Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + β = 0. Ρίζα ή λύση της εξίσωσης ονομάζεται κάθε αριθμός που την επαληθεύει αν α 0 τότε. αx + β = 0 { αν α = β τότε. αν α = 0 και β 0 τότε.. Α. Επίλυση Εξισώσεων 1 ου Βαθμού Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 1 1ο. Απαλείφουμε τους παρονομαστές 2ο. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις 3ο. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 4ο. Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων 5ο. Αν ο συντελεστής του άγνωστου όρου είναι διάφορος τους μηδενός διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου όρου Να λυθεί η εξίσωση: 3 2x 3 = 1 1 x 4 8 Απ: x= 5

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Αδύνατη Εξίσωση 2 Μια εξίσωση της μορφής: 0 x = a, με α 0 είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει καμία λύση ( ρίζα ) Υποδειγματική Άσκηση 2 Να λυθεί η εξίσωση: x 1 x = 2x 2x 7 2 4

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 3 Ταυτότητα Μία εξίσωση της μορφής 0 x = 0 είναι ταυτότητα, δηλαδή την επαληθεύει κάθε πραγματικός αριθμός x Υποδειγματική Άσκηση 3 Να λυθεί η εξίσωση: x + 3 x = 1 + 2x 3 3

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 4 Μεθοδολογία Όταν ο αριθμός x 0 είναι λύση της εξίσωσης, τότε αντικαθιστώ όπου x με x 0 και καταλήγω σε κάτι που ισχύει Όταν ο αριθμός x 0 ΔΕΝ είναι λύση της εξίσωσης (δηλαδή δεν την επαληθεύει), τότε αντικαθιστώ όπου x με x 0 και καταλήγω σε κάτι που αδύνατο Υποδειγματική Άσκηση 4 Δίνεται η εξίσωση: x 6 94 + x 2 x 94 x 98 = + 98 6 2 α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 100 είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης β. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 50 δεν είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης γ. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Β. Κλασματικές Εξισώσεις 5 Μεθοδολογία 1ο. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές 2ο. Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών 3ο. Παίρνουμε περιορισμούς (πρέπει και αρκεί το ΕΚΠ 0) 4ο. Απαλείφουμε τους παρονομαστές 5ο. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις 6ο. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 7ο. Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων 8ο. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι διάφορος του μηδενός διαιρούμε και δύο της μέλη με το συντελεστή του αγνώστου 9ο. Συναληθεύουμε με τους περιορισμούς που έχουμε θέσει στο βήμα 3 Υποδειγματική Άσκηση 5 Να λυθεί η εξίσωση: 1 x + 2 x 10 = x 2 x 2 2x x + 2 x Απ: x = 3

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Όταν από μία κλασματική εξίσωση καταλήγουμε σε μία εξίσωση της μορφής 0 x = 0, τότε λέμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από αυτούς που εξαιρέσαμε στους περιορισμούς Υποδειγματική Άσκηση 6 Να λυθεί η εξίσωση: 1 3(x 1) x x 2 3x = 2 3 x 6 Απ: Ισχύει για κάθε x 0 και x 3

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Υποδειγματική Άσκηση 7 7 Να λυθεί η εξίσωση: 4 x 2 4 = x + 1 x + 2 x x 2 Απ: Αδύνατη

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Γ. Εξισώσεις που λύνονται με τη βοήθεια παραγοντοποίησης 8 Μεθοδολογία 1ο. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος 2ο. Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος 3ο. Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία α β = 0 α = 0 ή β = 0 Υποδειγματική Άσκηση 7 Να λυθεί η εξίσωση: (x 2) 2 (2 x)(4 + x) = 0 Σε περίπτωση που δεν παραγοντοποιείται το πρώτο μέλος και παρατηρώ τετράγωνα, προσπαθώ να προσθαφαιρέσω ότι χρειάζομαι ώστε να δημιουργήσω τέλεια τετράγωνα με σκοπό να χρησιμοποιήσω την Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία α 2 + β 2 = 0 α = β = 0 Υποδειγματική Άσκηση 8 Να λυθεί η εξίσωση: (x 5) 2 + (2x + 46) 2 = 0

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Υποδειγματική Άσκηση 9 9 Να λυθεί η εξίσωση: x 2 + y 2 + 5 = 2x + 4x Δ. Εξισώσεις με απόλυτες τιμές Περίπτωση Α(x) = κ Υποδειγματική Άσκηση 10 Αν κ > 0 τότε: Α(x) = κ Α(x) = κ ή Α(x) = κ Αν κ = 0 τότε: Α(x) = 0 Α(x) = 0 Να λυθεί η εξίσωση: 2 2x 2 5 = 5 3 Αν κ < 0 τότε: Η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι Α(x) 0 για κάθε x R

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Ισχύει: x = x για κάθε x R x x 0 = x 0 x για κάθε x R Υποδειγματική Άσκηση 11 Να λυθεί η εξίσωση: 9 + 2 2x 4 1 = 7 2x 4 10

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Περίπτωση Α(x) B(x) = 0 A(x) = B(x) Μια εξίσωση που μπορεί να πάρει τη μορφή A(x) = B(x) Α(x) = B(x) ή Α(x) = B(x) Υποδειγματική Άσκηση 12 Να λυθεί η εξίσωση: 2x 5 = x 3 11 Υποδειγματική Άσκηση 13 Να λυθεί η εξίσωση: x + 1 3x 2 = 0 4 6 Απ: x = 7 3 ή x = 1 9

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Περίπτωση Α(x) = B(x) 1ο. Παίρνουμε περιορισμούς για Β(x) 0 2ο. Λύνουμε Α(x) = B(x) ή Α(x) = B(x) 3ο. Εξαιρούμε τις ρίζες που δεν ανήκουν στο σύνολο που ορίζεται η εξίσωση Υποδειγματική Άσκηση 14 Να λυθεί η εξίσωση: x x 13 = 13 12 Απ: x 13 Υποδειγματική Άσκηση 15 Ισχύει x 2 = x Να λυθεί η εξίσωση: 5 + x 2 6x + 9 = 3x Απ: x = 2

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Ε. Παραμετρικές εξισώσεις 1 ου βαθμού 13 Παραμετρική εξίσωση 1 ου βαθμού ονομάζεται η εξίσωση της οποίας ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές της εκφράζεται με τη βοήθεια παραμέτρου ( π.χ. λ ) Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 16 1ο. Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή αx = β 2ο. Παραγοντοποιούμε τους συντελεστές α και β ( οι οποίοι Να λυθεί η εξίσωση: λ 2 (x + 1) = ( 1 λx) Για τις διάφορες τιμές του λ R είναι παραστάσεις που περιέχουν την παράμετρο ) 3ο. Λύνουμε την εξίσωση α=0 4ο. Για τις τιμές που προέκυψαν από το βήμα (3) διερευνούμε την παραμετρική εξίσωση: Για α = 0 Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση είναι αδύνατη ή ταυτότητα. Για α 0 η παραμετρική εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = β α Απ: Για λ 0 και λ 1, μοναδικη λύση x = λ+1 λ Για λ = 0, αδύνατη Για λ = 1, ταυτότητα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 14 ΣΤ. Προσδιορισμός Παραμέτρων Υποδειγματική Άσκηση 17 Δίνονται οι εξισώσεις: 4 3 x 7 = x + 9 (1) 2 9 λ x 2 x 1 3x λ = (2) 7 2 Να βρείτε τον αριθμό λ R ώστε οι εξισώσεις (1) και (2) να έχουν κοινή λύση

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Υποδειγματική Άσκηση 18 15 Δίνεται η εξίσωση (λ 2 1)x = 2(λ 1)(λ + 2) Να βρείτε τη τιμή του λ R ώστε η εξίσωση να έχει λύση την x = 2

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α. 16 1) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3(x 1) + 4(x 2) = 5 ii) 3(x + 1) (2 + x) = 3 + 2(x 2) iii) 5(2x + 3) 3(2x 1) = x + 2 iv) 1 [x (x 1)] = 2x + 3 v) x [2x 3(x 1)] = 2 2) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (3x 1) 2 (3x + 1) 2 = 24 ii) (3x + 1) 2 1 = (3x 2)(3x + 2) iii) (x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 4) iv) (x + 1) 2 + (x + 2) 2 = (x 1) 2 + (x 2) 2 v) (3 x) 2 3(2x 1) = 3(x 2) 2 2[(x 1)(x + 2) = 3x] 3) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 1 3 + x 3 = x + 1 6 2 ii) 3x 10 + x 5 = x 5 2 1 iii) 3x + 2 + x 1 = 5 4 3 iv) x 5 3 + x 1 2 + x + 2 = 1 4 v) 1 3x 5 2(1 + 3x) + = 7 3 15 vi) x 2 3 + 11 12 = 1 2x 4 vii) x + 6 3 + x + 1 = x + 5 2 viii) 7x + 4 x = 3x 5 5 2 ix) x + 4 3 x 4 = 2 + 3x 1 5 15 x) x 1 23 x + = 7 4 + x 7 5 4

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β. 17 4) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x x 1 = 1 x 2 x ii) x + 1 x 1 = x 1 x + 1 iii) x + 1 x 2 1 + 2 x 2 2x + 1 = 0 2 iv) x 5 = 2x 1 x 2 25 6 v) x + 2 + x + 2 2 x = x2 4 x 2 1 vi) x + 1 2 x = 3 x 2 + x vii) x + 1 x 3 x 1 x + 3 = 8x x 2 9 1 viii) x 2 x = x + 2 x 1 x + 1 x ix) x + 5 x + 1 = x + 6 x 2(x + 3) x 2 + x 1 x) (x 2)(x 1) 1 (x + 2)(x 1) = 1 x 2 4 xi) 1 x + 1 2 x = 3 x 2 + x xii) x + 1 x 3 x 1 x + 3 = 8x x 2 9 4 xiii) x + 2 + 3x x 2 + 3x2 8 4 x 2 = 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Γ. 5) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 3 + x 2 9x 9 = 0 ii) x 3 x 2 4x + 4 = 0 iii) (x 1) 2 (x + 1) 16x 16 = 0

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος iv) (x 2)(2x + 1) = (x 2)(x + 3) v) (2x + 1) 2 (x 3) = (2x + 1)(x 3) 18 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Δ. 6) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5x 2 = 8 ii) x 3 4 = 0 iii) ( x 1)( x 3) = 0 iv) 2x + 1 = 0 v) 4x 3 + 7 = 0 vi) x + 3 + 5 = 0 vii) 2( x 5 3) = 4 viii) 3 x 2 1 2 x + 1 + 6 ix) = 3 2 x) 2 5 3x 1 9 = 4 = 1 7) Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 x 3 + 1 3( x 3 1) i) x 3 = 3 4 5 x 2 2 x 2x 4 3 ii) = 4 3 3 x 2 2 x 2x 4 3 iii) = 2 3 3 d(x, 3) + 1 2 x 3 + 1 iv) + 2 3 x 1 v) d(x, 1) = 3x + 3 2 2 = 5 x2 6x + 9 2 8) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3x 1 = x 2 ii) 4x 3 2 x + 1 = 0 iii) d(x, 2) = 3x 5

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος iv) 2x 4 = (x + 1) 2 v) 3x 2 = 4x 2 4x + 1 19 vi) x2 6x + 9 x 1 vii) 9x2 6x + 1 x = 1 = 2 viii) x 2 2x = x 2 2x + 2 ix) x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x 1 x) 4x 2 4x + 1 x 2 10x + 25 = 0 xi) x 2 x + 2 = x 2 4x + 4 9) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3x 2 = x ii) x + 1 = 2x 1 iii) x 1 = 2x 2 iv) 3x + 1 = x 2 1 v) 3x 2 = x + 2 vi) x 2 4x + 4 = 2x 3 vii) 16x 2 16x + 1 = x + 2 viii) d(4x, 1) = x + 2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε. 10) Δίνεται η εξίσωση λ x = x + λ 2 1, με παράμετρο λ R. i. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: (λ 1)x = (λ 1)(λ + 1), λ R ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. iii. Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 11) Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του λ R

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος i) (λ 4)x = λ 4 ii) (λ 3)x = λ + 1 iii) λ(x 1) = x iv) (λ 2 λ)x = λ 1 v) (λ + 2) (λ 5)x = λ 5 vi) (λ 2 1)x + 2λ 3 = λ 2 + 3(x 1) vii) (λ 2 1)x = λ 2 + λ viii) λ 2 (x 1) = 2(λ + 2x) 20 12) Αν η εξίσωση μ 2 (x 1) = 2(2x μ), μ R είναι ταυτότητα, τότε: i. Να βρείτε την τιμή του μ. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μ 2 (x 1) μ(5x 1) + 6x είναι αδύνατη. 13) Δίνονται οι εξισώσεις λx = 3λ 2 (1) και (λ 2 λ)x = λ + 4 (2). i) Να δείξετε ότι αν η (1) είναι ταυτότητα τότε η (2) είναι αδύνατη. ii) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο το ερωτήματος (i) 14) Δίνεται η εξίσωση λ (x 1) + 4 = μ (x + 1) Να βρείτε τα λ, μ ώστε η εξίσωση να είναι: i) Ταυτότητα ii) Αδύνατη 15) Δίνεται η εξίσωση : με παράμετρο λ R λ x + 1 λ 1 = 1 x x λ (1) i) Να βρείτε το σύνολο Α των τιμών του x για το οποίο ορίζεται η παραπάνω εξίσωση. ii) Να δείξετε ότι για κάθε x R η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα: 2λx = λ 2 λ

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος iii) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο σύνολο Α 21 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 16) i) Να λύσετε την εξίσωση: (x 1) 3 + (3 2x) 3 + (x 2) 3 = 0, (1) ii) Αν β είναι η μικρότερη ρίζα της (1), τότε να λύσετε την εξίσωση: β x 1 + a x 2 = 0 για τις διάφορες τιμές του αριθμού α R 17) Δίνεται ο αριθμός: i) Να αποδείξετε ότι α = 8 ii) Για α = 8, να λύσετε την εξίσωση: 5 α = 3 2 2 4 2 ( 72 + 18 50) x 3 a 2 3 + 1 3 (x a1 3 x 3 ) = 0 18) Δίνεται η εξίσωση: α (x 1) = 4 i) Αν α > 0, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση x 0 για την οποία ισχύει: x 0 9 a + 1 ii) Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η εξίσωση να έχει ακέραιες ρίζες.

Κεφάλαιο 3.2 Η Εξίσωση x ν = α Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α 22 Α. Επίλυση Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 1 Η εξίσωση x ν = α, με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς μια λύση, την α Η εξίσωση x ν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς δύο λύσεις, τις α ν και α Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς μια λύση, την α Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση x ν = α ν, με ν N, έχει προφανή λύση τη x = a, προκύπτει ότι: Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει μοναδική λύση της x = a Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει δύο λύσεις τις x 1 = a και x 2 = a Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 3 = 1 27 ii) x 4 = 16 iii)x 3 = 27 iv) x 6 = 59049

Κεφάλαιο 3.2 Η Εξίσωση x ν = α Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Εξισώσεις που λύνονται με παραγοντοποίηση 23 Υποδειγματική Άσκηση 2 Να λύσετε τις εξισώσεις: i)2x 3 = 8x Απ: x = 0 ή x = ±2 ii)x 6 = 81x 2 Απ: x = 0 ή x = ±3 5x(x 3 5) = 2x(2x 3 + 1) Απ: x = 0 ή x = 3

Κεφάλαιο 3.2 Η Εξίσωση x ν = α Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος Β. Εξισώσεις που λύνονται με αντικατάσταση 24 Υποδειγματική Άσκηση 2 Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις θεωρούμε την παράσταση που Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (2x 2 10) 4 2 12 = 0 περιέχει τη δύναμη ως έναν όρο Απ: x = ±3 ή x = ±1 ii) ( 2x + 5 1) 4 81 = 0 Απ: x = 1 2 ή x = 9 2

Κεφάλαιο 3.2 Η Εξίσωση x ν = α Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α. 25 1) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 3 5 = 0 ii) x 3 = 1 iii) x 5 = 1 iv) x 3 + 64 = 0 v) x 5 = 32 vi) x 5 + 32 = 0 vii) 64x 3 + 125 = 0 viii) 2x 5 64 = 0 ix) 27x 3 1 = 0 x) 2x 4 162 = 0 xi) x 2 16 = 0 xii) x 2 = 9 xiii) x 4 = 64 xiv) x 2 12 = 0 xv) x 4 81 = 0 xvi) x 6 64 = 0 xvii) 625x 4 16 = 0 xviii) x 4 = 1 16 xix) x 6 + 2019 = 0 xx) x 4 = 2019 2018 xxi) x 3 = 9 17 9 + 17 2) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 4 + 37x = 0 ii) 7x 7 7x 3 = 0 iii) x 3 2x = 0 iv) x 4 8x = 0 v) x 10 = 32x 5 vi) 81x 8 16x 4 = 0 vii) 64x 9 + 27x 3 = 0 viii) (x + 2) 6 8(x + 2) 3 = 0 ix) x 3 (x 3 + 30) = 3x 3 x) x 6 + x 4 16x 2 16 = 0

Κεφάλαιο 3.2 Η Εξίσωση x ν = α Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος xi) x 6 x 5 + 32x 32 = 0 xii) x 6 + 4x 4 2x 2 8 = 0 xiii) x 5 2x 3 2x 2 + 4 = 0 26 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β. 3) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( x 2 3) 3 = 8 ii) ( 2x 1 6) 3 + 27 = 0 iii) ( 3 x 5) 4 = 16 iv) (3x 4 46) 3 = 8 v) (x 4 + 2) 4 81 = 0 vi) (2x 3 13) 3 27 = 0 vii) (x + 2) 4 8(x + 2) = 0 viii) (2x + 1) 5 = 81(2x + 1) ix) 2(3x 1) 8 + 2 22 (1 3x) = 0 x) 25(x 1) 7 = 5 14 (x 1) 4) Δίνονται οι αριθμοί: ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και i) Να δείξετε ότι α = 3 και β = 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση: α = 3 3 12 3 12 + 3 4 β = 3 8 2 2 2 8 2 x 7 + β 3 2 x 4 x a = 8 5) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β με : i) Να δείξετε ότι α = 2 και β = 3 α 5 32 + β 3 + 9α + 81 1 2 = 0 ii) Να λύσετε την εξίσωση: x + a = ax + β

3.3 Εξισώσεις 2 ου βαθμού 26 Εξίσωση δευτέρου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση, που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αx 2 + βx + γ = 0, α 0. Για την επίλυση μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα Δ = β 2 4αγ. Εάν Δ > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες β ± Δ x 1,2 = 2α Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση έχει μία διπλή πραγματική ρίζα x 0 = β 2α Αν Δ < 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη ( δηλαδή δεν έχει πραγματικές ρίζες ) Α. Επίλυση Εξίσωσης 2 ου Βαθμού Μεθοδολογία Η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, α 0 έχει διακρίνουσα Δ = β 2 4αγ Εάν Δ > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες x 1,2 = β ± Δ 2α Υποδειγματική Άσκηση 1 Να λύσετε τις εξισώσεις: i)2x 2 + 7x + 6 = 0 Απ: x = 3 ή x = 2 2 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 26

Αν Δ = 0, τότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα ii)4x 2 + 12x + 9 = 0 27 x 0 = β 2α Απ: x = 3 2 Αν Δ < 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη iii) 2x 2 + 6x 11 = 0 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 27

Απ: αδύνατη Β. Εξίσωση της Μορφής αx 2 + γ = 0, α 0 28 Μεθοδολογία Οι εξισώσεις της μορφής αx 2 + γ = 0, με α 0 έχουν β = 0 και μπορούν να λυθούν με διακρίνουσα όπως η κατηγορία Α. Λύνονται πιο απλά με: Υποδειγματική Άσκηση 2 Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3x 2 + 12 = 0 αx 2 + γ = 0 αx 2 = γ x 2 = γ α Εάν γ α 0, τότε x = ± γ a Απ: x = ±2 ii) 3x 2 27 = 0 Εάν γ < 0, τότε είναι α αδύνατη Απ: αδύνατη Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 28

29 Γ. Εξίσωση της Μορφής αx 2 + βx = 0, α 0 Μεθοδολογία Οι εξισώσεις με μορφής αx 2 + βx = 0, με α 0 έχουν γ= 0 και μπορούν να λυθούν με διακρίνουσα όπως η κατηγορία Α. Λύνονται πιο απλά με: αx 2 + βx = 0 x(ax + β) = 0 x = 0 ή ax + β = 0 Υποδειγματική Άσκηση 3 Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 2 x 2 8 x = 0 x = 0 ή x = β α Απ: x = 0 ή x = 2 ii) 3 x 2 27 x = 0 Απ: x = 0 ή x = 3 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 29

30 Δ. Πλήθος Ριζών Παραμετρικής Εξίσωσης 2 ου βαθμού Μεθοδολογία Για την εύρεση πλήθους ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, βρίσκω τη διακρίνουσα και διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημό της Υποδειγματική Άσκηση 3 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: x 2 (2λ 4)x λ(3 λ) = 0 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 30

31 Υποδειγματική Άσκηση 3 Σχόλιο: Μπορεί να χρειαστεί να διακρίνουμε περιπτώσεις για το συντελεστή του x 2 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: (λ 3)x 2 + 2(λ 1)x + λ + 3 = 0 Απ: Αν λ < 5 και λ 3, Δ>0 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 31

Αν λ = 5, Δ=0 Αν λ > 5, Δ<0 Αν λ = 3, τότε 1 ρίζα 32 Ε. Επίλυση Παραμετρικής Εξίσωσης 2 ου Βαθμού Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 4 Εάν ο συντελεστής του x 2 είναι διάφορος του μηδενός, τότε λύνουμε με τη βοήθεια της διακρίνουσας Δίνεται η εξίσωση αx 2 + (a 2 1)x a = 0 με α 0. i) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι Δ = (α 2 + 1) 2 ii) Να βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Απ: x 1 = 1 a ή x 2 = a Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 32

33 Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 5 Αν ο συντελεστής του x 2 είναι παράμετρος, χωρίς περιορισμούς, τότε παίρνω περιπτώσεις 1ο. Για α = 0, η εξίσωση γίνεται Να λύσετε την εξίσωση: λx 2 (λ 2)x 2 = 0 για τις διάφορες τιμές του λ R 1 ου βαθμού 2ο. Για α 0, λύνω με τη βοήθεια της διακρίνουσα, όπως στην προηγούμενη περίπτωση Απ: Αν λ = 0, τότε x = 1 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 33

Αν λ 0 τότε x = 1 ή x = 2 λ 34 ΣΤ. Προσδιορισμός Παραμέτρου Υποδειγματική Άσκηση 6 Την εξίσωση: x 2 (4λ 12)x + λ 2 12 = 0 την επαληθεύει ο αριθμός 2 i) Να βρείτε τον αριθμό λ R ii) Να αποδείξετε ότι το 2 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 34

35 Ζ. Τύποι Vieta Μεθοδολογία Για να υπολογίσουμε παραστάσεις που περιέχουν ρίζες, μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, τις οποίες δεν μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπος Vieta, S = x 1 + x 2 = β α P = x 1 x 2 = γ α Και προσπαθούμε να εκφράσουμε τη ζητούμενη παράσταση συναρτήσει των παραπάνω τύπων Χρήσιμες ταυτότητες α 2 + β 2 = (α + β) 2 2αβ α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ) α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) Υποδειγματική Άσκηση 6 Δίνεται η εξίσωση: x 2 3x + 1 = 0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Αν x 1,x 2 είναι οι παραπάνω ρίζες, τότε να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων a) x 1 + x 2 β) x 1 x 2 γ) x 1 2 + x 2 2 δ) x 1 3 + x 2 3 ε) 1 + 1 x 1 x 2 στ) x 1 + x 2 x 2 x 1 ζ)x 2 2 1 x 2 + x 1 x 2 η) x 1 x 2 Όταν έχουμε ρίζες ή απόλυτα στην παράσταση Α, μπορεί να χρειάζεται να υπολογίσουμε πρώτα το Α 2 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 35

36 Απ: α) 3, β) 1 γ) 7 δ) 18, ε) 3 στ) 7, ζ) 3 η) Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 36

37 Η. Κατασκευή εξίσωσης 2 ου βαθμού με τους τύπους Vieta Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 7 Όταν γνωρίζουμε τις ρίζες x 1, x 2, με τη βοήθεια των τύπων Vieta, μπορούμε να βρούμε εξίσωση 2 ου βαθμού αντικαθιστώντας x 2 Sx + P = 0 Να βρείτε εξίσωση 2 ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς i) 3 και 5 ii) 3 + 2 και 2 3 iii) μ και 2μ Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 37

38 Υποδειγματική Άσκηση 8 Έστω x 1 και x 2 οι ρίζες τις εξίσωσης x 2 3x 1 = 0. Να βρείτε εξίσωση 2 ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς 2x 1 και 2x 2 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 38

39 Θ. Τύποι Vieta και σχέση μεταξύ ριζών Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 9 Η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, έχει Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η Αντίθετες ρίζες, όταν ισχύει Δ 0 και S = β α = 0 Αντίστροφες ρίζες, όταν Δ 0 και P = γ α = 1 Ομόσημες ρίζες, όταν Δ 0 και P > 0 Ετερόσημες ρίζες, όταν P < 0 Σχόλιο: Αρκεί Ρ < 0, διότι γ α < 0 τότε εξίσωση x 2 + (λ 7)x + λ 6 = 0 έχει: i) Μία διπλή ρίζα ii) Δύο ρίζες αντίστροφες iii) Δύο ρίζες αντίθετες iv) Δύο ετερόσημες ρίζες v) Δύο θετικές ρίζες vi) Δύο αρνητικές ρίζες οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι, άρα σίγουρα Δ 0 Θετικές ρίζες, όταν Δ 0, Ρ > 0 και S > 0 Αρνητικές ρίζες, όταν Δ 0, Ρ > 0 και S < 0 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 39

40 Απ: α) λ=5,β) λ=5, γ) λ=7, δ) λ>6 ε) για κανένα λ, στ) λ<6 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 40

41 Ι. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2 ου βαθμού Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 9 Σε εξισώσεις της μορφής α Κ 2 (x) + β Κ(x) + γ = 0 Θέτουμε Κ(x) = w, οπότε η εξίσωση γίνεται: α w 2 + β w + γ = 0 και λύνουμε με τη βοήθεια διακρίνουσας Να λύσετε την εξίσωση: ( x 2 x 4 ) x x 4 2 = 0 Στο τέλος, αντικαθιστώ όπου w = Κ(x) λύνω ως προς x και προκύπτουν οι λύσεις Σχόλιο: Δε ξεχνάω να σημειώσω τυχόν περιορισμούς ως προς x Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 41

Απ: x = 8 ή x = 2 42 Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 10 Σε εξισώσεις της μορφής α Κ 2 (x) + β Κ(x) + γ = 0 χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Κ 2 (x) = K(x) 2 και μετατρέπεται σε α Κ (x) 2 + β Κ(x) + γ = 0 Ύστερα θέτω K(x) = w 0 οπότε η εξίσωση γίνεται: α w 2 + β w + γ = 0 και λύνουμε με τη βοήθεια Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 2 + x + 6 = 0 ii) 3x 2 + 5x 2 = 0 διακρίνουσας Στο τέλος, αντικαθιστώ όπου w = Κ(x) λύνω ως προς x και προκύπτουν οι λύσεις Ισχύουν: x = θ x = ±θ, με θ > 0 x = 0 x = 0 x = θ αδύνατη με θ < 0 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 42

Απ: i) x = ±3, ii) x = ±1 43 Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 11 Σε εξισώσεις της μορφής α Κ 2ν (x) + β Κ ν (x) + γ = 0 Θέτουμε Κ ν (x) = w, οπότε η εξίσωση γίνεται: α w 2 + β w + γ = 0 και λύνουμε με τη βοήθεια διακρίνουσας Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 4 5x 2 + 6 = 0 ii)x 6 9x 3 + 8 = 0 iii)x x = 20 Στο τέλος, αντικαθιστώ όπου w = Κ ν (x) λύνω ως προς x και προκύπτουν οι λύσεις Σχόλιο: η εξισώσεις της μορφής α x 4 + β x 2 + γ = 0 Λέγονται διτετράγωνες και με βάση την παραπάνω μεθοδολογία θέτω x 2 = w 0 Υπενθύμιση: Η εξίσωση x ν = α, με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς μια λύση, την α Η εξίσωση x ν = α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς δύο λύσεις, τις α ν και α Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ν ακριβώς μια λύση, την α Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 43

Από τα παραπάνω συμπεράσματα και από το γεγονός ότι η εξίσωση x ν = α ν, με ν N, έχει προφανή λύση τη x = a, προκύπτει ότι: 44 Αν ο ν περιττός, τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει μοναδική λύση της x = a Αν ο ν άρτιος, τότε η εξίσωση x ν = α ν έχει δύο λύσεις τις x 1 = a και x 2 = a Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 44

Απ: i) x = ± 2, ii) x = 1, iii)x = 25 45 Κ. Κλασματικές Εξισώσεις Μεθοδολογία Υποδειγματική Άσκηση 9 1ο. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές 2ο. Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών 3ο. Παίρνουμε περιορισμούς (πρέπει και αρκεί το ΕΚΠ 0) 4ο. Απαλείφουμε τους παρονομαστές 5ο. Εκτελούμε τις πράξεις και επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει 6ο. Συναληθεύουμε με τους περιορισμούς Να λύσετε την εξίσωση: 1 3 x + 2 = 6 x 2 + 2x Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 45

Απ:x = 3 46 Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 46

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α. 56 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 2x 2 +7x-9 = 0 ii. x 2 +x +10 = 0 iii. x 2 7x + 12 = 0 iv. x 2 + 2x 3 = 0 v. x 2 + 2x + 8 = 0 vi. x 2 + 5x 6 = 0 vii. x 2 + 6x + 5 = 0 viii. x 2 4x + 4 = 0 ix. x 2 3x + 4 = 0 x. x 2 + 6x + 9 = 0 xi. x 2 + 5x + 7 = 0 xii. 2x 2 + 6x + 1 = 0 xiii. x 2 ( 5 + 2)x + 10 = 0 xiv. 2x 2 + 8x 10 = 0 xv. 9x 2 6x + 1 = 0 xvi. 2x 2 5x + 3 = 0 xvii. 3x 2 5x + 4 = 0 xviii. 3x 2 + 5x 2 = 0 xix. 2x 2 + 7x + 6 = 0 xx. 2x 2 + x + 1 = 0 1 xxi. 9 x2 2 x 3 = 0 3 1 xxii. 2 x2 3x + 4 = 0 xxiii. 4x 2 + 4x + 1 = 0 xxiv. 9x 2 12x + 4 = 0 xxv. x 2 + 2x + 2 = 0 xxvi. 3x 2 x + 1 = 0 xxvii. x 2 3ax 4a 2 = 0 xxviii. x 2 + 8ax + 15a 2 = 0 xxix. (x + β)(x β) + αβ = αx xxx. αβx 2 (a + β)x + 1 = 0, aβ 0 xxxi. 0,3x 2 + 0,9x 3 = 0 xxxii. 0,1x 2 + x 2,5 = 0

2. Να λύσετε την εξίσωση: αx 2 + 4x 1 = 0, a 0 αν είναι γνωστό ότι έχει διακρίνουσα Δ = 4 57 3. i) Να λύσετε την εξίσωση 3x 2 5x + 2 = 0 ii) Θεωρούμε τους αριθμούς α, β με α β για τους οποίους ισχύει: 3α 2 5αβ + 2β 2 = 0 α. Να δείξετε ότι β 0 και να βρείτε το λόγο α β β. Να δείξετε ότι ο αριθμός β είναι ρίζα της εξίσωσης: α 2x 2 5x + 3 = 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. x 2 25 = 0 ii. 2x 2 1 = 0 iii. x 2 16 = 0 iv. 2x 2 18 = 0 v. 2x 2 + 8 = 0 vi. 4x 2 9 = 0 vii. 9x 2 + 25 = 0 viii. 36 16x 2 = 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Γ. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 2 + 5x = 0 ii) x 2 + 3x = 0 iii) 2x 2 8x = 0 iv) 3x 2 + 12x = 0 v) 4x 2 16x = 0 vi) 5x 2 30x = 0

vii) 3x 2 3x = 0 viii) 3x 2 27x = 0 ix) ( 2 1)x 2 ( 2 1)x = 0 x) (3 + 2 2)x 2 (3 2 2)x = 0 58 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Δ. 6. Για τις διάφορες τιμές τις παραμέτρου λ R να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: i. x 2 + (λ 2)x λ = 0 ii. λx 2 3x λ = 0 iii. λx 2 4x + 2 = 0 iv. λx 2 (3λ + 1)x + 2(λ + 1) = 0 v. λx 2 + (1 4λ)x + 3λ 3 = 0 vi. λ 2 x 2 +2x +1= 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε. 7. Για τις διάφορες τιμές τις παραμέτρου λ R να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 2 2λx + λ 2 1 = 0 ii) x 2 (λ 5)x 5λ = 0 iii) x 2 (2λ + 1)x + λ 2 + λ 6 = 0 iv) x 2 (λ 2)x λ + 1 = 0 v) x 2 16ax + 4a 2 4 = 0 vi) x 2 4ax + 3a 2 2aβ β 2 = 0 vii) αx 2 (1 2αβ)x 2β = 0, α 0 viii) λμx 2 (λ 2 + μ 2 )x + λμ = 0, λ, μ 0 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΣΤ.

8. Δίνεται ότι η εξίσωση x 2 + (2λ 1)x + λ 2 3 = 0 έχει ρίζα το -3. Να βρείτε: i. Τον αριθμό λ R ii. Την άλλη ρίζα της εξίσωσης 59 9. Δίνεται ότι η εξίσωση x 2 + λx + λ 2 7 = 0 έχει ρίζα το -2. Να βρείτε: i. Τις τιμές του λ R ii. Για κάθε τιμή του λ που προέκυψε, να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης 10. Δίνεται ότι η εξίσωση x 2 + (λ 3)x λ + 6 = 0 έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Να βρείτε: i. Τις τιμές του λ R ii. Για κάθε τιμή του λ που προέκυψε, να βρείτε την διπλή πραγματική ρίζα 11. Δίνεται η εξίσωση x 2 + λx + λ 1 = 0, λ R i. Nα αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα για κάθε λ R. ii. Να βρείτε την τιμή του λ R για την οποία η παραπάνω εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα. Ποια ρίζα είναι αυτή? 12. Δίνεται η εξίσωση x 2 +4x +2λ= 0 Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ R, ώστε η εξίσωση: i. Να έχει δύο άνισες ρίζες. ii. Να έχει μια διπλή ρίζα. iii. Να είναι αδύνατη στο R 13. Να βρείτε τις τιμές του λ R, για τις οποίες η εξίσωση x 2 2λx + λ 2 λ + 1 = 0

i. Έχει δύο ρίζες άνισες ii. Έχει διπλή ρίζα iii. Έχει πραγματικές ρίζες iv. Δεν έχει καμία πραγματική ρίζα. 60 14. Η εξίσωση λx 2 (λ 1)x 1 = 0 έχει διακρίνουσα 4. i. Να βρείτε τις τιμές του λ R ii. Για τη μικρότερη τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την παραπάνω εξίσωση 15. Η εξίσωση (λ 3 + 10)x 2 + (2λ 3 + 4)x + μ 2 + 4μ + 22 = 0 έχει διπλή ρίζα το 3. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ζ. 16. Έστω η εξίσωση x 2 2x 2 = 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις, τις x 1, x 2 ii) Να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) x 1 + x 2 β) x 1 x 2 1 γ) + 1 x 1 x 2 δ) x 2 2 1 + x 2 ε) x 1 3 + x 2 3 στ) x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 ζ) x 1 x 2 + x 2 x 1 η) (2x 1 1)(2x 2 1) θ) x 1 x 2 17. Έστω η εξίσωση 2x 2 4x + 1 = 0 i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις, τις x 1, x 2 ii) Να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων:

α) x 1 + x 2 β) x 1 x 2 γ) 1 + 1 + 1 x x 2 x 1 x 2 1 δ) x 2 + 1 1 x 2 2 ε) (2x 1 1) 100 (2x 2 1) 100 στ) x 3 3 1 + x 2 ζ) x 3 1 x 2 2 + x 2 3 1 x 2 61 18. Δίνεται η εξίσωση x 2-2λx +4(λ 1)= 0 με παράμετρο λ R i. Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ R. iii. Αν x 1, x2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x 1 + x 2 = x 1 x 2 19. Δίνεται η εξίσωση: x 2 5λx 1 = 0, με παράμετρο λ R. i. Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ R, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές ii. και άνισες. Αν x 1, x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: α) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ IR, για τις οποίες ισχύει: (x 1 + x 2 ) 2 18 7(x 1 x 2 ) 24 = 0 β) Για λ=1, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A = x 1 2 x 2 3x 1 + 4 3x 2 + x 1 x 2 2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ζ. 20. Να σχηματίσετε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: i. x 1 = 4, x 2 = 3 ii. x 1 = 4, x 2 = 1 2 iii. x 1 = 1, x 2 = 2 iv. x 1 = 1 3 2, x 2 = 1 + 3 2 21. Δίνονται οι αριθμοί A = 1 3 7, B = 1 3 + 7

i. Nα δείξετε ότι Α + Β = 3 και Α Β = 1 2 ii. Να κατασκευάσετε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες του 62 αριθμούς Α, Β. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Θ. 22. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η εξίσωση x 2 + 4x + λ + 2 = 0 να έχει: i. μια διπλή πραγματική ρίζα ii. iii. iv. δύο ρίζες ετερόσημες δύο ρίζες αρνητικές δύο ρίζες θετικές v. δύο ρίζες αντίστροφες 23. θεωρούμε την εξίσωση x 2 (2α + 1)x + α 1 = 0 με α R Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζες: i. αντίθετες ii. αντίστροφες 24. θεωρούμε την εξίσωση x 2 + 4x + λ 6 = 0 με λ R Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζες: i. ομόσημες ii. ετερόσημες 25. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση x 2 6x 3(2 λ) = 0 έχει ρίζες: i. ομόσημες

ii. ετερόσημες 63 26. Να βρείτε για ποιές τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση x 2 + (λ 5)x λ + 4 = 0 έχει: i. μια διπλή ρίζα ii. iii. iv. δύο ρίζες αντίστροφες δύο ρίζες αντίθετες δύο ετερόσημες ρίζες v. δύο θετικές ρίζες vi. δύο αρνητικές ρίζες 27. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση x 2 + (λ 7)x + λ 6 = 0 έχει: i. μια διπλή ρίζα ii. iii. iv. δύο ρίζες αντίστροφες δύο ρίζες αντίθετες δύο ετερόσημες ρίζες v. δύο θετικές ρίζες vi. δύο αρνητικές ρίζες ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ I. 28. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. x 2 + 2 x 3 = 0 ii. x 2 6 x + 8 = 0 iii. x 2 + 5 x + 4 = 0 iv. 2x 2 5 x 3 = 0 v. 3x 2 + 10 x 8 = 0 vi. 3x 2 5 x 2 = 0

vii. x 2 4 = 3 x viii. x 2 = 8 2 x ix. 4 x 3 = x 2 x. 3 x = x 2 10 xi. 2x 2 = x + 10 xii. 3x 2 + x 2 = 3( x + 1) xiii. (x + 1) 2 + x + 1 2 = 0 xiv. (2x 1) 2 8 2x 1 = 15 xv. (x 1) 2 4 = 3 x 1 xvi. (x 5) 2 3 5 x 10 = 0 xvii. (x 3) 2 + 5 3 x = 6 xviii. 5 (2x 1) 2 = 4 1 2x xix. x 2 + 4x 5 = 0 xx. x 2 5x + 6 = 0 xxi. x 2 + 6x = 40 xxii. x 2 3x + 2 = 0 xxiii. x 2 x = 20 xxiv. 2(x 3)(x + 3) + 9 x = 0 xxv. 3x = (2 x)(2 + x) xxvi. 9 x = (2x 3)(2x + 3) xxvii. (x 2) 2 = 7 x + 1 x(x + 4) xxviii. (x 1) 2 8 = x (x + 1) 2 64 29. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. x 4 5x 2 + 4 = 0 ii. x 4 8x 2 9 = 0 iii. x 4 + 7x 2 = 10 iv. x 4 5x 2 + 6 = 0 v. x 4 5x 2 + 4 = 0 vi. 4x 4 17x 2 + 4 = 0 vii. 9x 4 37x 2 + 4 = 0 viii. x 6 + 7x 3 8 = 0 ix. x 6 16x 3 + 64 = 0 x. x 6 x + 8 = 0 xi. x 4 x + 3 = 0 30. Δίνεται ο αριθμός

α = 3 3 2 2 3 + 2 i. Να βρείτε τον αριθμό α. ii. Για α=5 να λύσετε την εξίσωση: (x 3) 4 α(x 3) 2 + 4 = 0 65 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ K. ix) 31. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) x 1 3 ii) x + 6 x = 7 = 1 x + 1 iii) x + 2 3x = 1 x 2 iv) x + 3 2 v) vi) vii) = 4x x 3 x (x 1) 2 + 2x 1 1 x 2 = 3 x + 1 2x x 1 11 x + 1 = 4 x 2 1 4x x 2 x = 4 x 2 1 x x + 1 viii) x + 1 x 3 x 3x 9 = 1 2 (1 1 x 3 ) 6 x 2 + 2x x 1 x 2 x = 1 x) x + 2 x 1 7 x 2 x = x + 3 x 2 + 3x xi) xii) xiii) x 5x 20 x + 2 x 2 4x = 14 x 2 + 2x 7 x 2 1 + 8 x 2 2x + 1 = x2 + 10x + 5 x 3 x 2 x + 1 2 x 2 4 + 1 2x x 2 + x 4 x 2 + 2x = 0