Σ.Δ.ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΔΠΜΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ και ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
Περιεχόμενα Εισαγωγικά - Ένα πλήρες σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας Ψηφιακάσήματακαισυστήματα Ανάλυση στο χρόνο Ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων DTFT, DFT, FFT Μετασχηματισμός z Ψηφιακά κυκλώματα 1ης 2ας και υψηλής τάξεως δομές υλοποίησης Φίλτρα FIR Φιλτρα IIR Μη γραμμικά φίλτρα Προσαρμοστικά φίλτρα 2/54
Εισαγωγικά Διάφορα σήματα Ένα πλήρες σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας 3/54
Χρόνος - συχνότητα υ a n b n -0.4 0 0.4 t(sec) 0 5 10 15 20 f(hz) (α) (β) Περιγραφή στο χρόνο (α) ή στη συχνότητα (β) 4/54
Σήματα1 - σεισμικά Σεισμικά 5/54
Σήματα 2- φωνή 0.04 0.02 πλάτος 0-0.02 ηλέξη ενα -0.04-0.06 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 χρόνος (sec) 0.02 Ένα τμήμα 100 ms -0.02-0.04 0 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 χρόνος (sec) 6/54
Ηχος chirp 7/54
Σήματα 3 - βιοϊατρικά ECG /EKG Τυπικό ηλεκτροκαρδιογράφημα 8/54
EEG 9/54
Σήματα 3 Μουσικά όργανα 10/54
Σήματα 4 Τυχαία σήματα - θόρυβος 2.5 2 1.5 πλάτος 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 χρόνος 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 ιστόγραμμα 0-2.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 11/54
Ένα πλήρες σύστημα επεξεργασίας σήματος Αναλογικό σήμα Prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα 12/54
Αναλογικό σήμα Sample and hold-s/h 10 Ένα «ισοδύναμο κύκλωμα» για S/H 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13/54
Sample and hold Ψηφιακό σήμα 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14/54
ΑDC βασικές διεργασίες Περιορισμός του εύρους συχνοτήτων με Βαθυπερατό φίλτρο Δειγματοληψία Κβάντιση Κωδικοποίηση Σχηματικά: Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H Δειγματοληψία Δειγματοληψία και και κράτιση κράτιση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώματα κυκλώματα 15/54
Δειγματοληψία - γραφικά s δ x δ (t) T s T s (α) (β) Χ(jΩ) X δ (jω) Α Α/Τ s Ω Ø Ω Ø 0 Ω Ø Ω s 2Ω s (γ) (δ) 16/54
Δειγματοληψία στο χρόνο s δ (t) + sδ (t) = (t δ k= - - kt s ) x(t) x δ (t)=x(t).s δ (t) x δ (t) = x(t) + - δ(t - kt ) = s + - x(t)δ(t - kt ) = s + - x(kt )δ(t s - kt s ) 17/54
Δειγματοληψία στη συχνότητα S( jω) = I{s δ (t)}= 1 Τ s + k= - I{e jkω s t } = 2π Τ s + k= δ(ω - kω s ) Χ = δ (jω) = I {x 1 2π (t)} = I{x(t)s Χ(jΩ) S(jΩ) = δ 1 T s + - δ (t)} = X(jΩ - jkω s ) Τελικ ά : Χ δ (jω ) = 1 T s + - X(jΩ - jkω s ) 18/54
Μια προσέγγιση Χ(jΩ) = I {x(t)} = x(t)e jωt dt Ωt Χ(jΩ) = x(t)e dt x(nt j jωnts jω s )e Ts = Ts X(e ) Χ δ (jω) = X(e jω ) 1 T s Χ(jΩ) 19/54
X(jΩ) Δειγματοληψία αλλοίωση παράδειγμα (α) 0 3 4 5 8 12 16 0 3 4 5 8 12 16 (β) 0 3 4 5 6 8 12 16 (γ) (δ) 0 3 4 5 8 12 16 f (khz) Το αποτέλεσμα της δειγματοληψίας στο φάσμα του σήματος. Το σήμα (α) έχει μέγιστη συχνότητα f m =3kHz και δειγματοληπτείται (β) με f s =8kHz. Στo (γ) όπου f s =6kHz η αλληλεπικάλυψη των φασμάτων είναι οριακή. Ενώ στo (δ) έχουμε αλλοίωση διότι f m > f s /2 20/54
Η αλλοίωση αφορά την περιοχή 0-f s /2 Α Η(Ω) Α/Τ Η(ω) Ω f s ω Η(ω) 0 f s ω 21/54
Δειγματοληψία - αλλοίωση - ασάφεια στο χρόνο Το σήμα x 2 έχει συχνότητα 5πλάσια του x 1. Παρόλα αυτά το σήμα x(n) αντιστοιχεί και στα δύο σήματα. Η δειγματοληψία που έχει γίνει για το x 1 ικανοποιεί το θεώρημα δειγματοληψίας και αναπαριστά σωστά το σήμα x 1. Για το x 2 όμως δεν ικανοποιείται και δεν μπορεί σε καμμία περίπτωση να θεωρηθεί σωστή. Αυτή είναι και η αιτία της ασάφειας. 1.5 x(n) 1 0.5 0-0.5-1 x1 x2 n -1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 22/54
«Καθρεπτικές» Συχνότητες και φασματικές γραμμές Η(Ω) Α Η(ω) Α/Τ Ω Κάθε συχνότητα έχει την κατοπτρική της στο διάστημα 0-f s f 1 f 1<f 1 f 1= f s -f 1 f 1 f 1 ω Η(ω) Και γενικά για κάθε f 0 f s ω fimage ( Ν) = Nfs ± f f 1 f 1 23/54
«Καθρεπτικές» Συχνότητες -παράδειγμα Εστω f s =40kHz γιά f=10 khz f image =Nf s ±f=n40±10 Ν=0 f image =±10kHz N=1 f image = 40±10= 50, 30 κλπ γιά f=30 khz f image =Nf s ±f=n40±30 Ν=0 f image =±30kHz N=1 f image =40±30= 70, 10 Ν=-1 f image =-40±30=-70, -10 24/54
«Καθρεπτικές» Συχνότητες -συνέχεια Παράδειγμα Τα σήματα x(t)=cos(6πt), και y(t)=cos(18πt) δειγματοληπτούνται με περίοδο δειγματοληψίας Τ=0.1 secs. Να σχεδιαστούν τα φάσματα των jωτ jωt Ζητούνται X(e ), Υ(e ) Για την δειγματοληψία T = 0.1 Ω Ω δειγ 2 = π Τ δειγ = = 10π 2π 0.1 = 20π : συνεχεια 25/54
x(t) = cos (6πt) Ω = 6π x X(jΩ) -6π 0 6π X δ (jωt) 20π 10π 6π 0 6π 10π 20π συνεχεια 26/54
y(t) = cos (18π t) Ω = 18π Υ( jω) y -18π -10π 0 10π 18π Υ δ ( jωτ) -38π -18π -10π -2π 0 2π 10π 18π 38π 27/54
Δειγματοληψία συμπέρασμα ΘΕΩΡΗΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ - SHANNON NYQUIST Ένα αναλογικό σήμα x a (t) με περιορισμένο φάσμα εύρους (<F o ) μπορεί να ανακατασκευασθεί από τα δείγματά του x(n)=x a (nt s ) εάν η συχνότητα δειγματοληψίας F s = 1/T s είναι διπλάσια του εύρους F o, F s >2F o Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αλλοίωση του φάσματος (aliasing) και το σήμα δεν μπορεί να ανακατασκευασθεί. F s /2 = Συχνότης Nyquist [-F s /2, F s /2] = Ζώνη Nyquist ανάγκη φίλτρου περιορισμού συχνοτήτων - φίλτρο αντιαλλοίωσης - βαθυπερατό φίλτρο 28/54
Δειγματοληψία στο χρόνοπαράδειγμα (με το Matlab) συχνότητα αναλ.σήματος f=13 Το αρχικό σήμα Το διακριτό σήμα clf; t = 0:0.0005:1; f = 13; xa = cos(2*pi*f*t); subplot(2,1,1) plot(t,xa);grid xlabel('time, msec');ylabel('amplitude'); title('continuous-time signal x_{a}(t)'); axis([0 1-1.2 1.2]) T=input('T='); n = 0:T:1; xs = cos(2*pi*f*n); k = 0:length(n)-1; subplot(2,1,2); stem(k,xs);grid; xlabel('time index n');ylabel('amplitude'); title('discrete-time signal x[n]'); axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2]) 29/54
Continuous-time signal x a (t) 1 f = 1 26 Amplitude 0-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time, msec Discrete-time signal x[n] 1 Amplitude 0-1 0 5 10 15 20 25 Time index n 30/54
Ένα Φαινόμενο αλλοίωσης!! Δειγματοληψία τροχού μέγιστη ταχύτητα Ερώτημα: ποία είναι η μέγιστη ταχύτητα του τροχού Διάμετρος τροχού=0.6m μήκος περιφ.=1.88m για ταχύτητα υ km/h=0.278υ m/s συχν. περιστροφής=0.148υ Hz Αρα η συχνότητα δειγματοληψίας=2 x 0.148υ =0.296υ Hz Υποθέτωντας ότι μία μηχανή λήψεως έχει συχνότητα 16 frames/s 16=0.296υ υ=54 km/h μέγιστη ταχύτης 31/54
Ηχητικό παράδειγμα αλλοίωσης Sampling frequency 44.1kHz (CD-quality). The 4kHz downsampled version 32/54
Φίλτρο αντι-αλλοίωσης H Ιδανικό Φίλτρο αντιαλλοίωσης Φάσμα αναλογικού σήματος 0 f a f s συχνότητα H Φάσμα φιλτραρισμένου αναλογικού σήματος 0 f a f s συχνότητα 33/54
Φίλτρο αντιαλλοίωσης παράδειγμα Ζητείται η τιμή της συχνότητας δειγματοληψίας f s εάν η επιτρεπτή άλλοίωση (σφάλμα) είναι 10%. 10kΩ Aναλογικό σήμα 10kΩ 0.008μF S/H Διακριτό σήμα συνέχεια 34/54
H Η a H(f ) = 1 2 [ 1 + (f / f ] 1 / 2 c ) Η b 0 f c =20 f a f s khz H απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι f 1 1 = = = khz C 2 RC 2 2 10 0.004 10 20 3 6 π π Για f c =20kHz η ενίσχυσηείναιh a =0.707 (του μεγίστου) και επομένως η ενίσχυση H b =0.707 x 10/100=0.0707 και η συχνότητα f a υπολογίζεται ως.0707 = 1 + ( f Αρα f s (ελάχιστη) = f c +f a = 282.17+20 = 302.17kHz 0 2 1/ 2 [ a / 20) ] 1 f a = 282.17kHz 35/54
ADC -Κβάντιση Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα βαθυπερατό φίλτρο φίλτρο S/H S/H Δειγματοληψία Δειγματοληψία και και κράτιση κράτιση Kβαντιστής Λογικά Λογικά κυκλώματα 7 6 5 4 3 2 1 0 Οι στάθμες κβάντισης είναι 2 3 = 8. Το βήμα έχει τιμή =1 Το σήμα λαμβάνει την τιμή της στάθμης (0-7). Το σφάλμα μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό αλλά πάντα στο διάστημα[ 0.5, 0.5]. τιμή : 3 4 7 6 4 5 1 σφάλμα:-0.2-0.3-0.4-0.3 0.1-0.2-0.45 36/54
Κβάντιση - υπολογισμοί Για ένα ADC με Β αριθμό δυαδικών ψηφίων ο αριθμός των σταθμών κβάντισης είναι 2 Β Πχ. Για Β=3 8 στάθμες το βήμα κβάντισης είναι: q = V 2 B 37/54
υπολογισμοί μέγιστο σφάλμα κβάντισης Ψηφιακός Κώδικας 111 110 V «Ιδεατή» Ψηφιακός κώδικας 111 110 «Βελτιωμένο» Σχήμα κβάντισης 101 101 100 100 011 011 010 010 001 001 000 0 V Τιμή αναλογικού δείγματος 000 0 V Τιμή αναλογικού δείγματος Με μετακίνηση κατά ½ του βήματος επιτυγχάνεται ελάττωση του μεγίστου σφάλματος κβάντισης 38/54
υπολογισμοί σφάλμα κβάντισης Στη βελτιωμένη κβάντιση. Το μέγιστο σφάλμα είναι: q/2=v/2 B+1 Το σφάλμα κβάντισης (για κάθε δείγμα e) είναι τυχαίος αριθμός που έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα q/2, q/2 με μηδενική μέση τιμή. Η ισχύς θορύβου σ e 2 ( διακύμανση) είναι: σ 2 e = q / 2 q / 2 2 1 2 P (e)e de = q / 2 q e de = q / 2 2 q 12 39/54
υπολογισμοί SNR Γιά ένα ημιτονικό σήμα εισόδου πλάτους Α που έχει δηλ κυμάτωση (peak-to-peak) 2A το βήμα κβάντισης είναι: q=2a/2 B =Α/2 Β-1 Υπολογίζουμε το λόγοσήματοςπροςθόρυβο-snr (S ignal to N oise R atio ) σε db: 2 ισχύς σήματος A / 2 SNR = = 10log = 2 ισχύς θορύβου q / 12 3 2 10log 2 2B = 6.02B + 1.76 db Δηλαδή ο SNR αυξάνει ~6dB /bit. 40/54
SNR Παράδειγμα Το ήμιτονικό σήμα έχει ptp=0.5v. Θέλουμε SNR=30dB Αρα 30=6.02B 1 +1.76 B 1 =4.69 bits Με 4.69 bits εξασφαλίζεται o SNR για το «μικρό» σήμα. Είναι (προφανώς) ο μικρότερος αριθμός Β 1 (bits). Τι γίνεται με το μεγάλο σήμα? Μπορεί να μετρηθεί με Β 1 (bins)? 41/54
Αυξάνουμε τον αριθμό Β=Β 1 +Β 2 Αλλα με το ίδιο βήμα κβάντισης 6 0.5 B B 6 1 = 2 = = 12 B B1 2 2 0.5 B B = log (12) = 3.58 B = 1 3.58 + B 2 1 = 3.58 + 4.69 = 8.27 9 42/54
Κβάντιση - παράδειγμα 1 Ένα σήμα μεταβάλλεται μεταξύ 0 και 4 Volts και κβαντίζεται με κώδικα 3-bits 1. Ποίο είναι το βήμα κβάντισης (σε Volts) 2. Ποίες είναι οι τιμές κβάντισης για τιμές σήματος υ=1, 2.3, και 3.75 Volts V 2 4 2 q = = = B 3 0.5 Volts 1V 1V 2.3V 2.5V 3.75 3.5 V Επίπεδο κβάντισης Ψηφιακός κώδικας 3.5V 111 3 V 110 2.5 V 101 2 V 100 1.5 V 011 1 V 010 0.5V 001 0V 000 0.5 V 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Τιμή αναλογικού δείγματος 43/54
Κβάντιση - παράδειγμα 2 Ψηφιακός κώδικας 01 Ένα (διπολικό) σήμα μεταβάλλεται μεταξύ -5 και 5Voltsκαι κβαντίζεται με κώδικα 2- bits 00 11 Εχουμε: βήμα κβάντισης q=10/2 2 =2.5 V 10-5 -2.5 0 2.5 5 Ψηφιακός κώδικας (2 s complement) Τιμή επιπέδου κβάντισης Διαστήματα αναλ. δειγμάτων εισόδου 10-5 -5 x <-3.75 11-2.5-3.75 x <-1.25 00 0-1.25 x < 1.25 01 2.5 1.25 x < 5 44/54
DAC Ανακατασκευή του αναλογικού σήματος Αναλoγικό σήμα prefilter ADC DSP DAC Postfilter Αναλογικό σήμα 45/54
Περιγραφικά Συνήθης μέθοδος DAC (με ΖΟΗ) Δυαδικός 010 000 111 101 001 100 011 110 κώδικας 10 5 ψηφιακό σήμα έξοδος DAC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 n--> σήμα που προκύπτει από το κύκλωμα S/H (μηδενικής τάξεως) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 έξοδος 10 αναλογ. φίλτρου 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σήμα με εξομάλυνση από το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο. t--> 46/54
Διαδικασία κράτησης μηδενικής τάξεως (Ζero Οrder Ηold) κύκλωμα S/H μηδενικής τάξεως (ZOH zero order hold) y(n) y(t) n Y(Ω) Yˆ ( Ω ) 0 ω s ημx/x To ψηφιακό σήμα y(n) μετατρέπεται μέσω του ΖΟΗ στο αναλογικό το οποίο έχει επίσης υψηλές συχνότητες, όπως φαίνεται από τα αντίστοιχα φάσματα, παρότι εμφανίζεται η εξασθένιση ημx/x. t 0 ω s 47/54
Μία εξήγηση της μορφής του φάσματος Yˆ ( Ω ) To σήμα ŷ(t) = n= 0 y(n)[u(t nt) u(t (n + 1)T)] Στο πεδίο των συχνοτήτων (Μετασχ. Laplace) γίνεται: st st 1 nts st / 2 e Ŷ(s) = y(n)e st n= 0 1 e T st Y(s) = e sinωτ / 2 Y(s) ωτ / 2 Η σχέση αυτή δείχνει ότι η αναλογική έξοδος Υ(s) έχει "διαμορφωθεί" με τον παράγοντα ημx/x οπου x=ωτ/2 Η βελτίωση της μορφής του αναλογικού σήματος γίνεται με εφαρμογή ένος βαθυπερατού φίλτρου (anti imaging filter). Eνα τέλειο τέτοιο φίλτρο θα έπρεπε να έχει την μορφή: st/(1-e st ) 48/54
Ιδανική Ανακατασκευή στο πεδίο της συχνότητας X(jΩ) 0 3 4 5 8 12 16 0 3 4 5 8 12 16 (α) (β) Για να ανακατασκευασθεί το αναλογικό σήμα (α) πρέπει από το αντίστοιχο στο (β) να επιλεγεί μόνο η βασική ζώνη. Αυτό επιτυγχάνεται με το ιδανικό φίλτρο που έχει συχνότητα αποκοπής 4kHz. Χ δ ( jω) F(jΩ) Γιά π/τ s <ω/τ s <π/τ s jω 1 ω 1 X( e ) = X( j ) = X( jω) T Τ T s s s 49/54
Η μαθηματική έκφραση x a (t) = ημ[( π / Τ)(t x(n) n= ( π / Τ)(t nt)] nt) H σχέση αυτή ουσιαστικά δηλώνει ότι η ανακατασκευή του σήματος είναι δυνατή αν δίνονται όλα τα σημεία x(n) του ψηφιακού σήματος και αφού διαμορφωθούν για κάθε t από τις συναρτήσεις sinc(x) όπου x=π/τ(t-nt). Προφανώς η διαδικασία αυτή είναι μη αιτιατή καιδενγίνεταισεπραγματικόχρόνο. 50/54
x(2) x(0) x(1) 0 T 2T t Η γραφική απεικόνιση της σχέσεως ανακατασκευής. Είναι ένα άθροισμα απείρων όρων συναρτήσεων S(x)=ημ(x)/x. Για t ακέραιο πολλαπλάσιο του nt, μόνο μία τέτοια συνάρτηση συνεισφέρει με πλάτος x(nt). Για t nt, συνεισφέρουν όλες. 51/54
Αναλογική και ψηφιακή συχνότητα Ψηφιακός χώρος X(e jω ) 1 = X[j( Τs k= ω T 2π s T s k)] Αναλογικός χώρος Ω = ω Τ s 52/54
αναφορές και χρήσιμα sites Matlab Εισαγωγικά: http://www-ccs.ucsd.edu/matlab/pdf_doc/matlab/getstart.pdf http://www-ccs.ucsd.edu/matlab/pdf_doc/matlab/using_ml.pdf Μatlab Signal processing http://www-ccs.ucsd.edu/matlab/pdf_doc/signal/signal_tb.pdf Signal processing demos http://www.ecn.purdue.edu/vise/ee438/demos/demos.html http://oldeee.see.ed.ac.uk/books/dsp/dsp_soft/index.html#s2 «τραγούδια» με το πληκτρολόγιο του τηλεφώνου http://hometown.aol.com/fsufunkyb/songs.html S. W. Smith, The scientist and engineer s guide to digital signal processing, at http://www.dspguide.com. 53/54
ασκήσεις 1. Να γίνει εγγραφή ενός τμήματος φωνής kαι να αναπαραχθεί με κβάντιση 10 έως 2 Bits. Ταυτόχρονα να σημειωθεί και ο «θόρυβος» (Σχετικό site: http://peabody.sapp.org/class/st1/lab/quantization) 2. Εξηγείστε γιατί στο όριο του θεωρήματος Shannon f=fs/2 όπου 2 δείγματα αντιστοιχούν σε δειγματοληψία του σήματος f, εξασφαλίζεται η ταυτοποίηση του ημιτονικού σήματος απο ενα τριγωνικό ή τετραγωνικό σήμα 54/54