Ανθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ Νίκος Κουρνιάτης Λέκτωρ ΠΔ407/80, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΕΜΠ Γεωμετρικές Απεικονίσεις ΙΙ: Γεωμετρικές Απεικονίσεις και Πληροφορική 1.2. Γενικά περί Επιφανειών. Τετραγωνικές Επιφάνειες: Σφαίρα (προβολές - τομές - σκιά) Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον Νίκο Κουρνιάτη.

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Οδηγίες για την ανάγνωση του ηλεκτρονικού υλικού Η θεωρία παρουσιάζεται σε αρχεία τύπου: (1) pdf για μια σύντομη ανάγνωση και σε (2) ppt με συνοδευτικά αρχεία αναλυτικών παραδειγμάτων βήμα προς βήμα, που είναι συμπιεσμένα σε κοινό φάκελο με το πρόγραμμα WinRAR. Προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των ppt απαιτείται η αποσυμπίεση του φακέλου και η διατήρηση όλων των αρχείων σε κοινό φάκελο. Η θεωρία και τα θέματα των ασκήσεων είναι διαθέσιμα σε αρχεία τύπου pdf, η ανάγνωση των οποίων γίνεται με το πρόγραμμα Acrobat Reader. Για την εγκατάσταση του προγράμματος Acrobat Reader επισκεφτείτε την ιστοσελίδα: Οι παρουσιάσεις των μαθημάτων είναι διαθέσιμες σε αρχεία τύπου ppt. Τα αρχεία αυτά μαζί με τα συνοδευτικά αρχεία είναι κατατμημένα και συμπιεσμένα με το πρόγραμμα WinZip. Η πρόσβαση σε αυτά προϋποθέτει την αποθήκευση όλων των τμημάτων του αρχείου και την αποσυμπίεση του με το πρόγραμμα WinZip. Για την εγκατάσταση του προγράμματος WinZip επισκεφτείτε την ιστοσελίδα: Επίσης, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση των αρχείων ppt απαιτείται η εγκατάσταση των προγραμμάτων: Cabri Geometry II Plus Demo Macromedia Flash Player eflash Rhino Ο φάκελος που περιέχει τα αρχεία ppt περιλαμβάνει κρυφά αρχεία που είναι απαραίτητο να συνοδεύουν πάντα το αρχείο ppt, προκειμένου να είναι δυνατή η πλήρης ανάγνωση του, κάτι που πρέπει να λαμβάνεται υπόψη σε οποιαδήποτε αλλαγή πραγματοποιηθεί (πχ μεταφορά του αρχείου).

4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΦΑΙΡΑ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΣΚΙΕΣ

5 Επιφάνειες Η τροχιά ενός «συνεχώς» κινούμενου τόξου καμπύλης δημιουργεί την εικόνα μιας επιφάνειας. Εάν οι εφαπτόμενες στο τυχόν σημείο Μ μιας επιφάνειας ανήκουν στο ίδιο επίπεδο Π το Μ είναι ομαλό σημείο της επιφάνειας. Το επίπεδο Π είναι το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας στο Μ. Η κάθετος η στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας στο σημείο Μ, είναι η κάθετος της επιφάνειας στο Μ. Σε κάθε άλλη περίπτωση το Μ είναι ιδιόμορφο σημείο της επιφάνειας.

6 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Quadriques Τετραγωνικές επιφάνειες Q (Quadriques) είναι οι αλγεβρικές επιφάνειες 2 ου βαθμού που προκύπτουν από τη γενική σχέση: ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d με a,b,c,d,e,f Τα σημεία μιας τετραγωνικής επιφάνειας διακρίνονται σε ομαλά και μη. Τα μη ομαλά σημεία ονομάζονται ιδιόμορφα ή διπλά σημεία της επιφάνειας (π.χ. η κορυφή κωνικής επιφάνειας). Οι τετραγωνικές επιφάνειες με όλα τα σημεία ομαλά ονομάζονται γνήσιες. Εάν περιέχουν μη ομαλά σημεία ονομάζονται εκφυλισμένες.

7 Γνήσιες Τετραγωνικές Επιφάνειες Ελλειψοειδές-Σφαίρα Υπερβολικό παραβολοειδές x y z a b c 2 2 x y 2pz a b Μονόχωνο υπερβολοειδές x y z a b c Δίχωνο υπερβολοειδές x y z a b c Ελλειπτικό παραβολοειδές 2 2 x y 2pz a b

8 Εκφυλλισμένες Τετραγωνικές επιφάνειες Οι εκφυλισμένες τετραγωνικές επιφάνειες είναι ευθειογενείς και σε αυτές ανήκουν οι κωνικές και οι κυλινδρικές επιφάνειες 2 ου βαθμού. Ελλειπτικός κύλινδρος 2 2 x y a b Παραβολικός κύλινδρος x 2 2rz 0 Υπερβολικός κύλινδρος 2 2 x y a b

9 Εκφυλλισμένες Τετραγωνικές επιφάνειες Κωνικές επιφάνειες 2 ου βαθμού Οι κωνικές τετραγωνικές επιφάνειες έχουν διπλό σημείο την κορυφή τους. Κωνική επιφάνεια 2ου βαθμού με κορυφή στο (0,0,0) x y z a b c Φανταστικός κώνος (Έχει μόνο την κορυφή) x y z a b c

10 Επιφάνειες εκ περιστροφής Η επιφάνεια της σπείρας Το Βυζαντινό σταυροθόλιο

11 Ευθειογενείς επιφάνειες Κωνοειδής επιφάνεια Κυλινδροειδής επιφάνεια Ευθειογενής επιφάνεια των εφαπτομένων καμπύλης. Ταινία του Möbius

12 Ελικοειδείς επιφάνειες Κοινό ελικοειδές Κυκλικό ελικοειδές Ελικοειδείς καμπύλες γύρω από σπείρα Τμήματα σφαίρας μεταξύ ελικοειδών καμπύλων Επιφάνεια από κίνηση κύκλου περί κωνική έλικα

13 Μεταφορικές επιφάνειες Επιφάνειες ελαχίστου εμβαδού Επιφάνεια Enneper Επιφάνεια Catalan Επιφάνεια Henneberg

14 Επιφάνειες από τις παραμετρικές εξισώσεις τους Κυκλοειδής επιφάνεια Cyclide του Dupin Επιφάνεια dini Θαλάσσιο κέλυφος Seashell Επιφάνεια Klein Επιφάνεια Boy Επιφάνεια Roman

15 ΣΦΑΙΡΑ x y z r Τετραγωνική επιφάνεια εκ περιστροφής

16 ΣΦΑΙΡΑ - ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

17 ΣΦΑΙΡΑ - ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

18 ΣΦΑΙΡΑ - ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

19 ΣΦΑΙΡΑ - ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΩΝ

20 ΣΦΑΙΡΑ - ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ Τομή σφαίρας με πρόσθιο επίπεδο

21 ΣΦΑΙΡΑ - ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΤΟΜΕΣ Τομή σφαίρας με τυχόν επίπεδο

22 ΣΦΑΙΡΑ - ΣΚΙΕΣ ΣΚΙΑ ΣΦΑΙΡΑΣ α) Όταν οι φωτεινές ακτίνες είναι μετωπικές β) Όταν οι φωτεινές ακτίνες είναι τυχούσες

23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

24 ΣΦΑΙΡΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

25 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΕ ΣΦΑΙΡΑ Εφαπτόμενος κώνος από σημείο Μ του χώρου Εφαπτόμενο επίπεδο διερχόμενο από ευθεία α του χώρου

26 ΣΦΑΙΡΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

27 ΣΦΑΙΡΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

28 Βιβλιογραφία Νίκος Κουρνιάτης, Γεωμετρία και Αρχιτεκτονική, Αθήνα Ανθή-Μαρία Κουρνιάτη, Νίκος Κουρνιάτης, Η Προοπτική στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση, εκδόσεις Τζιόλα, 2012, επανέκδοση Αναφορές σε δημιουργούς Η κατασκευή του πολυμεσικού υλικού και των διαδραστικών αρχείων έγινε από τον Νίκο Κουρνιάτη. Οι εργασίες που παρουσιάζονται (σκίτσα, σχέδια, πινακίδες παρουσίασης, τρισδιάστατες αναπαραστάσεις) δημιουργήθηκαν από τους Σπουδαστές της Σχολής Αρχιτεκτόνων ΕΜΠ, στο πλαίσιο του Μαθήματος. Τα παραδείγματα (σχέδια, σκίτσα, τρισδιάστατες απεικονίσεις, κινούμενες αναπαραστάσεις κα) δημιουργήθηκαν από τους Διδάσκοντες. Η λοιπή εικονογράφηση προέρχεται από τα βιβλία που συνέγραψαν οι Διδάσκοντες του μαθήματος (βλ. βιβλιογραφία), που αποτελούν πνευματική τους ιδιοκτησία. Σε υλικό τρίτων υπάρχει ειδική αναφορά. Ευχαριστούμε θερμά τους Δημιουργούς που μας παραχώρησαν υλικό για την παρούσα δημοσίευση. Σημείωση: Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας.

29 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.