Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 8 η Διάλεξη: Διανομή και Δρομολόγηση Οχημάτων 019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών

Αναφορές Οι σημειώσεις έχουν βασιστεί σε 1. Υλικό του ΣυΣΠαΛ. Μαρινάκης, Ι. και Μυγδαλάς, Α., Σχεδιασμός και Βελτιστοποίηση της Εφοδιαστικής Αλυσίδας, Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη, 008

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων 3

Δρομολόγηση και Προγραμματισμός (1/) Οι εταιρίες που αναλαμβάνουν την τελική μεταφορά και διανομή προϊόντων σε διάφορα σημεία εξυπηρέτησης (πελάτες) καθώς και οι εταιρίες δημόσιων συγκοινωνιών χρησιμοποιούν στόλο οχημάτων και οδηγούς/πληρώματα Η βέλτιστη διαχείριση αυτών των οχημάτων καθώς και των πληρωμάτων τους, δημιουργεί μια σειρά από προβλήματα διαχείρισης και ανάθεσης τα οποία εμπεριέχονται κάτω από τη γενική κατηγορία προβλημάτων «δρομολόγησης και προγραμματισμού» Πηγή: Bodin et al., 1983 Στη διανομή φορτίου στο στόλο φορτηγών οχημάτων ανατίθενται παραδόσεις (ή παραλαβές) φορτίων. Ο στόχος είναι να παραδοθεί (ή να παραληφθεί) το σύνολο των φορτίων στο χαμηλότερο δυνατό κόστος, ή χρόνο και να τηρηθούν όλοι οι σχετικοί περιορισμοί π.χ. χωρητικότητα οχημάτων, χρονικά «παράθυρα» παραδόσεων ή/και άλλοι περιορισμοί δικτύου ή λειτουργίας. Τα σχετικά προβλήματα περιγράφονται από μοντέλα συνδυαστικής βελτιστοποίησης δυαδικού (κατά κανόνα) προγραμματισμού και είναι υψηλής πολυπλοκότητας (np hard) που αυξάνεται εκθετικά με το μέγεθος του προβλήματος

Δρομολόγηση και Προγραμματισμός (/) Για το λόγο αυτό έχουν ειδικές μέθοδοι (ακριβείς exact) που εντοπίζουν τη βέλτιστη λύση σε εύλογο χρόνο πρακτικών προβλημάτων σχετικά μέτριου μεγέθους Για μεγάλα προβλήματα χρησιμοποιούνται ευρετικές και μετευρετικές μέθοδοι (π.χ. γενετικοί αλγόριθμοι, αναζήτηση tabu, κλπ.) Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων δημόσιων συγκοινωνιών έχει ομοιότητες αλλά και διαφορές με το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων logistics. Τα σημαντικά θέματα του προβλήματος των δημόσιων συγκοινωνιών είναι α) η εκτέλεση των προγραμματισμένων διαδρομών με βάση συγκεκριμένο πίνακα δρομολογίων, β) η ανάθεση οχημάτων στα δρομολόγια αυτά, γ) η ανάθεση οδηγών στα οχήματα Τα σχετικά προβλήματα μοντελοποιούνται επίσης ως προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης, είναι np hard και επιλύονται με exact, ευρετικές ή μετευρετικές μεθόδους. 5

Τυπικές παράμετροι της οικογένειας προβλημάτων δρομολόγησης οχημάτων διανομής Στόλος οχημάτων Πλήρωμα /λειτουργία Χώροι στάθμευσης Πλήθος οχημάτων Ομογενής/ετερογενής στόλος, χωρητικότητα σε όγκο ή/και βάρος Τύπος: Ξηρό φορτίο, ψυγεία, κατάψυξη, επικίνδυνα φορτία Μέγιστος επιτρεπόμενος χρόνος οδήγησης Διάλειμμα οδηγού (συνήθως στη μέση της βάρδιας) Ένας ή πολλαπλοί Χωρητικότητα Σημεία παράδοσης/ ζήτηση Γεωγραφικά σημεία Παράδοση μόνο, παραλαβή μόνο, μικτή λειτουργία Ζήτηση προκαθορισμένη και γνωστή ανά σημείο Ζήτηση τυχαία με γνωστή κατανομή ανά σημείο Ολική ικανοποίηση ζήτησης ή δυνατότητα μερικής ικανοποίησης Χρονικά «παράθυρα» ανά πελάτη Δίκτυο Ευκλείδεια απόσταση, απόσταση Manhatan, γεωγραφικό δίκτυο Σταθερός/μεταβλητός χρόνος (με βάση τις κυκλοφοριακές συνθήκες) Περιορισμοί κυκλοφορίας (ώρες, περιοχές) Πηγή: Bodin et al., 1983 6

Δίκτυο Τα σχετικά προβλήματα μοντελοποιούνται με τη βοήθεια δικτύων Ένας γράφος είναι ένας συνδυασμός κόμβων και ακμών Κάθε ακμή συνδέει δυο κόμβους Ένα δίκτυο είναι ένας γράφος με ροή μέσω των ακμών. Για παράδειγμα ένα οδικό δίκτυο περιλαμβάνει τη ροή οχημάτων, ένας αγωγός τη ροή ενός υγρού, κτλ Πηγή: Hiller και Lieberman, 1990 Παράδειγμα Το σύνολο των κόμβων του δικτύου είναι V={1,,3,,5} Το σύνολο των ακμών του δικτύου ορίζεται από το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών: 1 5 Α={(1,),(,3),(,5),(5,1),(5,3),(3,5),(,3),(5,), (1,)} 3 7

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων 8

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (SPP) (1/) Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Παράδειγμα προβλήματος Εύρεση της συντομότερης διαδρομής με στόχο να ταξιδέψουμε από το σημείο Α στο σημείο Β περνώντας από ενδιάμεσους σταθμούς (π.χ. πόλεις) 1 15 5 5 5 0 5 Δεν πρέπει να επισκεφθούμε όλα τα σημεία (π.χ. πόλεις) 3 5 5 Το κόστος υπολογίζεται είτε ως διανυόμενη απόσταση (km) ή ως χρόνος (min) για να διανύσουμε αυτή την απόσταση Η συντομότερη διαδρομή από τον Κόμβο 1 στον κόμβο 5 είναι [1,3,,,5] με κόστος 0 9

Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (SPP) (/) Έστω Μαθηματικό μοντέλο προβλήματος S κόμβος έναρξης, E κόμβος περάτωσης A ο γράφος με τόξα (i, j) c ij το κόστος διάνυσης του τόξου (i, j) x ij =1 εάν το τόξο (i, j) περιλαμβάνεται στην συντομότερη διαδρομή και x ij =0 εάν όχι δ (i) το σύνολο των τόξων που καταλήγουν στο κόμβο i min c ij x ij (i,j) Α (S,j) δ + (S) (i,e) δ (E) x Sj = 1 x ie = 1 δ + (i) το σύνολο των τόξων που αρχίζουν από x ih x hj = 0 το κόμβο i (i,h) δ (h) (h,j) δ + (h) x ij 0,1, (i, j) A 10

Αλγόριθμος Dykstra: Bήματα επίλυσης παραδείγματος Βήμα Λυμένοι κόμβοι άμεσα συνδεδεμένοι με μη λυμένους κόμβους Πλησιέστεροι μη λυμένοι κόμβοι Συνολική απόσταση Πλησιέστερο ς κόμβος Ελάχιστη απόσταση Συντομότερη διαδρομή 1 O A Α (O,A) O C C (O,C) A B += B (A,B) 3 A D +7=9 B E +3=7 E 7 7 (B,E) C E +=8 A D +7=9 B D +=8 D 8 8 (B,D) E D 7+1=8 D 8 8 (E,D) 5 D E T Τ 8+5=13 7+7=1 T 13 13 (D,T) Α Ο 7 5 Β 1 D 1 T Η συντομότερη διαδρομή είναι: η [O, A, B, D, T] και η [O, A, B, Ε, D, T] με κόστος 13 C E Πηγή: Kasilingam, 1998 11

Συνάρτηση επίλυσης SPP σε προγραμματιστικό περιβάλλον Μatlab Το Matlab περιλαμβάνει συναρτήσεις για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης μεταξύ των οποίων και τη συνάρτηση graphshortestpath που χρησιμοποιείται για την εύρεση της συντομότερης διαρδρομής Έξοδος Συνάρτηση Είσοδος Σημείωση: Για την αναλυτική περιγραφή της συνάρτησης χρήση της εντολής : help graphshortestpath Matlab R01b 1

Εφαρμογή της συνάρτησης graphshortestpath στο προηγούμενο παράδειγμα 7 5 3 1 5 7 1 6 1 Matlab R01b 13

Αποτελέσματα της συνάρτησης graphshortestpath στο προηγούμενο παράδειγμα Έξοδος συνάρτησης: Κόστος και μονοπάτι Γραφική απεικόνιση δικτύου και συντομότερης διαδρομής Matlab R01b 1

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή 3.1 Ο αλγόριθμος του πλησιέστερου γείτονα 3. Ο αλγόριθμος εισαγωγής κόμβων. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων 15

Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP) Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Πωλητής αναχωρεί από σημείο εκκίνησης πρέπει να επισκεφθεί συγκεκριμένα σημεία (πόλεις) και να γυρίσει στο αρχικό σημείο (στο σημείο εκκίνησης) Παράδειγμα πραγματικού προβλήματος Ένα βέλτιστο πλάνο TSP για τις 15 μεγαλύτερες πόλεις στη Γερμανία. Είναι η μικρότερη διαδρομή από 3.589.15.600 πιθανές διαδρομές που υπάρχουν, δεδομένου ότι επισκεπτόμαστε κάθε πόλη μόνο μια φορά Επισκέπτεται την κάθε πόλη μόνο μια φορά Να ευρεθεί η διαδρομή με το μικρότερο κόστος (ως διανυόμενη απόσταση ή ως χρόνο ταξιδίου) 16

Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP) Οι George Dantzig, Ray Fulkerson, και Selmer Johnson (195) ήταν οι πρώτοι που έλυσαν ένα πρόβλημα με 9 πόλεις Οι Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, και Helsgaun (001) έλυσαν ένα πρόβλημα με 15.11 πόλεις στη Γερμανία Και το 00 βρήκαν τη βέλτιστη διαδρομή επίσκεψης για,978 πόλεις στη Σουηδία (περίπου 7.500 χλμ) Χρονοδιάγραμμα επίλυσης του TSP Έτος 195 196 1977 1987 1987 1987 199 1998 001 00 Πόλεις n=9 n=33 n=10 n=53 n=666 n=39 n=7397 n=13509 n=1511 n=978 Πηγή: tsp.gatech.edu, 008 17

Μαθηματικό μοντέλο του TSP G(V, A) j i 0 v Μεταβλητές και Σύμβολα Έστω G(V, A) γράφος ο οποίος περιέχει: V = {0, 1,,, v}: το σύνολο n των κόμβων (n = v + 1) Α: το σύνολο όλων των ακμών που ενώνουν τον κόμβο 0 με όλους τους άλλους κόμβους εκτός από τον v και όλους τους κόμβους V\{0, v} μεταξύ τους και με τον v x ij : Λαμβάνει την τιμή 1 αν η ακμή i, j A συμμετέχει στην τελική λύση, αλλιώς λαμβάνει την τιμή 0 (μεταβλητή απόφασης) d ij : το κόστος μετάβασης από τον κόμβο i στον κόμβο j u i : η θέση του κόμβου i στο δρομολόγιο (σειρά επίσκεψης) δηλαδή μία θετική ακεραία μεταβλητή για κάθε κόμβο i η οποία δείχνει τη σειρά επίσκεψης στον κόμβο i V\{0, v}, u 0 = 0 και u v = v 18

Μαθηματικό μοντέλο του TSP j G(V, A) Αντικειμενική συνάρτηση i min d ij x ij i,j A 0 v Περιορισμοί x ij = 1, j V\0 i V x ij j V = 1, i V\v u i + 1 Μ(1 x ij ) u j i, j Α x ij 0,1, i, j Α Εξασφαλίζουν ότι υπάρχει ακριβώς μία μετάβαση από και προς κάθε σημείο του δικτύου Εξασφαλίζουν ότι δε θα υπάρχουν κλειστοί κύκλοι μέσα στο δρομολόγιο (sub tours). Πιο συγκεκριμένα, αν υπάρχει μετάβαση από το i στο j η σειρά επίσκεψης του j θα είναι κατά 1 μεγαλύτερη απ ότι η σειρά επίσκεψης του i. (M= ένας πολύ μεγάλος αριθμός) u i N 0 i V, u 0 = 0, u ν = ν Πηγή: Miller et al., 1960 19

Παράδειγμα TSP d ij : κόστος μετάβασης 0 1 3 0 0 3 7 8 9 1 3 0 1 6 7 1 0 8 3 8 0 5 9 6 8 5 0 i V Αντικειμενική συνάρτηση min d ij x ij x ij = 1, j V\0 i,j A Περιορισμοί π.χ. για j = 1 x 1 + x 31 + x 1 + x 11 + x 01 = 1 j V x ij = 1, i V\v π.χ. για i = 1 x 10 + x 11 + x 1 + x 13 + x 1 = 1 u i + 1 Μ(1 x ij ) u j i, j Α π.χ. για i = 1 και j = u 1 + 1 Μ 1 x 1 u x ij 0,1, i, j A u i N 0 i V, u 0 = 0, u ν = ν 0

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή 3.1 Ο αλγόριθμος του πλησιέστερου γείτονα 3. Ο αλγόριθμος εισαγωγής κόμβων. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων 1

Ο απλούστερος αλγόριθμος επίλυσης: Πλησιέστερος γείτονας d ij : κόστος μετάβασης 0 1 3 0 0 3 7 8 9 1 3 0 1 6 7 1 0 8 3 8 0 5 9 6 8 5 0 Τα βήματα του αλγορίθμου 1. Εκκίνηση από κόμβο 0. Μετάβαση στον πλησιέστερο κόμβο 3. Επανάληψη του βήματος μέχρι να εξαντληθούν όλοι οι κόμβοι. Κατάληξη στον κόμβο 0 Παράδειγμα Το μονοπάτι είναι 0-1--3--0 Με κόστος 0 Η χειρότερη περίπτωση Κόστος λύσης αλγορίθμου ( 1 log (n) + 1 ) * κόστος βέλτιστης λύσης

Παράδειγμα του αλγορίθμου του Πλησιέστερου Γείτονα Βήμα A Βήμα Β 5,km 5 8,km 5 1 1 3,8km 3,1km 10,5km 6 6 Βήμα Γ Βήμα Δ 5km 6km 5 8,5km 5 1 3 1 3 9,km 3,6km 7,8km 6 6 9,5km 3

Παράδειγμα του αλγορίθμου του Πλησιέστερου Γείτονα Βήμα Ε Βήμα ΣΤ 5km 5km 5 8,5km 5 1 3 9,5km 1,8km 3 5km 3,6km 10,5km 6 6,8 + 3,6 + 8,5 + 5 + 5 + 10,5 = 35,km

Αλγόριθμος πλησιέστερου γείτονα vs βέλτιστη λύση ΠΓ Βέλτιστη Λύση 8,5km 5km 5 5,km 5km 5 1,8km 3 3,6km 5km 10,5km 1 3 7,8km,1km 3,6km 6 6 5km,8 + 3,6 + 8,5 + 5 + 5 + 10,5 = 35,km 5, + 5 + 5 +7,8 + 3,6 +,1 = 30,9km 5

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή 3.1 Ο αλγόριθμος του πλησιέστερου γείτονα 3. Ο αλγόριθμος εισαγωγής κόμβων. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων 6

Άλλος αλγόριθμος επίλυσης : Διαδικασία εισαγωγής κόμβων d ij : κόστος μετάβασης 0 1 3 0 0 3 7 8 9 1 3 0 1 6 7 1 0 8 3 8 0 5 9 6 8 5 0 Παράδειγμα Το μονοπάτι είναι 0-1--3--0 (;) Με κόστος 0 (;) Τα βήματα του αλγορίθμου 1. Εκκίνηση από κόμβο i. Εύρεση πλησιέστερου κόμβου k και σχηματισμός κυκλικής διαδρομής i k i 3. Εύρεση πλησιέστερου κόμβου e σε οιοδήποτε κόμβο υφιστάμενης διαδρομής. Εύρεση τόξου a, b της υφιστάμενης διαδρομής που ελαχιστοποιεί το κόστος c ae + c eb c ab και εισαγωγή e ανάμεσα στους κόμβους a και b. 5. Επιστροφή στο βήμα 3 εκτός αν η διαδρομή περιλαμβάνει όλους τους κόμβους από μία φορά (κύκλος Hamilton_ Η χειρότερη περίπτωση Κόστος λύσης αλγορίθμου * κόστος βέλτιστης λύσης 7

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων.1 Ο αλγόριθμος Clark and Wright Savings. Αλγόριθμος δύο φάσεων 8

Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων (Vehicle Routing Problem) 1/3 Προτάθηκε από τους Dantzig and Ramser το 1959 Είναι πρόβλημα μεγάλης πολυπλοκότητας: np hard μεγαλύτερη από πολυωνυμική πολυπλοκότητα σε σχέση με τον αριθμό των πελατών (Reimann et al., 003) Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές του βασικού προβλήματος: Capacitated VRP (CVRP) VRP with time windows (VRPTW) Multiple Depot VRP (MDVRP) Split Delivery VRP (SDVRP) VRP with Backhauls (VRPB) (με επιστροφές στην αποθήκη) VRP with Pickups and Deliveries (VRPPD) Dynamic VRP (DVRP) Πηγή: Dantzig και Ramser, 1959 9

Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων (Vehicle Routing Problem) /3 Περιγραφή - Στόχος προβλήματος Ένας αριθμός οχημάτων πρέπει να επισκεφθεί ένα δεδομένο αριθμό πελατών (σημείων). Όλα τα οχήματα εκκινούν από ένα σημείο και πρέπει να επιστρέψουν στο αρχικό σημείο εκκίνησης Κάθε πελάτης πρέπει να εξυπηρετηθεί μία μόνο φορά Παράδειγμα προβλήματος Depot Το κόστος υπολογίζεται είτε ως συνολική διανυόμενη απόσταση ή ως συνολικός χρόνος για να διανθθεί αυτή η απόσταση Το συσωρευτικό κόστος όλων των οχημάτων πρέπει να ελαχιστοποιηθεί Depot Πηγή: neo.lcc.uma, 00 30

Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων (Vehicle Routing Problem) 3/3 Ελαχιστοποίησε: Περιγραφή - Στόχος προβλήματος το κόστος μεταφοράς (χρόνος ή απόσταση) τον αριθμό των οχημάτων ή/και του πληρώματος Με τους εξής περιορισμούς: όλοι οι πελάτες εξυπηρετούνται μόνο μια φορά όλα τα οχήματα ξεκινούν και καταλήγουν στο ίδιο σημείο (depot) χρόνος κίνησης οχήματος <= βάρδια οδηγού όγκος προϊόντων προς διανομή ανά όχημα <= χωρητικότητα οχήματος Επιπρόσθετοι περιορισμοί: κάθε πελάτης πρέπει να εξυπηρετηθεί σε συγκεκριμένα χρονικά παράθυρα η παραλαβή συγκεκριμένων προϊόντων πρέπει να γίνει πριν την παράδοση πελάτες με συγκεκριμένα εμπορεύματα μπορούν να εξυπηρετηθούν μόνο από συγκεκριμένα είδη οχημάτων 31

Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος δρομολόγησης οχημάτων (VRP) Μεταβλητές και Σύμβολα Αντικειμενική συνάρτηση Κ: αριθμός διαθέσιμων οχημάτων V : Σύνολο κόμβων Α : Σύνολο ακμών S: Υποσύνολο κόμβων d ij : Το κόστος (χρόνος) μετάβασης από i σε j x ij = 1 εάν το τόξο (i,j) ανήκει σε διαδρομή και 0 εάν δεν ανήκει r(s): O ελάχιστος αριθμός των οχημάτων που χρειάζονται για να εξυπηρετηθούν οι κόμβοι του S π.χ. λόγω της χωρητικότητας των οχημάτων ορίζεται ως: r(s) = p S C Όπου, p(s) είναι το συνολικός όγκος προϊόντων i V\S j S min d ij x ij i V j V j V i V (i,j) A Περιορισμοί x ij = 1, j V\0 x ij x 0j x i0 = 1, i V\0 = Κ, = Κ, x ij r S, S V\0, S προς διανομή στους πελάτες που ανήκουν στο S και x ij 0,1, C η χωρητικότητα του κάθε οχήματος i, j V Πηγή: Toth and Vigo, 00 3

10 k: αριθμός οχημάτων, k = 0 Εφαρμογή μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος της δρομολόγηση οχημάτων (VRP) Δεδομένα C: χωρητικότητα οχήματος, C = 10 d ij : κόστος μετάβασης από τον i στον j, d ij = 5 Υπόμνημα 0 depot Όγκος προς διανομή σε κάθε θέση πελάτη πελάτη Δεδομένα π. χ. για S: 3, και άρα V/S: {0,1,} p S : συνολικός όγκος προϊόντων προς διανομή στους πελάτες που ανήκουν στο S, p(s) = 5 για S: 3, r(s) = p S C 1 Εφαρμογή μοντέλου = 5 10 = 1 3 3 0 3 7 8 9 3 0 1 6 7 1 0 8 8 0 5 9 6 8 5 0 min d ij x ij (i,j) A i V\S j S i V j V j V i V Αντικειμενική συνάρτηση x ij = 1, j V\0 x ij x 0j x i0 = 1, i V\0 = Κ, = Κ, x ij r S, x ij Μεταβλητή απόφασης Παράμετρος S V\0, S 0,1, i, j V d 00 x 00 + d 01 x 01 + d 0 x 0 + d 03 x 03 + d 0 x 0 + d 10 x 10 + d 11 x 11 + d 1 x 1 + d 13 x 13 + d 1 x 1 + d 0 x 0 + d 1 x 1 + d x + d 3 x 3 + d x + d 30 x 30 + d 31 x 31 + d 3 x 3 + d 33 x 33 + d 3 x 3 + d 0 x 0 + d 1 x 1 + d x + d 3 x 3 + d x Περιορισμοί π.χ. για j = 1 x 01 + x 11 + x 1 + x 31 + x 1 = 1 π.χ. για i = 1 x 10 + x 11 + x 1 + x 13 + x 1 = 1 π.χ. x 00 + x 01 + x 0 + x 03 + x 0 = π.χ. x 00 + x 10 + x 0 + x 30 + x 0 = π.χ. για S: 3, x 03 + x 13 + x 3 + x 0 + x 1 +x 1 Η μεταβλητή απόφασης x ij, για κάθε i, j V μπορεί να λάβει την τιμή 0 ή 1 33

Αλγόριθμοι επίλυσης VRP Μαθηματικός Προγραμματισμός Αφορά μεθόδους οι οποίες καταλήγουν στην βέλτιστη λύση ενός προβλήματο. Σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτούν συνήθως είναι μεγάλος Ευρετικοί Αλγόριθμοι Σχετικά απλές διαδικασίες που ακολουθούν λογικούς (εμπειρικούς) κανόνες για να αποδώσουν γρήγορα λύσεις που συνήθως δεν είναι βέλτιστες Αλγόριθμος Πλησιέστερου Γείτονα (Nearest Neighbor Algorithm) Clark & Wright Savings 3

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων.1 Ο αλγόριθμος Clark and Wright Savings. Αλγόριθμος δύο φάσεων 35

Αλγόριθμος Clark & Wright Savings Ο ευρετικός αλγόριθμος Clarke & Wright Savings (C&W) είναι από τις πιο διαδεδομένες τεχνικές επιλύσεις προβλημάτων δρομολόγησης Ο αλγόριθμος εκκινεί θεωρώντας ότι κάθε κόμβος εξυπηρετείται ται από ένα διαφορετικό όχημα Υπολογίζει την εξοικονόμηση (saving) από την ένωση δύο δρομολογίων π.χ.: Αν η απόσταση από τον κόμβο στον 3 είναι 5km και η συνολική Depot 1 10km 10km 8km 8km 3 5km απόσταση που καλύπτεται από τα δύο οχήματα είναι 36km Τότε η εξοικονόμηση που θα προκύψει είναι: 10+8-5= 13km 36

Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Υπολογισμός εξοικονόμησης Στο σχήμα παρουσιάζονται τα αρχικά δρομολόγια (μπλε γραμμές) Με διακεκομμένες γραμμές παρουσιάζονται οι ακμές που δεν χρησιμοποιούνται στη λύση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Το πρώτο βήμα για την δημιουργία ενός ολοκληρωμένου δρομολόγιου είναι η ένωση των κόμβων με την μεγαλύτερη εξοικονόμηση 8km 8km 3 5km εφαρμόζοντας τον τύπο: S ij = c 1i + c 1j c ij Κόμβοι (i j) Savings S ij Ταξινόμηση i = j = 3 10 + 8 5 = 13km S 3 = 13 1 i = j = 5 + 10 3 = 1km S = 1 i = 3 j = 5 + 8 7 = 6km S 3 = 6 3 Η ένωση -3 αποδίδει την μεγαλύτερη εξοικονόμηση 38

Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Ένωση κόμβων με την καλύτερη εξοικονόμηση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Depot 1 5km 5km 10km 8km 5km 8km 5km 8km 3 3 5 + 5 + 10 + 10 + 8 + 8 = 6km 5 + 5 + 10 + 5 + 8 = 33km Κόμβοι (i j) Savings S ij Ταξινόμηση i = j = 3 10 + 8 5 = 13km S 3 = 13 1 i = j = 5 + 10 3 = 1km S = 1 i = 3 j = 5 + 8 7 = 6km S 3 = 6 3 Η ένωση -3 αποδίδει την μεγαλύτερη εξοικονόμηση 39

Αλγόριθμος Clark & Wright Savings: Ένωση κόμβων με την επόμενη καλύτερη εξοικονόμηση Depot 1 5km 5km 10km 10km 7km 3km Depot 1 5km 3km 8km 5km 8km 5km 8km 3 3 5 + 5 + 10 + 10 + 8 + 8 = 6km 5 + 3 + 5 + 8 = 1km Ένωση των κόμβων με την επόμενη καλύτερη εξοικονόμηση: οι κόμβοι και Κόμβοι (i j) Savings Sij Ταξινόμηση i = j = 10 + 5 3 = 1km S = 1 Το ολοκληρωμένο δρομολόγιο είναι 1 3 1, με συνολική απόσταση 1km Η ένωση - αποδίδει την επόμενη μεγαλύτερη εξοικονόμηση Η συνολική εξοικονόμηση για την δημιουργία ενός δρομολογίου με όλους τους κόμβους είναι 5km 0

Παράδειγμα αλγορίθμου Clark & Wright Savings Εφαρμόστε τον αλγόριθμο τον αλγόριθμο Clark & Wright Savings ώστε να δημιουργήστε ένα δρομολόγιο που θα εξυπηρετεί όλους τους κόμβους του παρακάτω σχήματος. Το δρομολόγιο θα πρέπει να εκκινεί από τον κόμβο 0 και να επιστρέφει σε αυτόν, αφού έχουν εξυπηρετηθεί όλοι οι υπόλοιποι κόμβοι. Ο πίνακας περιέχει τις αποστάσεις μεταξύ των κόμβων του σχήματος. 90 80 70 60 3 5 Πίνακας Αποστάσεων Κόμβων Από Προς 0 1 3 5 0 0 3 37 7 8 1 3 0 35 0 8 6 37 35 0 0 37 50 0 1 0 3 0 0 0 53 6 7 8 37 53 0 59 30 5 8 6 6 59 0 0 5 10 15 0 5 30 35 0 1

1. Ορισμός κόμβου 0 ως κόμβου αποθήκης. Υπολογισμός της εξοικονόμησης (δημιουργία πίνακα εξοικονόμησης) από τη σύνδεση των κόμβων i και j: Επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τα βήματα του αλγορίθμου Clark & Wright Savings Ακολουθώντας τα βήματα του αλγορίθμου: Πίνακας εξοικονόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 5 5 5 5 59 7 61 3 5 59 16 8 S ij = c 0i + c 0j c ij 7 16 16 5 5 61 8 16 3. Ταξινόμηση των εξοικονομήσεων (δημιουργία πίνακα ταξινόμησης) από την μεγαλύτερη στην μικρότερη Πίνακας ταξινόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 18 16 0 1 17 6 8 3 15 5 1 19 7 11 10 5 13 3 1 9 Σημείωση: Δεν χρειάζεται να υπολογιστούν

Επίλυση του παραδείγματος εφαρμόζοντας τα βήματα του αλγορίθμου Clark & Wright Savings. Ξεκινώντας από την κορυφή της λίστας και ακολουθώντας την ταξινομημένη λίστα εξοικονομήσεων, σύνδεσε κατάλληλα τους κόμβους εξετάζοντας την εφικτότητα της σύνδεσης. Εαν δεν είναι εφικτή η σύνδεση προχώρα στην επόμενη ταξινόμηση μέχρι να σχηματιστεί μια ολοκληρωμένη λύση Nodes: 5-3 Savings: 8 New path: 0 5 3 0 Nodes: 3-5 Savings: 8 Skip Nodes: 5 - Savings: 61 New path: 0 5 3 0 Nodes: - 5 Savings: 61 Skip Nodes: 3 - Savings: 59 Skip Nodes: - 3 Savings: 59 Skip Nodes: - Savings: 7 New path: 0 5 3 0 Nodes: - Savings: 7 Skip Nodes: 5 - Savings: 16 Skip Nodes: - 5 Savings: 16 Skip Nodes: - 3 Savings: 16 Skip Nodes: 3 - Savings: 16 Skip Nodes: 5-1 Savings: 5 Skip Nodes: 1-5 Savings: 5 Skip Nodes: 3-1 Savings: 5 New path: 0 5 3 1 0 Όλοι οι κόμβοι συμμετέχουν στο δρομολόγιο οπότε τελειώνει ο αλγόριθμος Clark & Wright Savings Πίνακας ταξινόμησης Από Προς 0 1 3 5 0 1 18 16 0 1 17 6 8 3 15 5 1 19 7 11 10 5 13 3 1 9 0 Συνολική απόσταση δρομολογίου: 137 5 10 15 0 5 30 35 0 90 80 70 60 50 0 30 1 0 3 5 3

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή στη διανομή. Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής 3. Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων.1 Ο αλγόριθμος Clark and Wright Savings. Αλγόριθμος δύο φάσεων

To VRP επιλύεται σε δύο φάσεις Στη φάση 1 επιλύεται το γενικευμένο πρόβλημα εκχώρησης πελατών σε οχήματα Στη φάση επιλύεται το πρόβλημα περιοδεύονος πωλητή για κάθε όχημα και την αντίστοιχη ομάδα πελατών Φάση 1 Σχηματίζουμε και επιλύουμε το γενικευμένο πρόβλημα εκχώρησης (generalized assignment problem - GAP) Ανάθεση n πελατών σε m οχήματα. Ο κάθε πελάτης i έχει ζήτηση a i και το κάθε όχημα j έχει χωρητικότητα b j Ο αλγόριθμος δύο φάσεων Fisher Jaikumar για το VRP με χωρητικότητα (1/) 1. Αναθέτουμε ένα πελάτη σε κάθε όχημα. Για κάθε ένα από τους υπόλοιπους πελάτες i υπολογίζουμε το κόστος d ij για να ανήκει στην ομάδα j με βάση την απόσταση από τον αρχικό πελάτη της ομάδας j 3. Επιλύουμε το GAP όπου x ij = 1 όταν ο πελάτης i ανήκει στην ομάδα j και 0 σε άλλη περίπτωση Φάση Για κάθε ομάδα πελατών j επιλύουμε το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με επιλεγμένο ευρετικό αλγόριθμο 5

Ο αλγόριθμος δύο φάσεων Fisher Jaikumar για το VRP με χωρητικότητα (/) Το γενικευμένο πρόβλημα εκχώρησης (generalized assignment problem - GAP) Ο κάθε πελάτης i έχει ζήτηση a i και το κάθε όχημα j έχει χωρητικότητα b j d ij κόστος πελάτη i για να ανήκει στην ομάδα j (με βάση την απόσταση από τον αρχικό πελάτη της ομάδας x ij = 1 όταν ο πελάτης i ανήκει στην ομάδα j και 0 σε άλλη περίπτωση min n m i=1 j=1 d ij x ij m j=1 n i=1 x ij = 1, i a i x ij b j, j x ij 0,1, i, j 6

Παράδειγμα Fisher Jaikumar Δύο οχήματα χωρητικότητας b 1 = 15 και b = 10 Πέντε πελάτες με ζήτηση α 1 =, α = 5, α 3 =8, α = 3, α 5 = Φάση 1 1. Αναθέτουμε τον πελάτη 3 στο όχημα 1 και τον πελάτη στο όχημα. Επιλύουμε το GAP (solver) Η λύση παρουσιάζεται στον πίνακα Excel: Το όχημα 1 εξυπηρετεί τους πελάτες, 3, 5 Το όχημα εξυπηρετεί τους πελάτες 1, Οι περιορισμοί χωρητικότητας ικανοποιούνται Φάση (με πλησιέστερο γείτονα για ευκολία) Για το πρώτο όχημα 0--3-5-0 Για το δεύτερο όχημα 0-1--0 Πίνακας Αποστάσεων Κόμβων Από Προς 0 1 3 5 0 0 3 37 7 8 1 3 0 35 0 8 6 37 35 0 0 37 3 0 0 0 53 6 7 8 37 53 0 59 5 8 6 6 59 0 7

Εμπειρικοί κανόνες δρομολόγησης Ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει την δυνατότητα να αναγνωρίσει γρήγορα συσχετίσεις μεταξύ λύσεων και να επιλέξει την καλύτερη από αυτές Καλές αλληλουχίες κόμβων σχηματίζονται όταν οι ακμές των λύσεων δεν επικαλύπτονται μεταξύ τους Το σχήμα ενός καλού δρομολογίου θυμίζει συνήθως το σχήμα του δακρύου, ή το σχήμα των πετάλων των λουλουδιών Σε πολλές περιπτώσεις ο άνθρωπος μπορεί να σχηματίσει ένα καλό δρομολόγιο σε λίγα δευτερόλεπτα όταν ένας υπολογιστής θα έκανε ώρες (a) Poor routing paths cross (b) Good routing no paths cross Πηγή: Ballou, 00 8