Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διάλεξη 0: 2..204 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Ευάγγελος Αναγνωστόπουλος, Πέτρος Μπαρμπαγιάννης & Σ. Κ. 0. Θεώρημα Minkowski-Weyl για πολύεδρα Ορισμός 0. Αν το ζεύγος πινάκων (A, R είναι ΔΠ-ζεύγος για έναν κώνο P, τότε και το ζεύγος πινάκων (R T, A T είναι ΔΠ-ζεύγος για έναν κώνο P. Σε αυτή τη περίπτωση, ο κώνος P καλείται ο δυϊκός (ή πολικός κώνος του P. Από τον Ορισμό 8.3 του ζεύγους διπλής περιγραφής προκύπτει ότι: P = {y R d R T y 0 = {y R d y = A T µ, µ 0 Χρήσιμη άσκηση: Δείξτε ότι P = {y R d P, y T 0. Σχηματικά, ένα παράδειγμα ενός κώνου C με τον δυϊκό του C είναι το ακόλουθο:. Σχήμα 0.: Ενας κώνος C με τον δυϊκό του C Σημείωση: είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι, P = R d P =. Ορισμός 0.2 Εστω δύο σύνολα V, R R n. Το άθροισμα Minkowski των V και R ορίζεται ως το σύνολο V + R = { R n v V, r R, = v + r. Αν ένα από τα σύνολα V, R είναι το κενό σύνολο, τότε V + R =. Ορισμός 0.3 (Πολύτοπα Ενα σύνολο σημείων στο R n καλείται πολύτοπο αν είναι το κυρτό κάλυμμα πεπερασμένων το πλήθος διανυσμάτων. Θεώρημα 0. (Θεώρημα Minkowski-Weyl για πολύεδρα Ενα σύνολο P R n είναι πολύεδρο ανν P = Q + C για κάποιο πολύτοπο Q R n και κάποιον πεπερασμένα παραγόμενο κώνο C R n. 0-
Διάλεξη 0: 2..204 0-2 Απόδειξη: ( : {( Εστω ένα πολύεδρο P = { R n A b. Ο πολυεδρικός κώνος P = λ R n, λ R 0 : A λb 0, από το θεώρημα Minkowksi-Weyl για κώνους (Θεώρημα 9.2, παράγεται από πεπερασμένο πλήθος διανυσμάτων ( ( λ, 2 ( λ 2 m λm. Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι τα διανύσματα ( i έχουν λi = 0 ή =. Ορίζουμε: {( i Q = conv( i = m & = {( i C = cone( i = m & = 0 Θα δείξουμε ότι το αρχικό πολύεδρο P μπορεί να γραφεί ως P = Q + C. ( ( {( ( P P 2 cone(, Υποχρεωτικά, m i = ( i = ( i i = ρ ρ m R 0 τ.ω. λ ( = =, επειδή = ή = 0. Δηλαδή: + i ( i 0. = ( = m λ 2 i = ( i ( m ( i λ m {{ κυρτός συνδυασμός από το Q + i (0. ( i {{ κωνικός συνδυασμός από το C Οπότε P = Q + C. ( : Αντιστρόφως, έστω το σύνολο P = Q + C, όπου Q πολύτοπο και C πεπερασμένα παραγόμενος κώνος. Υπάρχουν m, y y t R n τ. ώ. Παίρνουμε ότι 0 P ( 0 cone( Q = conv({ m C = cone({y y t. {( ( m, ( y 0 ( yt := D (0.2 0 και σύμφωνα με το Θεώρημα Minkowski-Weyl για κώνους (Θεώρημα 9.2, ο πεπερασμένα παραγόμενος κώνος D είναι και πολυεδρικός. Δηλαδή της μορφής {( D = A + λb 0 για κάποιον πίνακα A, και διάνυσμα b. λ Επομένως 0 P 0.2 = Άρα το σύνολο P είναι πολύεδρο. ( 0 D A 0 + b 0 A 0 b Πόρισμα 0. (Θεώρημα πεπερασμένης βάσης για πολύτοπα Ενα σύνολο P είναι πολύτοπο ανν το P είναι ένα φραγμένο πολύεδρο, δηλαδή γράφεται ως P = Q + C, όπου C = { 0. Πόρισμα 0.2 Αν P και P 2 είναι πολύεδρα, το άθροισμα Minkowski P + P 2 είναι επίσης πολύεδρο.
Διάλεξη 0: 2..204 0-3 0.2 Χαρακτηριστικός κώνος, lineality space Ορισμός 0.4 Ο χαρακτηριστικός κώνος (characteristic or recession cone ενός πολυέδρου P = { R n A b, P, είναι ο κώνος rec(p = {y R n + y P, P = {y Ay 0. Στην επόμενη πρόταση κωδικοποιούμε βασικές ιδιότητες του χαρακτηριστικού κώνου. Πρόταση 0. Για ένα μη κενό πολύεδρο P ισχύουν τα παρακάτω: (i y rec(p P τ.ω. + λy P, λ 0. (ii P + rec(p = P. (iii P φραγμένο rec(p = {0. (iv Αν P = Q + C, όπου Q πολύτοπο και C πολυεδρικός κώνος, τότε C = rec(p. Απόδειξη: Αποδεικνύουμε μόνο την (iv. Εστω Q, y C. Για κάθε λ 0, + λy P. Άρα από την (i παίρνουμε ότι y rec(p. Αντιστρόφως, έστω y rec(p. Χβτγ, y 0, δηλ. το P δεν είναι φραγμένο. Θα δείξουμε ότι y C. Από τον ορισμό του y, για P, ισχύει ότι + αy P, για κάθε α 0. Εστω S = { q T = {y y r τ. ώ. Q = conv(s και C = cone(t. Ορίζουμε X και Y τους πίνακες με στήλες τα στοιχεία των S και T αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι y C, δηλ. δεν υπάρχει λ R r, λ 0, τ. ώ. Y λ = y. Από το Λήμμα του Farkas (Πόρισμα 7., υπάρχει u R n, τ. ώ. u T Y 0 και u T y 0. Επειδή + αy P, για κάθε α 0, υπάρχουν µ α R q, λ α R r, µ α 0, λ α 0 τ. ώ. + αy = Xµ α + Y λ α και e T µ α =, όπου e R q είναι ένα διάνυσμα με q άσους. Εχουμε ότι u T ( + αy = u T (Xµ α + Y λ α u T Xµ α Για δεδομένα, y καθώς α + παίρνουμε u T ( + αy. Ομως επειδή το Xµ είναι κυρτός συνδυασμός των στοιχείων του S, υπάρχει j [q] τ. ώ. min{u T Xµ e T µ =, µ 0 = u T j. Άρα υπάρχει πεπερασμένο κάτω φράγμα στο u T Xµ α, άτοπο. Συμπεραίνουμε ότι y C. Ορισμός 0.5 Κάθε διάνυσμα rec(p \ { 0 καλείται άπειρη διεύθυνση του P ή ακτίνα (ray. Ορισμός 0.6 Το lineality space του πολυέδρου P = { A b ορίζεται ως το σύνολο lin(p = rec(p rec(p = {y Ay = 0 = nullspace(a. Παρατηρήσεις: Τετριμμένα, P, 0 lin(p.
Διάλεξη 0: 2..204 0-4 Q P C Σχήμα 0.2: Η αποσύνθεση ενός πολυέδρου P σε συνιστώσες Q και C. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν άπειρες επιλογές για το πολύτοπο Q, αλλά ο κώνος C είναι μονοσήμαντα ορισμένος και συμπίπτει με το rec(p. Βλέπουμε επίσης και την ιδιότητα (i του χαρακτηριστικού κώνου ότι, αν είμαστε μέσα στο P και προχωράμε σύμφωνα με τις διευθύνσεις του κώνου C, θα παραμένουμε πάντα μέσα στο πολύεδρο. Προφανώς εδώ lin(p = { 0.. a T = b 2 y Q y P a T = b a T = 0 = rec(p Σχήμα 0.3: Θεωρούμε το πολύεδρο P = { b a T b 2. Παρατηρούμε ότι y rec(p y rec(p. Άρα σε αυτή τη περίπτωση, lin(p = rec(p. Για ένα διάνυσμα y, y lin(p y rec(p & y rec(p (βλ. Σχήμα 0.3. Αν rec(p { 0, τότε το P περιέχει ημιευθεία (ιδιότητα (iii του χαρακτηριστικού κώνου. Αν lin(p { 0, τότε το P περιέχει ευθεία (βλ. Σχήμα 0.3. Ορισμός 0.7 Αν lin(p = { 0 για κάποιο πολύεδρο P, τότε το P καλείται μυτερό (pointed. Το P είναι μυτερό ανν το P δεν περιέχει ευθεία (βλ. Σχήμα 0.2. Επιπλέον, με βάση το Θεώρημα 5., παίρνουμε το εξής. Πρόταση 0.2 Το P έχει τουλάχιστον ένα ακραίο σημείο ανν το P είναι μυτερό. Από το Θεώρημα 0. και την Πρόταση 0.(iv προκύπτει ότι ένα πολύεδρο P μπορεί να γραφεί ως P = Q + rec(p, όπου Q πολύτοπο. Για ένα μυτερό πολύτοπο P, το κυρτό κάλυμμα των κορυφών του P είναι πάντοτε μία εφικτή επιλογή για το Q.
Διάλεξη 0: 2..204 0-5 Θεώρημα 0.2 Εστω P ένα μυτερό πολύεδρο τ. ώ. P = conv(x + cone(y. Τότε όλα τα ακραία σημεία του P ανήκουν στο X και αν το j X δεν είναι ακραίο σημείο του P, τότε P = conv(x \ { j + cone(y. Από το Θεώρημα 0.2 και την Πρόταση 0.(iv προκύπτει άμεσα το ακόλουθο. Πόρισμα 0.3 Εστω P ένα μυτερό πολύεδρο τ. ώ. P = conv(x + cone(y (0.3 Τότε Y = rec(p και το ελαχιστικό σύνολο X που ικανοποιεί την (0.3 είναι το σύνολο των ακραίων σημείων του P. Η απόδειξη του Θεωρήματος 0.2 αναβάλλεται για τη Διάλεξη 6. Πόρισμα 0.3 σε πολύεδρα που δεν είναι μυτερά. Εκεί θα γενικεύσουμε και το *0.3 Ορθογώνια αποσύνθεση πολυέδρου Γνωρίζουμε από τη Γραμμική Άλγεβρα ότι αν S είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του R n τότε το R n μπορεί να γραφεί ως άθροισμα Minkowski του S και του ορθογώνιου συμπληρώματος S. Το τελευταίο ορίζεται ως S = {v R n v T s = 0, s S. Μια αντίστοιχη ορθογώνια αποσύνθεση (orthogonal decomposition ορίζεται και για οποιοδήποτε πολύεδρο όπως δείχνει το θεώρημα που ακολουθεί. Το θεώρημα εφαρμόζεται συνήθως για S = lin(p. Θεώρημα 0.3 Εστω P ένα μη κενό πολύεδρο στο R n. Για κάθε υπόχωρο S που περιέχεται στο lin(p έχουμε ότι P = (P S + S. Απόδειξη: Μπορούμε να αποσυνθέσουμε το R n ως άθροισμα του S και του ορθογώνιου συμπληρώματος του S. Αν P, υπάρχουν μοναδικά z S και y S τ. ώ. = z + y. Επειδή y S, και S lin(p παίρνουμε ότι y rec(p άρα y P. Επομένως z = y P S. Άρα P (P S + S. Αντιστρόφως, αν (P S + S, = z + y, με z P S και y S. Άρα z P. Αφού y S, έχουμε ότι ότι y rec(p, άρα z + y P. Επομένως (P S + S P.