website:

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Νευτώνια και μη Νευτώνια ρευστά Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 15 Απριλίου 2019 1 Καταστατικές εξισώσεις Νευτώνιου ρευστού Νευτώνια ή Νευτωνικά ρευστά ονομάζονται τα ρευστά στα οποία ο τανυστής τάσης, σε τυχόν σημείο του ρευστού εκφράζεται ως γραμμική συνάρτηση του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης. Γενικά νευτώνια συμπεριφορά εμφανίζουν τα αέρια, τα περισσότερα από τα συνήθη υγρά και τα διαλύματα ουσιών μικρού μοριακού βάρους. Το νερό και ο αέρας είναι από τα πιο γνωστά νευτώνια ρευστά. Χαρακτηριστικό των νευτώνιων ρευστών είναι ότι το ιξώδες αποτελεί για αυτά πραγματική ιδιότητα η τιμή της οποίας εξαρτάται από τη μοριακή φύση, την πίεση και τη θερμοκρασία του ρευστού. Οι καταστατικές εξισώσεις των νευτώνιων ρευστών είναι: σ ij = pδ ij + λ(e 11 + e 22 + e 33 )δ ij + 2µe ij, i, j = 1, 2, 3, (1) email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1

όπου σ ij οι συνιστώσες του τανυστή τάσης, e ij οι συνιστώσες του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης, p η πίεση, το λ, και ο συντελεστής ιξώδους µ σταθερές που χαρακτηρίζουν το ρευστό. Οταν το ρευστό ισορροπεί ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης ισούται με μηδέν και ισχύει η σχέση σ ij = pδ ij, i, j = 1, 2, 3, (2) που είναι ιδια με την καταστατική εξίσωση του ιδανικού ρευστού. Στην ειδική περίπτωση της στρωτής μονοδιάστατης ροής ισχύει ότι ο τοπικός ρυθμός γωνιακής παραμόρφωσης του ρευστού είναι ίσος με την τοπική κλίση της καμπύλης της ταχύτητας του. Συνέπεια αυτού είναι ότι ισχύει η σχέση ο νόμος ιξώδους του Νεύτωνα. σ yx = µ du x dy, (3) Από τον νόμο ιξώδους του Νεύτωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τη διατμητική τάση σ yx σε κάθε σημείο του πεδίου ροής αν είναι γνωστή η κατανομή u x (y) της ταχύτητας του ρευστού. 2 Εξισώσεις Navier - Stokes για ασυμπίεστο Νευτώνιο ρευστό Οι εξισώσεις Navier - Stokes είναι οι εξισώσεις κίνησης ενός ασυμπίεστου Νευτώνιου ρευστού και δίνονται από τις σχέσεις: ρ du 1 dt ρ du 2 dt ρ du 3 dt = ρf 1 p + µ( 2 u 1 x 1 x 2 1 x 2 2 = ρf 2 p + µ( 2 u 1 x 2 x 2 1 x 2 2 = ρf 3 p + µ( 2 u 3 + 2 u 3 x 1 x 2 1 x 2 2 ), x 3 1 ), x 3 1 + 2 u 3 ). (4) x 3 1 ΓΙα την μελέτη τη κίνησης πρέπει να καθορίσουμε τις συνοριακές συνθήκες 2

κατά την κίνηση του ρευστού και να λύσουμε τις εξισώσεις ώστε να ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες. Μια απαραίτητη συνθήκη είναι η συνθήκη μη ολίσθησης ή συνθήκη πρόσφυσης. Σύμφωνα με αυτήν το στρώμα του ρευστού που είναι σε επαφή με τη συνοριακή επιφάνεια έχει την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια αυτή σε όλα τα σημεία επαφής. Η παραπάνω συνθήκη επιβεβαιώνεται από τα πειραματικά δεδομένα και οφείλεται στην ύπαρξη εσωτερική τριβής. 3 Εξισώσεις υδροστατικης Οταν το ρευστό ισορροπεί οι καταστατικές εξισώσεις για ιδανικά και ιξώδη ρευστά συμπίπτουν. Η μελέτη της ισορροπίας ισχύει και για τα ιδανικά και για τα νευτώνια ρευστά. Και στις δύο περιπτώσεις η κατάσταση τάσης στη θέση ισορροπίας δίνεται από ένα διαγώνιο τανυστή τάσης T = pi. (5) Οι εξισώσεις Euler και Navier - Stokes βρίσκονται αν θεωρήσουμε τις ταχύτητες ίσες με μηδέν και έχουμε ή αναλυτικά ρf 1 = p x 1, ρ f gradp = 0, (6) ρf 2 = p x 2, ρf 3 = p x 3. (7) Αν οι δυνάμεις μάζας που ασκούνται στο ρευστό είναι αμελητεές (f 1 = f 2 = f 3 = 0) τότε οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν ότι η πίεση είναι σταθερή p = const, το οποίο εκφράζει την αρχή του Pascal σύμφωνα με την οποία η υδροστατική πίεση είναι σταθερή σε όλα τα σημεία του ρευστού. 4 Μη Νευτώνια ρευστά Μη Νευτώνια ή Μη Νευτωνικά ρευστά ονομάζονται τα ρευστά στα οποία ο τανυστής τάσης, σε τυχόν σημείο του ρευστού εκφράζεται ως μη γραμμική συνάρτηση του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης. 3

Στη περίπτωση των μη νευτώνιων ρευστών το ιξώδες εξαρτάται από μια σειρά παράγοντες όπως το ρυθμό γωνιακής παραμόρφωσης, το χρόνο διάτμησης του ρευστού ακόμα και από τη γεωμετρία του χώρου όπου βρίσκεται το διατεμνόμενο ρευστό. Ετσι η έννοια ιξώδες έχει νόημα μόνο όταν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο ρυθμό διάτμησης. Για το λόγο αυτό εισάγουμε την έννοια του φαινόμενου ιξώδους, µ φ το οποιό ορίζεται ως ο λόγος της διατμητικής τάσης προς τον αντίστοιχο ρυθμό διάτμησης του ρεσυτού µ φ = τ yx γ yx (8) Τα μη νευτώνια ρευστά τα συναντάμε σε πολλές τεχνικές εφαρμογές και σε μεγάλο αριθμό χημικών βιομηχανιών (τροφίμων, φαρμάκων, καλλυντικών, πλαστικών). Τα μη νευτώνια ρευστά μπορεί να είναι ανεξάρτητα του χρόνου και τα οποία χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: 1. Πλαστικά ρευστά τα οποία ρέουν μόνο όταν η εφαρμοζόμενη σε αυτά διατμητική τάση υπερβεί μια ορισμένη τιμή η οποία ονομάζεται τάση ροής του ρευστού. Τέτοια ρευστά είναι οι οδοντόπαστες, το μέλι, η μαγιονέζα, οι ζελατίνες κα... 2. Ψευδοπλαστικά ρευστά στα οποία το φαινόμενο ιξώδες μειώνεται με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης. φρούτν, οι φυσικές κόλλες κα... Τέτοια ρευστά είναι το αίμα, οι χυμοί 3. Τα διασταλτικά ρευστά το φαινόμενο ιξώδες των οποίων αυξάνεται με την αύξηση του ρυθμού διάτμησης. Διασταλτικά ρευστά είναι συνήθως πυκνά αιωρήματα στερεών σε υγρά όπως οι αμυλούχες κόλλες, το υγρό τσιμεντοσκυρόδεμα, ο χαλαζίας και η άμμος. Τα μη νευτώνια ρευστά μπορεί να είναι εξαρτώμενα του χρόνου και τα οποία χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: 1. Θιξοτροπικά ρευστά το φαινόμενο ιξώδες των οποίων μειώνεται με το χρόνο όταν υφίστανται διάτμηση με σταθερό ρυθμό. Αυτή η συμπεριφορά χρησιμεύει για παράδειγμα στη βιομηχανία των πλαστικών και των 4

χρωμάτων. Για παράδειγμα ένα καλό χρώμα βαφής της επιφάνειας στερεών πρέπει να είναι θιξοτροπικό ώστε όταν είναι στο κουτί να είναι πολύ ιξώδες για να μην διαχωρίζεται η χρεωστική ουσία, όταν ανακατεύται να γίνεται λεπτόρευστο για να απλώνεται εύκολα στην επιφάνεια κατά το βάψιμο και αμέσως μετά τη χρησιμοποιήση του να ξαναγίνεται παχύρευστο και να συγκρατείται πάνω στη βαμμένη επιφάνεια ώστε το βάψιμο να παραμένει ομοιόμορφα. 2. Ρεοπηκτικά ρευστά τα οποία παρουσιάζουν αύξηση του φαινόμενο ιξώδους τους με το χρόνο όταν υφίστανται διάτμηση με σταθερό ρυθμό. Εχουν σπάνια εφαρμογή όπως σε πυκνά διαλύματα ενυδρού γύψου. Υπάρχουν επίσης τα ιξωδελαστικα ρευστά τα οποία εκτός από χαρακτηριστικά ρευστών εμφανίζουν και χαρακτηριστικά ρευστών όπως το ασπάρδι του αυγού, η πίσσα, ο υγρός στόκος κα... 5 Ασκήσεις 1. Σε μια διάταξη τριών παράλληλων πλακών A, B, C, που απέχουν μεταξύ b 1 = 6mm (περιέχει λάδι SAE 30) και b 2 = 4mm (περιέχει λάδι SAE 10). Τα δύο λάδια έχουν θερμοκρασία 20 o C. Η πλάκα C κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα u C = 50cm/s, ενώ η πλάκα A παραμένει ακίνητη. Η πλάκα B μπορεί να κινηθεί ελεύθερα υπό την επίδραση των ιξώδων δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε αυτή. Οι ταχύτητες u x1 του πρώτου λαδιού και u x2 του δεύτερου είναι γραμμικές συναρτήσεις των αποστάσεων y 1 από την πλάκα A και y 2 από την πλάκα B ενώ η ροή είναι μόνιμη και στρωτή. Να βρεθούν οι αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων u x1 (y), u x2 (y). Οι εξισώσεις υπολογισμού των ανά μονάδα επιφάνειας δυνάμεων που ασκούνται στις δύο πλευρές της πλάκας B από τα λάδια και την ταχύτητα με την οποία κινείται η πλάκα B. 2. Να μελετήσετε την μονοδιάστατη κίνηση Νευτώνιου ρευστού μεταξύ δύο παράλληλων πλακών με άπειρη έκταση όπου η μία πλάκα που συμπίπτει με το επίπεδο Ox 1 x 3 είναι ακίνητη και η δεύτερη κινείται σε ύψος d με 5

σταθερή ταχύτητα παράλληλα προς το επίπεδο x 1 x 3 κατά τη διεύθυνση του άξονα x 1. 3. Να μελετήσετε την μονοδιάστατη κίνηση Νευτώνιου ρευστού μεταξύ δύο ακίνητων παράλληλων πλακών με άπειρη έκταση που είναι παράλληλες προς το επίπεδο x 1 x 3, τέμνουν τον άξονα x 2 στα σημεία x 2 = d και x 2 = d για την περίπτωση σταθερής κίνησης ιξώδους ρευστού μεταξύ των δύο πλακών κατά τη διεύθυνση του άξονα x 1 λόγω διαφοράς πίεσης. 4. Δίνεται το πεδίο ταχυτήτων ενός νευτώνιου ρευστού u 1 = x 1 x 2, u 2 = x 2 x 1, u 3 = 0. (9) Θεωρήστε τυχόν σημείο σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση e 1 και 1) βρείτε τη διαφορά μεταξύ ορθής τάσης και της πίεσης p συναρτήση του συντελεστή ιξώδους, 2) Βρείτε τη διατμητική τάση. 5. Να βρεθεί η πίεση που ασκείται στην επιφάνεια ρευστού που ηρεμεί μέσα σε ακίνητο δοχείο στο ομογενές πεδιό βαρύτητας. 6. Θεωρήστε την παράλληλη ροή ασυμπίεστου νευτώνιου ρευστού κατά τη διεύθυνση ē 3. Να αποδείξετε ότι το πεδίο ταχυτήτων είναι της μορφής u 1 = u 2 = 0 και u 3 = f(x 1, x 2 ). Για την ειδική περίπτωση όπου f(x 1, x 2 ) = x 2 να βρεθεί η ορθή τάση σε επιεδο κάθετο στη διεύθυνση ē 2 + ē 3, συναρτήσει της πίεσης και του συντελεστή ιξώδους. 7. Δίνεται το πεδίο ταχυτήτων νευτώνιου ρευστού u 1 = k(x 2 1 x 2 2), u 2 = 2kx 1 x 2, u 3 = 0. α) να βρεθεί ο τανυστής τάσης. β) Να βρεθεί η κατανομή της πίεσης ώστε η ροή να είναι μια δυνατή κίνηση του ρευστού αν οι δυνάμεις μάζας είναι αμελητέες (χρησιμοποιήστε τις εξισώσεις Navier - Stokes και θεωρήστε p = p 0 στο (0, 0, 0). γ) Αγνοήστε το συντελεστή ιξώδους µ και υπολογίστε την κατανομή της πίεσης κατά προσέγγιση από την εξίσωση του Bernouli. 6