ΔΕΟ 13 1 η Γραπτή Εργασία 016-17 Ενδεικτική απάντηση
Άσκηση 11 (0%) Μια επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα Χ και Υ με την ίδια παραγωγική διαδικασία. Δεδομένου ότι η επιχείρηση διαθέτει περιορισμένους πόρους παραγωγής (κεφάλαια, πρώτες ύλες, εργατικό δυναμικό κλπ) η σχέση μεταξύ των παραγόμενων ποσοτήτων του προϊόντος Χ και του προϊόντος Υ όταν οι πόροι της επιχείρησης αξιοποιούνται με τον πλέον αποτελεσματικό τρόπο δίνεται από την εξίσωση: X+X=10 Y α) Δεδομένου ότι οι ποσότητες Χ, Υ δεν μπορεί να είναι αρνητικές (i) Υπολογίστε πόση ποσότητα παράγεται από το Χ όταν το Y είναι εκτός παραγωγής (ii)υπολογίστε πόση ποσότητα παράγεται από το Y όταν το X είναι εκτός παραγωγής [6%] α) (i) Όταν το Υ είναι εκτός παραγωγής ισχύει: 0 Οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση X X 10 Y προκύπτει: X X 10 0 X X 10 X X-10=0 (Δευτεροβάθμια εξίσωση) Από το τυπολόγιο έχουμε: Διακρίνουσα: b 4 a c 4 1 ( 10) 44 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: X 1, b 44 6, 63 1 Οπότε: X1 6, 63 X1,316 0 (δεκτή) και, X 6, 63 X 4,31 0 (απορρίπτεται) (ii) Όταν το X είναι εκτός παραγωγής ισχύει: 0 Οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση X X 10 Y προκύπτει: 0 0 10 Y 0=10 Y Y=10>0 (δεκτή) β) Υπολογίστε τις ποσότητες Χ και Υ που πρέπει να παραχθούν από τη παραπάνω σχέση ώστε να ισχύει: i) 0,5Υ = Χ, ii) Υ = Χ; [6%] 1 Παρατήρηση: Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων δεν απαιτείται να γραφούν 1
β) (i) Στη σχέση X X 10 Y αντικαθιστούμε το Χ με 0, 5 οπότε προκύπτει: X X 10 Y (0,5Υ) 0,5Υ=10 Y 0, 065Υ 0,5 10 0 0, 065Υ 1,5 10 0 Διακρίνουσα: b 4 a c 1,5 4 0,065 ( 10) 4,75 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: 1, b 1,5 4, 75 1,5,18 0, 065 0,15 Οπότε: 1 1,5,18 1 5, 44 0 (δεκτή) και, 0,15 1,5,18 9, 44 0 (απορρίπτεται) 0,15 Οπότε για 5, 44 το Χ ισούται με: 0, 5 5, 44 1,36 (ii) Στη σχέση X X 10 Y αντικαθιστούμε το Υ με οπότε προκύπτει: X X 10 Y X X 10 X X+Χ 10=0 X 4X 10=0 Διακρίνουσα: b 4 a c 4 4 1 ( 10) 56 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: 1, b 4 56 4 7, 48 1 Οπότε: 1 4 7, 48 1 1, 74 0 (δεκτή) και,
4 7, 48 5, 74 0 (απορρίπτεται) Οπότε για 1,74 το Υ ισούται με: Υ= 1,74 3, 48 γ) Δημιουργήστε ένα γράφημα του Excel που να απεικονίζει τη σχέση μεταξύ της ποσότητας του προϊόντος Χ (στον οριζόντιο άξονα) και της αντίστοιχης του προϊόντος Υ (στον κάθετο άξονα), το οποίο να περιλαμβάνει 10 τουλάχιστον σημεία (Χ,Υ) που να απεικονίζουν διαφορετικούς συνδυασμούς παραγωγής, συμπεριλαμβανομένων και των δύο σημείων του ερωτήματος (α). [8%] Γράφουμε τη σχέση X X 10 Y ως συνάρτηση του Υ ως προς το Χ, δηλαδή: Y= X X 10 Με τη χρήση του Excel δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα τιμών καθώς και το αντίστοιχο διάγραμμα: X Y=-X-X+10 0,00 10,00 0,5 9,44 0,50 8,75 0,75 7,94 1,00 7,00 1,5 5,94 1,75 3,44,00,00,5 0,44,316 0,00 Με κίτρινο φαίνονται οι τιμές παραγωγής όπως προέκυψαν από το ερώτημα α. Επιπλέον έχουμε επιλέξει οι τιμές των Χ, Υ να μην είναι αρνητικές αφού πρόκειται για παραγόμενες ποσότητες. 3
Y=-X-X+10 1,00 Y 10,00 8,00 6,00 4,00,00 X 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50,00 Άσκηση (30%) Δίνεται η συνάρτηση ( )= 5 3 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της καθώς και οι τιμές f(0) και f().,50 Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( x) x5 x3 είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για x 0 προκύπτει: f (0) 05 03 f (0) 0 Για x προκύπτει: f () 5 3 f () 3 8 f () 4 β) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0. f ( x) 0 x5 x3 0 x3 ( x 1) 0 x3 0 x 0 (τριπλή ρίζα) και, x 1 0 x 1 0 ( x 1) ( x 1) 0 x 1 0 x 1 και, x 1 0 x 1 γ) Να κατασκευαστεί στο Excel πίνακας τιμών της συνάρτησης ( )= 5 3 για τιμές x από -10 έως 10 με βήμα. 4
Με χρήση του Excel κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x f(x)=x5-x3-10 -99000-8 -356-6 -7560-4 -960 - -4 0 0 4 4 960 6 7560 8 356 10 99000 δ) Με βάση τα αποτελέσματα του ερωτήματος γ να απεικονιστεί γραφικά σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων η συνάρτηση ( )= 5 3. Υποδείξεις: Τα ερωτήματα γ, δ να απαντηθούν πρώτα στο αρχείο EXCEL και στη συνέχεια να γίνει μεταφορά των απαντήσεων και στο αρχείο Word. Τα υπόλοιπα ερωτήματα να απαντηθούν μόνο στο αρχείο Word. Με χρήση του Excel κατασκευάζουμε την παρακάτω γραφική παράσταση: f(x)=x5-x3 150000 y 100000 50000 x 0-15 -10-5 0-50000 -100000-150000 5 5 10 15
x x x ε) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης: x x x 1 x 3x Εξετάζουμε ποιες τιμές του x μηδενίζουν τους παρονομαστές: x x 0 Διακρίνουσα: b 4 a c ( 1) 4 1 ( ) 9 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: X 1, b ( 1) 9 1 3 1 Οπότε: X1 1 3 1 3 X 1 και, X X 1 Επομένως το τριώνυμο μπορεί να γραφεί: x x ( x )( x 1) Για τον δεύτερο παρονομαστή έχουμε: x 1 0 ( x 1)( x 1) 0 x 1 και x= 1 Για τον τρίτο παρονομαστή προκύπτει: x 3x 0 Διακρίνουσα: b 4 a c ( 3) 4 1 1 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: X 1, b ( 3) 1 3 1 1 Οπότε: X1 3 1 3 1 X 1 και, X X 1 Επομένως το τριώνυμο μπορεί να γραφεί: x 3x ( x )( x 1) Όποτε για x 1,1, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το γινόμενο ( x 1)( x 1)( x ) : 6
x x ( x) ( x 1)( x 1)( x ) ( x 1)( x 1)( x ) ( x 1)( x 1)( x ) ( x )( x 1) ( x 1)( x 1) ( x )( x 1) ( x 1) x ( x ) x ( x 1)( x) x 3 x x 4 x x x x 3 x 4 x x 0 x3 x 3x 0 x( x x 3) 0 x 0 και, x x 3 0 Διακρίνουσα: b 4 a c 4 1 ( 3) 16 0 Επομένως υπάρχουν άνισες πραγματικές λύσεις: X 1, b 16 4 1 Οπότε: 4 X1 1 (απορρίπτεται διότι πρέπει x 1,1, ) και, 4 X X 3 X1 Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι: x 3, 0 Άσκηση 3 (5%) ε) Με τη βοήθεια ενός ραβδογράμματος να παρουσιασθεί: α) το ποσοστό των τιμών του παραγωγού, του μεταποιητή και του καταναλωτή αντίστοιχα είναι μεγαλύτερες ή ίσες από 100 β) το ποσοστό των τιμών του παραγωγού, είναι μεγαλύτερες, μικρότερες ή ίσες με εκείνες του μεταποιητή. Σημειώνεται ότι στον οριζόντιο άξονα θα πρέπει να αναφέρονται τα ποσοστά. Υπόδειξη: Μόνο οι απαντήσεις στο ερώτημα ε να μεταφερθούν από το αρχείο Excel στο αρχείο Word α) CP>100 30,43% PP>100 35,87% ACP>100 0,00% 44,57% 10,00% 0,00% 7 30,00% 40,00% 50,00%
β) ACP=PP 0,00% ACP<PP 4,39% ACP>PP 0,00% 57,61% 10,00% 0,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 70,00% Άσκηση 4 (5%) Το συνολικό κόστος μιας επιχείρησης είναι TC=550 ευρώ όταν η παραγωγή είναι Q=100 τεμάχια και το σταθερό κόστος είναι FC=50 ευρώ. Εάν υποθέσουμε ότι το συνολικό κόστος είναι της μορφής ΤC=FC+b*Q. I. Βρείτε την συνάρτηση του μέσου κόστους AC (κόστος ανά μονάδα παραγωγής ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής). TC FC b Q 550 50 b 100 550 50 b 100 500 b 100 b Οπότε η συνάρτηση του κόστους είναι: TC 50 5 Q 500 b5 100 Η συνάρτηση του μέσου κόστους AC ισούται με: AC TC 50 5Q 50 5Q 50 AC AC AC 5 Q Q Q Q Q II. Εάν η τιμή του προϊόντος είναι P=10 βρείτε την συνάρτηση κερδών της επιχείρησης ως προς Q. (Τα κέρδη συμβολίζονται με Π όπου Π = TR-TC = P*Q-TC). TR TC P Q TC 10Q (50 5 Q) 10Q 50 5Q 5Q 50 8
III. Εάν το συνολικό κόστος με αμετάβλητα το σταθερό κόστος και την παραγωγή μειωθεί σε 450 ευρώ, υπολογίστε την συνάρτηση AC. [5% ] 400 TC FC b Q 450 50 b 100 450 50 b 100 400 b 100 b b 4 100 Οπότε η συνάρτηση του κόστους είναι: TC 50 4 Q Η συνάρτηση του μέσου κόστους AC ισούται με: TC 50 4Q 50 4Q 50 AC AC AC AC 4 Q Q Q Q Q IV. Δημιουργήστε σε ένα φύλλο εργασίας excel έναν πίνακα τιμών του μέσου κόστους ΑC και για τις παραπάνω περιπτώσεις II) και III), για επίπεδα παραγωγής Q=10, 0,, 190, 00. Συγκρίνετε το μέσο κόστος στις δύο περιπτώσεις με την βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης. Με χρήση του Excel προκύπτει ο παρακάτω πίνακας καθώς και το αντίστοιχο γράφημα: Q AC 1 =(50/Q)+5 AC =(50/Q)+4 10 10,00 9,00 0 7,50 6,50 30 6,67 5,67 40 6,5 5,5 50 6,00 5,00 60 5,83 4,83 70 5,71 4,71 80 5,63 4,63 90 5,56 4,56 100 5,50 4,50 110 5,45 4,45 10 5,4 4,4 130 5,38 4,38 140 5,36 4,36 9
1,00 150 5,33 4,33 160 5,31 4,31 170 5,9 4,9 180 5,8 4,8 190 5,6 4,6 00 5,5 4,5 AC1, AC 10,00 8,00 6,00 AC1=(50/Q)+5 4,00 AC=(50/Q)+4,00 0,00 0 50 100 150 00 Q 50 Παρατηρούμε ότι για όλα τα επίπεδα παραγωγής ισχύει AC1>AC V. Aς υποθέσουμε πως οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού δίνονται από Q=300-P+0,004I και Q=3P-50 Όπου Q= Ποσότητα ανά έτος P= Τιμή ανά μονάδα προιόντος I= Μέσο ετήσιο εισόδημα σε ευρώ Να υπολογισθεί η ποσότητα και η τιμή του αγαθού στο σημείο ισορροπίας, αν το μέσο ετήσιο εισόδημα είναι 5000 ευρώ. Για I 5000 η συνάρτηση ζήτησης γίνεται: Q 300 P 0,004 5000 Q 300 P 100 Q 400 P Για το σημείο ισορροπίας εξισώνουμε τη συνάρτηση ζήτησης με τη συνάρτηση προσφοράς: 10
450 400 P=3P 50 400 50 3P+P 450=5P P= 5 P=90 (τιμή ισορροπίας) Αντικαθιστώντας την τιμή P=90 στη συνάρτηση ζήτησης (ή στη συνάρτηση προσφοράς) προκύπτει: Q 400 P Q 400 90 Q 0 (ποσότητα ισορροπίας) 11