβάθµιο) πηλίκο ( 2 1) : ( 2) 2 2 x + 0x+ 0= x και υπόλοιπο 1. Με άλλα λόγια, ισχύει: 2 x 2x 1 = ( x 2) x 1. Λυµένες Ασκήσεις 1. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να δείξετε ότι το πολυώνυµο 4 p( x) = 2x 6x + 5x 3x+ 2 διαιρείται µε το ( x 1)( x 2) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης. Λύση Εφαρµόζω το σχήµα Horner, για το p(x) και για ρ=1: 2-6 5-1 2-4 1-2 2-4 1-2 0 Άρα x x + x x+ = x x x + x (1) 4 2 6 5 ( 1)(2 4 2) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 131

Τώρα, εφαρµόζω σχήµα Horner για το x x + x και για ρ=2: 2 4 2 2-4 1-2 2 4 0 2 2 0 1 0 Άρα, x x + x = x x + (2) 2 2 4 2 ( 2)(2 1) Από (1), (2) έχω: x x + x x+ = x x x + 4 2 2 6 5 ( 1)( 2)(2 1) 4 Άρα, το 2x 6x + 5x 3x+ 2 διαιρείται µε το (χ-1)(χ-2) και το πηλίκο της 2 διαίρεσης είναι το 2x + 1. 2k 2k 2. Να δείξετε ότι το πολυώνυµο p( x) = ( x+ 1) x 2x 1, k 0, έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2x + 3x + x. Λύση Αρχικά, βρίσκουµε τους παράγοντες του 2x 3x x 2 1 + + : 2x + 3 x + x= x(2x + 3x+ 1) = 2 x( x+ 1)( x+ ). 2 Άρα, για να δείξουµε το ζητούµενο, αρκεί να δείξουµε ότι το p(x) έχει ρίζες το 0, το 1 και το 1/2. 2k 2k Είναι: p(0) = 1 1= 0, p( 1) = ( 1) 2( 1) 1= 1+ 2 1= 0 και 1 2k 1 2k 1 p( 1/ 2) = ( ) ( ) 2 ( ) 1= 0, άρα, πράγµατι, ισχύει το ζητούµενο. 2 2 1 3. Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β αν είναι γνωστό ότι το πολυώνυµο f ( x) = x + α x + β x+ 4 διαιρείται ακριβώς µε το χ 2 και επιπλέον ισχύει f (1) = 8 Λύση Αρχικά, επειδή το πολυώνυµο f ( x ) διαιρείται ακριβώς µε το χ 2, θα ισχύει ότι f (2) = 0. Άρα από τις ισότητες f (1) = 8, f (2) = 0, αναλυτικά έχουµε: f a β α β (1) = 8 1 + 1 + 1+ 4= 8 + = 3 f (2) = 0 2 + a 2 + β 2+ 4= 0 2α + β = 6 Από τις παραπάνω 2 εξισώσεις του συστήµατος έχουµε σαν λύσεις α = -9 και β = 12. Άρα το πολυώνυµο θα είναι το f ( x) = x 9x + 12x + 4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 132

4. Το πολυώνυµο P( x) έχει παράγοντα το χ 5. Να αποδείξετε ότι το P(2x 3) έχει παράγοντα το χ 4. Λύση Αφού το P( x ) έχει παράγοντα το χ 5 θα ισχύει P (5) = 0. Για να έχει το P(2x 3) παράγοντα το χ 4 πρέπει P(2 4 3) = 0 P ( 5) = 0 που πράγµατι ισχύει. Ερωτήσεις τύπου «Σωστού ή Λάθους» 1. Το µηδενικό πολυώνυµο διαιρείται από κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο 2. Αν το f( x) 0 διαιρεί τα P( x ) και Q( x ), τότε διαιρεί και τα P( x) ± Q( x) Σ Λ Σ Λ 3. Αν το f( x) 0 διαιρεί το P( x ), τότε το f( x) διαιρεί και το P( x) Q( x) για κάθε πολυώνυµο Q( x ) Σ Λ 4. Αν P( x ) πολυώνυµο 4 ου βαθµού και P( 2) = 5, τότε ( ) P x =π ( x) + 5 x 2 x 2, όπου π ( x) πολυώνυµο 3 ου βαθµού Σ Λ 5. Αν το P( x) έχει παράγοντα το χ ρ, τότε θα έχει παράγοντα και το ρ χ Σ Λ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 133

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Αν το πολυώνυµο P( x) έχει ρίζα το Α. x 1 Β. 1 x Γ. 2x 1 2. Αν το πολυώνυµο ( ) 1, τότε διαιρείται µε το διώνυµο: 2. 2x+ 1 Ε. x+ 1 P x έχει παράγοντα το x 5, τότε το P( 2x 3) παράγοντα το: Α. x+ 4 Β. x 4 Γ. 2x 3. 2x 4 Ε. x+ 5 3. Αν το πολυώνυµο P( x 1) + έχει παράγοντα το x 1 έχει, τότε το P( 6 2x) παράγοντα το: Α. x+ 2 Β. x+ 1 Γ. x 2. x 3 Ε. x+ 3 4. Αν το P( x ) είναι 6 ου βαθµού και διαιρείται µε ένα ( ) έχει Q x 4 ου βαθµού, τότε το πηλίκο της διαίρεσης είναι: Α. Τουλάχιστον 2 ου βαθµού Β. Το πολύ 2 ου βαθµού Γ. 2ου. Τουλάχιστον 4 ου βαθµού Ε. 4ου 5. Έστω P( x ) ένα πολυώνυµο και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π ( x) είναι το πηλίκο και υ ( x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) τότε το υπόλοιπό υ( x) είναι: Α. Πάντοτε πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το P( x ) Β. Πολυώνυµο 1 ου βαθµού Γ. Σταθερό πολυώνυµο. Πάντοτε το µηδενικό πολυώνυµο 6. Έστω το πολυώνυµο ( ) 2 P x x 3 x x 1 P x µε το x ρ, =κ κ +κ +, όπου κ πραγµατικός αριθµός. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του κ το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) µε το x 1, είναι ίσο µε το µηδέν: Α. κ= 0 Β. κ= 1 Γ. κ= 1. κ= 2 Ε. κ= 2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 134

Άλυτες ασκήσεις Να γράψετε τις ταυτότητες των επόµενων διαιρέσεων: 1. (3x + 6x 17x+ 20) : ( x+ 3) 4 2. ( x 81) : ( x 3) 5 2 3. (24x + 20x 16x 15) : (6x + 5) 4 2 4. (2x + 4x 5x + 3x 2) : ( x + 2x 3) 4 3 5. x : ( x 1) 5 3 6. ( x + 7) : ( x 1) 3 7. ( x + 75x 250) : ( x+ 10) 3 8. ( x + 512) : ( x+ 8) 5 9. ( x + 1) : ( x 1) 4 10. 3 x : ( x 2) 11. (4x + 16x 23x 15) : ( x+ ) 2 2 2 12. (3x 2ax 8 a ) : ( x 2 a) 1 2 3 13. ( x + ax a x a ) : ( x+ a) 14. Χωρίς να κάνετε τη διαίρεση διαίρεση είναι τέλεια. 4 2 ( x 25x 144) : ( x 3) + +, εξετάστε αν η 15. Όµοια για την (16 x 8x + 9x + 14x 4) : ( x ) 4 4 1 80 50 20 16. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x 6x + 4x 2) : ( x+ 1) 17. Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το χ-1 να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P x = k x + 3kx 4 ( ) 2 4 2 18. Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το χ-1 να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P x = x + κ 1 x 7x+ 6κ ( ) ( ) 19. Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το πολυώνυµο 4 P x = x κ x + 3k+ 7 x κ x+ 3 όταν διαιρείται µε το χ + 1 να αφήνει ( ) ( ) υπόλοιπο 3. 20. Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ και λ,ώστε το πολυώνυµο p( x) = x x + 1 x+ 5 x 1 x + 2 κ ( λ ) να έχει παράγοντα το ( )( ) 21. Αν p( x) = 2x 2x x+ 2409, βρείτε το p(-11). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 135

22. Αν κ άρτιος θετικός ακέραιος, δείξτε ότι το x+y είναι παράγοντας του k k x y. 23. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου p(x) µε το ax+b 3 είναι το p(-b/a). Μετά, βρείτε τις συνθήκες, ώστε το ax + b να διαιρείται µε το ax+b. 24. Βρείτε τα a, b, ώστε το k+ 1 k p( x) = ax bx + 1, να έχει παράγοντα το 2 ( x 1). 25. είξτε ότι το 4 2 4x 7x 12 + + δεν έχει παράγοντα της µορφής χ-ρ. 26. είξτε ότι, αν κ περιττός θετικός ακέραιος, το χ+1 είναι παράγοντας του k k x + 1. Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης ( x + 1) : ( x+ 1). Extra Άλυτες ασκήσεις 1) Να κάνετε τη διαίρεση: (2x 4 7x 3 +18x+2) : (x 2-3x+1). Στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 2) Ένα πολυώνυµο (x), όταν διαιρεθεί µε το δ(x)= x 2-2x δίνει πηλίκο π(x)= x 3-3x 2 +4. α) Να βρείτε τον βαθµό του (x). β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης είναι υ(x)=-3x+5, τότε να βρείτε το (x). 3) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= 2x 3 +x 2-22x+24. α) Να αποδείξετε ότι το 2x-3 είναι παράγοντας του P(x). β) Να παραγοντοποιήσετε το P(x). 4) Να κάνετε τη διαίρεση (x 3-5x+3): (x+2). 5) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο: P(x)= x +4-2x 3 -x 2 +8x-12 διαιρείται ακριβώς µε το x 2-4 και να βρείτε το πηλίκο. 6) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης: (x v +x v-1-1): (x-1) 7) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 4-3x 3 +αx 2-3x+2α-6. α) Να κάνετε τη διαίρεση P(x):(x 2 +1) β) Αν η παραπάνω διαίρεση είναι τέλεια, να βρείτε τον αριθµό α. 8) ίνεται πολυώνυµο P(x) για το οποίο ισχύει P(-2)=-7 και P(4)=5. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το (x+2)(x-4). 9) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= (x+3) 10 -(x+1) 9 +(3x+5) 8. Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x+2). 10) ίνεται το πολυώνυµο P(x)=x 8-2x 7 +x 3-3x-2. Να εξετάσετε αν τα πολυώνυµα x-2 και x+1 είναι παράγοντες του P(x). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 136

11) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 3 +αx 2-12x+β. To x-3 είναι παράγοντας του P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x+1 είναι 28. Να βρείτε τις τιµές των α, β R. 12) α) Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα το (x-α)(x-β), µε α β, αν και µόνο αν το P(x) έχει παράγοντες το x-α και το x-β. β) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 3 +4x 2 +αx+β. Να βρείτε τις τιµές των α, β R, ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x 2 +2x-3. 13) ίνεται το πολυώνυµο P(x)=x 3 +αx 2 +β. Να βρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το P(x) έχει παράγοντα το x 2-4x+4. 14) ίνονται τα πολυώνυµα P(x)= (x-2) 2ν -(4-3x) v +(x-x 2 ) v & Q(x)=x 3-3x 2 +2x. Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x). 15) α) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) β µε το αx+β, όπου α 0, είναι υ = P -. α β) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= 8x 3-16x +κx+λ. Να βρείτε τις τιµές των κ, λ R, ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (2x+1) να είναι -12 και το 2x-3 να είναι παράγοντας του P(x). γ) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (2x-1). 16) To υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το x-2 είναι 1 και µε το x+3 είναι -14. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x 2 +x-6. 17) To υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το x 2-3x-10 είναι - 2x+7. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x+2 και της διαίρεσης του P(x) µε το x-5. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 137