Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli
Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> είναι: όπου Άρα έχουμε: +5p: Να γίνει με χρήση τελεστών δημιουργίας και καταστροφής
Άσκηση 3 Έστω ηλεκτρόνιo με z συνιστώσα του spin ίση με +ћ/2. Το spin ηλεκτρονίου μετράται κατά μηκος μιας διεύθυνσης z που σχηματίζει γωνία θ με την διεύθυνση z. Α. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μέτρηση τιμή +ћ/2 ή -ћ/2. Β. Ποιά είναι μέση τιμή του spin κατά μήκος της z ; Ο τελεστής spin κατά μήκος της διεύθυνσης z είναι: όπου Επομένως: Για τις ιδιοκαταστάσεις του S z έχουμε:
Άσκηση 3 +5q
Άσκηση 3 +5r +5r Από την κανονικοποίηση του +1/2> έχουμε
Άσκηση 3 Άρα (Η φάση είναι αυθαίρετη και την επιλέγουμε ίση με την αζιμουθιακή γωνία.) Ακόμα έχουμε
Άσκηση 3 ορθογωνιότητα 1 1 i ' ' ccos d sin e 0 2 2 2 2 Κανονικοποίηση: c i tan e d 2 i c tan e d 2 i c sin e d 2 d cos 2 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 Αυθαιρεσία φάσης d cos 2 i c sin e d 2
Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 Μέση τιμή του spin κατά μήκος της z για την κατάσταση +ћ/2>: +5s 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2
Άσκηση 3 1 i 1 1 ' sin e cos 2 2 2 2 2 +5t: Να βγει και με άλλο τρόπο Είναι το κλασσικά αναμενόμενο αποτέλεσμα
Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ ˆ ˆ 0 1 i A Sx S y 1 i 0 Για τις ιδιοτιμές έχουμε: Άρα οι ζητούμενες ιδιοτιμές είναι: +5u
Άσκηση 4 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές του τελεστή S x +S y για σωμάτιο με σπιν s=1/2. ˆ 0 1 i A 1 i 0 Έστω ιδιοκαταστάσεις της μορφής: Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε:
Άσκηση 4 Για την ιδιοτιμή +ћ/2 έχουμε: Άρα η ιδιοκατάσταση είναι: +5v Όμοια βρίσκουμε για την ιδιοτιμή : +5w
Άσκηση 5
Άσκηση 6
Άσκηση 7 Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές των τελεστών S x, S y, S z. Για τον S z έχουμε δείξει ότι οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι: Για τον S x οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2
Άσκηση 7 Άρα για τον S x οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση για να βρούμε: +5x
Άσκηση 7 Όμοια για τον S y οι ιδιοτιμές γράφονται ως ћλ/2 και προκύπτουν ως λύση της εξίσωσης: Άρα και για τον S y οι ιδιοτιμές είναι ±ћ/2 Για τις ιδιοκαταστάσεις έχουμε: Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε:
Άσκηση 7 Άρα για την ιδιοτιμή + ћ/2 έχουμε: Αντίστοιχα για την ιδιοτιμή - ћ/2 χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα και κανονικοποίηση: Άρα για S x : Και για S y :
Άσκηση 8 Σωμάτιο με spin ½ βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο με Χαμιλτονιανή H=(eB/mc)S z. Την στιγμή t=0 το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή S x με ιδιοτιμή +ћ/2. Βρείτε την κατάσταση του σωματίου για t>0. t=0 t>0 1 1 1 2 2 2 eb eb i t i t mc 2 mc 2 ( t) e z e z
Άλυτες Ασκήσεις 1. Βρείτε τις αναπαραστάσεις των Sx, Sy, Sz για ένα σωμάτιο με spin 1. 2. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση Κανονικοποιήστε την κατάσταση. Βρείτε τα πιθανά αποτελέσματα μιας μέτρησης του S z και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ποια είναι η μέση τιμή του S z. Επαναλάβετε για τις συνιστώσες S y. 3. Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο της μορφής Βρείτε την Χαμιλτονιανή του συστήματος. Το ηλεκτρόνιο έχει αρχικά spin `πανω στην κατεύθυνση του άξονα x. Βρείτε την κατάσταση χ(t) του ηλεκτρονίου την χρονική στιγμή t. Βρείτε την πιθανότητα να δώσει μια μέτρηση του S x, την τιμή -ћ/2 την χρονική στιγμή t. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του B 0 απαιτείται για πλήρη αναστροφή της κατεύθυνσης του S x ;
Άλυτες Ασκήσεις 4. Αποδείξτε τις σχέσεις που δεν αποδείξαμε στο μάθημα: Άσκηση 4 Άσκηση 7