Στην αναπαράσταση θέσης, η τυχαία συνοχική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση της μορφής y ( ( Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής, y% (, είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κυματοσυνάρτησης στην αναπαράσταση θέσης, y (, δηλαδή i y% ( ò y ( - ( Αν αντικαταστήσουμε την ( στη (, θα πάρουμε y% ( ò - ò - i i y% ( ò - i (3 Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (3, κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής - ( Οπότε : -, ( <, αφού οι συνοχικές καταστάσεις είναι δέσμιες καταστάσεις Έτσι, το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (3 γράφεται 8//08
i ( - ( i ( - - ( ò- ò - i ( - i ( - ò - - i ( - i ( - ò - - i ( - i ( - - ( - i ( - ( i i ( -, ( όπου χρησιμοποιήσαμε το ολοκλήρωμα ò c, b > 0, b b ( -b - c - όπου, στην περίπτωσή μας, -c - i ( - Þ c i( - Επομένως - ( - ò- ( - i ( - i i - ( (5 Αν αντικαταστήσουμε την (5 στην (3, θα πάρουμε 8//08
y% ( i i i i ( - ( - i ( i ( i i ( - i i % y ( - ( (6 i Η ποσότητα είναι μια σταθερή μιγαδική φάση, που μπορούμε να παραλείψουμε, αφού δεν επηρεάζει το φυσικό περιεχόμενο της κυματοσυνάρτησης y% ( (συμμετρία φάσης. Επίσης, είναι mw mw 0 Έτσι, η (6 γράφεται i y% ( - ( 0 0 3 (7 8//08
Η (7 είναι η κυματοσυνάρτηση της τυχαίας συνοχικής κατάστασης στον χώρο των ορμών. Παρατηρήστε την ομοιότητα των εκφράσεων (7 και (. Με εξαίρεση το αντίθετο πρόσημο στο πρώτο εκθετικό, η (7 προκύπτει από την ( αν αντικαταστήσουμε την κλίμακα μήκους με την κλίμακα ορμής και τη μέση τιμή της θέσης/ορμής με τη μέση τιμή της ορμής/θέσης. Μπορούμε, με τον τρόπο που ορίσαμε τις κυματοσυναρτήσεις των συμπιεσμένων καταστάσεων στην κυματοσυναρτήσεις αναπαράσταση στην θέσης, αναπαράσταση να ορίσουμε ορμής, δηλαδή τις αντίστοιχες κάνοντας τον μετασχηματισμό 0 0, όπου > 0 είναι τώρα η παράμετρος συμπίεσης στην αναπαράσταση ορμής. Έτσι, από την (7 θα πάρουμε i y% ( ; - ( 0 0 (8 Η (8 είναι η κυματοσυνάρτηση της τυχαίας συμπιεσμένης κατάστασης στην αναπαράσταση ορμής, για αρμονικό ταλαντωτή με κλίμακα ορμής 0. Όταν 0, y% ( ; : d ( -, οπότε η συμπιεσμένη κατάσταση γίνεται ιδιοκατάσταση της ορμής. Είναι η περίπτωση όπου στην αναπαράσταση θέσης. Η ομοιότητα των κυματοσυναρτήσεων που περιγράφουν τις συνοχικές καταστάσεις στις αναπαραστάσεις θέσης και ορμής οφείλεται στην ομοιότητα των εκφράσεων του τελεστή καταστροφής στις αναπαραστάσεις θέσης και ορμής. Πράγματι, αν χρησιμοποιήσουμε τις κλίμακες μήκους και ορμής του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής καταστροφής γράφεται mw i i mw mw mw i 0 8//08
i 0 (9 Στην αναπαράσταση θέσης, όπου και -i d, η (9 γράφεται d d d 0 d Αν εισάγουμε την αδιάστατη μεταβλητή u, η τελευταία ισότητα γράφεται d u du (0 Στην αναπαράσταση ορμής, όπου i d και, η (9 γράφεται d i d d d i i 0 i 0 d 0 0 d 0 Η σταθερή μιγαδική φάση i μπορεί να παραλειφθεί. Αν εισάγουμε την αδιάστατη μεταβλητή w 0, η τελευταία ισότητα γράφεται d w dw ( Οι (0 και ( είναι, αντίστοιχα, οι εκφράσεις του τελεστή καταστροφής στις αναπαραστάσεις θέσης και ορμής, και όπως βλέπουμε, είναι ίδιες. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstn@otmil.com 5 8//08