3. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΞΕΙΣ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 3. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΞΕΙΣ 3.. Εισαγωγή ντίθετα προς τις μαθηματικές πράξεις και τις μεταβλητές τους, στην λογική διαδικασία χρησιμοποιούμε τις λογικές μεταβλητές οι οποίες μπορούν να πάρουν μόνο δυο τιμές το μηδέν και το ένα. Οι τιμές των,,, σε μια λογική σχέση, θα είναι μόνο μοδέν ή ένα και το αποτέλεσμα επίσης μιας λογικής πράξης π.χ. = θα είναι επίσης ή. Με την βοήθεια των λογικών μεταβλητών μπορούμε να κάνουμε τις "Λογικές πράξεις" πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού ή αντιστροφής. Οι λογικές πράξεις στα κυκλώματα εκτελούνται με ηλεκτρονικά κυκλώματα, τις λογικές πύλες, και φυσικά δεν πρέπει να μπερδεύονται με τις αριθμητικές πράξεις του δυαδικού συστήματος. Στην συνέχεια αναλύονται οι βασικές λογικές πράξεις συνοδευόμενες από τα ισοδύναμα κυκλώματα με διακόπτες για καλύτερη κατανόηση. 3..2 Λογική πρόσθεση ("",OR) Η πράξη της λογικής πρόσθεσης για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι ή ενώ γράφουμε =. =A Όπου"" "OR" LE =LIT =UNLIT Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Για να έχουμε έξοδο = αρκεί ένας από τους διακόπτες να είναι στην κατάσταση ένα, δηλαδή κλειστός. Σημείωση: Για τους διακόπτες έχουμε τους παρακάτω συμβολισμούς και την αντιστοιχία με την κατάστασή του με & 3..3 Λογικός πολλαπλασιασμός ("KAI",AN) νοικτός Διακόπτης Η πράξη του λογικoύ πολλαπλασιασμού για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί '' Κλειστός Διακόπτης '' Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 3η
σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι και ενώ γράφουμε =. =A όπου"*" "KAI" Η έξοδος του κυκλώματος φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Για να έχουμε έξοδο = πρέπει και οι δυο διακόπτες να είναι στην κατάσταση ένα, δηλαδή κλειστοί. 3..4 Λογικό Συμπλήρωμα omplement ("NOT" INVERTER ) Η πράξη του λογικού συμπληρώματος για μια μεταβλητή A η οποία μπορεί να πάρει δυο τιμές, άρα δυο δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι συμπλήρωμα (ή μπάρα) ενώ γράφουμε. = A όπου( ) "ΝΟΤ" Z Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Η έξοδος είναι πάντα το συμπλήρωμα της εισόδου. Έξοδος = όταν =, δηλαδή διακόπτης ανοικτός. 3..5 ποκλειστικόη exclusive OR (XOR ) Η πράξη της του αποκλειστικούή για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι αποκλειστικά ή αποκλειστικά ενώ γράφουμε = ή = A. A. Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 32η
A = όπου" " "XOR" Για να έχουμε έξοδο = πρέπει ένας μόνο από τους διακόπτες να είναι στην κατάσταση ένα, δηλαδή κλειστός. Z 3..6 Συμπλήρωμα λογικής πρόσθεσης OR (NOTOR=NOR). Η πράξη της του συμπληρώματος της πράξης ή για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι το συμπλήρωμα ( ή ) ενώ γράφουμε = A. = Z = A Z Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Για να έχουμε έξοδο = πρέπει και οι δυο διακόπτες να είναι στην κατάσταση μηδέν, δηλαδή ανοικτοί. 3..7 Συμπλήρωμα λογικού πολλαπλασιασμού AN (NOTN=NAN) Η πράξη της του συμπληρώματος της πράξης και για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι το συμπλήρωμα ( & ) ενώ γράφουμε = A. Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Για να έχουμε έξοδο = αρκεί ο ένας (ή και οι δυο) διακόπτης να είναι στην κατάσταση μηδέν, δηλαδή ανοικτός. Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 33η
= Z = A. A Z 3..8 Συμπλήρωμα αποκλειστικούή (NOTXOR=XNOR) Η πράξη της του συμπληρώματος της πράξης του αποκλειστικούή για δυο μεταβλητές A, οι οποίες μπορούν να πάρουν δυο τιμές (κάθε μια), άρα τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πράξης. Δίπλα φαίνεται και το διακοπτικό κύκλωμα. Στην εκφώνηση λέμε ότι η έξοδος είναι το συμπλήρωμα ( αποκλειστικό ) ενώ γράφουμε = A ή =A. Η έξοδος του κυκλώματος, φαίνεται στην φωτοδίοδοled και εκφράζει το αποτέλεσμα της πράξης όπου =UnLit & =Lit. Για να έχουμε έξοδο = πρέπει και οι δυο διακόπτες να είναι στην κατάσταση ένα ή μηδέν ή, δηλαδή ανοικτοί ή κλειστοί. Z = A Z = A Σημείωση: Στα δυο τελευταία κυκλώματα όπου αναφέρεται η κατάσταση ή αναφέρονται σε διακόπτες τριών θέσεων με μια κλειστή και μια ανοικτή επαφή με την αντίστοιχη σημείωση ή. Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 34η
3.2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 3.2. Εισαγωγή Οι βασικές αρχές της Άλγεβρας oole πραγματοποιούνται με τη χρήση των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, τις λεγόμενες "πύλες", οπότε μια πύλη είναι το μαθηματικό σύμβολο της πράξης oole. Σε κάθε λογική πράξη της Άλγεβρας oole αντιστοιχεί και μία λογική πύλη. Πύλη γενικά είναι ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα το οποίο δέχεται στην είσοδό του ένα ή περισσότερα σήματα και έχει έξοδο ένα μόνο σήμα. ς τις δούμε πιο αναλυτικά. 3.2.2 Πύλη "H" Gate OR Η πράξη της λογικής πρόσθεσης για δυο μεταβλητές A,, πραγματοποιείται με την πύλη OR. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. Η πύλη είναι ισοδύναμη με το ηλεκτρικό κύκλωμα δύο παράλληλα συνδεδεμένων διακοπτών και μια λυχνία που αποτελεί την έξοδο. (truth table) = Σύμβολο (lock διάγραμμα) Η πύλη OR εκτελεί την πράξη της λογικής πρόσθεσης (). Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι = και ή έξοδος της πύλης είναι ="" όταν τουλάχιστον μία είσοδος είναι ένα"". 3.2.3 Πύλη "KAI" Gate AN Η πράξη του λογικού πολλαπλασιασμού για δυο μεταβλητές A,, πραγματοποιείται με την πύλη AN. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. Η πύλη είναι ισοδύναμη με το ηλεκτρικό κύκλωμα δύο εν σειρά συνδεδεμένων διακοπτών και μια λυχνία που αποτελεί την έξοδο. (truth table) = Σύμβολο (lock διάγραμμα) Η πύλη AN εκτελεί την πράξη του λογικού πολλαπλασιασμού ( * ). Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι = και ή έξοδος της πύλης είναι ="" όταν όλες οι είσοδοι είναι ένα"". ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι πύλες ΟR και AN μπορούν να έχουν και περισσότερες από δύο εισόδους, όμως για την έξοδο θα ισχύουν οι παραπάνω κανόνες. = ~ Uled=,52,5V Iled=2mA ~ = Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 35η
3.2.4 Πύλη "ντιστροφής" (INVERTER), "OXI" Gate NΟΤ Η πράξη της λογικής αντιστροφής για την μεταβλητή A πραγματοποιείται με την πύλη NΟΤ. Οι δυο δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. Η πύλη είναι ισοδύναμη με το κύκλωμα ενός διακόπτη συνδεδεμένου παράλληλα στην λυχνία εξόδου. (truth table) A Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι = A είναι μηδέν"". Η πύλη ΝΟΤ αντιστρέφει την είσοδό της. Σύμβολο (lock διάγραμμα) ~ = και ή έξοδος της πύλης είναι ="" όταν η είσοδος Σημείωση: Δύο πύλες με μεγάλη εφαρμογή στα λογικά κυκλώματα είναι οι πύλες NAN και NOR. H χρήση των πυλών αυτών είναι μεγάλη και προτιμούνται από τις απλές πύλες, γιατί από την εσωτερική κατασκευή των ηλεκτρονικών στοιχείων τους απαιτούνται λιγότερα τρανζίστορ για την τελική έξοδο. 3.2.5 Πύλη ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟΗ (exlusive OR = XOR) Gate ΧΟR Η πράξη του αποκλειστικούor για δυο μεταβλητές A, πραγματοποιείται με την πύλη ΧΟR. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. Η πύλη είναι ισοδύναμη με κύκλωμα δυο διακοπτών παράλληλα μεταξύ τους και παράλληλα στην λυχνία. (truth table) Z= A Σύμβολο (lock διάγραμμα) Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι Z=A A =A και ή έξοδος της πύλης είναι ="" αποκλειστικά μόνο όταν μία είσοδος είναι ένα"", ή διαφορετικά η έξοδος της πύλης ΧΟR είναι μηδέν"" όταν μία μόνο είσοδος είναι ένα"". Η πράξη του "AΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟΥΗ" έχει σαν σύμβολο το " " και για δύο μεταβλητές, ισχύει: A A =. Η πύλη ΧΟR είναι κατάλληλη για την σύγκριση δύο δυαδικών ψηφίων και χρησιμοποιείται στον έλεγχο της ανισότητας δύο δυαδικών ψηφίων. ~ = Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 36η
3.2.6 Πύλη "ΟΧΙΚΙ" (NOTAN = NAN) Η πράξη του συμπληρώματος του λογικού πολλαπλασιασμού για δυο μεταβλητές πραγματοποιείται με την πύλη ΝN. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. H πύλη ΝΟΤΚΙ αντιστοιχεί σε μία πύλη ΚΙ που ακολουθείται από μία πύλη ΝΟΤ. Έτσι για να βρούμε την έξοδο της πύλης ΝΟΤΚΙ παίρνουμε το λογικό γινόμενο των εισόδων και το αντιστρέφουμε οπότε και η ονομασία της πύλης ΟΧΙΚΙ (NOTAN=NAN) αντιστοιχεί ακριβώς στη λειτουργία της. Η πύλη είναι ισοδύναμη με κύκλωμα δύο εν σειρά διακοπτών, παράλληλα σε μια λυχνία. (truth table) Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι Σύμβολο (lock διάγραμμα) Z = A και ή έξοδος της πύλης είναι ="" σε όλους τους συνδυασμούς εκτός του συνδυασμού όπου όλες οι είσοδοι είναι ένα"", ή διαφορετικά η έξοδος της πύλης NAN είναι ="" όταν μία τουλάχιστον είσοδος είναι μηδέν"". 3.2.7 Πύλη "ΟΧΙΗ" (NOTOR = NOR) Η πράξη του συμπληρώματος της λογικής πρόσθεσης για δυο μεταβλητές A,, πραγματοποιείται με την πύλη ΝΟR. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. H πύλη ΝΟΤOR αντιστοιχεί σε μία πύλη OR που ακολουθείται από μία πύλη ΝΟΤ. Έτσι για να βρούμε την έξοδο της πύλης ΝΟΤOR παίρνουμε το λογικό άθροισμα των εισόδων και το αντιστρέφουμε οπότε και η ονομασία της πύλης ΟΧΙOR (NOTΟR=NOR) αντιστοιχεί ακριβώς στη λειτουργία της. Z = A Η πύλη είναι ισοδύναμη με κύκλωμα δύο εν παραλλήλω συνδεδεμένων διακοπτών και παράλληλα σε μια λυχνία. (truth table) Z= A = ~ Σύμβολο (lock διάγραμμα) ~ = Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 37η
Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι z = A και ή έξοδος της πύλης είναι ="" μόνο στον συνδυασμό όπου όλες οι είσοδοι είναι μηδέν"", ή διαφορετικά η έξοδος της πύλης NOR είναι μηδέν"" όταν μία τουλάχιστον είσοδος είναι ένα"". 3.2.8 Πύλη ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟΥ ΟΧΙΗ (EXLUSIVE NOR = XNOR) Η πράξη του συμπληρώματος του αποκλειστικούor για δυο μεταβλητές A,, πραγματοποιείται με την πύλη ΧΝΟR. Οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί, σημειώνονται στον πίνακα αληθείας της πύλης. Δίπλα φαίνεται και το σύμβολο της πύλης. Η πύλη ΧΝOR αντιστοιχεί σε μια πύλη ΧΟR ακολουθούμενη από μια πύλη ΝΟΤ και έχει έξοδο το συμπλήρωμα της ΧΟR. (truth table) Σύμβολο (lock διάγραμμα) Η πύλη είναι ισοδύναμη με κύκλωμα δυο διακοπτών παράλληλα μεταξύ τους και σε σειρά στην λυχνία. Η λογική συνάρτηση εξόδου είναι Z = A. ~ = ή και ή έξοδος της πύλης A = A = A είναι ="" αποκλειστικά μόνο όταν όλες οι είσοδοι είναι ίσες με μηδέν"" ή ένα, ή διαφορετικά η έξοδος της πύλης ΧΟR είναι μηδέν"" όταν μία μόνο είσοδος είναι ένα"". Η πράξη του αποκλειστικού ΟΧΙΗ έχει σαν σύμβολο το " " και για δύο μεταβλητές, ισχύει: A= A = Επειδή η πύλη ανιχνεύει την ισότητα δύο ψηφίων, λέγεται και πύλη "σύμπτωσης (oincidence)". Z= A ν πάρουμε το συμπλήρωμα της λογικής συνάρτησης της πύλης ΧOR με μια πύλη ΝΟΤ έχουμε: A = A, από όπου και η ονομασία XNOR. πόδειξη της σχέσης: Z=A = A A = (A*)*(A*) = (A )(A ) = (A )(A ) = = AA A A. = A. A = A Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 38η
3.3 ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΕΔΙΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΤΩΝ ν Θέλουμε να σχεδιάσουμε το κύκλωμα που πραγματοποιεί μια δεδομένη λογική συνάρτηση πρέπει η λογική συνάρτηση να είναι σημειωμένη σε μια μορφή είτε σαν άθροισμα γινομένων είτε σαν γινόμενο αθροισμάτων. Κάθε μια μορφή σχεδιάζετε σε δυο ή τρία επίπεδα σχεδίασης με συγκεκριμένες πύλες κάθε επίπεδο. Οι δυο αυτοί τρόποι σχεδίασης ονομάζονται και τεχνικές ή λογικές σχεδίασης ανάλογα με τις πύλες που χρησιμοποιούνται. ς δούμε τις δυο τεχνικές. 3.3. Τεχνική (ή Λογική) Σχεδίασης ANΟR ν η συνάρτηση εκφράζεται στην μορφή αθροίσματος γινομένων (.Γ) όπως η Z= A. A τότε: Κάθε ένα από τα τρία γινόμενα (3 όροι γινομένων) απαιτεί μια πύλη AN για την πράξη του λογικού πολλαπλασιασμού και οι έξοδοι των τριών πυλών AN απαιτούν μια πύλη OR τριών εισόδων ώστε να εκτελεστεί η λογική πρόσθεση. Οι μεταβλητές εισόδου που είναι σημειωμένες με το συμπλήρωμα ( A,, ) απαιτούν μια πύλη ΝΟΤ, κάθε μια, για την αντιστροφή τους. 3o Eπίπεδο NOT 2o Eπίπεδο AN o Eπίπεδο OR Το κύκλωμα που υλοποιεί την δοθείσα λογική συνάρτηση εμφανίζεται σχεδιασμένο σε τρία (3) επίπεδα στο σχήμα. Ένα σήμα στην είσοδο θα περάσει από τα τρία επίπεδα σχεδίασης με τη σειρά 3 2 για να φθάσει στην έξοδο, άρα θα καθυστερήσει κατά τον χρόνο t pd =t t 2 t 3 = χρόνος προσπέλασης του κυκλώματος. Ο χρόνος αυτός λαμβάνεται υπ όψιν στην σχεδίαση των κυκλωμάτων. Εάν θεωρήσουμε δεδομένα τα συμπληρώματα τότε το κύκλωμα σχεδιάζεται σε δυο επίπεδα (το ο και το 2 ο ). 3.3.2 Τεχνική (ή Λογική) Σχεδίασης ΟRAN ν τώρα η συνάρτηση εκφράζεται στην μορφή γινομένου αθροισμάτων (Γ.) όπως η Z = (A )(A )( ) τότε: Κάθε ένα από τα τρία αθροίσματα (3 όροι Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 39η
αθροισμάτων) απαιτεί μια πύλη OR για την πράξη της λογικής πρόσθεσης και οι έξοδοι των τριών πυλών OR απαιτούν μια πύλη AN τριών εισόδων ώστε να εκτελεστεί η πράξη του λογικού γινομένου. Οι μεταβλητές εισόδου που είναι σημειωμένες με το συμπλήρωμα ( A,, ) απαιτούν μια πύλη ΝΟΤ, κάθε μια, για την αντιστροφή τους. 3o Eπίπεδο 2o Eπίπεδο o Eπίπεδο NOT OR AN Το κύκλωμα που υλοποιεί την δοθείσα λογική συνάρτηση εμφανίζεται σχεδιασμένο σε τρία (3) επίπεδα στο σχήμα. Ένα σήμα στην είσοδο θα περάσει από τα τρία επίπεδα σχεδίασης με τη σειρά 3 2 για να φθάσει στην έξοδο, άρα θα καθυστερήσει κατά τον χρόνο t pd =t t 2 t 3 = χρόνος προσπέλασης του κυκλώματος. Ο χρόνος αυτός λαμβάνεται υπ όψιν στην σχεδίαση των κυκλωμάτων. Εάν θεωρήσουμε δεδομένα τα συμπληρώματα τότε το κύκλωμα σχεδιάζεται σε δυο επίπεδα (το ο και το 2 ο ). η Σημείωση: Στις παραπάνω τεχνικές σχεδίασης δεν αναφέρεται η πύλη ΝΟΤ επειδή δεν απαιτείται πάντα σε όλες τις εισόδους. 2 η Σημείωση: Εάν η λογική συνάρτηση δεν είναι σε μια από τις παραπάνω μορφές (θα δικαιολογήσουμε την ονομασία σε επόμενο κεφάλαιο) τότε πρέπει να εκτελέσουμε τις πράξεις ώστε να προκύψει μια από τις δύο. 3.4 ΣΚΗΣΕΙΣ. Να σχεδιάσετε τα κυκλώματα που υλοποιούν τις παρακάτω λογικές συναρτήσεις α. Z = A. A. β. Z2 = (A ).(A.). A γ. Z3 = (A ). 2. Να βρεθεί η έξοδος των κυκλωμάτων Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 4η
A E 2 Κ. Φανουράκης Θεωρία Ψηφιακών Ηλεκτρονικών Σελίδα 4η