Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4) Αν α β και α β, τότε α β β α 5) Αν β α α β, τότε α β και αντιστρόφως 6) Αν α,β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα, τότε ισχύει: α β α β α β 7) Έστω α διάνυσμα και λ, τότε: i Αν α 0, λ 0, τότε το λα είναι μη συγγραμμικό διάνυσμα με το α ii Αν α 0, λ 0, τότε το λα α iii Αν α 0, λ 0, τότε το λα α iv λα 0 λ 0 ή α 0 8) Δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς 9) Έστω τρία σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου Αν ισχύει AB AΓ, τότε τα Β, Γ συμπίπτουν 0) Έστω τρία σημεία του επιπέδου Α, Β, Γ Αν ισχύει AB ΒΓ 0, τότε τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου ) Έστω θ η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α, β, τότε: i) Αν α β, τότε θ 0 ii) Αν α π β, τότε θ

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία iii) Αν α, β ορθογώνια, τότε Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου θ π ) Αν Α, Β, Γ τρία σημεία και ισχύει ΒΑ ΒΓ, τότε το Β είναι μέσο του ΑΓ ) Το μηδενικό διάνυσμα 0 είναι ομόρροπο σε κάθε άλλο διάνυσμα, όχι όμως α- ντίρροπο 4) Το μηδενικό διάνυσμα 0 έχει ορισμένη φορά και διεύθυνση και ισχύει 0 0 5) Το μοναδιαίο διάνυσμα έχει πάντοτε μέτρο ίσο με τη μονάδα 6) Έστω δύο διανύσματα α, β Τότε ισχύει: i) α β α β ii) αν α β τότε α β iii) αν α β τότε α β iv) αν α β και α 0, τότε β 0 7) Αν λα λβ και 0, τότε α β 8) Αν λα μα και α 0, τότε λ μ 9) Αν α, β δύο διανύσματα με β 0 τότε: i) α//β α λβ ii) α β α λβ και λ 0 iii) α β α λβ και λ 0 0) Αν AB 4, τότε τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ) Αν, τότε 0 ) Αν, τότε α ) Τα διανύσματα και ΒΕ είναι αντίθετα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4 4) Αν Δ,Ε μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου αντίστοιχα ισχύει 5) Έστω Α,Β,Γ μη συνευθειακά ανά δύο διαφορετικά σημεία Ο γεωμ τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ ευθεία παράλληλη στη ΒΓ που διέρχεται από το Α λβγ, λ είναι 6) Ισχύει,,,όπου α,β μη μηδενικά διανύσματα 7) Αν ΒΔ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει 8) Αν ισχύει, τότε το Κ είναι μέσο του ΑΒ 9) Στο ορθοκανονικό σύστημα Oxy το διάνυσμα i j, λ όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων βρίσκεται κατ ανάγκην στη διχοτόμο της γωνίας Oxy Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ) Μπορούμε πάντα να γράφουμε: α ( β γ ) = ( α β ) γ ) Αν α = (, 5) και β = (, - 5 ) τότε α β ) Αν α β 0 τότε είναι πάντα, π 4) Τα διανύσματα α = i + j και β = - i + j είναι κάθετα όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων 5) Αν είναι, > π, τότε α β < 0 6) Αν α β = α γ, με 0τότε θα ισχύει β = γ 7) Υπάρχουν x τέτοια ώστε τα διανύσματα α = (x +, ) και β = (x, ) να είναι κάθετα

5 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8) Ισχύει αδ α προβ α δ 9) Υπάρχουν θ τέτοια ώστε τα διανύσματα β = (ημθ, συνθ) να είναι κάθετα α = συνθ, ημθ και 0) Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι πάντοτε διάνυσμα ) Ισχύει η ισοδυναμία α β αβ 0 ) α β α β α β ) α β α β α β 4) Το τετράγωνο του διανύσματος α ισούται με το τετράγωνο του μέτρου του διανύσματος α, δηλαδή α α 5) Έστω δύο σημεία Ax, y, α KA, β KΒ B x, y και τυχαίο σημείο αναφοράς Κ Αν, τότε αβ xx yy 6) Έστω δύο σημεία Ax, y, α β x x yy B x, y και Ο(0, 0) Αν α OA, β OΒ, τότε 7) Αν θ η γωνία των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β, τότε ισχύει πάντοτε αβ συνθ α β 8) Αν λ α είναι ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος α και λβ ο συντελεστής ενός διανύσματος β με α, β y y, τότε ισχύει η ισοδυναμία : α β 0 λ λ α β 9) Για κάθε α, β ισχύει α β α β 0) Αν για τα διανύσματα α, β ισχύει α β α γ, τότε α β γ

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 6 α ) Για κάθε α, β ισχύει β α β ) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο η κάθε πλευρά ισούται με τότε ισχύει )Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β με β μη μηδενικό ισχύει ότι 4) Αν α β = α β τότε det( α, β )=0 5) Αν det( α, β )=0 τότε ( ) 6) Για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει ότι αν det( α, β )=0 τότε a = α β Πράξεις Διανυσμάτων Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, να επιλέξετε την σωστή απάντηση: ) Έστω δύο διανύσματα α, β Ισχύει α β όταν: α) α// β και α β α β και α β β) α β και α β ε) α β και α β γ) α β και α β ) Έστω δύο διανύσματα α, β Ισχύει α β όταν: α) α// β και α β δ) α β και α β β) α β και α β ε) α β και α β γ) α β και α β

7 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου ) Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και ΓΔ Ποια από τις παρακάτω ισοδυναμίες είναι λανθασμένη; α) ΑB ΓΔ ΔΓ BA γ) ΑB ΓΔ ΔΒ ΓA β) ΑB ΓΔ AB AΔ δ) ΑB ΓΔ ΑΓ BΔ 4) Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ = α, = β α) Το διάνυσμα ΑΓ ισούται με: Α Δ α - β Β β - α Γ α + β Ε β) Το διάνυσμα ΒΔ ισούται με Α α + β α + β Β β - α Δ Ε β - α α - β Γ α - β α + β 5) Σύμφωνα με το διπλανό σχήμα ισχύει: α) BΓ ΑΓ ΑΒ γ) BΓ ΓΑ ΒΑ β) BΓ ΑΓ ΑΒ δ) BΓ ΑΓ ΒΑ 6) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσος Τότε ισχύει: α) ΑM ΑB AΓ γ) ΑM ΑB AΓ ΑM ΑB AΓ δ) ΑM ΑB ΑΓ β) B A Γ 7) Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το Μ είναι μέσο της ΑΒ Αν = α και ΔΓ = β, τότε: α) Το διάνυσμα ΔΜ ισούται με: α + β β - α Α Β Δ α + β Ε α + β Γ - α + β β) Το διάνυσμα ΜΓ ισούται με Α α - β Β Δ α + β Ε α + β Γ α + β α - β

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8 γ) Με α + β ισούται το διάνυσμα Α ΑΒ Β ΒΔ Γ ΔΒ Δ ΓΑ Ε ΑΓ δ) Με α - β ισούται το διάνυσμα Α ΑΓ Β ΓΑ Γ ΒΑ Δ ΔΒ Ε ΒΔ 8) Στο διπλανό σχήμα το διάνυσμα x ισούται με Α α - β - γ - δ Β α + β + γ - δ Γ α - β + γ - δ Δ α + β - γ - δ Ε α - β - γ + δ 9) Για κάθε τετράδα σημείων Α, Β, Γ, Δ ισχύει Α ΑΔ + ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ Β ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ Γ ΑΔ + ΒΔ = ΑΓ + ΒΓ Δ ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ + ΒΔ Ε ΑΔ - ΑΓ = ΒΓ + ΒΔ 0) Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ του επιπέδου Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α) ΑB β) ΑB ΒΓ ΓΔ ΔΑ γ) ΑB δ) ΑB ε) BΑ στ) ΑB ΑΓ, όπου Μ το του x β 4x α β, τότε: α) x α γ) x β β) x α δ) x β ) Αν για τα διανύσματα x, α, β ισχύει η σχέση ) Αν α, β ομόρροπα διανύσματα, κ, λ * διάφοροι του και κα + λβ = 0, τότε Α κ, λ θετικοί Β κ, λ αρνητικοί Γ κ, λ αντίστροφοι Δ κ, λ ετερόσημοι Ε κανένα από τα προηγούμενα Συντεταγμένες Διανυσμάτων ) Το διάνυσμα α = (λ - λ - 4, λ - ) είναι μηδενικό αν και μόνο αν : Α λ = Β λ = Γ λ = - 4 Δ λ = 0 Ε για κανένα πραγματικό αριθμό λ ) Το διάνυσμα α = (ημθ, συνθ) είναι το μηδενικό αν και μόνο αν :

9 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Α θ = κπ Β θ = κπ + π 4 Δ θ = κπ + π Ε Για καμία τιμή του θ Γ θ = κπ + π ) Είναι α = (ημθ, συνθ), θ R και κ Ζ Το α είναι παράλληλο στον άξονα x x αν και μόνο αν Α θ = κπ Β θ = κπ + π 4 Δ θ = κπ + π Ε θ = κπ π Γ θ = κπ + π 4) Το διάνυσμα α = (ημθ, συνθ), είναι παράλληλο στο β = (συνθ, ημθ) με Α θ = 0 Β θ = π 4 Γ θ = π Δ θ = π Ε θ = π 5) Τα διανύσματα α = (, λ), και β = (4, - λ) είναι παράλληλα αν και μόνο αν : Α λ = - Β λ = 0 Γ λ = Δ λ = 4 Ε λ = - 4 6) Με α = (, - ) και β = (-, - ) και γ = (0, - 6) ισχύει : Α α + β = γ Β α - β = γ Γ β + γ = α Δ α + β + γ = 0 Ε α - γ = β 7) Δίνονται τα διανύσματα α = (, - ), β = (, - ) και γ = (, - ) Σωστή είναι η σχέση : 8) Αν Α (x,y) και Α (x,-y), Α α = β Β α - γ = β Γ α // β // γ Δ α - γ = - β Ε α = β - γ * x, y, τότε τα σημεία Α και Α είναι συμμετρικά ως: Α Τον άξονα xx Β Τον άξονα yy Γ Το σημείο Ο (0,0 ) Δ Και στους δύο άξονες Ε Δεν υπάρχει συμμετρία 9) Αν AB i j, όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων, τότε είναι : Α Α (,) Β Β (,) Γ, Δ, Ε Τίποτα από τα παραπάνω 0) Αν i 4j, όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων, τότε είναι : Α 5 Β 5 Γ 5 Δ 5 Ε Τίποτα από τα παραπάνω ) Τα διανύσματα,0 και,0 είναι : Α Ίσα Β Αντίθετα Γ Ομόρροπα

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 0 Δ Αντίρροπα Ε Τίποτα από τα παραπάνω ) Αν, τότε κάθε διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο : Α Πάντα Β Ποτέ Γ Μερικές φορές Εσωτερικό Γινόμενο ) Αν κ =, ν =, κ ν = - και 0 θ = κ,λ < π, τότε η γωνία θ ισούται με Α 0 Β 0 Γ 60 Δ 0 Ε 50 ) Σύμφωνα με το σχήμα, το α β ισούται με Α 0 Β α β Γ - α β Δ α β Ε - α β ) Σύμφωνα με το σχήμα, το α β ισούται με Α α β Β α β Γ α β Δ - α β Ε - α β 4) Στο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 4 cm Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Α ΑΒ ΓΒ = 0 Β ΑΟ ΑΒ = 8 Γ ΑΒ ΑΓ = 6 Δ ΑΒ ΓΔ = - 6 Ε ΟΒ ΒΑ = 8 5) Τα διανύσματα α = (λ, λ ) και β = (-, 8 λ ) είναι κάθετα με Α λ = - Β λ = 0 Γ λ = Δ λ = Ε λ = 8 6) Το μέτρο είναι πάντα ίσο με:

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Α Β Γ Δ Ε Τίποτα από τα προηγούμενα 7) Με τι ισούται η ποσότητα, όπου, μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα Α Β Γ Δ, Ε Τίποτα από τα προηγούμενα, 8) Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α με ύψος ΑΔ : ( i ) H γωνία, είναι ίση με : Α 0 0 Β 0 0 Γ 50 0 Δ 0 0 Ε 0 0 ( ii ) Το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με: Α 4 Δ - 4 Β Ε Γ 4 4 Α Β Δ Γ, τότε η γωνία, 9) Αν 0 είναι : Α Οξεία Β Ορθή Γ Αμβλεία Δ Μεγαλύτερη των 80 0 Ε Δεν γνωρίζουμε 0) Η σχέση ισχύει : Α Πάντα Β Ποτέ Γ Μόνο αν 0 Δ Μόνο αν ) Η σχέση με, 0 ισχύει : Α Πάντα Β Ποτέ Γ Μόνο αν // Δ Μόνο αν ) Αν, 0 και ισχύει, τότε : Α // Β Γ 0 Δ ) Αν α είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα, τότε το γινόμενο α β ισούται με:

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Α α προβ β α Β α προβ α β Γ β προβ α β Δ α προβ α β Ε β προβ β α 4) Τα διανύσματα α και β είναι μη μηδενικά Το συν ( α, β ) ισούται με α β α β Α Β αβ α β αβ Γ α β αβ Δ Ε α + β αβ α + β 5) Αν γνωρίζουμε ότι προβ αβ (λ λ )α, μ, λ και α 0 τότε για την γωνία των διανυσμάτων Α αμβλεία Β ορθή, είμαστε σίγουροι ότι είναι : Γ οξεία Δ Δεν έχουμε επαρκή στοιχεία για να ξέρουμε

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Πράξεις Διανυσμάτων Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ρ τέτοιο ώστε B Να αποδειχθεί ότι : A B AB 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε να ισχύουν : 4 A A και B 5 A AB, α) Να εκφράσετε τα διανύσματα και συναρτήσει των και β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά [ Απάντηση : α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ τέτοια ώστε να ισχύουν : ΓΕ BΓ, ΑΖ ΑΓ 5 α) Αν ΑΒ α και ΑΓ β να εκφράσετε τα ΔΕ β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά 0 6 5, ] 5 ΑΔ ΑΒ και ΔΖ συναρτήσει των α και β [ Απάντηση : α) 9 5 9 5, Z ] 6 5 4 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε,Ζ της διαγωνίου ΑΓ έτσι ώστε (ΑΕ)=(ΖΓ)= 4 (ΑΓ) α ) Αν ΑΒ=α, ΒΓ=β να εκφράσετε τα διανύσματαδε,δζ συναρτήσει των α,β β) Να δείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο [ Απάντηση : α) a a, Z ] 4 4 5 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Μ, Ο για τα οποία ισχύει OA 5MA MO ΜΓ 4ΟΒ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και ότι τα διανύσματα AB, ΓΑ είναι ομόρροπα 6 Αποδείξτε ότι αν ισχύει 5 τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4 7 Εάν, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα 8 Έστω, δύο μη συγγραμμικά διανύσματα: o Αν x y 0 να δείξετε ότι x = y = 0 o Αν x y x y να δείξετε ότι x x & y y o Να βρείτε για ποιες τιμές του x τα διανύσματα u ( x ) a και v ( x) a είναι συγγραμμικά 9 Έστω, 0 a a a Να δείξετε ότι 0 Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ ενός επιπέδου Βρείτε σημείο Μ για το οποίο ισχύει : [ Απάντηση : M ] Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ του επιπέδου του Να δείξετε ότι το διάνυσμα u 8MA 5MB M είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Μ [ Απάντηση : u 5 =σταθερό ] Σε ένα τετράπλευρο έχουμε : ΑΒ α β, ΒΓ 4 α β και ΓΔ 5 α β με α / / β Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα εσωτερικό του σημείο Δ τέτοιο ώστε ( ) ( ) Αν τα διανύσματα θέσης των σημείων Α και Β είναι τα και 5, να δείξετε ότι : 5 και 7 ( ) 7 4 Αν ισχύουν ΟΑ α β γ, ΟΒ αβ 4 γ, ΟΓ αβ 8 γ, να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 5 Αν ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΓ α +β και ΟΔ β ΑΓ,ΔΒ και ΑΒ, να γραφούν τα διανύσματα ως γραμμικός συνδυασμό των διανυσμάτων α και β Στη συνέχεια να δείξετε ότι ΑΓ + ΔΒ ΑΒ

5 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου [ Απάντηση :,, ] 6 Έστω κύκλος κέντρου Κ και ΑΒ μια διάμετρός του Αν τα διανύσματα θέσης των Κ και Α είναι : ΟΚ α και ΟΑ α 4, όπου, διανύσματα του επιπέδου του κύκλου και Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου του κύκλου, να βρείτε το διάνυσμα θέσης του σημείου Β ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων, [ Απάντηση : 8 ] 7 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντιστοίχως Να δείξετε ότι : α) ΑΓΒΔ ΚΛ, β) AB ΔΓ ΔΒ AΓ, γ) 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί που βρίσκονται τα σημεία Μ που επαληθεύουν τη σχέση : ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΓ [ Απάντηση : Στην μεσοκάθετο του ΚΛ, όπου Κ, Λ μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ] 9 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και σημείο Μ του επιπέδου του για το οποίο ι- σχύει ΜΑ ΜΒ ΜΓ α Δείξτε ότι τα σημεία Μ που επαληθεύουν την παραπάνω σχέση ανήκουν σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα [ Απάντηση : Κύκλος με το Κ να ορίζεται από τη σχέση ] 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ και Ν του επιπέδου του, τέτοια ώστε MA MB MΓ 0 και ΝA ΝB ΝΓ 0 Προσδιορίστε τα σημεία Μ και Ν και αποδείξτε στη συνέχεια ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΝ είναι παραλληλόγραμμο [ Απάντηση : Το Μ από τη σχέση και το Ν από την ] Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: ( μ)αβ ΑΓ (μ ν)bγ=0 Να υπολογίσετε τους αριθμούς μ και ν Αν α, β 4 και α β : α) Να αποδειχθεί ότι α β β) Να βρεθεί το λ ώστε α λβ [ Απάντηση : ] [ Απάντηση : μ = - και ν = - ] Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και για δύο σημεία Δ και Ε του επιπέδου του τριγώνου έχουμε : AB ΑΓ ΑΔ AE, να αποδείξετε ότι: α) Το Μ είναι μέσο του ΔΕ

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 6 β) Για οποιοδήποτε άλλο σημείο Ν του επιπέδου του τριγώνου, θα είναι: NB ΝΓ NΔ NE 4 Αν για τα διανύσματα α,β,γ ισχύει : α β γ 0 και β γ α, να αποδείξετε ότι : α)το α είναι ομόρροπο με τοβ β)το β είναι αντίρροπο με το γ Συντεταγμένες Διανυσμάτων Για καθένα από τα παρακάτω διανύσματα, να βρείτε την γωνία που σχηματίζει με τον xx α i j, β (, ), γ j, δ ι j [ Απάντηση : Για το 5, για το, για το και για το ] 6 4 Θεωρούμε τα σημεία Α(α,0),Β(β,0),Γ(γ,0) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των συμμετρικών α) του Α ως πρός το Γ,β) του Β ως προς το Γ, γ)του Γ ως προς το μέσο του ΑΒ Στο ορθοκανονικό σύστημα Οχψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β του χ χ τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη 7 x (λ 5λ+0)x-008=0 Να προσδιοριστεί ο πραγματικός λ [ Απάντηση : λ = ή λ = ] 4 Να εξετασθεί αν τα σημεία Α(κ+λ,κ-λ),Β(κ,-λ) και Γ (κ+λ,κ+λ) είναι συνευθειακά 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τιμές των λ,μ στο ώστε τα διανύσματα [ Απάντηση : Μόνο για λ = 0 ] 4 =( λ -λ+,-), β =(, μ +μ +) να είναι συγγραμμικά 6 Δίνονται τα σημεία Α(6,), Β(,), Μ(x,y) [ Υπόδειξη : Δείξτε ότι 4 λ -λ+,μ +μ + 0 ] α) Ποια η σχέση των x, y ώστε να υπάρχει πραγματικός λ για τον οποίο να ισχύει BM = λμα ; β) Αν επιπλέον ξέρετε ότι x + y =, να βρείτε τον αριθμό λ [ Απάντηση : α) x 5y 7 0, x 6 ή y, β) ] 7 Δίνονται τα σημεία Α (, ), Β (, 0 ) και Γ ( 0, 4 ) Αν η ευθεία ΑΓ τέμνει τον ά- ξονα xx στο Δ και η ευθεία ΑΒ τον άξονα yy στο σημείο Ε, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Δ, Ε και να δείξετε ότι τα μέσα των ΟΑ, ΕΔ και ΒΓ είναι συνευθειακά [ Απάντηση : Δ ( 6, 0 ), Ε ( 0, - ) ]

7 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8 Για ποιες τιμές του τα σημεία Α (, ), Β ( 4, ), Γ (6,- ) και Δ ( λ,λ-) είναι κορυφές τραπεζίου ΑΒΓΔ ( Εξετάστε δύο περιπτώσεις ) 5 6 [ Απάντηση : λ ή λ ] 4 5 9 Δίνονται τα σημεία Α (,4 ), Β ( 5, ), Γ ( -,- ) και, Να αποδειχθεί ότι το μέσο του τμήματος ΑΓ είναι σημείο της ευθείας ΒΔ 0 Δίνονται τα διανύσματα :, και β, αν ισχύουν : α), β) 0 Να βρεθούν τα, [ Απάντηση : α) λ,μ, β) 0 5 7 λ,μ ] 44 Δίνονται τα σημεία Α ( -,- ), Β (,4 ), Γ ( 0,5 ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Δ, αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο και για τις βάσεις ΑΒ και ΓΔ ισχύει (ΑΒ)=(ΓΔ) 5 5 [ Απάντηση : Δ, ] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β (, ), Γ ( 4,- ) και σημείο Δ τέτοιο ώστε να ισχύει ΒΔ Αν Κ (, ) είναι σημείο του επιπέδου του τριγώνου, τέτοιο ώστε ΑΔ 5, να υπολογιστούν οι συντεταγμένες της κορυφής Α 7 5 4 4 [ Απάντηση : Δ,,A8,5 Βρείτε τα σημεία Γ και Δ που χωρίζουν το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α(,) και Β(4, - ) σε τρία ίσα τμήματα [ Απάντηση : Γ,,Δ,0 ] 4 Δίνονται τα διανύσματα (, ), (, ) και (,7) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και [ Απάντηση : ] 5 Έστω τα διανύσματα α, και β, 5 Έστω τα σημεία K,, 0, 7 α) Δείξτε ότι το α δεν είναι παράλληλο του β β) Να γραφεί το ΚΛ ως γραμμικός συνδυασμός των α, β Λ [ Απάντηση : K ] ]

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8 6 Δίνονται τα σημεία Α, 5, Β 0, 4, 7, Γ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 0 ώστε να ισχύει ΑΜ0 ΒΓ β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ κ, κ, ώστε ΑΜκ κ ΒΓ γ) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ 0, Μ, Μ 5 είναι συνευθειακά 7 Να βρεθούν οι αριθμοί x, y ώστε τα διαδοχικά διανύσματα α (,), β (x y, x y 4) και γ (4x y,x y ) να σχηματίζουν τρίγωνο [ Απάντηση : x = 0, y = ) ] 8 Αν (,0) και (,) να βρεθούν τα, 9 Δίνονται τα διανύσματα a x,, x 5 [ Απάντηση : α,,β, ] Να βρεθεί το x, ώστε α β 0 Αν τα διανύσματα, 6, [ Απάντηση : x = ] a είναι αντίθετα, να βρε-, θεί το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο προς το διάνυσμα [ Απάντηση : 7 9 7 λ,μ, γ 0, 9 9 5 9 9 ] Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ έτσι ώστε το διάνυσμα α λ, λ 0 λ να είναι το μηδενικό διάνυσμα [Απάντηση: ] Δίνονται τα διανύσματα α i j, β i 4 j και γ 4i j α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων 4α, β και 4α β β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ έτσι ώστε α β κγ 0, ] [Απάντηση: 4,,,, 4,4 Δίνονται τα διανύσματα α, και β, α) Να βρεθούν τα διανύσματα α β, α β β) Να βρεθούν τα διανύσματα γ 4α β και δ β α γ) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y για τους οποίους ισχύει x α yβ i j

9 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου δ) Να εκφραστεί το u 5, 9 ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α,β [Απάντηση:,,, 5,, 5, 4,7 4 Δίνονται τα διανύσματα α x,5, β 5, x y Αν ισχύει α β,, τότε : α) Να βρεθούν οι αριθμοί x, y, x 5, y, u ], όπου x, y β) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ, σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς τα διανύσματα α,β [Απάντηση: x 0, y, 7 4 ] 9 9 5 Θεωρούμε διανύσματα x, y τέτοια ώστε x y 0, και x y, 7 α) Να βρεθούν τα διανύσματα x, y β) Αν Α, Β είναι σημεία τέτοια ώστε OA x, OB y, όπου Ο είναι η αρχή των α- ξόνων, να βρεθεί το σημείο Γ για το οποίο ισχύει AB BΓ [Απάντηση: x,, y,, 4, ] 6 Δίνονται τα διανύσματα α, και β, α β, α β Να υπολογιστούν τα μέτρα [Απάντηση:, ] 7 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε AB i j, BΓ i j και ΓΑ i j α) Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές β) Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος AM γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ [Απάντηση : 5, 8 α) Να βρεθεί το διάνυσμα α, α, τμ ], β) Αν α 4,, β, να βρεθεί το διάνυσμα γ για το οποίο ισχύουν γ α γ β και γ / / x x [Απάντηση: 5, 4, 6, 8 ]

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 0 Εσωτερικό Γινόμενο Αν α και λ πραγματικός αριθμός με -6<λ< να βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές το λα καθώς και ο αριθμός λ α [ Απάντηση : λα 0,8,λ α 944,9 ] Αν τα σημεία Α, Β έχουν συντεταγμένες (, y) & B( x,) και τα σημεία Α, Β βρίσκονται πάνω στην παραβολή 4 5, να υπολογίσετε το B y x x Να βρεθεί διάνυσμα με τις ιδιότητες i και, Στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι είναι κάθετο στο διάνυσμα ( 4,) [ Απάντηση : 4 ] [ Απάντηση : a 5 ] 4 Για τα διανύσματα α και β 4 να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης αβ 5 Σε ορθοκανονικό σύστημα 0, i, j ν μορφή ν i i ν j j [ Απάντηση : και - αντίστοιχα ] να δείξετε ότι κάθε διάνυσμα ν γράφεται με τη 6 Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν τα διανύσματα που δίνονται είναι κάθετα μεταξύ τους αβ α αβ α α) β και β, β) β και α β α 7 Θέμα Πανελλαδικών 00 : Για τα διανύσματα α,β δίνεται ότι α ( α,β)= π Έστω τα διανύσματα u=α+β,v=α-β Να υπολογίσετε: α) το εσωτερικό γινόμενο αβ, β) τα μέτρα των διανυσμάτων uv,, γ) το εσωτερικό γινόμενο uv και δ) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v, β και [ Απάντηση : α), β) u 5, v, γ), δ) ] 6

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία 8 Αν για τα μοναδιαία διανύσματα α,β ισχύει Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου α β+β 0, να βρείτε τη γωνία α,β [ Απάντηση : ] 9 Δίνεται τρίγωνο ΟΑΒ για το οποίο ισχύουν :, 4 το μέσο της ΑΒ, να υπολογίσετε το ΟΑ, 0 Αν α = β, α,β, ΟΑ, Αν Μ [ Απάντηση : 7 7 ] π, να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων α 4β, α β [ Απάντηση : ] Θεωρούμε τα διανύσματα α, β με α, β 6 Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε ( α λβ) ( α λβ) [ Απάντηση : ] Αν τα μοναδιαία διανύσματα α και β σχηματίζουν γωνία φ με 0 φ 90 και τα διανύσματα p α β και q 5α 4β είναι κάθετα, τότε να αναλύστε το διάνυσμα ν με ν ν σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα α και β και, α 60 Δίνονται τα διανύσματα, Να δείξετε ότι και για τα οποία ισχύει, α βα β και 4 Αν τα διανύσματα α, β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα, να δειχτεί ότι και τα διανύσματα u α β, ω α β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα 5 Δίνονται τα κ, ν 0 κ ν κ ν () και ν ν κ (), να δείξετε ότι κ ν 6 Αν α,β, γ τρία διανύσματα με α β γ και αβ βγ, να αποδείξετε ότι α β γ 7 Αν α β 5, γ 7 και α β 5γ 0 α) Να βρεθεί το συν(α,β) β) Αν ΟΑ α, ΟΒ β, ΟΓ γ, να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά [ Απάντηση : α), β) α β 5γ 0 ]

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8 Δίνονται τα διανύσματα α,β, γ με α β γ και α β γ 0 Υπολογίστε : α) Το εσωτερικό γινόμενο αβ, β) Την παράσταση αβ γ) Δείξτε ότι = [ Απάντηση : α), β) +β γ+ γα,, γ) ] 9 Αν α, β, γ μη μηδενικά διανύσματα και ισχύουν α β γ 0 και α 0 Αν α () β γ () Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων α, β, β, γ 5 και α β γ 0, να δείξετε ότι : i α β β γ γ α 5 ii Το τρίγωνο με πλευρές τα μήκη των διανυσμάτων α, β, γ είναι ορθογώνιο iii βγ γα -5 [ Απάντηση : ] Αν, να δείξετε ότι Αν για κάθε ισχύει : και, να αποδείξετε ότι : α), β), γ) 4 5 Αν α x,, β x, y α β ημω det α,β y δύο διανύσματα με α, β ω, να δείξετε ότι 4 α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α, β ισχύει α β α β ( Εφαρμογή σχολικού βιβλίου) και β) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της παράστασης 6x 8y αν ξέρετε ότι x +y =6 5 Δίνονται τα διανύσματα,,, x για τα οποία ισχύει : x α) Να δείξετε ότι βα α x γ α, x β) Αν βα, να υπολογίσετε το διάνυσμα x με τη βοήθεια των,, [ Απάντηση : - 60 και 60 ] [ Απάντηση : x ]

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 6 α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα v, u είναι παράλληλα, αν και μόνο αν, (u uv) =u (u v) β) Αν α (, ),β (,),γ (x,4) και ισχύει βρεθεί ο x α α(β γ) α (α β γ), να [ Απάντηση : x = - 9 ] 7 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ ) Αν οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι κάθετες, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας Α 8 Αν, v και α, [ Απάντηση : 4 ] 5, να δείξετε ότι : v, όπου 9 Αν α (,), β (, 4 ) να βρεθούν τα διανύσματα p, q ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα : α) α p q, β) α//p, γ) q β 0 Αν α 0 [ Απάντηση : p α,q 0 ] και λ,μ, τότε να αποδειχτεί ότι : προβ λβ μγ λπροβ β μπροβ γ α α α Δίνονται διανύσματα, με 0 α) Να δείξετε ότι : και β) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α (, ), Β ( -,- ), Γ ( 4,- ) Αν ΑΔ ύψος του τριγώνου ΑΒΓ να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος γ) Αν α (4, ),β (,) 4 5, να δείξετε ότι δ) Θεωρούμε τρίγωνο ΟΑΒ Δείξτε ότι η σχέση ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές στο Ο Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει α, β Αν ισχύουν x α β, x β α, τότε : [ Απάντηση : β) 50 6 (, ) ] 5 5 και α,β π

Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4 α) Να υπολογιστεί το x ως γραμμικός συνδυασμός των, β) Να βρεθεί το α β, γ) Να βρεθεί το προβ x α β [ Απάντηση : α) Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει, και α,β βρεθεί ο πραγματικός λ, έτσι ώστε να ισχύει β προβ α λβ β, β), γ) ] π Να 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές μήκους ΑΒ=4, ΑΓ=6 και π Α [ Απάντηση : ] α ) Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ 4 β) Να δείξετε ότι προβ AB AM [ Απάντηση : α) 9 AM 9 5 Αν i, j είναι τα μοναδιαία διανύσματα ενός ορθοκανονικού συστήματος και α i 6j,β 4i j τότε να βρείτε : α) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α, β, ii Το διάνυσμα πού είναι η προβολή του α στο β [ Απάντηση : α) ], β) ] 0 5 6 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ Αν ΑΒ (, 4) και ΑΓ (5,5) α) να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΒΓ,ΒΔ και β) να εκφράσετε το ΑΔ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ,ΑΓ και να βρείτε το μέτρο του ΑΔ [ Απάντηση : α),, 4, B, β) A A A, A 5 ] 7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρνουμε κάθετη ΜΝ στην ΑΓ 5 α) Αν είναι ΑΒ (4,),ΑΓ,0, να υπολογίσετε τη γωνία Β του τριγώνου και 7 β) Αν επιπλέον ξέρετε ότι ΜΓ,, να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του ΓΝ 7 [ Απάντηση : α), β),0 4 7 ]

5 Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 8 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ Θεωρούμε τα σημεία Ε,Ζ των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα έτσι ώστε να ισχύει ΑΕ=ΔΖ Να δειχθεί ότι ΔΕ=ΓΖ και 9 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α ορθή) και Μ το μέσο της ΒΓ Αν AΛ ύψος και Ζ,Ε οι προβολές του Λ στις ΑΓ, ΑΒ να δείξετε ότι ΖΕ κάθετη στην ΑΜ 40 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσον της ΒΓ Αν ισχύει (ΑΒ ΑΓ) ΑΒ (ΑΜ ΒΓ) ΑΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές [ Υπόδειξη : Είναι AB A, άρα ] 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : 0 βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στη ΒΓ Που ανήκουν τα σημεία Μ αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι τυχαίο ; 4 Θεωρούμε τα σταθερά σημεία Α, Β με 4c,όπου c σταθερά Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : * c, [ Απάντηση : Κύκλος K, 5 4c 5 όπου, όπου Κ το μέσο του ΑΒ ] 4 Έστω Α, Β σταθερά σημεία, Κ το μέσο του ΑΒ και Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : 0 [ Απάντηση : Κύκλος με διάμετρο ΑΒ ]