Χρόνος (ρολόι) Προσομοίωσης

Χρόνος (ρολόι) Προσομοίωσης Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων ΚΕΦ. 1.4-1.6 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 1

ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Η προσομοίωση ανάλογα με το στόχο της μπορεί να διακριθεί σε 3 τύπους: Διερεύνησης-διερευνητική προσομοίωση: Για τον έλεγχο των σχέσεων μεταξύ των επιμέρους υποσυστημάτων και την κατανόηση της συμπεριφοράς ενός συστήματος στις λεπτομέρειες. Σύγκρισης-συγκριτική προσομοίωση: Για τον έλεγχο εναλλακτικών πολιτικών και διαμορφώσεων (τρόπων λειτουργίας) ενός συστήματος. Πρόβλεψης-προσομοίωση πρόβλεψης: Για την πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς και βέλτιστης λειτουργίας ενός συστήματος. Οι 3 τύποι με την σειρά που αναφέρονται είναι και τα λογικά βήματα της προσομοίωσης ενός συστήματος. Ξεκινάμε από την διερεύνηση, ώστε να κατανοήσουμε τη λειτουργία και συμπεριφορά, συνεχίζουμε με έλεγχο για την επίδραση διαφόρων αλλαγών στο σύστημα, καταλήγουμε στο να μπορούμε να προβλέψουμε τη μελλοντική συμπεριφορά και να το Βελτιστοποιήσουμε. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2

ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι το σύστημα είναι η αποθήκη μιας εισαγωγικής εταιρείας η οποία δραστηριοποιείται στον τομέα των ανταλλακτικών και αναλώσιμων μηχανών γραφείου. Διερεύνησης-διερευνητική προσομοίωση: Περιγραφή του μηχανισμού λειτουργίας της αποθήκης. Ποσότητες παραγγελίας από προμηθευτές, στοκ, κόστος έλλειψης, διαδικασία εξυπηρέτησης πελατών, μορφή ζήτησης, διαχείριση παραγγελιών, κλπ. Στόχος ο εντοπισμός του τρόπου λειτουργίας και των λεπτομερειών του συστήματος. Σύγκρισης-συγκριτική προσομοίωση: Για τον έλεγχο εναλλακτικών πολιτικών και διαμορφώσεων (τρόπων λειτουργίας) της αποθήκης. Το μέγεθος των παραγγελιών στους προμηθευτές, αποθηκευτικού χώρου, εκπτώσεις ποσοτήτων, διαχείριση στοκ, οργάνωση εργασίας προσωπικού, σύγκριση εναλλακτικών λύσεων σε προμηθευτές, εναλλακτικές αποστολής παραγγελιών σε πελάτες, κλπ. Πρόβλεψης-προσομοίωση πρόβλεψης: Για την πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς και βέλτιστης λειτουργίας της αποθήκης. Επιλέγοντας τα επιθυμητά χαρακτηριστικά από τις συγκρίσεις των εναλλακτικών καταλήγουμε στην επιθυμητή διαμόρφωση της λειτουργίας και μπορούμε να προβλέψουμε την επιθυμητή συμπεριφορά. Με την διαδοχική εφαρμογή των παραπάνω θα καταλήξουμε στη Βελτιστοποίηση της λειτουργίας της αποθήκης με βάση επιθυμητά κριτήρια (ταχύτητα εξυπηρέτησης, κέρδος, κόστος, κλπ). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 3

Κατάσταση Συστήματος Προσομοίωσης Το σύνολο των τιμών ορισμένων μεταβλητών που είναι απαραίτητες για να περιγράψουν το σύστημα κάθε χρονική στιγμή, σύμφωνα με τους σκοπούς της μελέτης, ονομάζεται κατάσταση του συστήματος (state) τη δεδομένη χρονική στιγμή. Παραδείγματα: Στο σύστημα εξυπηρέτησης μιας τράπεζας οι μεταβλητές μπορεί να είναι ο αριθμός των υπαλλήλων που εξυπηρετούν, το μέγεθος κάθε ουράς (ή της κοινής ουράς). Σε ένα τερματικό σταθμό αεροδρομίου η κατάσταση του συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί με μεγάλο πλήθος μεταβλητών: Αριθμός επιβατών στο κτίριο, αριθμός επιβατών στο έλεγχο εισιτηρίων, αριθμός επιβατών στο έλεγχο ασφαλείας, αριθμός ελεγκτών, αριθμός επιβατών σε κάθε έξοδο, αριθμός αεροπλάνων που αναμένουν, αριθμός επιβατών στον κάθε χώρο παραλαβής-παράδοσης αποσκευών, Στη διασταύρωση 2 δρόμων που η κυκλοφορία ελέγχεται με φανάρια οι μεταβλητές είναι το μέγεθος των ουρών αυτοκινήτων στις 2 κατευθύνσεις ή αν έχουμε δυνατότητα στροφής σε 6 (!) κατευθύνσεις. Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο εξυπηρέτησης οι πελάτες σε αναμονή, ο αριθμός των υπαλλήλων που εξυπηρετούν, ο αριθμός των απασχολημένων υπαλλήλων κάθε χρονική στιγμή, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4

ΣΤΑΤΙΚΑ-ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στα συστήματα που προσομοιώνουμε συνήθως είναι σημαντικός παράγοντας η διαχείριση του χρόνου. Δυναμικά Συστήματα: Όταν οι μεταβλητές που εκφράζουν την κατάστασή του αλλάζουν στο χρόνο και εξαρτώνται από αυτόν. Παραδείγματα: Στο σύστημα εξυπηρέτησης τράπεζας το μέγεθος της ουράς είναι αναμενόμενο να μεταβάλλετε συνεχώς και να εξαρτάται από το χρόνο (από τις αφίξεις νέων πελατών και από τις αναχωρήσεις εξυπηρετούμενων πελατών στη διάρκεια του χρόνου (ρολογιού προσομοίωσης). Το σύστημα των φαναριών ρύθμισης κυκλοφορίας σε μια διασταύρωση ( ). Γενικότερα όλα τα συστήματα που περιλαμβάνουν ουρές αναμονής είναι δυναμικά. Στατικά Συστήματα: όταν ο χρόνος δεν επηρεάζει το σύστημα. Παραδείγματα: Στο παιχνίδι με τα 2 ζάρια και το κέρδος του παίκτη, ο χρόνος δεν επηρεάζει γιατί στο «σύστημα» δεν προσδιορίζουμε (δεν χρειάζεται) πότε «ρίχνουμε» τα ζάρια. Απλά «προσομοιώνουμε» ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων (επαναλήψεων) του παιχνιδιού. Η προσομοίωση σε στατικά συστήματα είναι γνωστή ως προσομοίωση Monte-Carlo. Στις επόμενες διαφάνειες παρουσιάζονται 3 διαφορετικά συστήματα ως αναλυτικά παραδείγματα ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5

Παράδειγμα 1.7:ΕΚΑΒ Το ΕΚΑΒ αποτελείται από υπηρέτες (οχήματα, προσωπικό) και πελάτες (ασθενείς). Οι υπηρέτες είναι τα ασθενοφόρα μαζί με το προσωπικό τους (σύνθετη οντότητα) βρίσκονται σε ετοιμότητα και οι «πελάτες» είναι οι ασθενείς που καλούν τηλεφωνικά για εξυπηρέτηση. Οι πελάτες «καταφθάνουν» (με ένα τηλεφώνημα συνήθως) ή αποχωρούν (όταν έχει ολοκληρωθεί η διακομιδή) και η κατάσταση του συστήματος αλλάζει με βάση αυτά τα 2 γεγονότα. Όταν κάποιος ασθενής καλέσει το κέντρο, εισέρχεται σε (εικονική) ουρά αναμονής μέχρι να καταφθάσει το ασθενοφόρο. Ο ασθενής παραλαμβάνεται και εισέρχεται στη διαδικασία εξυπηρέτησης, ενώ ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι ο χρόνος μεταφοράς στο νοσοκομείο. Με την ολοκλήρωση της μεταφοράς, πλήρωμα και ασθενοφόρο καθίστανται αδρανείς (αν δεν υπάρχει «ουρά») ή ξεκινούν αμέσως τη διαδικασία εξυπηρέτησης άλλης κλήσης (επόμενου πελάτη). Καθώς ο χρόνος «τρέχει», οι μεταβλητές κατάστασης είναι το τρέχον πλήθος των ασθενών σε αναμονή (μήκος της ουράς), το τρέχον πλήθος των πληρωμάτων που είναι απασχολημένα. Οι μεταβλητές περιγράφουν το σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή και κάθε αλλαγή στην τιμή τους αλλάζει και την κατάσταση του συστήματος. Για να πραγματοποιηθεί αλλαγή στην κατάσταση του συστήματος, πρέπει να συμβεί τουλάχιστον 1 γεγονός που προκαλεί κάτι τέτοιο (π.χ. μια νέα τηλεφωνική κλήση). Το σύστημα είναι δυναμικό γιατί, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, διάφορα γεγονότα συμβαίνουν (π.χ. άφιξη τηλεφωνικής κλήσης, παραλαβή ασθενούς, ολοκλήρωση διακομιδής) τα οποία μεταβάλλουν τις τιμές των παραπάνω μεταβλητών. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 6

Παράδειγμα 1.8: Κέντρο Υπολογιστών Παν/μίου Στο κέντρο υπολογιστών ενός πανεπιστημίου, υπάρχει ένα κοινόχρηστο εργαστήριο με διαθέσιμους υπολογιστές για μαθήματα (εργαστήρια) και εξάσκηση (ελεύθερη χρήση). Ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε έναν φοιτητή. Χρησιμοποιεί έναν υπολογιστή για υπολογισμούς σε ένα φύλλο εργασίας στα πλαίσια μιας εργασίας. Την εκφώνηση της εργασίας την έχει τυπωμένη μπροστά του. Μεταφέρει στοιχεία από την εκφώνηση στον υπολογιστή και γράφει εντολές υπολογισμού και λαμβάνει αποτελέσματα. Τα αποτελέσματα αυτά μεταφέρονται σε ένα tablet που έχει μαζί του και έχει συγχρονίσει με το φύλλο εργασίας στον υπολογιστή μέσω του dropbox στο cloud. Ο φοιτητής περνά στοιχεία από την εκφώνηση της εργασίας στον υπολογιστή, εκτελεί υπολογισμούς και λαμβάνει αποτελέσματα τα οποία μεταφέρονται στο tablet μέσω συγχρονισμού. Οι πιθανές καταστάσεις (δραστηριότητες) είναι «ο φοιτητής πληκτρολογεί δεδομένα», «πραγματοποιούνται υπολογισμοί», «μεταφέρονται δεδομένα στο tablet». Το σύστημα, δηλαδή, το σύνολο φοιτητής εκφώνηση εργασίας υπολογιστής tablet cloud, αποτελεί μέρος ενός ευρύτερου συστήματος που είναι το εργαστήριο και ονομάζεται υποσύστημα του συστήματος «εργαστήριο». Αν υποθέσουμε ότι ο φοιτητής βρίσκεται στο εργαστήριο επειδή διεξάγεται ένα μάθημα, τότε ο διδάσκων μαζί με τις σημειώσεις και το διδακτικό του υλικό αποτελούν ένα άλλο υποσύστημα που αλληλοεπιδρά με το υποσύστημα του φοιτητή (στην περίπτωση αυτή, η εκφώνηση είναι εργαστηριακή άσκηση του μαθήματος). Ο κεντρικός εξυπηρετητής (server) του εργαστηρίου αποτελεί και αυτός με τη σειρά του ένα άλλο υποσύστημα. Όλα τα παραπάνω υποσυστήματα συναποτελούν το ευρύτερο σύστημα «διδασκαλία του μαθήματος Α στο εργαστήριο Πληροφορικής». Αυτό με τη σειρά του αποτελεί υποσύστημα ενός προγράμματος σπουδών, κλπ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 7

Παράδειγμα 1.9: Σταθμός ΚΤΕΛ Σε ένα σταθμό υπεραστικών λεωφορείων (ΚΤΕΛ), πλήθος υπαλλήλων ασχολούνται με τις κρατήσεις, την έκδοση εισιτηρίων και την παροχή πληροφοριών. Τα αιτήματα για έκδοση εισιτηρίων ή για παροχή πληροφοριών γίνονται από τους πελάτες προσωπικά και τηλεφωνικά, καθημερινά από τις 07:00 μέχρι τις 22:00. Ο ρυθμός της ζήτησης για τέτοιες υπηρεσίες δεν είναι όμοιος όλες τις ώρες της ημέρας, δηλαδή, παρουσιάζει εποχικότητα και ώρες αιχμής. Η ζήτηση δεν είναι όμοια τις ίδιες ώρες για διαφορετικές ημέρες. Η κατάσταση του συστήματος μεταβάλλεται καθώς εξελίσσεται ο χρόνος. Οι πελάτες που έρχονται προσωπικά έχουν προτεραιότητα έναντι αυτών που χρησιμοποιούν το τηλέφωνο για να επικοινωνήσουν. όταν κάποιος έρχεται αυτοπροσώπως αν υπάρχει αδρανής υπάλληλος, εξυπηρετείται αμέσως. Αν όλοι οι υπάλληλοι είναι απασχολημένοι, τότε ο πελάτης μπαίνει στην ουρά αναμονής. Υπάρχει και 2 η ουρά αναμονής (εικονική) των τηλεφωνικών κλήσεων. Όταν καταφθάνει μια τηλεφωνική κλήση, αν υπάρχει αδρανής υπηρέτης εξυπηρετείται αμέσως, διαφορετικά μπαίνει στην ουρά αναμονής των κλήσεων και περιμένει αλλά με χαμηλότερη προτεραιότητα σε σχέση με τους πελάτες που εμφανίζονται αυτοπροσώπως. Έχουμε ένα σύστημα εξυπηρέτησης με ουρές αναμονής και διαφορετικές προτεραιότητες (πειθαρχία). Οι μεταβλητές κατάστασης θα μπορούσαν να είναι το πλήθος των υπαλλήλων που είναι διαθέσιμοι, ο υπάλληλος που είναι αδρανής και διαθέσιμος ή ενεργός (κατάσταση του υπηρέτη), ή ακόμη το τρέχον μήκος της ουράς αναμονής. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 8

ΔΙΑΚΡΙΤΑ-ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στα συστήματα που προσομοιώνουμε συνήθως είναι σημαντικός παράγοντας η διαχείριση του χρόνου. Ανάλογα με το πότε συμβαίνει η αλλαγή κατάστασης του συστήματος: Ένα σύστημα ονομάζεται διακριτό (discrete) αν οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του αλλάζουν σε διακριτές χρονικές στιγμές. Οι μεταβολές στην κατάσταση του συστήματος καταγράφονται σε διακριτές χρονικές στιγμές. Διακριτό γεγονός (discrete event) μια στιγμιαία αλλαγή στην κατάσταση του συστήματος που συμβαίνει σε διακριτή χρονική στιγμή. Η προσομοίωση ενός συστήματος διακριτών γεγονότων ονομάζεται διακριτή προσομοίωση (discrete event simulation). Ένα σύστημα ονομάζεται συνεχές (continuous) αν οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν την κατάστασή του αλλάζουν σε χρονικές στιγμές που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή εντός του συνόλου των (θετικών) πραγματικών αριθμών. Στην πτήση ενός αεροσκάφους η πορεία, το ύψος, η στιγμιαία ταχύτητα καταγράφονται σε ένα γράφημα ως συνεχής καμπύλη. Η προσομοίωση συνεχών συστημάτων ονομάζεται συνεχής προσομοίωση (continuous simulation). Η συνεχής προσομοίωση χρησιμοποιεί (ή μιμείται) συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις για την αναπαράσταση ενός συνεχώς μεταβαλλόμενου συστήματος. Η διάκριση των δυναμικών συστημάτων σε διακριτά και συνεχή στηρίζεται στον τρόπο με τον οποίο ενημερώνονται οι μεταβλητές κατάστασης σε σχέση με την παράμετρο του χρόνου. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 9

ΔΥΝΑΜΙΚΑ-ΣΤΑΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ένα σύστημα του οποίου η κατάσταση μεταβάλλεται με βάση την παράμετρο του χρόνου ονομάζεται δυναμικό (dynamic) και μπορεί να είναι συνεχές (continuous) ή διακριτό (discrete). Ένα σύστημα το οποίο δεν είναι ούτε συνεχές ούτε διακριτό ονομάζεται στατικό (static), δηλαδή, η κατάστασή του δεν εξαρτάται από την παράμετρο του χρόνου. Ως προς τη διαχείριση της μεταβλητότητας, τα συστήματα διακρίνονται σε προσδιοριστικά και στοχαστικά (πιθανοκρατικά): Ένα σύστημα ονομάζεται προσδιοριστικό (deterministic) αν τα αποτελέσματα που προκύπτουν στην έξοδο του (output), όταν αυτό τροφοδοτηθεί με συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων εισόδου και κάποιες αρχικές συνθήκες, είναι γνωστά και πάντα τα ίδια για δεδομένες τιμές των παραμέτρων. Δηλαδή, για γνωστή αρχική κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα και για συγκεκριμένη είσοδο στοιχείων (input), το σύστημα οδηγείται πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα (output) π.χ. στη μέθοδο Simplex γραμμικού προγραμματισμού Ένα σύστημα ονομάζεται στοχαστικό (stochastic) αν τα αποτελέσματα που προκύπτουν στην έξοδο του, όταν αυτό τροφοδοτηθεί με κάποιες συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων εισόδου και κάποιες αρχικές συνθήκες, δεν είναι γνωστά αλλά καθορίζονται με βάση κάποιο πιθανοθεωρητικό νόμο εξαιτίας της τυχαιότητας που υπάρχει. Δηλαδή, τα αποτελέσματα προκύπτουν από τις τιμές κάποιων τυχαίων μεταβλητών ένα σύστημα θεωρείται προσδιοριστικό ή στοχαστικό ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στην είσοδο και την έξοδο του συστήματος. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 10

Παράδειγμα 1.10: Μέθοδος Monte-Carlo Πρόβλημα εκτίμησης με τη μέθοδο Monte Carlo. θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν μιας λίμνης για την οποία έχουμε αεροφωτογραφία που έχει ακανόνιστο σχήμα το περίγραμμα της. Μπορούμε να διαχωρίσουμε την επιφάνεια σε μικρότερα μέρη (πλέγματος) και να εκτιμήσουμε προσεγγιστικά το εμβαδόν της επιφάνειας. Εναλλακτικά, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Τοποθετούμε το περίγραμμα της επιφάνειας σε ένα ορθογώνιο πλέγμα το οποίο αποτελείται, έστω από 100 μονάδες σε μήκος και 100 σε ύψος. Δηλαδή, το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 10.000 τετραγωνικές μονάδες. Τοποθετούμε το ορθογώνιο σε ορθοκανονικό άξονα συντεταγμένων. Με τυχαίο τρόπο, παράγεται ένα ζεύγος συντεταγμένων μεταξύ του 1 και του 100 για το μήκος και μεταξύ του 1 και του 100 για το ύψος (η παραγωγή του ζεύγους των συντεταγμένων γίνεται με γεννήτρια τυχαίων αριθμών, έτσι ώστε κάθε συντεταγμένη που παράγεται να είναι ανεξάρτητη από την προηγούμενη και ταυτόχρονα όλες να είναι ισοπίθανες). Αν το τυχαίο σημείο που προκύπτει περιέχεται μέσα στην λίμνη, αυτό θεωρείται «επιτυχία» ειδάλλως, θεωρείται «αποτυχία». Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αυτό n φορές (το n αρκετά μεγάλο) και ας υποθέσουμε ότι έχουμε m επιτυχίες. Τότε, αν συμβολίσουμε με E το ζητούμενο εμβαδόν, θα ισχύει ότι lim (n ) (m/n)=e/10000. Για αρκετά μεγάλο n, το παραπάνω όριο p=m/n είναι η πιθανότητα επιτυχίας p της κατανομής Bernoulli για το επαναλαμβανόμενο πείραμα. Προκύπτει ότι E = 10000 p =10000*m/n είναι το εμβαδό της λίμνης. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 11

Προσομοίωση Ανθρώπου Μηχανής Η προσομοίωση που βασίζεται στο ανθρώπινο στοιχείο ονομάζεται προσομοίωση ανθρώπου μηχανής (man machine simulation) δηλ. με συμμετοχή του ανθρώπινου παράγοντα στο μοντέλο. η προσομοίωση που πραγματοποιείται για εκπαιδευτικούς σκοπούς ο ανθρώπινος παράγοντας συμμετέχει ως αναπόσπαστο τμήμα του συνόλου Η χρονική στιγμή των γεγονότων (η λήψη αποφάσεων κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης) λαμβάνονται από τον άνθρωπο (εκπαιδευόμενο) και αποτελούν την είσοδο για το πρόγραμμα (μοντέλο). Τέτοιου είδους προσομοιώσεις ονομάζονται και παιχνίδια υπολογιστή στα οποία ο ανθρώπινος παράγων είναι ο παίκτης. Βασικό στοιχείο τους είναι ότι είναι διαλογικά - διαδραστικά περιβάλλοντα (interactive), δηλαδή, έχουν δυνατότητες άμεσης επικοινωνίας με τον παίκτη. Ο παίκτης καθορίζει τις χρονικές στιγμές των γεγονότων της προσομοίωσης με τις «αντιδράσεις» του ή τις τιμές των μεταβλητών. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 12

Προσομοίωση Στοχαστικών Διακριτών Συστημάτων Η προσομοίωση στον υπολογιστή πρακτικά αφορά Στοχαστικά Διακριτά Συστήματα. απαιτεί την παραγωγή και τη χρήση τυχαίων αριθμών από διάφορες στατιστικές κατανομές. στηρίζεται στη Στατιστική Συμπερασματολογία εξαιτίας της στοχαστικότητας (τυχαιότητας). Η μοντελοποίηση της συμπεριφοράς ενός διακριτού στοχαστικού συστήματος, η μεταφορά του μοντέλου σε πρόγραμμα στον υπολογιστή μέσω μιας γλώσσας προγραμματισμού/προσομοίωσης ή ενός κατάλληλου περιβάλλοντος και η στατιστική ανάλυση των δεδομένων που προκύπτουν στην έξοδο καθορίζουν το πλαίσιο της διαδικασίας που ονομάζεται προσομοίωση στοχαστικών διακριτών συστημάτων. Στον υπολογιστή η προσέγγιση οποιουδήποτε συστήματος (διακριτού ή συνεχούς) είναι αναγκαστικά διακριτή. Παράδειγμα: Αν παρακολουθούμε (αναπαριστούμε) στον υπολογιστή το γέμισμα ενός ποτηριού με νερό στη βρύση, αυτό είναι στην πραγματικότητα συνεχές σύστημα (συνεχής ροή), αλλά το αναπαριστούμε στον υπολογιστή με διαδοχικές εικόνες που όσο μικρότερα είναι τα διαδοχικά χρονικά διαστήματα τόσο καλύτερη είναι η εικόνα (αναπαράσταση) του συστήματος ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 13

Παράμετρος Χρόνου Προσομοίωσης Μοντέλα προσομοίωσης στοχαστικών συστημάτων διακριτών γεγονότων (discrete event stochastic systems simulation). Συστήματα που θεωρούμε ότι η κατάστασή τους μεταβάλλεται σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές επειδή συμβαίνουν κάποια γεγονότα. Το τμήμα της προσομοίωσης διακριτών γεγονότων που είναι υπεύθυνο για τον έλεγχο της ροής του χρόνου της προσομοίωσης ονομάζεται μηχανισμός ροής του χρόνου ή ρολόι της προσομοίωσης (simulation clock). Η χρονική στιγμή κατά την οποία λαμβάνουν χώρα τα διάφορα διακριτά γεγονότα καταχωρείται σε μια μεταβλητή, τη μεταβλητή του ρολογιού (clock time). Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι διαχείρισης του ρολογιού, οι 2 βασικές είναι: μέθοδο του επόμενου γεγονότος (next event method, event paced, critical event method) μέθοδο του σταθερού χρονικού διαστήματος (fixed increment time method, time advance method). Σύμφωνα με την πρώτη μέθοδο, το σύστημα παρατηρείται (ελέγχεται και καταγράφεται το περιεχόμενο των μεταβλητών κατάστασής του) καθώς προχωράει από γεγονός σε γεγονός, δηλαδή όταν συμβαίνει κάποιο γεγονός. Η διαδικασία τερματίζεται όταν ικανοποιείται κάποιο κριτήριο τερματισμού. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 14

Μέθοδος Επόμενου Γεγονότος (Next Event Method) 1) Η μεταβλητή του ρολογιού καθορίζει τη χρονική στιγμή που θα συμβεί οποιοδήποτε επόμενο γεγονός και το ρολόι της προσομοίωσης προχωρά σ αυτήν τη χρονική στιγμή, προσπερνώντας όλον τον ενδιάμεσο χρόνο κατά τον οποίο δεν συμβαίνει τίποτα. 2) Το σύστημα ενημερώνεται και αλλάζει κατάσταση σε σχέση με τις αλλαγές που συνεπάγονται εξαιτίας του επόμενου γεγονότος (μεταβλητές κατάστασης). Επίσης παράγεται και ο χρόνος που μεσολαβεί μέχρι το επόμενο γεγονός όπως π.χ. η επόμενη άφιξη σε μια ουρά αναμονής. Οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες θα συμβούν τα επόμενα γεγονότα καταγράφονται στο ημερολόγιο των γεγονότων. Οι πληροφορίες (π.χ. το τρέχον μήκος της ουράς μετά το συμβάν, ο χρόνος αναμονής ενός πελάτη του οποίου έρχεται τώρα η σειρά μετά το γεγονός της αναχώρησης εκείνου που εξυπηρετούνταν κ.λπ.) καταγράφονται σε κατάλληλες μεταβλητές, ώστε να πραγματοποιηθεί στο τέλος η στατιστική επεξεργασία για την εξαγωγή συμπερασμάτων. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 15

Μέθοδος Σταθερού Χρονικού Διαστήματος 1) Η μεταβλητή του ρολογιού αυξάνει κάθε φορά σταθερά κατά ένα αρκούντως «μικρό» και σταθερό χρονικό διάστημα, Δt (ώστε να μην μπορούν να συμβούν γεγονότα «ενδιάμεσα»). 2) Το σύστημα ενημερώνεται και αλλάζει κατάσταση σε σχέση με τη μετάβαση στη νέα χρονική στιγμή t+δt, εντοπίζοντας ποια γεγονότα μεσολάβησαν κατά το χρονικό αυτό διάστημα, διεκπεραιώνοντας όλες τις σχετικές δραστηριότητες και ενημερώνοντας τις μεταβλητές κατάστασης. Οι πληροφορίες καταγράφονται σε κατάλληλες βοηθητικές μεταβλητές για να γίνει αργότερα η στατιστική τους επεξεργασία. Η ΔΙΑΦΟΡΑ είναι ότι εξετάζουμε όλες τις διακριτές χρονικές στιγμές (1,2,3,4, ) που διαρκεί η προσομοίωση και επομένως χρειάζονται περισσότεροι υπολογισμοί σε σύγκριση με την μέθοδο επόμενου γεγονότος που δεν εξετάζουμε τις χρονικές στιγμές που δεν συμβαίνουν γεγονότα. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 16

Διαχείριση Ρολογιού Προσομοίωσης Μέθοδος Σταθερού Χρονικού Διαστήματος Έλεγχος Ενέργεια Μέθοδος Επόμενου Γεγονότος Τα γεγονότα και οι προγραμματισμένοι χρόνοι εκτέλεσής τους φυλάσσονται στο ημερολόγιο των γεγονότων (κατάλογος γεγονότων, event list). Μειονέκτημα της μεθόδου του σταθερού χρονικού διαστήματος είναι ότι το ρολόι προχωρά κατά σταθερό χρονικό διάστημα και κάθε φορά πρέπει να γίνεται έλεγχος για να διαπιστωθεί εάν έχει συμβεί κάποιο γεγονός. Η μέθοδος του επόμενου γεγονότος μειονεκτεί έναντι της μεθόδου του σταθερού χρονικού διαστήματος λόγω της αυξημένης πολυπλοκότητας που απαιτείται στη διαδικασία προγραμματισμού των επόμενων γεγονότων. Λογική ροή ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 17

Παράδειγμα 1.11: Ουρά Αναμονής Κατανομή Χρόνου μεταξύ Αφίξεων ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ: Άφιξη Πελάτη Αναχώρηση Πελάτη Κατανομή Χρόνου Εξυπηρέτησης ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ: Αριθμός Πελατών στο Σύστημα ή Ουρά (?) Κατάσταση Υπηρέτη Επόμενη Άφιξη (χρόνος) Επόμενη Αναχώρηση (χρόνος) Υποθέτουμε ότι οι αφίξεις ακολουθούν μια εμπειρική διακριτή κατανομή όπως φαίνεται στον 1 ο Πίνακα συχνοτήτων. Κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης ακολουθεί την εμπειρική διακριτή κατανομή του 2 ου Πίνακα συχνοτήτων. ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ M/M/1 ΆΛΛΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Άπειρη χωρητικότητα ουράς Πειθαρχία Ουράς FIFO (First In First Out) ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Ουρά 0, Άφιξη 1 ου πελάτη στο 0, Έναρξη εξυπηρέτησης στο 0. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 18

Διάγραμμα Ροής Άφιξης Έλεγχος Ενέργεια Λογική ροή Υπάρχει λογική αλληλουχία των δραστηριοτήτων που υπαγορεύεται από το σχήμα. Ό,τι συμβαίνει εξαρτάται από τους λογικούς κανόνες που θέτουμε σχετικά με τη λειτουργία του συστήματος. Εδώ, ο κανόνας είναι ότι «ο πελάτης εξυπηρετείται όταν ο υπηρέτης είναι αδρανής» και «ο πελάτης μπαίνει στην ουρά όταν ο υπηρέτης είναι απασχολημένος» π.χ. θεωρούμε ότι ο πελάτης αν βρει τον υπάλληλο απασχολημένο προστίθεται στην ουρά χωρίς να εξετάζει το μέγεθός της (που μπορεί να κάνει στην πραγματικότητα κάποιος πελάτης σε ένα σύστημα αναμονής) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 19

Διάγραμμα Ροής Αναχώρησης Υπάρχει λογική αλληλουχία των δραστηριοτήτων που υπαγορεύεται από το σχήμα. Ό,τι συμβαίνει εξαρτάται από τους λογικούς κανόνες που θέτουμε σχετικά με τη λειτουργία του συστήματος. Εδώ, ο κανόνας είναι (όταν ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση πελάτη από τον υπηρέτη αναχώρηση εξυπηρετούμενου): «ο υπηρέτης παραμένει απασχολημένος αν η ουρά δεν είναι κενή και αρχίζει η εξυπηρέτηση του 1 ου πελάτη στην ουρά» ή «ο υπηρέτης γίνεται αδρανής αν δεν υπάρχει πελάτης στην ουρά» Έλεγχος Ενέργεια Λογική ροή ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 20

Διάγραμμα Προσομοίωσης Σύστημα Μ/Μ/1 (Προσομοίωση Γεγονότων) Η Προσομοίωση ξεκινά με τον έλεγχο για το Επόμενο Γεγονός (Άφιξη ή Αναχώρηση). Ανάλογα με το γεγονός «εκτελούνται» τα 2 υποσυστήματα στο σύστημα. Ελέγχεται αν ισχύει το κριτήριο τερματισμού και είτε ολοκληρώνεται η προσομοίωση με τα αποτελέσματα, είτε συνεχίζει με το επόμενο γεγονός. ΑΦΙΞΗ ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.21

Διάγραμμα Προσομοίωσης (ΓΕΓΟΝΟΣ ΑΦΙΞΗΣ) Το ρολόι της προσομοίωσης μετακινείται στη χρονική στιγμή της άφιξης Έλεγχος αν ο υπηρέτης είναι αδρανής ( δηλ. δεν εξυπηρετεί πελάτη) Αν υπηρέτης ΌΧΙ αδρανής (δηλ. εξυπηρετεί άλλο πελάτη) ο νέος πελάτης που έχει αφιχθεί θα προστεθεί στη ουρά. Προγραμματισμός της επόμενης άφιξης με την χρήση του κανόνα που ισχύει για τις αφίξεις, π.χ. τυχαία μεταβλητή (αριθμός) για το χρόνο επόμενης άφιξης. Έλεγχος για κριτήριο τερματισμού, αν όχι ξαναγυρίζουμε στον έλεγχο επόμενου γεγονότος. ΑΦΙΞΗ Αν υπηρέτης αδρανής (δηλ. δεν εξυπηρετεί άλλο πελάτη) ο νέος πελάτης που έχει αφιχθεί θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως, ο υπηρέτης γίνεται απασχολημένος. Για τον πελάτη που ξεκίνησε η εξυπηρέτηση προγραμματίζεται η αναχώρησή του με χρήση του κανόνα που ισχύει για τις αναχωρήσεις, π.χ. τυχαία μεταβλητή (αριθμός) για το χρόνο εξυπηρέτησης και επομένως το χρόνο ολοκλήρωσής της. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.22

Διάγραμμα Προσομοίωσης (ΓΕΓΟΝΟΣ ΑΝΑΧΩΡΗΣΗΣ) Το ρολόι της προσομοίωσης μετακινείται στη χρονική στιγμή της αναχώρησης Έλεγχος αν η ουρά είναι κενή (δηλ. δεν υπάρχει πελάτης που περιμένει) Αν ΝΑΙ κενή (δηλ. δεν υπάρχει πελάτης στην ουρά) ο υπηρέτης γίνεται αδρανής, δεν έχουμε χρόνο επόμενης εξυπηρέτησης. Έλεγχος για κριτήριο τερματισμού, αν όχι ξαναγυρίζουμε στον έλεγχο επόμενου γεγονότος. ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ Αν OXI κενή (δηλ. υπάρχει πελάτης στην ουρά) ο 1 ος στην ουρά θα αρχίσει να εξυπηρετείται αμέσως, ο υπηρέτης συνεχίζει να είναι απασχολημένος. Για τον πελάτη που ξεκίνησε η εξυπηρέτηση προγραμματίζεται η αναχώρησή του με χρήση του κανόνα που ισχύει για τις αναχωρήσεις, π.χ. τυχαία μεταβλητή (αριθμός) για το χρόνο εξυπηρέτησης και επομένως το χρόνο ολοκλήρωσής της. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.23

Διάγραμμα Προσομοίωσης ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Η Προσομοίωση ξεκινά με τον έλεγχο για το Επόμενο Γεγονός (Άφιξη ή Αναχώρηση). Χρησιμοποιούνται ονόματα μεταβλητών για να διευκολυνθεί ο προγραμματισμός του μοντέλου στον υπολογιστή. ΧΕΑ: Χρόνος Επόμενης Άφιξης ΧΕΑΝ: Χρόνος Επόμενης Αναχώρησης ΚΥ: Κατάσταση Υπηρέτη ΑΑ: Αριθμός πελατών στην ουρά (Αναμονή) ΧΕ: Χρόνος Εξυπηρέτησης (τυχαίος) ΧΑΑ: Χρόνος Αναμενόμενης Άφιξης (τυχαίος) FINISH: Χρόνος τέλους Προσομοίωσης ΑΦΙΞΗ ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.24

Προσομοίωση ΕΝΑΡΞΗ Αρχικές Τιμές Μεταβλητών: ΤΙΜΕ=0, ΚΥ=0 υπηρέτης Αδρανής, επόμενη άφιξη ΧΕΑ=0, ουρά ΑΑ=0 Η προσομοίωση ξεκινάει τη χρονική στιγμή μηδέν (ΤΙΜΕ=0) με την 1 η άφιξη (ΧΑΑ=0). Άρα, ακολουθείται ο αριστερός κλάδος του διαγράμματος. ΤΙΜΕ=0 και επειδή η μεταβλητή κατάστασης ΚΥ=0 (αδρανής υπηρέτης), ο πελάτης εισέρχεται άμεσα στην εξυπηρέτηση. Γίνεται ΚΥ=1 (υπηρέτης απασχολημένος) και το μοντέλο παράγει τον χρόνο εξυπηρέτησης ΧΕΑΝ για τον 1 ο πελάτη. Έστω ότι ο χρόνος αυτός είναι ΧΕ= 3 (προκύπτει με τυχαίο τρόπο από τον Πίνακα Κατανομής Αφίξεων). Η χρονική στιγμή κατά την οποία θα αναχωρήσει ο 1 ος πελάτης, δηλαδή η τιμή της μεταβλητής ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ=0+3=3. Στην επόμενη εντολή παράγεται η χρονική στιγμή της επόμενης άφιξης μέσω της μεταβλητής ΧΕΑ, δηλαδή, του χρόνου ανάμεσα στην 1 η άφιξη και τη 2 η από τον Πίνακα Κατανομής Αφίξεων και της κατάλληλης γεννήτριας τυχαίων αριθμών, έστω ότι η ΧΑΑ=2 (τυχαία τιμή). Η επόμενη άφιξη (2 η ) θα συμβεί τη χρονική στιγμή ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ=0+2=2. Επομένως, στο ημερολόγιο γεγονότων, με το τέλος της 1 ης άφιξης, θα έχουμε την 1 η άφιξη τη χρονική στιγμή 0, τη 2 η άφιξη τη χρονική στιγμή 2, την 1 η αναχώρηση τη χρονική στιγμή 3 (αναχώρηση του 1 ου πελάτη). Αν το FINISH είναι αρκετά μεγάλο (TIME<FINISH), η διαδικασία επαναλαμβάνεται για το επόμενο συμβάν στο χρόνο. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του αρχικού βήματος είναι: ΤΙΜΕ=0, ΚΥ=1, ΧΕΑ=2, ΧΕΑΝ=3, ΑΑ=0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.25

Προσομοίωση 2 η Επανάληψη Το ρολόι έχει τιμή TIME=0 : υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=2, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=3, ουρά ΑΑ=0. Επειδή ΧΕΑ=2<ΧΕΑΝ=3, το επόμενο γεγονός είναι η 2 η άφιξη στη χρονική στιγμή ΧΕΑ=2. Επομένως εκτελείται το αριστερό τμήμα του λογικού διαγράμματος. Η μεταβλητή ΤΙΜΕ=0 θα πάρει την τιμή ΤΙΜΕ=ΧΕΑ=2 (το ρολόι προχωρά στη χρονική στιγμή του επόμενου γεγονότος) η οποία είναι η χρονική στιγμή της επόμενης άφιξης. Ελέγχεται η μεταβλητή κατάστασης υπηρέτη ΚΥ (ΚΥ=1). Η τιμή της από την προηγούμενη επανάληψη είναι ΚΥ=1 (υπηρέτης απασχολημένος), ο 1 ος πελάτης είναι ακόμα στην εξυπηρέτηση (σύμφωνα με το ημερολόγιο γεγονότων, θα αναχωρήσει τη χρονική στιγμή 3 και η ΤΙΜΕ είναι ακόμα 2). Ο 2 ος πελάτης εισέρχεται στην ουρά αναμονής και η μεταβλητή κατάστασης ουράς ΑΑ αυξάνεται ΑΑ=ΑΑ+1=1 (υπάρχει πλέον 1 πελάτης στην ουρά αναμονής). Στη συνέχεια παράγεται η χρονική στιγμή της 3 ης άφιξης. Έστω ότι η τιμή που παίρνει η ΧΑΑ=4 (τυχαίος Κατανομής Αφίξεων). Η χρονική στιγμή της επόμενης άφιξης θα είναι ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ=2+4=6 και καταχωρείται στο ημερολόγιο. Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 2 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=2, ΚΥ=1, ΧΕΑ=6, ΧΕΑΝ=3, ΑΑ=1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.26

Προσομοίωση 3 η Επανάληψη Το ρολόι έχει τιμή TIME=2: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=6, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=3, ουρά ΑΑ=1. Επειδή ΧΕΑ=6>ΧΕΑΝ=3, το επόμενο γεγονός είναι η 1 η αναχώρηση. Εκτελείται το δεξί τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παίρνει τιμή ΤΙΜΕ=3 και ο 1 ος πελάτης αναχωρεί. Ελέγχεται αν στην ουρά αναμονής υπάρχει πελάτης που να περιμένει τη σειρά του (ΑΑ=?). Υπάρχει 1 πελάτης (ΑΑ=1), αυτός της 2 ης άφιξης. Άρα, εισέρχεται στην εξυπηρέτηση ο 2 ος πελάτης και η μεταβλητή κατάστασης ουράς ΑΑ μειώνεται κατά μία μονάδα ΑΑ=ΑΑ-1=0 (η ουρά ξανά κενή). Η κατάσταση του υπηρέτη παραμένει ΚΥ=1 (υποθέτουμε ότι στη χρονική στιγμή 3 τελείωσε η εξυπηρέτηση του 1 ου πελάτη και ξεκίνησε του 2 ου πελάτη χωρίς ενδιάμεσο κενό!) Στη συνέχεια, παράγεται ο χρόνος εξυπηρέτησης του 2 ου πελάτη, ΧΕ, ο οποίος έστω ότι είναι ΧΕ=1 από τον Πίνακα. Η εξυπηρέτηση του συγκεκριμένου πελάτη θα διαρκέσει 1 χρονική μονάδα, επομένως θα αναχωρήσει τη χρονική στιγμή ΧΕΑΝ= ΤΙΜΕ+ΧΕ=3+1=4. Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 3 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=3, ΚΥ=1, ΧΕΑ=6, ΧΕΑΝ=4, ΑΑ=0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.27

Προσομοίωση 4 η Επανάληψη Το ρολόι έχει τιμή TIME=3: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=6, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=4, ουρά ΑΑ=0 Επειδή ΧΕΑ=6>ΧΕΑΝ=4, το επόμενο γεγονός είναι η 2 η αναχώρηση. Εκτελείται το δεξί τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παίρνει τιμή ΤΙΜΕ=4 και ο 2 ος πελάτης αναχωρεί. Ελέγχεται αν στην ουρά αναμονής υπάρχει κάποιος πελάτης που να περιμένει τη σειρά του (ΑΑ=?). Δεν υπάρχει πελάτης στην ουρά (ΑΑ=0). Άρα ο υπηρέτης θα γίνει αδρανής ΚΥ=0 γιατί δεν υπάρχει πελάτης να εξυπηρετήσει. Αφού δεν εξυπηρετείται πελάτης η μεταβλητή ΧΕΑΝ (χρόνος επόμενης αναχώρησης) πόσο πρέπει να γίνει? Επειδή ελέγχουμε στην αρχή κάθε επανάληψης ΧΕΑ<>ΧΕΑΝ πρέπει να γίνει τόσο μεγάλη ώστε να προκύψει ΧΕΑ<ΧΕΑΝ (δηλαδή το επόμενο γεγονός θα είναι οπωσδήποτε άφιξη). Πρακτικά θέτουμε MaxInt (Max Integer) ένα πολύ μεγάλο αριθμό MaxInt>>FINISH, οπότε ΧΕΑΝ=MaxInt Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 4 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=4, ΚΥ=0, ΧΕΑ=6, ΧΕΑΝ=MaxInt, ΑΑ=0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.28

Προσομοίωση 5 η Επανάληψη Το ρολόι έχει τιμή TIME=4: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=6, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=4, ουρά ΑΑ=0 Επειδή ΧΕΑ=6<ΧΕΑΝ=MaxInt, το επόμενο γεγονός είναι η 3 η άφιξη. Εκτελείται το αριστερό τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παίρνει τιμή ΤΙΜΕ=6 και ο 3 ος πελάτης μπαίνει στο σύστημα. Ελέγχεται αν στην ουρά αναμονής υπάρχει κάποιος πελάτης που να περιμένει τη σειρά του (ΑΑ=?). Δεν υπάρχει πελάτης στην ουρά (ΑΑ=0). Άρα ο υπηρέτης θα γίνει απασχολημένος ΚΥ=1 γιατί ξεκινά άμεσα την εξυπηρέτηση του 3 ου πελάτη. Αφού εξυπηρετείται ο 3 ος πελάτης η μεταβλητή ΧΕΑΝ (χρόνος επόμενης αναχώρησης) θα γίνει ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ=6+3=9 (προφανώς ο τυχαίος από Κατανομή Εξυπηρέτησης ΧΕ=3). Πρέπει να δημιουργηθεί και ο χρόνος άφιξης του επόμενου 4 ου πελάτη ΧΕΑ, έστω ΧΑΑ=1 (τυχαίος από Κατανομή Αφίξεων), οπότε ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ=6+1=7 Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 5 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=6, ΚΥ=1, ΧΕΑ=7, ΧΕΑΝ=9, ΑΑ=0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.29

Προσομοίωση 6 η Επανάληψη Το ρολόι έχει τιμή TIME=6: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=7, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=9, ουρά ΑΑ=0 Επειδή ΧΕΑ=7<ΧΕΑΝ=9, το επόμενο γεγονός είναι η 4 η άφιξη. Εκτελείται το αριστερό τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παίρνει τιμή ΤΙΜΕ=7 και ο 4 ος πελάτης μπαίνει στο σύστημα. Ελέγχουμε αν υπηρέτης Αδρανής (ΚΥ=0?) υπάρχει πελάτης εξυπηρετείται (KY=1), επομένως ο 4 ος πελάτης που έφτασε προστίθεται στην ουρά AA=AA+1=0+1=1. Πρέπει να δημιουργηθεί και ο χρόνος άφιξης του επόμενου 5 ου πελάτη ΧΕΑ, έστω ΧΑΑ=2 (τυχαίος από Κατανομή Αφίξεων), οπότε ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ=7+2=9 Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 6 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=7, ΚΥ=1, ΧΕΑ=9, ΧΕΑΝ=9, ΑΑ=1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.30

Προσομοίωση 7 η Επανάληψη (2 ΓΕΓΟΝΟΤΑ) Το ρολόι έχει τιμή TIME=7: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=9, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=9, ουρά ΑΑ=1 Επειδή (ΧΕΑ=9)=(ΧΕΑΝ=9), έχουμε 2 επόμενα γεγονότα στη χρονική στιγμή 9 (Άφιξη και Αναχώρηση). Επειδή εκτελούμε προσομοίωση Επόμενου Γεγονότος ποιο γεγονός προηγείται? ΛΟΓΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ: Αν προσομοιώσουμε την άφιξη: Φθάνει ο 5 ος πελάτης και επειδή ο υπηρέτης απασχολημένος ΚΥ=1 πρέπει να προστεθεί στην ουρά ΑΑ=1+1=2, ΑΛΛΑ επειδή θα ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση τελικά αυτός στην ουρά θα αρχίσει να εξυπηρετείται. Αν προσομοιώσουμε την αναχώρηση: Ολοκληρώνεται η εξυπηρέτηση του 3 ου πελάτη και επειδή η ουρά ΑΑ=1 υπηρέτης ξεκινά την εξυπηρέτηση του επόμενου 4 ου πελάτη οπότε ουρά ΑΑ=ΑΑ-1=1-1=0, ΑΛΛΑ επειδή έχει φτάσει και ο επόμενος θα προστεθεί στην ουρά. Φαίνεται ότι προφανώς πρέπει να ασχοληθούμε ξεχωριστά με το κάθε γεγονός ΑΛΛΑ είναι λογικότερο 1 ο γεγονός να θεωρήσουμε την αναχώρηση (π.χ. αν ο επόμενος πελάτης φτάσει τη στιγμή που τελειώνει η εξυπηρέτηση του προηγούμενου και δεν υπάρχει ουρά, τότε θα πάει απευθείας να εξυπηρετηθεί). ΕΠΕΙΔΗ ΚΆΘΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΠΑΡΙΣΤΑ ΤΟ ΧΕΙΡΙΣΜΟ ΓΙΑ 1 ΓΕΓΟΝΟΣ ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ: 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ: 7-ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ και 7-ΑΦΙΞΗ για τη χρονική στιγμή 9 Αν είχαμε περιορισμό στο μέγεθος της ουράς, είναι σωστό να προηγηθεί η αναχώρηση!!! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.31

Προσομοίωση 7 η Επανάληψη-ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ Το ρολόι έχει τιμή TIME=7: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=9, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=9, ουρά ΑΑ=1 Επειδή (ΧΕΑ=9)=(ΧΕΑΝ=9), 2 επόμενα γεγονότα στο χρόνο 9 εκτελούμε πρώτη την αναχώρηση. Εκτελείται το δεξί τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παίρνει τιμή ΤΙΜΕ=9 και ο 3 ος πελάτης φεύγει από το σύστημα. Ελέγχουμε αν ουρά κενή (ΑΑ=0?) υπάρχει 1 πελάτης στην ουρά (ΑΑ=1), επομένως ο 4 ος πελάτης που είναι στην ουρά ξεκινά να εξυπηρετείται, ο υπηρέτης συνεχίζει να είναι απασχολημένος ΚΥ=1, στην ουρά θα έχουμε AA=AA-1=1-1=0 (ουρά κενή ΑΛΛΑ «προσωρινά»). Στη συνέχεια, παράγεται ο χρόνος εξυπηρέτησης του 4 ου πελάτη, έστω ΧΕ=3 (τυχαίος από Πίνακα Κατανομής). Επομένως θα αναχωρήσει τη χρονική στιγμή ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ=9+3=12. Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται (αν και έχουμε 2 γεγονότα στον ίδιο χρόνο). Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 7Α βήματος είναι: ΤΙΜΕ=9, ΚΥ=1, ΧΕΑ=9, ΧΕΑΝ=12, ΑΑ=0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.32

Προσομοίωση 7 η Επανάληψη-ΑΦΙΞΗ Το ρολόι έχει τιμή TIME=9: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=9, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=12, ουρά ΑΑ=0 Επειδή ΧΕΑ=9<ΧΕΑΝ=12, επόμενο γεγονός άφιξη. Εκτελείται το αριστερό τμήμα του λογικού διαγράμματος. Το ρολόι παραμένει στην τιμή ΤΙΜΕ=9 και ο 5 ος πελάτης φτάνει στο σύστημα. Ελέγχουμε αν ο υπηρέτης αδρανής (ΚΥ=0?) μόλις έχει αρχίσει την εξυπηρέτηση του 4 ου πελάτη, οπότε ο 5 ος προστίθεται στην ουρά ΑΑ=ΑΑ+1=0+1=1, (τελικά στη χρονική στιγμή 9 η ουρά «άλλαξε πελάτη» αλλά ΑΑ=1). Πρέπει να δημιουργηθεί και ο χρόνος άφιξης του επόμενου 6 ου πελάτη ΧΕΑ, έστω ΧΑΑ=4 (τυχαίος από Κατανομή Αφίξεων), οπότε ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ=9+4=13 Το ρολόι ΤΙΜΕ<FINISH και η διαδικασία επαναλαμβάνεται (ξεπεράσαμε το 9 που είχε 2 γεγονότα). Οι τιμές των μεταβλητών στο τέλος του 7 ου βήματος είναι: ΤΙΜΕ=9, ΚΥ=1, ΧΕΑ=13, ΧΕΑΝ=12, ΑΑ=1 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο μοντέλο μας τελικά η σειρά χειρισμού των 2 γεγονότων που συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή (άφιξη και αναχώρηση στο TIME=9), είτε «εκτελέσουμε» 1 η της άφιξη, είτε την αναχώρηση δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Αν όμως στο σύστημά μας είχαμε την υπόθεση ότι η χωρητικότητα της ουράς είναι έστω Ν=10, επειδή μπορεί κατά την προσομοίωση να προκύψει η «κατάσταση» σε κάποια χρονική στιγμή να είναι ουρά ΑΑ=10 και ταυτόχρονη άφιξη και αναχώρηση, αν εξετάσουμε 1 η την άφιξη θα «διώξουμε» τον πελάτη από την ουρά! Ενώ το σωστό είναι ότι λόγω ταυτόχρονης αναχώρησης ο πελάτης προστίθεται στην ουρά! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.33

Προσομοίωση ΕΠΟΜΕΝΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ Το ρολόι έχει τιμή TIME=9: υπηρέτης ΚΥ=1, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ=13, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ=12, ουρά ΑΑ=0 Επειδή ΧΕΑ=13>ΧΕΑΝ=12, επόμενο γεγονός αναχώρηση. Εκτελείται το δεξί τμήμα του διαγράμματος. Το ρολόι στην τιμή ΤΙΜΕ=12 και ο 4 ος πελάτης φεύγει... ΠΡΟΦΑΝΩΣ θα επαναλάβουμε τη διαδικασία της προσομοίωσης με αντίστοιχο τρόπο των επαναλήψεων που περιγράφονται στα προηγούμενα μέχρι ο χρόνος στο ρολόι ΤΙΜΕ FINISH οπότε θα σταματήσουμε και θα υπολογίσουμε στατιστικά για το σύστημα (π.χ. πόσο χρόνο ο υπηρέτης ήταν αδρανής). ΔΗΛΑΔΗ αριθμούς που θα προκύψουν από την στατιστική επεξεργασία των τιμών των μεταβλητών. Προκύπτουν τα παρακάτω: 1. Να είμαστε βέβαιοι ότι το μοντέλο μας «αναπαριστά» το πραγματικό σύστημα ΕΛΕΓΧΟΣ-ΔΟΚΙΜΕΣ 2. Να επαναλάβουμε την Προσομοίωση για «αρκετό» χρόνο ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ 3. Σε κάθε «επανάληψη» χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών 4. Πρέπει να «κρατήσουμε» τις τιμές όλων των μεταβλητών ΠΙΝΑΚΕΣ ΤΙΜΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.34

ΠΙΝΑΚΑΣ-ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ Από την αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας προσομοίωσης βήμα-βήμα έγινε κατανοητό ότι ουσιαστικά ελέγχουμε και αλλάζουμε τις τιμές των κατάλληλων μεταβλητών που περιγράφουν την κατάσταση του συστήματος μοντέλου. Στο παράδειγμα οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Σε κάθε επανάληψη της προσομοίωσης αυτό που συμβαίνει (το γεγονός) εξαρτάται από τις τιμές των μεταβλητών και έχει σαν αποτέλεσμα την αλλαγή των τιμών μερικών μεταβλητών. Επομένως ο παρακάτω Πίνακας που ονομάζουμε Ημερολόγιο Γεγονότων Προσομοίωσης αναπαριστά σε μαθηματική μορφή τις επαναλήψεις της προσομοίωσης, δηλ. την προσομοίωση «μαθηματικά». 1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.35

ΑΞΟΝΑΣ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ο Πίνακας Ημερολόγιο Γεγονότων Προσομοίωσης μπορεί να αναπαρασταθεί στον Άξονα Χρόνου της Προσομοίωσης, όπου «τοποθετούμε» τα γεγονότα που συμβαίνουν στις αντίστοιχες χρονικές στιγμές. 1 Άξονας Χρόνου Προσομοίωσης Επειδή ο χρόνος μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα άξονα, αν «τοποθετήσουμε» στις αντίστοιχες χρονικές στιγμές τα γεγονότα της προσομοίωσης έχουμε αναπαράσταση της προσομοίωσης των γεγονότων του συστήματος στον άξονα του χρόνου. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.36

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-1 Στο παράδειγμα προσομοίωσης οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Επιπλέον χρησιμοποιήθηκαν οι μεταβλητές ΧΑΑ (χρόνος μεταξύ αφίξεων πελατών) και ΧΕ (Χρόνος Εξυπηρέτησης) που είναι τυχαίες τιμές από γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Για να κατασκευάζουμε τον Πίνακα Ημερολόγιο Γεγονότων πρέπει να γνωρίζουμε τις τιμές ΧΑΑ και ΧΕ, μπορούμε να τις έχουμε δημιουργήσει από την αρχή με χρήση κατάλληλων Γεννητριών Τυχαίων Αριθμών. ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 Η προσομοίωση ξεκινά με τη συνθήκη ότι στη χρονική στιγμή TIME=0 έχουμε 1 ο γεγονός την άφιξη του 1 ου Πελάτη (ΧΑΑ=0) που ξεκινά να εξυπηρετείται. Ο Χρόνος Επόμενης Αναχώρησης XEAN θα είναι ΤΙΜΕ+ΧΕ 1 ου πελάτη επομένως ΧΕ=3 (από γεννήτρια) οπότε XEAN=TIME+XE(1)=0+3=3 Με κάθε άφιξη προγραμματίζουμε την επόμενη άφιξη ΧΕΑ του 2 ου πελάτη, χρειαζόμαστε τον τυχαίο ΧΑΑ για τον επόμενο 2 ο πελάτη ΧΑΑ(2)=2 οπότε ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ(2)=0+2=2 Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.37 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Έχουμε ολοκληρώσει την 1 η γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στο 1 ο Γεγονός

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-2 Στο παράδειγμα προσομοίωσης οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Επιπλέον ΧΑΑ και ΧΕ τυχαίοι. ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 2 η Γραμμή-2 ο ΓΕΓΟΝΟΣ Έχουμε συμπληρώσει της 1 η γραμμή του Πίνακα, η 2 η γραμμή θα αντιστοιχεί στο επόμενο γεγονός που θα είναι 1 από τα 2 που υπολογίστηκαν στην 1 η γραμμή: η επόμενη άφιξη θα συμβεί στη χρονική στιγμή ΧΕΑ=2 ενώ η επόμενη αναχώρηση στη χρονική στιγμή ΧΕΑΝ=3. Επόμενο γεγονός είναι ΤΙΜΕ=2 η άφιξη του 2 ου πελάτη. Επειδή εξυπηρετείται ο 1 ος πελάτης (ΚΥ=1 στην προηγούμενη γραμμή) ο πελάτης προστίθεται στην ουρά ΑΑ=ΑΑ+1=1. Ο Χρόνος Επόμενης Αναχώρησης XEAN παραμένει ίδιος (επειδή δεν έχει ολοκληρωθεί η εξυπηρέτηση του 1 ου πελάτη). Επειδή το γεγονός είναι άφιξη, προγραμματίζουμε την επόμενη άφιξη ΧΕΑ του 3 ου πελάτη, χρειαζόμαστε τον τυχαίο ΧΑΑ για τον επόμενο 3 ο πελάτη ΧΑΑ(3)=4 οπότε ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ(2)=2+4=6 Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.38 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) Έχουμε ολοκληρώσει την 2 η γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στο 2 ο Γεγονός

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-3 Στο παράδειγμα προσομοίωσης οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Επιπλέον ΧΑΑ και ΧΕ τυχαίοι. ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 3 η Γραμμή-3 ο ΓΕΓΟΝΟΣ Η 3 η γραμμή αντιστοιχεί στο επόμενο γεγονός που θα είναι 1 από αυτά στην 2 η γραμμή: η επόμενη άφιξη θα συμβεί στη χρονική στιγμή ΧΕΑ=6 ενώ η επόμενη αναχώρηση στη χρονική στιγμή ΧΕΑΝ=3. Επόμενο γεγονός είναι ΤΙΜΕ=3 η αναχώρηση του 1 ου πελάτη. Επειδή αναχωρεί ο 1 ος πελάτης από την ουρά ο 2 ος πελάτης μπαίνει στην εξυπηρέτηση, ο υπηρέτης παραμένει απασχολημένος ΚΥ=1, η ουρά μειώνεται κατά 1 ΑΑ=ΑΑ-1=0. Πρέπει να προγραμματιστεί η αναχώρηση του 2 ου πελάτη ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ(2)=3+1=4. Ο Χρόνος Επόμενης Άφιξης XEA παραμένει ίδιος (περιμένουμε τον 3 ο πελάτη στο ΤΙΜΕ=6) Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.39 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) 3 Αναχώρηση 1 3 1 0 6 (πελ. 3) 4 (πελ. 2) Έχουμε ολοκληρώσει την 3 η γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στο 3 ο Γεγονός

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-4 Στο παράδειγμα προσομοίωσης οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Επιπλέον ΧΑΑ και ΧΕ τυχαίοι. ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 4 η Γραμμή-4 ο ΓΕΓΟΝΟΣ Επόμενο γεγονός είναι στο ΤΙΜΕ=4 η αναχώρηση του 2 ου πελάτη. Επειδή αναχωρεί ο 2 ος πελάτης και η ουρά κενή (ΑΑ=0) ο υπηρέτης θα γίνει αδρανής ΚΥ=0. Πρέπει να προγραμματιστεί η επόμενη αναχώρηση του 3 ου πελάτη που όμως δεν έχει αφιχθεί και ξεκινήσει η εξυπηρέτησή του οπότε η επόμενη αναχώρηση πρακτικά είναι άγνωστη (μη ορισμένη). Για να μην έχουμε πρόβλημα στη διαδικασία θα βάλουμε ΧΕΑΝ=MaxInt που σημαίνει ένα πολύ μεγάλο αριθμό μεγαλύτερο από οποιοδήποτε άλλο έχουμε στη διαδικασία (π.χ. 1000000). Ο Χρόνος Επόμενης Άφιξης XEA παραμένει ίδιος (περιμένουμε τον 3 ο πελάτη στο ΤΙΜΕ=6) Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.40 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) 3 Αναχώρηση 1 3 0 0 6 (πελ. 3) 4 (πελ. 2) 4 Αναχώρηση 2 4 0 0 6 (πελ. 3) MaxInt Έχουμε ολοκληρώσει την 4 η γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στο 4 ο Γεγονός

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-5 Στο παράδειγμα προσομοίωσης οι μεταβλητές ήταν: χρόνος TIME, υπηρέτης ΚΥ, επόμ. Άφιξη ΧΕΑ, επόμ. Αναχ. ΧΕΑΝ, ουρά ΑΑ. Επιπλέον ΧΑΑ και ΧΕ τυχαίοι. ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 5 η Γραμμή-5 ο ΓΕΓΟΝΟΣ Επόμενο γεγονός είναι στο ΤΙΜΕ=6 η άφιξη του 3 ου πελάτη. Επειδή ο υπηρέτης αδρανής ξεκινά η εξυπηρέτησή του ΚΥ=1, η ουρά παραμένει κενή (ΑΑ=0). Πρέπει να προγραμματιστεί η αναχώρηση του 3 ου πελάτη, ο χρόνος εξυπηρέτησης ΧΕ(3)=3 και ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ(3)=6+3=9 Επίσης λόγω γεγονότος άφιξης προγραμματίζουμε την επόμενη άφιξη του 4 ου πελάτη, ΧΑΑ(4)=1 επομένως ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ(4)=6+1=7 Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.41 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) 3 Αναχώρηση 1 3 0 0 6 (πελ. 3) 4 (πελ. 2) 4 Αναχώρηση 2 4 0 0 6 (πελ. 3) MaxInt 5 Άφιξη 3 6 1 0 7 (πελ. 4) 9 (πελ. 3) Έχουμε ολοκληρώσει την 5 η γραμμή του πίνακα που αντιστοιχεί στο 5 ο Γεγονός

ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΣΥΝΟΨΗ Η δημιουργία του Ημερολογίου Γεγονότων, δηλ. ο υπολογισμός των τιμών των μεταβλητών σε κάθε επανάληψη μπορεί να γίνει αν είναι γνωστοί (έχουν υπολογιστεί) οι τυχαίοι που είναι απαραίτητοι. ΒΗΜΑ 0: 1 η γραμμή-1 ο Γεγονός: υποθέτουμε ότι έχουμε άφιξη 1 ου πελάτη, έναρξη εξυπηρέτησής, ουρά ΑΑ=0, υπολογίζουμε επόμενη άφιξη ΧΕΑ, υπολογίζουμε επόμενη αναχώρηση ΧΕΑΝ. ΒΗΜΑ 1: 2 η γραμμή-2 ο Γεγονός: από την προηγούμενη γραμμή βρίσκουμε το επόμενο γεγονός (αυτό που θα συμβεί νωρίτερα, το μικρότερο ΧΕΑ και ΧΕΑΝ) Αν επόμενο γεγονός Άφιξη: Τοποθετούμε τον πελάτη στην εξυπηρέτηση ή ουρά, υπολογίζουμε επόμενη άφιξη Αν επόμενο γεγονός Αναχώρηση: Τοποθετούμε τον επόμενο πελάτη στην εξυπηρέτηση αν υπάρχει ουρά, υπολογίζουμε επόμενη αναχώρηση, αν δεν υπάρχει πελάτης στην ουρά τότε υπηρέτης αδρανής, επόμενη αναχώρηση MaxInt. Επαναλαμβάνουμε το ΒΗΜΑ 1 για την επόμενη γραμμή-γεγονός μέχρι την ολοκλήρωση της προσομοίωσης. Επόμενη Άφιξη ΧΕΑ=ΤΙΜΕ+ΧΑΑ Επόμενη Αναχώρηση ΧΕΑΝ=ΤΙΜΕ+ΧΕ ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.42 AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) 3 Αναχώρηση 1 3 0 0 6 (πελ. 3) 4 (πελ. 2) 4 Αναχώρηση 2 4 0 0 6 (πελ. 3) MaxInt 5 Άφιξη 3 6 1 0 7 (πελ. 4) 9 (πελ. 3)

ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ Από τον πίνακα γεγονότων προσομοίωσης μπορούμε να υπολογίσουμε τα δεδομένα για να κάνουμε την στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Για τα συμβαίνοντα που αφορούν 3 πελάτες από τον πίνακα συμβάντων μπορούμε να «εξάγουμε» τα παρακάτω: Για την απασχόληση του υπηρέτη? ΑΑ Άφιξη Αναχώρηση Χρόνος στο ΧΕ Χρόνος Χρόνος στην Από χρόνο ΤΙΜΕ=0 έως 4 ήταν Πελάτη σύστημα ΧΣ Εξυπηρέτησης ουρά ΧΣ-ΧΕ απασχολημένος για 4-0=4 χρονικές 1 0 3 3-0=3 3 3-3=0 μονάδες, από 4 έως 6 ήταν αδρανής 2 2 4 4-2=2 1 2-1=1 για 6-4=2 χρον. μονάδες, από 6 έως 3 6 9 9-6=3 3 3-3=0 9 ήταν απασχολημένος για 9-6=3. Επομένως 2 αδρανής 7 ενεργός Μέσος - - 8/3 7/3 1/3 ποσοστό απασχόλησης 7/9 ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 2 1 3 4 3 4 1 2 5 2 2 Α/Α Γεγ. Είδος Γεγονότος Αρ. Πελάτη TIME KY υπηρέτης AA ουρά ΧΕΑ Επομ. Άφιξη ΧΕΑΝ Επομ. Αναχ. 1 Άφιξη 1 0 1 0 2 (πελ. 2) 3 (πελ. 1) 2 Άφιξη 2 2 1 1 6 (πελ. 3) 3 (πελ. 1) 3 Αναχώρηση 1 3 1 0 6 (πελ. 3) 4 (πελ. 2) 4 Αναχώρηση 2 4 0 0 6 (πελ. 3) MaxInt 5 Άφιξη 3 6 1 0 7 (πελ. 4) 9 (πελ. 3) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.43

Είδη Μεταβλητών Προσομοίωσης Ενδογενείς μεταβλητές (endogenous variables) ονομάζονται οι μεταβλητές που παριστάνουν χαρακτηριστικά) τα οποία λαμβάνουν χώρα (ή παράγονται) μέσα στο σύστημα. Εξωγενείς μεταβλητές (exogenous variables) ονομάζονται οι μεταβλητές που παριστάνουν χαρακτηριστικά τα οποία λαμβάνουν χώρα στο εξωτερικό περιβάλλον του συστήματος αλλά επηρεάζουν το σύστημα. Στο σύστημα Αναμονής η μεταβλητή κατάσταση υπηρέτη είναι ενδογενής, η ΧΕ και ΧΕΑΝ μεταβλητές είναι ενδογενής. Αντίθετα οι μεταβλητές ΧΑΑ και ΧΕΑ είναι εξωγενείς γιατί ορίζονται έξω από το σύστημα. Ο πελάτης πριν την άφιξή του στο σύστημα αναμονής είναι εκτός συστήματος! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.44

ΟΝΤΟΤΗΤΕΣ (ENTITIES) Προσομοίωσης Τα συμβολικά ονόματα τα οποία χρησιμοποιούνται ως ονομασίες υποκειμένων ή αντικειμένων που αποτελούν τα μέρη ενός συστήματος ονομάζονται οντότητες (entities). Οι οντότητες μπορούν να διακριθούν σε μόνιμες στο σύστημα (ο υπηρέτης, ο μηχανικός, ο υπολογιστής) ή προσωρινές (ο πελάτης, η μηχανή, το πρόγραμμα). Επίσης, κάποιες χαρακτηρίζονται ως ενεργητικές (ο υπηρέτης δρα) και άλλες ως παθητικές (ο πελάτης δέχεται την δράση). Οι όμοιες οντότητες, δηλ. οι οντότητες με όμοια χαρακτηριστικά ή ιδιότητες (attributes) οργανώνονται σε κλάσεις όπως για παράδειγμα η κλάση των πελατών, των καθηγητών, των φοιτητών, των ταμιών, κ.λπ. Σε κάθε μέλος μιας κλάσης αναφερόμαστε με την ίδια οντότητα, αν δεν είναι απαραίτητο να υπάρξει διαχωρισμός. Επομένως δεν δίνεται άλλο όνομα ούτε για κάθε διαφορετικό πελάτη ούτε και για κάθε διαφορετικό υπηρέτη, εκτός εάν θέλουμε να αναφερθούμε σ αυτούς ειδικά και ονομαστικά. Οι πελάτες ανήκουν στην κλάση των πελατών και οι δεύτεροι στην κλάση των υπηρετών. Η βασική διαφορά μεταξύ συνόλων-ομάδων είναι ότι τα σύνολα είναι ομάδες στις οποίες μπορεί να ανήκει προσωρινά μια οντότητα κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης και αυτό εξαρτάται από την αλλαγή της κατάστασής της ή από τις τιμές που παίρνουν τα χαρακτηριστικά της (μεταβλητές κατάστασης). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.45

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ-ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Προσομοίωσης Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν χαρακτηριστικά οντοτήτων ονομάζονται ιδιότητες (attributes). Οι ενέργειες των οποίων η έναρξη και η λήξη σηματοδοτείται από την πραγματοποίηση κάποιων γεγονότων ονομάζονται δραστηριότητες (activities). Γεγονός είναι ένα στιγμιαίο συμβάν που μεταβάλλει την κατάσταση του συστήματος. Οι οντότητες, εκτός από τις ιδιότητες που τις χαρακτηρίζουν, εμπλέκονται και σε δραστηριότητες. Η έναρξη ή η λήξη μιας δραστηριότητας σηματοδοτείται από ένα γεγονός. Οι δραστηριότητες οδηγούν τις οντότητες να αλλάξουν κατάσταση, δηλαδή, να γίνουν μέλη άλλων συνόλων. Στο παράδειγμα, ο 1 ος πελάτης στην ουρά είναι μέλος του συνόλου των πελατών της ουράς αναμονής. Μόλις πραγματοποιηθεί η αναχώρηση του πελάτη που βρίσκεται στην εξυπηρέτηση (το γεγονός), τότε ξεκινά η εξυπηρέτηση (δραστηριότητα) του 1 ου πελάτη στην ουρά. Μία δραστηριότητα (ή κατάσταση) ονομάζεται ενεργητική ή ενεργή (παθητική ή ανενεργή) όταν η διάρκειά της (δεν) ορίζεται άμεσα από μια γεννήτρια (χρόνου) και (δεν) εμπλέκονται περισσότερες από μία οντότητες. Όταν εκτελείται μια ενεργητική δραστηριότητα (π.χ. εξυπηρέτηση πελάτη), τότε η οντότητα βρίσκεται σε ενεργή κατάσταση, ενώ στην αντίθετη περίπτωση βρίσκεται σε παθητική κατάσταση (π.χ. αναμονή στην ουρά). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.46

ΟΝΤΟΤΗΤΕΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ-ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Σύστημα Οντότητες Ιδιότητες Δραστηριότητες Διαχείριση Αποθεμάτων Υπεύθυνος αποθεμάτων Αδρανής, ενεργός Διεκπεραίωση Παραγγελία Ποσότητα, αξία, είδη λήψη παραγγελίας Προϊόν μονάδα μέτρησης, αξία, χρώμα εισαγωγή, φύλαξη, ανάκληση πρώτη ύλη μονάδα μέτρησης, ποσότητα εισροή, επεξεργασία Συνεργείο Μηχανικός Αδρανής, ενεργός, χρόνος εξυπηρέτησης Επιδιορθώνει, μιλάει στο τηλέφωνο Όχημα μοντέλο, κατασκευή τύπος βλάβης, χρόνος αναμονής, ημερομηνία εισόδου στο συνεργείο Λειτουργεί, σε αναμονή στην ουρά Εξοπλισμός Τύπος, Διαθέσιμος, σε συντήρηση Συντηρείται. Σε χρήση Δίκτυο υπολογιστών Χρήστης Τύπος (προγραμματιστής, αναλυτής, ΔΕΠ, φοιτητής, Διοικητικός) Γράφει στο πληκτρολόγιο. Διαβάζει από την οθόνη. Ελέγχει το πρόγραμμα Οθόνη Αδρανής, ενεργός. Έγχρωμη, ασπρόμαυρη Παρουσιάζει στοιχεία. Εμφανίζει γραφήματα CPU Εκτυπωτής δικτύου Κλειστή, ανοιχτή, Αδρανής, ενεργή, Ποσοστό χρήσης, Τύπος Αδρανής, ενεργός τύπος, είδος χαρτιού, εργασίες εκτύπωσης Ελέγχει στοιχεία, κάνει πράξεις, στέλνει αποτελέσματα τυπώνει (ενεργός), δέχεται εκτύπωση ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.47

ΟΝΤΟΤΗΤΕΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ-ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Σύστημα Οντότητες Ιδιότητες Δραστηριότητες Γραμματεία Πρωτόκολλο Εισερχόμενο. Εξερχόμενο. Προέλευση. Προορισμός Κατάστημα τροφίμων Καταγραφή αριθμού πρωτοκόλλου. Εισαγωγή στοιχείων Πελάτες Λίστα τροφίμων, ηλικία, φύλο Επιλέγει τρόφιμα, πληρώνει Ταμίες Έκδοση τιμολογίων, αποδείξεων Τιμολογεί προϊόντα Σύστημα ελέγχου κυκλοφορίας Οποιοδήποτε σύστημα ουράς αναμονής Οχήματα Ταχύτητα, τύπος. Κινείται, σταμάτησε. Οδηγοί Ηλικία, είδος διπλώματος, φύλο Οδηγεί, περιμένει, διαπληκτίζεται Σηματοδότης Χρώμα Λειτουργεί Υπηρέτης Ενεργός, αδρανής Εξυπηρετεί Ουρά Μήκος Πελάτης Ηλικία, στόχος Αναμένει, εξυπηρετείται ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.48

Παράδειγμα 1.12: τράπεζα WOPM-1 τμήμα εξυπηρέτησης ιδιωτών της τράπεζας ασχολείται με την έκδοση πιστωτικών καρτών, τη χορήγηση στεγαστικών, καταναλωτικών και άλλων δανείων, την ενημέρωση και παροχή πληροφοριών για καταθετικά και επενδυτικά προϊόντα, την ενημέρωση για ασφαλιστικά προγράμματα, κ.λπ. διευθυντής (DIR), υπάλληλοι Α (ΥΑ): αιτήσεων των πελατών, υπάλληλοι Β (ΥΒ):τηλεφωνικές επαφές, υπάλληλοι Γ (YΓ): επεξεργασία των στοιχείων, υπάλληλοι γενικών καθηκόντων (EK):υποδοχή πελατών, χειριστές ηλεκτρονικών συστημάτων (XHΣ): διαχείριση της βάσης δεδομένων του τμήματος Οι πελάτες έρχονται στο τμήμα και ακολουθούν την πορεία που περιγράφουν τα βέλη. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (ΤΜΗΜΑ) ΕΊΝΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟ! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.49

Παράδειγμα 1.12: τράπεζα WOPM-2 τμήμα εξυπηρέτησης ιδιωτών της τράπεζας ΛΟΓΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΦΙΞΗΣ ΠΕΛΑΤΗ ΣΤΟ ΕΚ Ο πελάτης φθάνει στον τμήμα υποδοχής ΕΚ για πληροφορίες και ανάλογα προωθείται στο τμήμα ΥΑ (αιτήσεων) Αν υπάρχει ουρά προστίθεται στην ουρά Αν δεν υπάρχει ουρά είτε δίνονται πληροφορίες και αναχωρεί ο πελάτης είτε προωθείται στο ΥΑ για εξυπηρέτηση ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.50

Παράδειγμα 1.12: τράπεζα WOPM-3 τμήμα εξυπηρέτησης ιδιωτών της τράπεζας ΛΟΓΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΝΑΧΩΡΗΣΗΣ ΠΕΛΑΤΗ ΣΤΟ ΕΚ Ο πελάτης φθάνει στον τμήμα υποδοχής ΕΚ για πληροφορίες και ανάλογα προωθείται στο τμήμα ΥΑ (αιτήσεων) Αν υπάρχει ουρά προστίθεται στην ουρά Αν δεν υπάρχει ουρά είτε δίνονται πληροφορίες και αναχωρεί ο πελάτης είτε προωθείται στο ΥΑ για εξυπηρέτηση Πως σχετίζονται τα υπόλοιπα τμήματα ΥΒ, ΥΓ, ΧΗΣ? Μέσω των αιτήσεων που κάνει ο πελάτης και προωθούνται στους YΓ, είτε μέσω τηλεφωνικών κλήσεων των ΥΒ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.51

Παράδειγμα 1.12: τράπεζα WOPM-Σύνοψη τμήμα εξυπηρέτησης ιδιωτών τράπεζας ΣΤΟΧΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Διερεύνηση της Λειτουργίας του τμήματος Που υπάρχει τυχαιότητα, ποιες είναι οι σχέσεις τμημάτων, ποιες είναι οι οντότητες, Σύγκριση πιθανών εναλλακτικών Αν κάναμε αλλαγές θα είχαμε καλύτερη λειτουργία? δοκιμές Πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς, βελτιστοποίηση απόδοσης χρήση καλύτερων εναλλακτικών Λήψη Αποφάσεων από τη Διοίκηση υιοθέτηση βέλτιστης λειτουργίας ή βελτιώσεων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.52

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Ποιοι είναι οι τύποι προσομοίωσης ενός συστήματος ανάλογα με το στόχο. Ποια είναι η λογική σειρά. 2. Πως περιγράφουμε την κατάσταση ενός συστήματος στην προσομοίωση. 3. Πως μπορούμε να περιγράψουμε την κατάσταση του συστήματος ενός εστιατορίου. 4. Πως μπορούμε να διακρίνουμε τα Διακριτά από τα Συνεχή συστήματα. 5. Πότε θεωρούμε ότι ένα σύστημα είναι στοχαστικό. 6. Αναφέρετε 2 τρόπους χειρισμού του ρολογιού της προσομοίωσης, ποιος θεωρείται καλύτερος και γιατί? 7. Τι είναι το ημερολόγιο γεγονότων προσομοίωσης. Για ποιο λόγο το χρησιμοποιούμε? 8. Τι είναι ο Άξονας Χρόνου Προσομοίωσης. 9. Ποια είναι η σχέση του ημερολόγιου γεγονότων με τον άξονα χρόνου προσομοίωσης. 10. Τι είναι ενδογενείς και εξωγενείς μεταβλητές προσομοίωσης, αναφέρετε τις αντίστοιχες μεταβλητές στο σύστημα G/G/1. 11. Τι ορίζουμε ως οντότητα, ιδιότητα, δραστηριότητα σε μια προσομοίωση. 12. Αναφέρετε 1 παράδειγμα συστήματος για προσομοίωση και κάποιες οντότητες, ιδιότητες, δραστηριότητες του. 13. Για ποιο λόγο χρησιμοποιούμε τις οντότητες, ιδιότητες, δραστηριότητες στην προσομοίωση. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.53

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Έστω ένα σύστημα εξυπηρέτησης G/G/1 για το οποίο οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων ΧΑΑ και οι χρόνοι εξυπηρέτησης ΧΕ για τους 10 πρώτους πελάτες δίνονται από τον παρακάτω πίνακα (δημιουργήθηκαν από κάποια κατανομή) α) Υπολογίστε το ημερολόγιο Γεγονότων της προσομοίωσης για τους 10 πελάτες. β) Δημιουργείστε τον άξονα του χρόνου με τα γεγονότα της προσομοίωσης ΤΥΧΑΙΟΙ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ Πελάτης ΧΑΑ ΧΕ 1 0 3 2 3 2 3 2 3 4 1 1 5 2 2 6 3 3 7 4 3 8 2 2 9 1 3 10 3 3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.54

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2. Στη διασταύρωση των δρόμων του σχήματος οι «επιτρεπόμενες κινήσεις» των αυτοκινήτων δίνονται από τα αντίστοιχα βέλη κατεύθυνσης. Περιγράψτε τις οντότητες και μεταβλητές που χρειαζόμαστε για να προσομοιώσουμε την κίνηση των αυτοκινήτων στη διασταύρωση (Υποθέτουμε ότι ένα αυτοκίνητο μπορεί να έρχεται από τον δρόμο Α, Β ή Γ στη διασταύρωση και έχει τις εναλλακτικές για την κατεύθυνσή του που παρουσιάζουν τα βέλη). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 2.55 SIMUL ATION