ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο μαθήματος 13η εβδομάδα (08/01/2019) Το θεώρημα του Meusnier. Ο μεικτός τανυστής καμπυλότητας του Riemann. Οι συνθήκες ολοκληρωσιμότητας: Εξισώσεις του Gauss, εξισώσεις των Mainardi-Codazzi. Το Theorema Egregium. Καμπυλότητα Gauss: Τύπος του Brioschi και πως διαμορφώνεται όταν το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο. Ισομετρικές επιφάνειες. Θεμελιώδης Πρόταση της Θεωρίας Επιφανειών του Ossian Bonnet. Ασκήσεις 18, 20 και 22. 12η εβδομάδα (17/12/2018) Τα σύμβολα του Christoffel Γ k δευτέρου είδους. Ιδιότητες. Υπολογισμός μέσω των θεμελιωδών ποσών πρώτης τάξης και των παραγώγων τους. i j Οι εξισώσεις των παραγώγων του Gauss x i j = Γ k i j x i + l i j n. Οι εξισώσεις των παραγώγων του Weingarten n i = l i j g j k x k. 11η εβδομάδα (10/12/2018 & 11/12/2018) Περί του αναλλοιώτου της μέσης καμπυλότητας ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Κυκλικά σημεία. Περί του αναλλοιώτου των κυκλικών σημείων ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων.
Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή: Ασυμπτωτικές γραμμές. Ελαχιστικές επιφάνειες και ιδιότητα: Μια επιφάνεια είναι ακριβώς τότε ελαχιστική, όταν οι ασυμπτωτικές γραμμές της είναι ορθογώνιες. Η σπείρα: Κυκλικά σημεία, καμπυλότητα Gauss, ελλεπτικά, παραβολικά και υπερβολικά σημεία, εμβαδόν, ολική καμπυλότητα, ασυμπτωτικές γραμμές. Ασκήσεις: 12, 13, 14, 15, 16 και 17. Τα σύμβολα του Christoffel Γ i j k πρώτου είδους. Ιδιότητες. Υπολογισμός μέσω των θεμελιωδών ποσών πρώτης τάξης και των παραγώγων τους. 10η εβδομάδα (03/12/2018 & 04/12/2018) Θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης. Δεύτερη Θεμελιώδης μορφή. Ελλειπτικά, παραβολικά και υπερβολικά σημεία. Μετασχηματισμός των θεμελιωδών ποσών δεύτερης τάξης και της διακρίνουσας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Παραδείγματα: Επίπεδο και σφαίρα. Αποδείχθηκε η Πρόταση: Η μοναδική επιφάνεια, για την οποία ισχύει II = 0, είναι το επίπεδο. Η απεικόνιση του Gauss και η σφαιρική εικόνα επιφάνειας. Τρίτη θεμελιώδης μορφή επιφάνειας και συντελεστές της. Γωνία επιφανειακών καμπυλών. Ορθογώνιο παραμετρικό δίκτυο. Εμβαδικό στοιχείο και εμβαδόν επιφάνειας. Έγιναν οι ασκήσεις: 6, 7, 8 και 9. Καμπυλότητα του Gauss και μέση καμπυλότητα. 9η εβδομάδα (26/11/2018 & 27/11/2018) Ελικοειδείς επιφάνειες - Κοινή ελικοειδής. Άσκηση 2. Κεφάλαιο 4: Οι τρεις θεμελιώδεις μορφές επιφάνειας. Μήκος επιφανειακής καμπύλης. Θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης. Πρώτη Θεμελιώδης μορφή. Μετασχηματισμός των θεμελιωδών ποσών πρώτης τάξης και της διακρίνουσας της πρώτης θεμελιώδους μορφής ως προς επιτρεπτούς μετασχηματισμούς των παραμέτρων. Μετρικός τανυστής, μετρική Riemann, γεωμετρία του Riemann, χώρος του Riemann, εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών. Παραδείγματα. Άσκηση 6. 2
8η εβδομάδα (19/11/2018 3 ώρες) 1-παραμετρικές οικογένειες καμπυλών. Παραμετρικές καμπύλες u = const. και v = const. Ευθειογενείς επιφάνειες - Παραδείγματα. Δίκτυα καμπυλών. Εκ περιστροφής επιφάνειες - Παραδείγματα. Ελικοειδείς επιφάνειες. 7η εβδομάδα (12/11/2018 & 13/11/2018) Παραμετρικές παραστάσεις του επιπέδου, του ορθού κυκλικού κυλίνδρου, του κυκλικού κώνου, του μονόχωνου υπερβολοειδούς, του υπερβολικού παραβολοειδούς κ.ά. επιφανειών. Επιτρεπτοί μετασχηματισμοί των παραμέτρων. Αποδείχθηκε η Πρόταση. Αν x(u, v) είναι παραμετρική παράσταση ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r,r 1, σ ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός των παραμέτρων και x = x σ, τότε η x είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν η x είναι ομαλή. Η έννοια της επιφάνειας: Ορισμός της ισοδυναμίας ομαλών παραμετρικών παραστάσεων του σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, ορισμός της επιφάνειας της κλάσης διαφορισιμότητας C r, ορισμός της προσανατολισμένης επιφάνειας. Εφαπτόμενος χώρος, εφαπτόμενο επίπεδο και μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα σε σημείο επιφάνειας. Γεωμετρική ερμηνεία του προσήμου της ιακωβιανής ενός επιτρεπτού μετασχηματισμού των παραμέτρων. Ασκήσεις: 1, 3 και 4. 6η εβδομάδα (05/11/2018 & 06/11/2018) Άσκηση 33. Ισοκλινείς καμπύλες: Παραδείγματα - Πρόταση με τις τρεις ισοδύναμες συνθήκες για να είναι μια μη επίπεδη καμπύλη ισοκλινής. Άσκηση 34. Φυσικές εξισώσεις καμπύλης του E 3 - Φυσική εξίσωση καμπύλης του E. Ασκήσεις 35, 36. Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Καμπυλών (Sophus Lie, Gaston Darboux). Άσκηση 37. Ο συμβολισμός του Einstein. 3
Τετραγωνικές μορφές πάνω σε διδιάστατο διανυσματικό χώρο. Διαφορικές τετραγωνικές μορφές. Παραδείγματα. Παραμετρικές παραστάσεις του ελλειψοειδούς και της σφαίρας. 5η εβδομάδα (29/10/2018 & 30/10/2018) Ασκήσεις 24, 25, 26, 27 και 28. Κέντρο καμπυλότητας, εγγύτατος κύκλος, πολικός άξονας, εγγύτατη σφαίρα (κέντρο και ακτίνα) και τις καμπύλες των κέντρων καμπυλότητας και των κέντρων των εγγυτάτων σφαιρών δοθείσης καμπύλης. Ασκήσεις 29, 30, 31,32. Σφαιρικές καμπύλες: Ιδιότητες - Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια καμπύλη μη μηδενικής στρέψης σφαιρική. 4η εβδομάδα (22/10/2018 & 23/10/2018) Ακτίνα καμπυλότητας. Διάνυσμα καμπυλότητας και καμπυλότητα της έλλειψης. Άσκηση 18. 4.1. Διανύσματα της πρώτης και της δεύτερης καθέτου, πρώτη και δεύτερη κάθετος, εγγύτατο και ευθειοποιούν επίπεδο. Διανυσματικές και αναλυτικές εξισώσεις. Συνοδεύον τρίακμο (Τρίακμο Frenet) και ιδιότητες. Παράδειγμα: Συνοδεύον τρίακμο της κυκλικής έλικας. Το συνοδεύον τρίακμο ως προς τυχαία παράμετρο και παράδειγμα (Συνοδεύον τρίακμο της κυκλικής έλικας ως προς τυχαία παράμετρο και συνοδεύον τρίακμο της καμπύλης του Viviani). Στρέψης και ακτίνα στρέψεως. Οι εξισώσεις των παραγώγων (Τύποι του Frenet). Αποδείχθηκε η Πρόταση: Μια καμπύλη είναι επίπεδη ακριβώς τότε, όταν η στρέψη της είναι μηδέν. Στρέψη και εξισώσεις των παραγώγων ως προς τυχαία παράμετρο. Ασκήσεις 19, 20, 21 και 22. Αποδείχθηκε η Πρόταση: Μια καμπύλη είναι κύκλος ακριβώς τότε, όταν κ = const. και σ = 0. Άσκηση 23. 4
3η εβδομάδα (15/10/2018 & 16/10/2018) Κεφάλαιο 3 (Εφαπτομενικό διάνυσμα. Κάθετο επίπεδο. Μήκος καμπύλης. Φυσική παράμετρος. Καμπυλότητα) 3.1 (Εφαπτομενικό διάνυσμα. Κάθετο επίπεδο). Εφαπτομενικό διάνυσμα, εφαπτόμενος χώρος, εφαπτομένη και κάθετο επίπεδο σε σημείο καμπύλης. Ασκήσεις 11, 12, 13 και 14. 3.2 (Μήκος καμπύλης. Φυσική παράμετρος). Μήκος τόξου καμπύλης αναλλοίωτο ως προς τις μετατοπίσεις του E 3 και ανεξάρτητο από τη χρησιμοποιούμενη παράμετρο. Άσκηση 15. Φυσική παράμετρος (μήκος τόξου) και ιδιότητες της. Παραδείγματα: Έλλειψη (δεν εισάγεται φυσική παράμετρος), κύκλος, κυκλική έλικα. Ασκήσεις 16, 17. Διάνυσμα καμπυλότητας και καμπυλότητα ως προς φυσική και τυχούσα παράμετρο. Αποδείξαμε, ότι όταν η παράμετρος είναι τυχαία, το διάνυσμα καμπυλότητας είναι το ẋ (ẍ ẋ) ẋ 4 και η καμπυλότητα ẋ ẍ ẋ 3. 2η εβδομάδα (08/10/2018 & 09/10/2018) Έγινε η 2.1 (Παραμετρικές παραστάσεις σημειοσυνόλων του E 3 ): 1) Ορισμός της παραμετρικής παράστασης ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, 2) Ορισμός της ομαλής παραμετρικής παράστασης ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1 και 3) Ορισμός του επιτρεπτού μετασχηματισμού της παραμέτρου. Έγιναν παραδείγματα και αποδείχτηκε η Πρόταση. Αν x(t) είναι παραμετρική παράσταση ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1, t = σ(t ), ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός της παραμέτρου και x = x σ, τότε η x(t) είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν η x (t) είναι ομαλή. 2.2 (Η έννοια της καμπύλης): Ορισμός της ισοδυναμίας ομαλών παραμετρικών παραστάσεων του σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r. Ορισμός της ομαλής καμπύλης της κλάσης διαφορισιμότητας C r. Παράδειγμα, ορισμός της προσανατολισμένης ομαλής καμπύλης. Παράδειγμα: η κυκλική έλικα. Άσκηση 10. Απλό, διπλό, κ.ο.κ. σημείο μιας καμπύλης, επίπεδες καμπύλες. Άσκηση 8. 5
Παραμετρικές παραστάσεις καμπυλών 1) Έλλειψη, υπερβολή, παραβολή, κυκλοειδής, 2) του E 2, που είναι γράφημα συνάρτησης και, 3) Ορισμός της ομαλής παραμετρικής παράστασης ενός σημειοσυνόλου M της κλάσης διαφορισιμότητας C r, r 1 και 4) του E 3, που είναι τομή επιφανειών. Ασκήσεις 7 και 9. 1η εβδομάδα (01/10/2018 & 02/10/2018) Σύντομη ανασκόπηση των Ευκλείδειων διανυσματικών χώρων (εσωτερικός πολλαπλασιασμός, μέτρο διανύσματος, γωνία διανυσμάτων, ορθομοναδιαία βάση, εξωτερικό (διανυσματικό) και μικτό γινόμενο σε τριδιάστατο Ευκλείδειο διανυσματικό χώρο, ορίζουσα διανυσμάτων) και των Ευκλείδειων σημειακών χώρων (ορισμός, σύστημα συντεταγμένων, καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, κ.ά.). Ασκήσεις 1 και 2 1. Μια σύντομη αναφορά στο συμβολισμό της κλάσης διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης και μιας διανυσματικής απεικόνισης ( 1.1) 2. 1.2 (Μερικές χρήσιμες ιδιότητες). Ως εφαρμογή του Πορίσματος 1.2.2 αποδείχτηκε, ότι: Το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο X του κύκλου x 2 1 + x2 2 = r 2 είναι κάθετο στη διανυσματική ακτίνα A 0 X του σημείου. Το εφαπτομενικό διάνυσμα σε κάθε σημείο μιας καμπύλης, που κείται πάνω στη σφαίρα S 2 (r ): x 2 1 + x2 2 + x2 3 = r 2, είναι κάθετο στη διανυσματική ακτίνα A 0 X του σημείου. Ασκήσεις 3, 4, 5 και 6. Ολοκληρώθηκε το Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στο Κεφάλαιο 2: Η έννοια της καμπύλης στη Διαφορική Γεωμετρία. Παράδειγμα της καμπύλης του οκτώ. 10 και 11. 1 Οι αριθμοί αναφέρονται στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ 2 Οι παράγραφοι αναφέρονται στο βιβλίο Σ. Σταματάκη: Εισαγωγή στην Κλασική Διαφορική Γεωμετρία, Εκδόσεις Αϊβάζη 6