ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46

2 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός Fourir β Σειρά Fourir γ Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού χρόνου DTFT δ Διακριτή σειρά Fourir ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 2 / 46

3 α. Σήματα συνεχούς χρόνου μη περιοδικά x(t x(f f t Φάσμα συνεχές μη περιοδικό j2 ft f x t dt j 2 ft x t X f df ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 3 / 46

4 β. Σήματα συνεχούς χρόνου περιοδικά Φάσμα Διακριτό μη περιοδικό x(t t j2 mft X mf x t dt p t x t p X mf j2 mft X(t X(mF t.. F.. f ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 4 / 46

5 γ. Σήματα διακριτού χρόνου συνεχούς συχνότητας X(nT Διακριτό μη περιοδικό σήμα Φάσμα συνεχές περιοδικό j2 f nt xnt X f df f s Χ(f j 2 X f x nt n n f T f s f ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 5 / 46

6 δ. Σήματα διακριτού χρόνου περιοδικά X(nT Διακριτό περιοδικό σήμα n Φάσμα διακριτό - περιοδικό X(nf ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 6 / 46

7 DTFT Αναφέρεται σε ψηφιακά σήματα x(n Ορισμός IDTFT X( x(n 2π n π π x(n X( jnω jnω Χ ( j Ω dω j Ωt x ( t dt ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 7 / 46

8 DTFT X( j x(n n jn x(n[cos(n n jsin(n] x(ncos(n j n n x(nsin(n j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 8 / 46

9 DTFT Aάρτια συνάρτηση Β περιττή συνάρτηση X( j X( j ( X( j ( tan 2 B A 2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 9 / 46

10 X( DTFT Απόκριση μέτρου και απόκριση φάσης 6 X( j X( j ( ω xπ rad ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 0 / 46

11 x(n cos(0.n 0.5 sin(0.n 0.5 Γραφικός υπολογισμός του X( j X( n Αρχικό σήμα x(n x(n Για ω=0.rad/sampl Έχουμε: cos(0.n και sin(0.n jnω x(n cos(0.n x(n sin(0.n Σx(ncos(0.n=.3670 Σx(nsin(0.n= Αρα X( j0. =.3670-j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46

12 DTFT βασικών σημάτων δ(n X( n 0 δ(n δ(n-κ a n u(n X( X( δ(n k a n n n n0 n0 k (a 2 ( a (a... n a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 2 / 46

13 Έχει η u(n DTFT??? X( επειδή jnω n n0 n0 x(n jnω DTFT δεν υπάρχει n0 jnω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 3 / 46

14 X( x(n Παράδειγμα X( n x(n jnω x(n=u(n+2-u(n-3= =δ(n-2+δ(n-+δ(n+δ(n++δ(n X( 2 2cosω 2cos2ω sin sin ω ω Φάση??? ω xπ rad ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 4 / 46

15 x(n=u(n-u(n-ν Γενίκευση του Παρ. ( j jn/ 2 j / 2 n n- j x(n N/ 2 j / 2 - jn jn/ 2 j / 2 nν- n0 - jn j(n / 2 j j2 sin(n / 2 sin( / 2... j(n jn j sin(n / 2 ( j sin( / 2 j N sin(n/ 2 ( 2 sin( / 2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 5 / 46

16 x(n Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο DTFT για την ακολουθία : x(n=0.5, 0.5 2, 0.5 3, n Χ( x(n n = j2ω +... =0.5{ j2ω +...}= cos ω j 0.5sin ω φάση X( ω xπ rad ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 6 / 46

17 DTFT - Ιδιότητες X( n x(n jnω Περιοδικότητα Ο Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού Χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π X( 2π X( ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 7 / 46

18 απόδειξη X( n x(n jnω X( j(ω2π n x(n jn(ω2π n x(n jn jn2 n x(n jn n x(n jn X( j Επομένως για τον υπολογισμό του DTFT αρκεί το διάστημα [0,2π] ή [-π,π] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 8 / 46

19 Συμμετρία Ισχύει μόνο για πραγματικά σήματα X( n x(n jnω X( X( n x(n jnω jnω? x(n?? n n n x(n cos(nω x(n cos(nω j j n n x(nsin( nω x(nsin( nω Α Α jβ jβ X( - =A-jB =X*( Λόγω των παραπάνω για τη σχεδίαση του Χ( αρκεί μισή περίοδος 0 ω π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 9 / 46

20 X( n x(n jnω Γραμμικότητα ( 2( DTFT ( j ax n bx n ax bx 2( j DTFT j n o j x n n χρόνο o X Μετατόπιση στο Συνέλιξη * F x n x n F x n F x n 2 2 j j X 2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 20 / 46

21 Μετατόπιση στο πεδίο των συχνοτήτων jn DTFT 0 j( 0 x( n X ( Πολλαπλασιασμός (περιοδική συνέλιξη DTFT ( ( ( j j ( ( x n y n X Y d 2 Ενέργεια θεώρημα Parsval φασματική πυκνότητα ενεργείας Φ(ω j 2 2 x x n d 2 n Φ(ω Χ( π 2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 2 / 46

22 Πίνακας Ιδιοτήτων DTFT Ιδιότητα Ακολουθία DTFT Γραμμικότητα Μετατόπιση στο Χρόνο Αντιστροφή στο Χρόνο Μετατόπιση συχνότητας Συνέλιξη στο Χρόνο j j ax( n by( n ax ( by( x( n n jn0 j 0 X ( x( n ( j X jn0 x( n j( 0 X ( x( n* y( n j j X ( Y( ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 22 / 46

23 Απόκριση Συχνότητας και DTFT δ(n σύστημα h(n x(n h(n y(n y(n = x(nh(n X( H( Y( Y( = X( H( ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 23 / 46

24 Απόκριση Συχνότητας X( H( Y( Συμπέρασμα Η απόκριση συχνότητας Η( χαρακτηρίζει ένα σύστημα στο πεδίο της συχνότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 24 / 46

25 Συμπέρασμα 2 Η Απόκριση Συχνότητας είναι ο DTFT της κρουστικής απόκρισης H( j h(n jn ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 25 / 46

26 Υπολογισμός της Η( Βάσει του ορισμού από την κρουστική απόκριση: H( j h(n jn ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 26 / 46

27 Από την εξίσωση διαφορών N k0 a M k y(n k bkx(n k k0 N k0 a M k k k Y( bk Χ( k0 Η( Υ( Χ( M k0 N k0 b a k k k k b a o o b a... b... a M N M N Ποιές ιδιότητες του DTFT χρησιμοποιήσαμε?? ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 27 / 46

28 Παράδειγμα Δίνεται η ΕΔ: y(n=-0.8y(n-+x(n-x(n- y(n -0.8y(n- x(n - x(n- Υ( =-0.8Υ( - +Χ( -Χ( - Υ( [ ]=Χ( [- - ] H( Y( Χ( ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 28 / 46

29 Παράδειγμα 2 Ε.Δ: y(n 3 k x(n k Y( 3 k 3 jkω jkω X( X( H( Y( X( 3 jkω ( 3 2cosω Τι «πράξη» κάνει αυτό το σύστημα??? ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 29 / 46

30 Απόκριση συχνότητας και μιγαδική (εκθετική διέγερση Απόκριση στη διέγερση x(n ω n j ο ω n j ο h(n y(n y(n h(n o n k o n h(k k o k h(k o n o H( (nk ο ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 30 / 46

31 Ιδιοτιμές ιδιοδιανύσματα ΤΧ Τ o n λχ H( ο o n ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 3 / 46

32 Απόκριση σε ημιτονικό σήμα x(n=acos(ω ο n Όταν η είσοδος είναι : Η έξοδος είναι: y(n x(n A AH( jon ο o n Σε πολική μορφή : y(n A H( ο jθ o n A H( ο j(ω o nθ το πραγματικό μέρος : y(n A H( ο cos ω ο n H(ω o ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 32 / 46

33 Παράδειγμα Η( Y( Χ( 0.8 Δίνεται: ζητούνται: cos(0.8πn H( Acos(0.8πn+φ Υπολογίζουμε: j0. 8π j0. 8π Η( j0. 8π 0. 8 cos( 0. 8π jsin( 0. 8π 0. 8[cos( 0. 8π jsin( 0. 8π] j j j o Αρα Α=3.23 και φ=7.2 ο ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 33 / 46

34 DTFT και μετασχηματισμός Fourir X( i X(j = [x(n] - jt n x(t dt x(n jn Διακριτοποιούμε : ολοκλήρωμα άθροισμα T nt s dt T s ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 34 / 46

35 X(jΩ = - jωt jωnts x(tdt x(nt Ts Τ X( s X(j s X( j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 35 / 46

36 παράδειγμα x(t= -5t u(t x(nt= -5nT u(nt Fourir Διακριτού χρόνου X( 0 5nT 2πjfTn 5T 2πjfT ( 5Τ 2πjfT T 5 2πjf X(jΩ 5 j2πf Fourir Συνεχούς χρόνου ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 36 / 46

37 Ψηφιακά φίλτρα H( 0 (α (β (γ (δ 0 ω π 2π (α Βαθυπερατό, (β Ηψιπερατό, (γ Ζωνοπερατό και (δ Aπόρριψης ζώνης. Η ψηφιακή συχνότητα μεταβάλλεται από 0 έως 2π rad, ή ισοδύναμα από 0 έως f s Hz. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε πραγματικές προδιαγραφές ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 37 / 46

38 φίλτρα «comb» δεν κατατάσσονται σε καμία από τις γνωστές κατηγορίες Η( 0. 8 j8ω 5 0 Η( (db π/4 π/2 ω 3π/4 π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 38 / 46

39 Υπολογισμός DTFT με MATLAB Η Εντολή H = frqz(num,dn,w Παράδειγμα Comb filtr Η( 0. 8 j8ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 39 / 46

40 num=[] dn=[ ]; a=[0:pi/256:pi]; H=frqz(num,dn,a; figur( plot(a/pi,abs(h xlabl('\omga/\pi' ylabl(' H(^{j\omga} ' titl('magnitud Rspons' grid on ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 40 / 46

41 H( j 6 Magnitud Rspons / ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 4 / 46

42 figur(2 plot(a/pi,angl(h xlabl('\omga/\pi' ylabl('phas(h(^{j\omga}' titl('phas Rspons' grid on ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 42 / 46

43 phas(h( j Phas Rspons / ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 43 / 46

44 Απόκριση συχνότητας - εφαρμογές DTMF : ποιο πλήκτρο είναι?? ή # ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 44 / 46

45 209 Hz 336 Hz 477 Hz 633 Hz 697 Hz 770 Hz 852 Hz 94 Hz 4 7 * # A B C D ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 45 / 46

46 %plhktro n=0:00; x=cos(2*pi*209/8000*n; x2=cos(2*pi*697/8000*n; [h,w]=frqz((x+x2/2,,024,8000; plot(w,abs(h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 46 / 46