Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες

Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες Ανακεθαλαίωζη θεωρίας Ομαδοποιημένες έννοιες θεωρίας 5 άλσηες αζκήζεις Θέμαηα πολλαπλής επιλογής ΕΑΚΤΝΘΟ 010 11

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γύν επζείεο (ε 1 ),(ε ) πνπ δελ ηέκλνληαη ζην Παπάλληλερ εςθείερ Αίηημα παπαλληλίαρ επίπεδν θαη ζπκβνιίδνληαη ε 1 //ε Από ζεκείν Α εθηόο επζείαο (ε) ππάξρεη κνλαδηθή επζεία (ε ) πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία (ε) & δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α Δύο εςθείερ είναι παπάλληλερ (Τα σπηζιμοποιούμε όηαν θέλοςμε να ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ όηι δύο εςθείερ πλεςπέρ είναι παπάλληλερ) Αν δύο εςθείερ (ε 1 ),(ε ) είναι παπάλληλερ και (ε) ηπίηη εςθεία (Τα σπηζιμοποιούμε όηαν ηα δεδομένα μαρ δίνοςν παπάλληλερ πλεςπέρ εςθείερ) Δίλαη θάζεηεο ζηελ ίδηα επζεία (ε) Δίλαη παξάιιειεο πξνο ηξίηε επζεία Σέκλνληαη από ηξίηε επζεία θαη ζρεκαηίδνπλ ηηο εληόο ελαιιάμ γσλίεο ΗΔ ηηο εληόο εθηόο θαη επί ηα απηά γσλίεο ηνπο ΗΔ ηηο εληόο θαη επί ηα απηά γσλίεο ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ (ε) (ε 1 ) (ε) (ε ) αλ ε (ε) ηέκλεη ηελ (ε 1 ) ηόηε ζα ηέκλεη θαη ηελ (ε ) νη εληόο ελαιιάμ γσλίεο είλαη ΗΔ νη εληόο εθηόο θαη επί ηα απηά γσλίεο είλαη ΗΔ νη εληόο θαη επί ηα απηά γσλίεο είλαη ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ

3 Δύο γωνίερ πος έσοςν ηιρ πλεςπέρ ηοςρ παπάλληλερ ή κάθεηερ Αξιοζημείωηοι κύκλοι ηπιγώνος και ηα κένηπα ηοςρ Σσέζειρ γωνιών ηπιγώνος είλαη ΗΔ, αλ είλαη θαη νη δύν νμείεο ή θαη νη δύν γσλίεο ακβιείεο είλαη ΠΑΡΑΠΛΖΡΩΜΑΣΗΚΔ, αλ ε κία γσλία είλαη νμεία θαη ε άιιε ακβιεία Περίκενηρο, ζεκείν ηνκήο ησλ κεζνθαζέησλ, πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ζην ηξίγσλν Έγκενηρο, ζεκείν ηνκήο ησλ δηρνηόκσλ, εγγεγξακκέλνο θύθινο ζην ηξίγσλν Α+Β+Γ=180 0 Κάζε εμσηεξηθή γσλία ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ δύν απέλαληη εζσηεξηθώλ, δει. Α εμ =Β+Γ Αλ δύν ηξίγσλα έρνπλ γσλίεο ίζεο ηόηε ζα έρνπλ θαη ηηο ηξίηεο γσλίεο ίζεο Οη νμείεο γσλίεο ελόο ηξηγώλνπ είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο. Οη γσλίεο ηνπ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ είλαη 60 0 Οη νμείεο γσλίεο ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο Σν άζξνηζκα γσληώλ θπξηνύ λ-γώλνπ είλαη (λ )180 κνίξεο. Σν άζξνηζκα εμσηεξηθώλ γσληώλ λ γώλνπ ηζνύηαη κε 360 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έζησ επζείεο ε 1 //ε πνπ ηέκλνληαη από ηξίηε επζεία ε. Να δείμεηε όηη: i. Οη δηρνηόκνη δύν εληόο ελαιιάμ γσληώλ είλαη παξάιιειεο ii. Οη δηρνηόκνη δύν εληόο θαη επί ηα απηά γσληώλ είλαη θάζεηεο

4. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΜ δηάκεζνο. Φέξνπκε ΓρΒΓ πξνο ην εκηεπίπεδν πνπ δελ αλήθεη ην ζεκείν Α. Παίξλνπκε ηκήκα ΓΓ=ΑΒ. Να δείμεηε όηη: i. Γρ // ΑΜ ii. ΑΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο M ˆ αλ ˆ 80 0, βξείηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΓΓ 3. Φέξλνπκε ηηο δηρνηόκνπο ησλ γσληώλ ˆ, ˆ θαη ηέκλνληαη εζσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ ζην ζεκείν Η. Από ην Η θέξλνπκε επζεία παξάιιειε ζηελ ΒΓ θαη ηέκλεη ηελ ΑΒ, ΑΓ αληίζηνηρα ζηα ζεκεία Γ, Δ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη: i.,ie είλαη ηζνζθειή ηξίγσλα ii. ΓΔ=ΒΓ+ΔΓ 4. Από έγθεληξν Η ηξηγώλνπ ΑΒΓ θέξνπκε ΗΓ // ΑΒ θαη ΗΔ // ΑΓ,όπνπ Γ, Δ ζεκεία ηνπ ΒΓ. Να δείμεηε όηη: i., είλαη ηζνζθειή ηξίγσλα ii. Πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΗΓΔ ηζνύηαη κε ΒΓ 5. (A) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΒ<ΑΓ θαη Μ κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ. Από ην Μ θέξνπκε παξάιιειε ζηελ δηρνηόκν ΑΓ πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Δ θαη Ε. Να δείμεηε όηη: EAZ ηζνζθειέο ηξίγσλν (B) Αλ πξνεθηείλνπκε ηκήκα ΜΖ=ΜΔ ηόηε λα δείμεηε όηη: ii. i. BEM iv. v. ηζνζθειέο ΒΔ=ΓΕ B A A 6. Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηελ δηρνηόκν Αρ ηεο εμσηεξηθήο γσλίαο Α ηνπ ηξηγώλνπ. Να δείμεηε όηη: AB Αρ // ΒΓ 7. ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηηο εζσηεξηθέο θαη εμσηεξηθέο δηρνηόκνπο ησλ γσληώλ ηνπ Β θαη Γ. Να δείμεηε όηη: i. γσλία ησλ δύν εζσηεξηθώλ δηρνηόκσλ είλαη 90

5 ii. γσλία ησλ δύν εμσηεξηθώλ δηρνηόκσλ είλαη 90 γσλία ηεο κίαο εμσηεξηθήο θαη εζσηεξηθήο δηρνηόκνπ είλαη 8. Έζησ AB νξζνγώλην ηξίγσλν ( A 90 0 ) θαη ΑΓ δηρνηόκνο θαη Δ ζεκείν ηνπ ΑΓ ηέηνην ώζηε ΓΔ //ΑΒ. Αλ A E θαη E θαη ε γσλίαb είλαη 0 κνίξεο κεγαιύηεξε από ηελ γσλία ηόηε: i. Τπνινγίζηε ηηο γσλίεο: B =; =; ii. Απνδείμηε όηη ην ηξίγσλν ΑΔΓ είλαη ηζνζθειέο iv. Τπνινγίζηε ηελ γσλία =; Να δείμεηε όηη: ΓΔΑΓ v. Τπνινγίζηε ηελ γσλία 9. ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε B > θαηά 0 κνίξεο ηόηε λα απνδείμεηε όηη: i. ii. A AB 0 AB 80 0 A 100 10. ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο. 0 0 θαη ε δηρνηόκνο ΑΓ. Αλ νη γσλίεο B 0 A θαη δηαθέξνπλ B 90 ηόηε λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 11. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΓ > ΑΒ θαη ΑΓ ύςνο θαη ΑΔ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο A. i. Να δείμεηε όηη: ii. Αλ νη γσλίεο θαη δηαθέξνπλ θαηά 40 κνίξεο ππνινγίζηε ηηο γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

6 1. Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) θαη ηπραίν ζεκείν Γ ηεο πιεπξάο ΑΒ. ηελ πξνέθηαζε ΓΑ παίξλνπκε ηκήκαηα ΑΔ = ΑΓ. Αλ όηη: A i. ii. νη γσλίεο ΓΔ ΒΓ θαη B είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο E, ηόηε λα απνδείμεηε 13. Θεσξνύκε δύν γσλίεο ησλ νπνίσλ νη πιεπξέο είλαη παξάιιειεο. Να απνδεηρζεί όηη: i. αλ νη γσλίεο είλαη ίζεο ηόηε νη δηρνηόκνη ηνπο είλαη παξάιιειεο ii. αλ νη γσλίεο είλαη παξαπιεξσκαηηθέο (θαη άληζεο) ηόηε νη δηρνηόκνη ηνπο είλαη θάζεηεο. 14. Μία επζεία ηέκλεη δύν παξάιιειεο ε 1,ε ζηα ζεκεία Α,Β αληίζηνηρα. Μηα άιιε επζεία δηέξρεηαη από ην κέζνλ Κ ηνπ ΑΒ θαη ηέκλεη ηηο ε 1,ε ζηα ζεκεία Μ,Ν αληίζηνηρα. i. Να απνδεηρζεί όηη ην Κ είλαη ην κέζνλ ηνπ ΜΝ. ii. Να ζπγθξίλεηο ηα ηξίγσλα ΚΑΝ θαη ΚΒΜ Να απνδείμεηο όηη ΑΝ//ΒΜ 15. Έζησ έλα ηξίγσλν ΑΒΓ. Οη δηρνηόκνη ηεο εζσηεξηθήο Β θαη ηεο εμσηεξηθήο Γ ηέκλνληαη ζην Γ. Ζ παξάιιεινο από ην Γ πξνο ηελ ΒΓ ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Μ θαη ηελ ΑΓ ζην Ν. Να απνδεηρζεί όηη ΜΝ= ΓΝ ΒΜ 16. Έζησ έλα ηξίγσλν ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ). Ζ θάζεηνο από ην κέζνλ Γ ηεο ΒΓ πξνο ηελ δηρνηόκν ηεο γσλίαο Α ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Δ θαη ηελ ΑΓ ζην Ε. Ζ παξάιιεινο από ην Β πξνο ηελ ΑΓ ηέκλεη ηελ ΔΕ ζην Ζ. i. Να απνδείμεηο όηη θάζε έλα από ηα ηξίγσλα ΑΔΕ θαη ΒΔΖ είλαη ηζνζθειέο. ii. Να ζπγθξίλεηο ηα ηξίγσλα ΒΓΖ θαη ΓΓΕ θαη λα απνδεηρζεί όηη ΒΔ=ΓΕ. Οη κεζνθάζεηεο ησλ ΒΓ θαη ΔΕ ηέκλνληαη ζην Ο. Να απνδεηρζεί όηη ηα ηξίγσλα ΟΓΕ θαη ΟΒΔ είλαη ίζα. 17. Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΒΓ=ΑΒ, ηελ δηάκεζό ηνπ ΑΜ θαη ηελ δηάκεζν ΑΝ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΜ. Να απνδείμεηο όηη ε ΑΜ είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο (Υπόδειξη: Να θέρεηε ηην παράλληλη από ηο Μ προς ηην ΑΓ).

7 18. ην δηπιαλό ζρήκα νη επζείεο θαη ηα ηξίγσλα είλαη o ηπραία. Να απνδείμεηε όηη : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 19. ην παξαθάησ ζρήκα ην Η είλαη ην έγθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Να ππνινγηζηεί ε γσλία BI ˆ. 0. Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) κε Α>30 ν. ηελ πιεπξά ΒΓ παίξλνπκε έλα ζεκείν Γ ηέηνην ώζηε ΒΑΓ=30 ν θαη ζηελ πιεπξά ΑΓ ηκήκα ΑΔ=ΑΓ. Να βξεζεί ην κέηξν ηεο γσλίαο ΔΓΓ. 1.. 3.

8 4. 5. Βξείηε ηελ γσλία σ γηα ην παξαθάησ ζρήκα:

9 Ένα διαθορεηικό θέμα ( Καηαζκεσή: Μάκης Χαηζόποσλος) Ο Άκης νδεγάεη απηνθίλεην θαη θηλείηαη ζηελ επζεία (ε 1 ), ελώ ν Μάκης πνπ είλαη κε ην άινγν θηλείηαη ζηελ παξάιιειε επζεία (ε ). Αλ ζηα ζεκεία Β θαη Α αληίζηνηρα, ζηξίβνπλ κε γσλίεο 100 0, 10 0 κε θαηεύζπλζε ην ζρνιείν ηόηε: α) Βξείηε κε πνηα γσλία έζηξηςε ν θαζέλαο θαη δηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο β) Βξείηε ηελ γσλία πνπ ζπλαληηνύληαη ζην ζρνιείν, δειαδή ηελ γσλία θ όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα.