Πανελλαδικές εξετάσεις 2017

Transcript

1 Πανελλαδικές εξετάσεις 7 Ενδεικτικές απαντήσεις στο μάθημα «Μαθηματικά ΟΠ» Θέμα Α Α Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ 36 Α α) Λ β) H συνάρτηση ( ) είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού: ( ) () lim lim είναι συνεχής στο ενώ ( ) () lim lim αλλά δεν Α3 Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ 73 Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα Β Β (, ) (,) (, ) g og g / g( ) / / ( ) (,) Επομένως ορίζεται η συνάρτηση og και ο τύπος της είναι og g( ) ln g( ) ln, (,)

2 Β H συνάρτηση h( ) ln, (,), είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με ' ( ) ( ) h ( ) ln ( ) ( ) (,) άρα η h() 9, άρα η h() είναι - και επομένως υπάρχει η h () y y y y y y h() y ln ( ) y () (ο περιορισμός (,) ικανοποιείται από τη λύση ()) Άρα: h (), R Β3 Η () h () είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων όπως και παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο R ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) άρα 9 στο R και επομένως δεν έχει ακρότατα () (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) () 3 () άρα η φ κυρτή όταν (,], κοίλη όταν [, ) με σημείο καμπής είναι το Α(, ) () + - () σκ (,φ()) Από τα παραπάνω προκύπτει ο πίνακας - () + + () + - () 5 6

3 Β Για τις οριζόντιες ασύμπτωτες υπολογίζουμε το lim () lim άρα y= δηλαδή ο άξονας είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της και lim () lim lim DLH άρα y= είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της C στο + C στο Θέμα Γ Γ Η εφαπτομένη της ( ) (ε):,, στο σημείο της, ( ) y ( ) y ( ) Πρέπει, ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) στο και οπότε και g '( ), για (, ) g '( ) g '( ), έχει εξίσωση: που είναι συνεχής στο (η g παραγωγίσιμη στο (,π) ως πράξεις παραγωγισίμων) (),, με προφανείς ρίζες Η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το g 3

4 g( ) + OΜ - g ( ) 9 Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για Άρα g( ) g() για κάθε Επομένως η εξίσωση Για Και για, η () γίνεται: g ( ) : [, ] y Άρα και, το g() g( ) g ( ) και η ισότητα ισχύει μόνο όταν, έχει μόνο δυο λύσεις στο διάστημα, η () γίνεται: : y τις και και Γ ( ) για Άρα η και κυρτή στο (, ), και επομένως η γραφική της παράσταση βρίσκεται ψηλότερα από τις εφαπτομένες με εξαίρεση τα σημεία επαφής και αντίστοιχα Επομένως για, : ( ) ( ) και ( ) ( ) ( ) E ( ) d d E ( ) E Άρα E E 8

5 Γ3 Είναι ( ) lim lim lim ( ) ( ) Αφού από το ερώτημα Γ έχουμε ( ) ( ) στο (, ) Άρα lim και lim ( ) Γ Από Γ ισχύει: δεν είναι παντού ίσες ( ) ( ) : ( ) ό d d ln Θέμα Δ Δ,,,, 3 /3 /3,,,, ( ),,,, H ( ) συνεχής στο διάστημα, συνεχής ως σύνθεση συνεχών H ( ) συνεχής στο διάστημα (, ) συνεχής ως γινόμενο συνεχών lim ( ) lim ( ) () Άρα η ( ) συνεχής παντού στο πεδίο ορισμού της Στο διάστημα, Στο διάστημα (, ] είναι /3 3 ( ) 3 είναι ( ) (στο διάστημα (, ]: ( ) 3 ) 5

6 Στο : /3 /3 ( ) () /3 lim lim lim lim ( ) () lim lim lim D' HL Αρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως κρίσιμα σημεία της (εκεί που η παράγωγος της μηδενίζεται ή δεν ορίζεται) είναι τα σημεία και 3 Δ - Από ερώτημα Δ είναι - Δεν ορίζεται το - Για (, ) : '() '( ) για (,) 3 3 '( ) ( ), - ( ), (), 3 3, ( ) ln Αποδεικνύουμε: ln ln 3 ln 3 3 ln ln που ισχύει Ο πίνακας μονοτονίας είναι ο παρακάτω: 3 ( ) ( ) ΤΜ 9 OΜ - Άρα η γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και - Η γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3, - Η έχει ολικό ελάχιστο στις θέσεις και την τιμή m 3, 6

7 - Η - Η έχει ολικό μέγιστο στη θέση έχει τοπικό μέγιστο στη θέση 3 την τιμή την τιμή 3 Άρα 3 ( ) [m, ], Δ3 5 g( ) ( ) d d d () Για και για κάθε R, άρα για κάθε [, ] Άρα () d d d τμον όπου -, : d d d d d d ( ) d Δ ( ) () ( 3 ) 8 6 () ( 3 ) 8 6 () 8 ( 3 ) () 6 ( ) ( 3 ) 6 () ( ) ( 3 ) Όμως στο για κάθε 3 η συνάρτηση () παρουσιάζει μέγιστο άρα A και ( 3 ) για κάθε R Άρα η ισότητα ισχύει όταν () ( ) () ( ) 7