HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8
Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα (στατικά) παίγνια Διαδοχικά (δυναμικά) παίγνια
Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν τις αποδόσεις άλλων φορέων. Τυπική ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς: σχέσεις μεταξύ αλληλεξαρτώμενων ατόμων. Ένα παίγνιο περιγράφει μια κατάσταση στην οποία η απόδοση ενός παίκτη (πχ τα κέρδη μιας επιχείρησης) επηρεάζεται όχι μόνο από τη στρατηγική του ίδιου του παίκτη αλλά και από τη στρατηγική του αντιπάλου.
Θεωρία παιγνίων Ατύπως, η θεωρία παιγνίων μας υπενθυμίζει ότι πρέπει να: Κατανοούμε τους αντιπάλους μας: Τα αποτελέσματά μας εξαρτώνται, όχι μόνο από τις δικές μας αποφάσεις, αλλά και από τις αποφάσεις των αντιπάλων μας. Κοιτάμε στο μέλλον: Οι αποφάσεις που λαμβάνονται σήμερα μπορεί να έχουν αντίκτυπο στις μελλοντικές αποφάσεις, και στις δικές μας και των αντιπάλων μας. Δίνουμε προσοχή στην πληροφόρηση Ψάχνουμε για ευκαιρίες όπου όλοι ωφελούνται: Μερικές καταστάσεις είναι ανταγωνιστικές, αλλά κάποιες άλλες προσφέρουν οφέλη σε όλους.
Εφαρμογές της θεωρίας παιγνίων Η μελέτη των ολιγοπωλίων (κλάδων που περιέχουν λίγες μόνο εταιρείες) Η μελέτη των καρτέλ, π.χ. ΟΠΕΚ Η μελέτη στρατιωτικών στρατηγικών. Διαπραγματεύσεις. Ο τρόπος λειτουργίας των αγορών.
Τι είναι τα παίγνια; Ένα παίγνιο αποτελείται από μια ομάδα παικτών τους κανόνες του παιγνίου μια ομάδα στρατηγικών για κάθε παίκτη τις αποδόσεις σε κάθε παίκτη για κάθε πιθανή επιλογή στρατηγικών από τους παίκτες.
Ταξινόμηση παιγνίων α) Παίγνια συνεργασίας vs μη συνεργασίας (cooperative games/non-cooperative games) Στα παίγνια συνεργασίας υπάρχει η δυνατότητα σύναψης συμφωνιών οι οποίες περιβάλλονται με νομική ισχύ. β) Παίγνια τέλειας πληροφόρησης vs ατελούς πληροφόρησης (perfect information/imperfect information games) Στα παίγνια τέλειας πληροφόρησης οι παίκτες γνωρίζουν, κάθε φορά που καλούνται να παίξουν, την ιστορία του παιγνίου. 7
Ταξινόμηση παιγνίων (συνέχεια) γ) Παίγνια πλήρους πληροφόρησης vs ελλιπούς πληροφόρησης (complete information/incomplete information games) Στα παίγνια πλήρους πληροφόρησης οι παίκτες γνωρίζουν τα ακριβή χαρακτηριστικά του (οικονομικού) περιβάλλοντος στο οποίο δραστηριοποιούνται. δ) Στατικά παίγνια vs δυναμικά παίγνια (static/dynamic games) Στα δυναμικά παίγνια οι επιλογές (κινήσεις) των παικτών επηρεάζουν μελλοντικές επιλογές είτε των ίδιων είτε των αντιπάλων τους. Η διάκριση μεταξύ στατικών και δυναμικών παιγνίων δεν σχετίζεται κατ ανάγκη με το χρόνο. Σχετίζεται με την πληροφόρηση που έχει ο κάθε παίκτης στη διάθεσή του. 8
Περιγραφή ενός παιγνίου α) Κανονική ή στρατηγική μορφή (μπορεί να δοθεί υπο τη μορφή πίνακα όταν το παίγνιο έχει δύο παίκτες και πεπερασμένες στρατηγικές) Ταιριάζει καλύτερα σε παίγνια ταυτόχρονων αποφάσεων (στατικά παίγνια) Ξεκινάτε εξετάζοντας τις κυρίαρχες και τις κυριαρχούμενες στρατηγικές Αν αυτό αποτύχει, τότε ψάχνετε για ισορροπία που δίνεται από την τομή των βέλτιστων αντιδράσεων 9
Περιγραφή ενός παιγνίου (συνέχεια) β) Εκτεταμένη μορφή (μορφή δένδρου) Ταιριάζει καλύτερα σε δυναμικά παίγνια (πχ παίγνια διαδοχικών αποφάσεων) Το παίγνιο λύνεται προς τα πίσω, ξεκινώντας από τους τελευταίους κόμβους Στρατηγικές: το σύνολο των εξαρτημένων αποφάσεων (ενεργειών) σε κάθε κόμβο απόφασης Μια στρατηγική (strategy) ενός παίκτη προσδιορίζει ένα πλήρες σχέδιο για το πώς θα ενεργήσει ο παίκτης καθ όλη τη διάρκεια του παιγνίου. 10
Παίγνια δύο παικτών Ένα παίγνιο με μόνο δύο παίκτες είναι ένα παίγνιο δύο παικτών. Θα μελετήσουμε μόνο παίγνια πλήρους πληροφόρησης στα οποία υπάρχουν δύο παίκτες και καθένας απ αυτούς μπορεί να επιλέξει μεταξύ μόνο δύο στρατηγικών. Θα μελετήσουμε παίγνια στατικά (ταυτοχρόνων κινήσεων) και δυναμικά (διαδοχικών κινήσεων).
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Οι παίκτες ονομάζονται A και B. Ο παίκτης A έχει δύο στρατηγικές, Πάνω (U) και Κάτω (D).
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Ο παίκτης B έχει δύο στρατηγικές, Αριστερά () και Δεξιά (). Ο πίνακας που δείχνει τις αποδόσεις των δύο παικτών για καθέναν από τους τέσσερις πιθανούς συνδυασμούς στρατηγικών είναι ο πίνακας αποδόσεων του παιγνίου.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αυτός είναι ο πίνακας αποδόσεων του παιγνίου. Η απόδοση του παίκτη Α εμφανίζεται πρώτη. Η απόδοση του παίκτη B εμφανίζεται δεύτερη.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Ένας συνδυασμός στρατηγικών του παιγνίου είναι ένα ζεύγος όπως το (U,) όπου το 1 ο στοιχείο είναι η στρατηγική που επιλέγει ο παίκτης A και το 2 ο είναι η στρατηγική που επιλέγει ο παίκτης B.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αυτός είναι ο πίνακας αποδόσεων του παιγνίου. π.χ. αν ο A παίξει Πάνω (U) και ο Β παίξει δεξιά (), τότε η απόδοση του Α είναι 1 και η απόδοση του Β είναι 8.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αυτός είναι ο πίνακας αποδόσεων του παιγνίου. και αν ο A παίξει Κάτω (D) και ο B παίξει Δεξιά (), τότε η απόδοση του Α είναι 2 και η απόδοση του Β είναι 1.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Πώς είναι πιθανό να παίξουν οι παίκτες σ' αυτό το παίγνιο;
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (U,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1)
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (U,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο Β παίξει Δεξιά, τότε η καλύτερη απάντηση του Α είναι Κάτω, επειδή βελτιώνει έτσι την απόδοση του Α από 1 σε 2. Άρα, το (U,) δεν είναι πιθανό.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (D,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1)
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (D,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο Β παίξει Δεξιά, τότε η καλύτερη απάντηση του A είναι Κάτω.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (D,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο Β παίξει Δεξιά, τότε η καλύτερη απάντηση του A είναι Κάτω. Αν ο A παίξει κάτω, τότε η καλύτερη απάντηση του Β είναι Δεξιά. Άρα, το (D,) είναι πιθανό.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (D,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1)
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (D,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο A παίξει κάτω, τότε η καλύτερη απάντηση του B είναι Δεξιά, άρα το (D,) δεν είναι πιθανό.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (U,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1)
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (U,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο A παίξει Πάνω, η καλύτερη απάντηση του B είναι Αριστερά.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Είναι πιθανό να παιχτεί το (U,); Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Αν ο A παίξει Πάνω, η καλύτερη απάντηση του B είναι Αριστερά. Αν ο Β παίξει Αριστερά, η καλύτερη απάντηση του A είναι Πάνω. Άρα, το (U,) είναι πιθανό.
Ισορροπία Nash Ένας συνδυασμός στρατηγικών του παιγνίου όπου κάθε στρατηγική είναι μια καλύτερη απάντηση στον άλλον είναι μια Ισορροπία κατά Nash. Το παράδειγμά μας έχει δύο ισορροπίες κατά Nash: (U,) και (D,).
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) (U,) και (D,) είναι αμφότερες ισορροπίες Nash για το παίγνιο.
Ένα παράδειγμα παιγνίου δύο παικτών Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) (U,) και (D,) είναι αμφότερες ισορροπίες Nash για το παίγνιο. Αλλά ποια θα δούμε; Σημειώστε ότι αμφότεροι οι παίκτες προτιμούν το (U,) από το (D,). Πρέπει τότε να δούμε μόνο το (U,);
Το δίλημμα του φυλακισμένου Για να καταλάβετε αν τα προτιμώμενα κατά Pareto αποτελέσματα είναι αυτά που βλέπουμε στη διαδικασία ενός παιγνίου, εξετάζουμε το διάσημο παράδειγμα που ονομάζεται Δίλημμα του φυλακισμένου.
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Πώς είναι πιθανό να παίξουν οι παίκτες σ' αυτό το παίγνιο;
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Εάν η Μπόνι παίζει Σιωπή (S), τότε η καλύτερη απάντηση του Κλάιντ είναι Ομολογία (C).
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Εάν η Μπόνι παίζει Σιωπή (S), τότε η καλύτερη απάντηση του Κλάιντ είναι Ομολογία (C). Εάν η Μπόνι παίζει Ομολογία (C), τότε η καλύτερη απάντηση του Κλάιντ είναι Ομολογία (C).
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Ανεξάρτητα από το παιχνίδι της Μπόνι, η καλύτερη απάντηση του Κλάιντ είναι πάντα Ομολογία. Η Ομολογία είναι μια κυρίαρχη στρατηγική για τον Κλάιντ.
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Ομοίως, ανεξάρτητα από το παιχνίδι του Κλάιντ, η καλύτερη απάντηση της Μπόνι είναι πάντα Ομολογία. Η Ομολογία είναι μια κυρίαρχη στρατηγική για την Μπόνι.
Το δίλημμα του φυλακισμένου S Κλάιντ C Μπόνι S C (-5,-5) (-30,-1) (-1,-30) (-10,-10) Άρα, μόνο η ισορροπία κατά Nash γι αυτό το παίγνιο είναι (C,C), ακόμα κι αν το (S,S) δίνει στους Μπόνι και Κλάιντ καλύτερες αποδόσεις. Η μόνη ισορροπία Nash είναι αναποτελεσματική.
Το παίγνιο κυκλοφορίας ταινιών Το 2010, η Warner Bros. και η Fox πρέπει να αποφασίσουν για τις ημερομηνίες στις οποίες θα κυκλοφορήσουν τις ταινίες Χάρι Πότερ και Το Χρονικό της Νάρνια. Δύο πιθανές ημερομηνίες: Νοέμβριος ή Δεκέμβριος. Ο Δεκέμβριος είναι ο καλύτερος μήνας, αλλά η ταυτόχρονη κυκλοφορία των δύο ταινιών είναι κακή και για τις δυο. Ο Χάρι Πότερ και οι Κλήροι του Θανάτου: Μέρος I (κυκλοφόρησε στις 19 Νοεμβρίου 2011) Το Χρονικό της Νάρνια: Ο Ταξιδιώτης της Αυγής (κυκλοφόρησε στις 10 Δεκεμβρίου 2011) 39
Το παίγνιο κυκλοφορίας ταινιών Ποια είναι τα στοιχεία ενός παιγνίου; Χαρακτηριστικά παιγνίου: Παίκτες (Warner και Fox) Κανόνες (ταυτόχρονη επιλογή της ημερομηνίας κυκλοφορίας) Στρατηγικές (Νοέμβριος, Δεκέμβριος) Αποδόσεις (έσοδα) Τι μπορώ να κάνω με το παίγνιο; Να προσδιορίσω πόσο καλή είναι η καθεμία από τις στρατηγικές μου Να ανακαλύψω τι είναι πιθανόν να κάνει ο αντίπαλός μου 40
Το παίγνιο κυκλοφορίας ταινιών Έστω ότι τα συνολικά δυνητικά έσοδα (σε εκατομμύρια $) είναι 500 τον Νοέμβριο και 800 τον Δεκέμβριο Τα έσοδα μοιράζονται εξίσου μεταξύ των δύο ταινιών αν κυκλοφορήσουν και οι δύο τον ίδιο μήνα Fox Νοέμβριος Δεκέμβριος Warner Νοέμβριος Δεκέμβριος 250 800 250 500 500 400 800 400 Ποια είναι η ισορροπία Nash αυτού του παιγνίου; Τι συνέβη πραγματικά; 41
Βρείτε τις ισορροπίες Nash σε καθαρές στρατηγικές Παίκτης 2 Α Β Παίκτης 1 Α Β 3-3 3-3 -3 3-3 3 Υπάρχουν κυρίαρχες στρατηγικές; 42
Βρείτε τις ισορροπίες Nash σε καθαρές στρατηγικές Παίκτης 2 Παίκτης 1 3 1 3 1 1 2 1 2 Υπάρχουν κυρίαρχες στρατηγικές; 43
Βρείτε τις ισορροπίες Nash σε καθαρές στρατηγικές Παίκτης 2 A Παίκτης 1 B C 3 2 2 2 3 4 4 1 Υπάρχουν κυρίαρχες στρατηγικές; 44
Ποιος παίζει πότε; Στα παραπάνω παραδείγματα, οι παίκτες επέλεξαν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Τέτοια παίγνια είναι ταυτόχρονα παίγνια.
Ποιος παίζει πότε; Αλλά υπάρχουν άλλα παίγνια στα οποία ο ένας παίκτης παίζει πριν τον άλλον. Τέτοια παίγνια ονομάζονται διαδοχικά παίγνια. Ο παίκτης που παίζει πρώτος είναι ο ηγέτης και ο παίκτης που παίζει δεύτερος είναι ο ακόλουθος.
Περιγραφή σε εκτεταμένη μορφή Αναπαράσταση παιγνίων σε μορφή δένδρου Είναι καλύτερη για την περιγραφή παιγνίων με διαδοχικές ενέργειες Οι κόμβοι αποφάσεων δείχνουν ποιος παίκτης πρέπει να κινηθεί (κανόνες) Τα κλαδιά συμβολίζουν τις πιθανές επιλογές Οι τελευταίοι κόμβοι δείχνουν την απόδοση του κάθε παίκτη (κατά σειρά εμφάνισης) Τα παίγνια λύνονται μέσω οπισθογενούς ή προς τα πίσω επαγωγής (backwards induction) 47
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου Μερικές φορές ένα παίγνιο έχει περισσότερες από μία ισορροπία Nash και είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια είναι πιο πιθανό να συμβεί. Όταν ένα παίγνιο είναι διαδοχικό, είναι πιθανό μερικές φορές να ισχυριστούμε ότι μία από τις ισορροπίες Nash είναι πιο πιθανό να συμβεί από την άλλη.
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου Παίκτης B Παίκτης A U D (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Τα (U,) και (D,) είναι αμφότερα NE (ισορροπία Nash) όταν αυτό το παίγνιο παίζεται ταυτόχρονα και δεν μπορούμε να αποφασίσουμε ποια ισορροπία είναι πιθανότερο να συμβεί.
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου Έστω ότι αντίθετα, το παίγνιο παίζεται διαδοχικά, με τον A να ξεκινά και τον B να ακολουθεί. Μπορούμε να γράψουμε ξανά το παίγνιο στην εκτεταμένη μορφή του.
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου A B U D B Ο Α παίζει πρώτος. Ο Β παίζει δεύτερος. (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου Να σκέφτεστε τι θα κάνει ο αντίπαλός σας: ο Παίκτης A θα έπρεπε να σκεφτεί τι θα κάνει ο Παίκτης B, και αντιστρόφως Η χρονική σειρά των κινήσεων είναι σημαντική: ο Παίκτης B έκανε την τελευταία κίνηση. Το αποτέλεσμα θα ήταν διαφορετικό αν η σειρά των κινήσεων ήταν διαφορετική.
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου A B U D B Ο Α παίζει πρώτος. Ο Β παίζει δεύτερος. (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Εάν ο A παίζει U τότε ο B ακολουθεί με αντί για αφού 9>8
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου A B U D B Ο Α παίζει πρώτος. Ο Β παίζει δεύτερος. (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Εάν ο A παίζει U τότε ο B ακολουθεί με αντί για αφού 9>8 Εάν ο A παίζει D τότε ο B ακολουθεί με αντί για αφού 1>0
Ένα παράδειγμα διαδοχικού παιγνίου A B U D B Ο Α παίζει πρώτος. Ο Β παίζει δεύτερος. (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Εάν ο A παίζει U τότε ο B ακολουθεί με και ο A παίρνει 3. Εάν ο A παίζει D τότε ο B ακολουθεί με και ο A παίρνει 2. Άρα ο Α παίζει U και η ισορροπία είναι η (U, ).
Το παίγνιο εισόδου Η Επιχείρηση 1 πρέπει να αποφασίσει εάν θα εισέλθει στην αγορά (e: enter, ē: out) Εάν εισέλθει η Επιχείρηση 1, η Επιχείρηση 2 (η μοναδική εδραιωμένη επιχείρηση) πρέπει να αποφασίσει εάν θα προχωρήσει σε αντίποινα λόγω εισόδου (r: price war, ṝ: accommodate) Πόσες ισορροπίες Nash υπάρχουν; 56
Το παίγνιο εισόδου στην κανονική μορφή Παίκτης 2 r ṝ Παίκτης 1 e ē -10 0 10 50 10 0 20 50 57
Οπισθογενής ή προς τα πίσω επαγωγή 58
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Ποιες είναι οι ισορροπίες Nash;
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Είναι το (U,) ισορροπία Nash;
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. είναι το (U,) ισορροπία Nash;
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (D,) ισορροπία Nash;
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (D,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (D,) ισορροπία Nash;
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (U,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (D,) ισορροπία Nash; Όχι. Είναι το (D,) ισορροπία Nash; Όχι.
Άλλο παράδειγμα Παίκτης B Παίκτης A U D (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Άρα το παίγνιο δεν έχει ισορροπίες Nash σε αμιγείς (καθαρές) στρατηγικές. Ακόμα κι έτσι, το παίγνιο έχει μια ισορροπία Nash, αλλά σε μεικτές στρατηγικές, δηλαδή αναμειγνύει τις καθαρές στρατηγικές.
Πόσες ισορροπίες Nash; Ένα παίγνιο με πεπερασμένο αριθμό παικτών, όπου καθένας έχει πεπερασμένο αριθμό αμιγών στρατηγικών, έχει τουλάχιστον μία ισορροπία Nash. Άρα, αν το παίγνιο δεν έχει καμία ισορροπία Nash αμιγούς στρατηγικής, πρέπει να έχει τουλάχιστον μία ισορροπία Nash μεικτής στρατηγικής.