ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

Transcript

1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν Α) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση αν + αν α + α0 = 0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. (Μονάδες 0) A) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: (5 Μονάδες) ln θ i. log0 =.. και e =... ii. Η συνάρτηση f() = ln έχει πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το iii. Οι λύσεις της εξίσωσης ημ=ημθ είναι =. όπου κ... ή =.. όπου κ... iv. Αν το πολυώνυμο P() έχει βαθμό μ και το πολυώνυμο Q() έχει βαθμό ν με μ>ν, τότε το πολυώνυμο P()Q() έχει βαθμό. ενώ το πολυώνυμο P()+Q() έχει βαθμό v. Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν.. ημίτονο και οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 έχουν ημίτονο. Θέμα Β Δίνεται η συνάρτηση P() = 6 λ 4 + 4, όπου λ πραγματικός αριθμός και το σημείο Α(-,-9) το οποίο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης P(). Β) Να αποδείξετε ότι λ=. Β) Nα λύσετε την εξίσωση P()=0 και να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P() με τον άξονα y y. (Μονάδες 8+) Β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P() βρίσκεται πάνω από τον άξονα των. (Μονάδες 9)

2 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( + ). Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7) f e > ln e + μετατρέπεται ισοδύναμα στην ανίσωση Γ) Να δείξετε ότι η ανίσωση e e + > 0 την οποία και να λύσετε. (Μονάδες +6) 7 Γ) Να λύσετε την εξίσωση f(ημ) = ln συν +. (Μονάδες 9) Θέμα Δ e + e e e Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() =. Δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Δ) Αφού αποδείξετε ότι g( ln ) = να λύσετε την ανίσωση 4 g() 4. (Μονάδες +5) Δ4) Θεωρώντας γνωστή την ανισότητα α+ που ισχύει για κάθε θετικό πραγματικό α αριθμό α, να λύσετε την εξίσωση f() = συν. (Μονάδες 5) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο Διευθυντής Ο εισηγητής Αλέξανδρος Συγκελάκης

3 Σημείωση: Τις εκφωνήσεις τις βρήκα στο Τις λύσεις τις έκανα εγώ. Αν εντοπίσετε λάθη ή έχετε άλλες παρατηρήσεις παρακαλώ αν μπορέσετε να μου τις επισημάνετε. ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Α A) ΘΕΩΡΗΜΑ(ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση αv ν + αv- ν- + + α + α0 = 0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν o ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε: αvρ ν + αv-ρ ν- + + αρ + α0 = 0 α0 = -αvρ ν - αv-ρ ν- - - αρ α0 = ρ(-αvρ ν- - αv-ρ ν- - - α) Επειδή οι ρ, α, α,, αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και o -αvρ ν- - αv-ρ ν- - - α είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε, ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α0. A) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: (5 Μονάδες) ln θ i. log0 = και e = θ (σχολικό σ 74) ii. Η συνάρτηση = f() ln έχει πεδίο ορισμού το ( ) 0, + και σύνολο τιμών το. Οι λύσεις της εξίσωσης ημ=ημθ είναι =κπ+θ όπου κ ή =κπ+π-θ όπου κ iii. Αν το πολυώνυμο P() έχει βαθμό μ και το πολυώνυμο Q() έχει βαθμό ν με μ>ν, τότε το πολυώνυμο P()Q() έχει βαθμό μ+ν ενώ το πολυώνυμο P()+Q() έχει βαθμό μ. iv. Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο και οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 έχουν αντίθετο ημίτονο.

4 Θέμα Β Δίνεται η συνάρτηση P() = 6 λ 4 + 4, όπου λ πραγματικός αριθμός και το σημείο Α(-,-9) το οποίο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης P(). Β) Να αποδείξετε ότι λ=. Β) Nα λύσετε την εξίσωση P()=0 και να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P() με τον άξονα y y. (Μονάδες 8+) Β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P() βρίσκεται πάνω από τον άξονα των. (Μονάδες 9) Λύση: Β) Οι συντεταγμένες του σημείου Α θα επαληθεύουν τον τύπο της συνάρτησης δηλαδή: P( ) = 9 6( ) λ( ) 4( ) + 4 = 9 6( ) λ = 9 6 λ+ 8= 9 λ = λ = λ = Aρα P() = Β) Αφού το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ακέραιες ρίζες πρέπει να αναζητηθούν στους διαιρέτες του σταθερού όρου του 4.Αυτοί είναι ±, ±, ± 4. Δοκιμάζουμε μία μιά τις τιμές αυτές ώσπου να βρούμε ρίζα: P() = = = 5 0 P( ) = 9 0 (από τα δεδομένα) Για τις μεγαλύτερες τιμές θα χρησιμοποιήσουμε σχήμα Horner για ευκολία στις πράξεις και για να πάρουμε και τους συντελεστές του πηλίκου σε περίπτωση που βρούμε μια ρίζα. Συντελεστές του P() ρ Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Αρα P() = = ( )( 6 + )

5 Bρίσκουμε και τις ρίζες του πηλίκου 6 + (που είναι τριώνυμο): Eίναι α= 6, β=, γ= = β 4αγ = 4 6 = + 48 = 49, β ± ± 49 ± 7 = = = α = = = 7 8 = = = Aρα συνοψίζοντας οι ζητούμενες ρίζες είναι η =, =, = Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P() με τον άξονα y y έχει τετμημένη 0 και για να βρούμε και την τετμημένη θέτουμε στον τύπο της P() όπου =0 και έχουμε: 0 y = P 0 = = 4 Αρα το σημείο τομής είναι το Α(0,4) Β) Tα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P() βρίσκεται πάνω από τον άξονα των βρίσκονται από την λύση της ανίσωσης P() > P() ,, +

6 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( + ). Γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7) f e > ln e + μετατρέπεται ισοδύναμα στην ανίσωση Γ) Να δείξετε ότι η ανίσωση e e + > 0 την οποία και να λύσετε. (Μονάδες +6) 7 Γ) Να λύσετε την εξίσωση f(ημ) = ln συν +. (Μονάδες 9) Λύση: Γ. Πρέπει + > 0 Eίναι α=, β=, γ= = β 4αγ = 4 = 4 = 8 < 0 Aφού η διακρίνουσα του τριωνύμου + είναι αρνητική, (όπως μάθαμε στην Α Λυκείου) το τριώνυμο θα είναι για κάθε τον συντελεστή του Οπότε το πεδίο ορισμού είναι Γ) ομόσημο του α=>0 (με α συμβολίζουμε ) δηλαδή για κάθε θα είναι θετικό. D f = (το D από την λέξη domain) + f e ln e ln e e ln ( e ) > + > + Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα > + > + e e + e e e + e e e e + > 0 e e + > 0 Θέτουμε e = y > 0 (αφού και έχουμε: Πρέπει y + > 0 Eίναι α=, β=, γ= = β 4αγ = 4 = 9 8 = y, β ± ± ± = = = α y β ± ± = = = = = α δεκτή

7 y + 4 = = = δεκτή αφού θετική y + > 0 y < ή y> και επειδή y > 0 τελικά έχουμε 0 < y < ή y> Ομως ο άγνωστός μας είναι ο και όχι ο y. 0 0 < y < 0 < e < 0 < e < e < 0 ln y> e > e > e > ln Aρα συνοψίζοντας λύσεις είναι τα < 0 ή > ln. 7 7 f(ημ) = ln συν + ln ημ ημ = ln συν + Γ) ( + ) 7 + = + ημ ημ συν ημ 4ημ + 6= συν + 7 ημ συν 4ημ + 6 7= 0 ημ ημ 4ημ = 0 ημ + ημ 4ημ = 0 4ημ 4ημ = 0 Θέτουμε ημ = ω.επειδή ημ θα είναι ω Eίναι α = 4, β = 4, γ = = β 4αγ = ( 4) 4 4 ( ) = = 64 β ± 4 ± 64 4 ± 8 ω, = = = α ω = = = Απορρίπτεται γιατί 8 8 > ω = = = 8 8 π π π π ημ = ημ = ημ ημ = ημ = κπ, κ ή = κπ + π, κ π 7π = κπ, κ ή = κπ +, κ. 6 6

8 Θέμα Δ e + e e e Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() =. Δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Δ) Αφού αποδείξετε ότι g( ln ) = να λύσετε την ανίσωση 4 g() 4. (Μονάδες +5) Δ4) Θεωρώντας γνωστή την ανισότητα α+ που ισχύει για κάθε θετικό πραγματικό α αριθμό α, να λύσετε την εξίσωση f() = συν. (Μονάδες 5) Λύση: Δ) Η συνάρτηση f() έχει πεδίο ορισμού το οπότε για κάθε θα ισχύει και. Επιπλέον: ( ) e + e e + e e + e f( ) = = = = f() Αρα η συνάρτηση f() είναι άρτια. Δ) Το πεδίο ορισμού της g() είναι το. Για να δείξουμε ότι η g() είναι γνησίως αύξουσα στο πρέπει (σύμφωνα με τον ορισμό) να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε, με < ισχύει : g ( ) < g ( ) Η e είναι γνησίως αύξουσα < < () e e Η e είναι γνησίως αύξουσα Επίσης < > e > e e < e () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες () και () παίρνουμε: e e ( ) e e e e < e e < g < g Δ) g( ln ) 4 ln ln ln e e e = = = = = = = 4 g( ) γνησίως αύξουσα g() g() g( ln ) ln 4

9 e + e f() = = e + e = e + =, e Δ4) δηλαδή f() για κάθε. Eπειδή συν για κάθε, για να ισχύει f() = συν, πρέπει να βρούμε τα για τα οποία f() = συν = Η ανισότητα α+ α 0 f() = e = e = e = 0 ισχύει ως ισότητα για α= οπότε: Oμως για = 0 είναι και συν = συν 0= Συμπεραίνουμε ότι έχουμε μόνο μια λύση την = 0.