Παράγωγα προϊόντα και διαχείριση κινδύνου Πέτρος Δελλαπόρτας τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 006 Βασικές αναφορές Hull J. (006). Options, futures and other derivatives. Prentice-Hall. Duffie D. and Pan J. (1997). An Overview of Value at Risk. Journal of derivatives, 7-49. Διαθέσιμο από την διεύθυνση http://www.mit.edu/~junpan/ Παράγωγα προϊόντα Είναιταπροϊόντατωνοποίωνηαποτίμηση εξαρτάται από την τιμή ενός υποκείμενου τίτλου (π.χ. μετοχή ή ομόλογο). Η ύπαρξη ενός παραγώγου προαπαιτεί την ύπαρξη ενός υποκείμενου τίτλου. Κατηγορίες παραγώγων Futures-Συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης Options-Δικαιώματα προαίρεσης Futures Ησυμφωνίανααγοράσωήναπουλήσω έναν υποκείμενο τίτλο μετά από κάποιο συγκεκριμένο διάστημα. Τη συμφωνία αυτή δεν είναι απαραίτητο να την κρατήσω μέχρι τη λήξη της-μπορώ να τη διαπραγματευτώ στο χρηματιστήριο όποτε θέλω. Ο αγοραστής ενός future είναι υποχρεωμένος να το αγοράσει σε μία συγκεκριμένη ημερομηνία. Συγκεκριμένη ποσότητα σημαίνει ότι τα συναλλασσόμενα futures ανταλλάσσονται υπό τη μορφή τυποποιημένων πακέτων, γνωστών ως συμβόλαια. Η fixed futures date έχει να κάνει με την παράδοση των futures. Ηημέρα(ες) που τα futures λαμβάνουν χώρα είναι γνωστή ως ημέρα(ες) παράδοσης. 1
Long future Η τιμή που συμφωνείται σήμερα είναι το σημαντικότερο σημείο του ορισμού των futures. Ο λόγος είναι ότι η τιμή αυτή δίνει βεβαιότητα και στα δύο μέρη (αγοραστή-πωλητή). Το Tick είναι η μικρότερη επιτρεπτή τιμή αυξομείωσης στα futures και εμφανίζεται σε ένα νόμιμο έγγραφο ως contract specification. Όταν ένα future πωλείται για να ανοίξει μία θέση, αυτό περιγράφεται ως going short ήαπλάshort, ενώ όταν αγοράζεται, περιγράφεται ως long. Ρίσκο:σχεδόν απεριόριστο. Η μέγιστη απώλεια θα συνέβαινε αν η τιμή του future έπεφτε στο μηδέν. Για τους κερδοσκόπους του πετρελαίου αυτό θα συνέβαινε αν η τιμή του future Μαρτίου έπεφτε από τα 4.5 $ στο 0. Απόδοση: απεριόριστη-καθώς η τιμή του future πηγαίνει στο άπειρο, το κέρδος είναι δυνητικά απεριόριστο. Short future Γράφημα απόδοσης Ρίσκο: απεριόριστο Απόδοση: περιορισμένη αλλά υψηλή. Η τιμή του future μπορεί να πέσει μόνο μέχρι το μηδέν. 4 3 1 0-1 - -3-4 Τιμή υποκείμενου τίτλου κόκκινη γραμμή=long θέση πράσινη γραμμή= short θέση long:max κέρδος=άπειρο, max ζημία=-3 short: max κέρδος=3, max ζημία= άπειρη Σύγκλιση Όταν έρθει η τελευταία μέρα συναλλαγής του future, το κόστος μεταφοράς θα είναι μηδενικό. Τη στιγμή της παράδοσης, οι τιμές στην αγορά των futures και συναλλαγών θα είναι ίδιες καθώς καιοιδύοτιμέςθααφορούντηνάμεσηπαράδοση του υποκείμενου τίτλου. Αυτή η ταύτιση των τιμών της αγοράς των futures και συναλλαγών είναιγνωστήωςσύγκλισηκαιείναιημόνηστιγμή στη διάρκεια του future που αυτό συμβαίνει αναγκαία. Βάση Βάση είναι ο όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει την αριθμητική διαφορά μεταξύ της τιμής για αγορά τοις μετρητοίς και της τιμής αγοράς future. Βάση=Τιμή για αγορά τοις μετρητοίς-τιμή αγοράς future
Ρίσκο βάσης Όταν οι τιμές της αγοράς των futures είναι υψηλότερες από τις τιμές για αγορά τοις μετρητοίς, η αγοράείναισεκατάσταση premium. Από την άλλη πλευρά, όταν οι τιμές της αγοράς των futures είναι χαμηλότερες από τις τιμές για αγορά τοις μετρητοίς, η αγορά είναι σε κατάσταση discount. Αλλαγές στη βάση αντιπροσωπεύουν απειλή και προσφορά για τους χρήστες των futures. Ότανηβάσηγίνειπιοαρνητικήήλιγότερο θετική, τότε αποδυναμώνεται. Ότανηβάσηγίνειπιοθετικήήλιγότερο αρνητική, τότε δυναμώνει. Futures-Παράδειγμα Αγορά: 1 Future Μαρτίου FTASE-0. Η λήξη είναι στις 17/3/06. Η τιμήτουfuture μεταβάλλεται καθώς μεταβάλλονται οι τιμές των 0 μετοχών που το αποτελούν. Η ημερομηνία είναι πάντα η τρίτη Παρασκευή του μήνα. 3
Futures-συνέχεια Γράφημα απόδοσης Στις 17/,4:00 μ.μ.οι τιμές του Future και του FTASE-0 θα είναι ίδιες, έστω S. Απόδοση αγοράς:=s-s T τιμή πώλησης δείκτη-τιμή αγοράς συμβολαίου Απόδοση πώλησης=s T -S 4 3 1 0-1 - -3-4 Τιμή υποκείμενου τίτλου κόκκινη γραμμή=long θέση πράσινη γραμμή= short θέση long:max κέρδος=άπειρο, max ζημία=-3 short: max κέρδος=3, max ζημία= άπειρη Margin Απαιτείται η κατάθεση του 10% της αξίας της μετοχής σε ένα λογαριασμό. FTASE:Οι μονάδες μετατρέπονται σε ΕΥΡΩ πολλαπλασιάζοντας με το 5 (00x50=11,000 ΕYΡΩ, άρα για ένα συμβόλαιο απαιτείται η κατάθεση 1100 ΕΥΡΩ). Καθημερινή αποτίμηση χαρτοφυλακίου και κατάθεση 10%. Πλεονεκτήματα-Mειονεκτήματα των Futures Αγορά χαρτοφυλακίου (με προκαθορισμένα βάρη). Μόχλευση (Leverage): Αν ο FTASE ανέβει 10%, ο αγοραστής κερδίζει 100%, ενώ ο πωλητής χάνει όλο το κεφάλαιο. Short-selling/διαχείριση κινδύνου. Θεωρητική τιμή των futures Αν εκτιμώ ότι η τιμή του FTASE θα ανέβει 3% τον επόμενο μήνα, πόσο θα κοστίζει το συμβόλαιο Μαρτίου; Νόμος των μεγάλων αριθμών Έστω μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων αριθμών X 1,X,,X N που ακολουθούν την ίδια κατανομή με μέσο μ. Ορίζουμε τον δειγματικό μέσο μεγέθους Ν ως X + X + X SN = N 1 N Με πιθανότητα 1, καθώς το Ν μεγαλώνει, ο δειγματικός μέσος τείνει στον μ. 4
Αξία του χρήματος Έναευρώσήμερακοστίζειe rt σε χρόνο Τ γιακάποιασταθεράr>0. To r είναι το συνεχώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο. Το r δεν είναι σταθερό, αλλά το θεωρούμε σταθερό για ευκολία. Μοντέλο για τιμές μετοχών Υποθέτουμε την ύπαρξη μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, Χ~Ν(μ,σ ), έτσι ώστε η αλλαγή του λογαρίθμου της τιμής μιας μετοχής S 0 σε χρόνο Τ να είναι Χ: logs T =logs 0 +X ή S T =S 0 exp(x) Θεωρητική τιμή future Τιμή future: F Τιμή μετοχής στη λήξη: S T Κέρδος: S T -F (για αγορά future) Αξία συμβολαίου τώρα: e -rt (S T -F) Νόμος των μεγάλων αριθμών: Ε[e -rt (S T -F)]=0 Άρα η δίκαιη τιμή είναι F=E(S T ). Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν S T =Se X και Χ~Ν(μ,σ ),τότε E(S T )=S 0 exp(μ+1/σ ). Πόσο δίκαιη είναιαυτήητιμήγιατοf? Arbitrage (1) Έστω ότι πουλάω ένα future. Δανείζομαι S 0 και αγοράζω τη μετοχή. Στο χρόνο Τ ξεχρεώνω το δάνειο πληρώνοντας S 0 e rt και δίνω τις μετοχές στον αγοραστή του future. Αν F<S 0 e rt χάνω με βεβαιότητα. Arbitrage () Έστω ότι αγοράζω ένα future. Πουλάω τώρα μετοχές (short-selling) και βάζω S 0 στην τράπεζα. Στο χρόνο Τ παίρνω S 0 e rt, παίρνω τις μετοχές από το future και ξεχρεώνω το short-selling. Αν F>S 0 e rt χάνω με βεβαιότητα. 5
Παρατηρήσεις Η θεωρητική τιμή δεν είναι στοχαστική και βασίζεται σε arbitrage (κέρδος χωρίς ρίσκο). Αν υπάρχουν μερίσματα, τότε rt F = ( S Div)(1 + ) 365 (εδώ χρησιμοποιήσαμε τον τύπο του διακριτού αντί του συνεχούς ανατοκισμού) Arbitrage Ιδέα: Αγοράζω το φθηνό προϊόν και πουλάω το ακριβό. Παράδειγμα: Εάν η τιμή του future Μαρτίου είναι F=40 και η θεωρητική τιμή F θ =60 τότε αγοράζω το future και πουλάω το δείκτη. Από την πώληση του δείκτη μου μένει ένα κεφάλαιο που τοκίζω στη τράπεζα μέχρι το Μάρτιο (17/3). Στις 17/3 η τιμήτουfuture είναι ίση με την τιμή του δείκτη, έστω S Τ. Άρα αγοράζω το δείκτη και πουλάω το future. Τότε έχω κέρδος= (S Τ -F) + (S-S Τ )+ τόκοι=s-f + τόκοι. Εάν S-F+τόκοι >0, έχω arbitrage. Δίκαιη τιμή Κέρδος=0, άρα S-F + τόκοι=0 S-F+(Se rt -S)=0, άρα F=Se rt. Αν το future είναι ακριβό και ο δείκτης φθηνός, τότε αγοράζω το δείκτη και πουλάω το future. Δανείζομαι S μονάδες και μου μένουν στη λήξη Se -rt. Κέρδος= (F-S T )+ (S T -S)-τόκοι =F-S-τόκοι = F-S-(Se rt -S). Κέρδος=0 επιτυγχάνεται για F=Se rt. Θεωρητική τιμή των Futures Άσκηση: Επαληθεύστεμετιςτιμέςτου Bloomberg. 6
Arbitrage στα δεδομένα του Bloomberg Γιατί δεν γίνεται arbitrage? 1) ΟρισμόςΘεωρητικήςτιμής(r) ) Απόσταση τιμής και εντολής αγοράς 3) Κόστος συναλλαγών Επενδυτές 1) Κερδοσκόποι ) Arbitrageurs-εξισορροπητές αγοράς 3)Hedgers-αντισταθμιστές κινδύνου Arbitrage με beta Έστω ότι δε διαπραγματεύεται ο δείκτης και θέλουμε να κάνουμε arbitrage. Το beta της μετοχής μας δείχνει πόσο μεταβάλλεται η απόδοση σε σχέση με το δείκτη: R t =α+βm t +ε t όπου R t είναι η απόδοση της μετοχής και m t η απόδοση του δείκτη. Υπενθύμιση:Συσχέτισηγραμμική παλινδρόμηση ρ xy =Corr(X,Y)=σ xy /(σ x σ y ) Υ=α+βx i +ε i, ε i ~Ν(0,σ ) ˆ β = σ / σ XY X Ισοδυναμία μετοχής- δείκτη Αριθμός μετοχών= δείκτης x πολλαπλασιαστής μετοχή x beta όπου πολλαπλασιαστής είναι η σταθερά που μετατρέπει τις μονάδες του δείκτη σε ΕΥΡΩ, π.χ. στην Ελλάδα πολλαπλασιαστής =5 ΕΥΡΩ. Το arbitrage δεν είναι τέλειο γιατί το beta αλλάζει. Το arbitrage γίνεται καλύτερο αν χρησιμοποιήσουμε περισσότερες από μία μετοχές του δείκτη (π.χ. 10). 7
Κερδοσκόποι: προσπαθούν να προβλέψουν τη σωστή πορεία της αγοράς. Arbitrageurs: προσπαθούν να βρουν ανισορροπίες της αγοράς, έχουν μικρά κόστη προμηθειών και άμεση πρόσβαση σε επιτοκιακά προϊόντα ώστε να δανείζουν και να δανείζονται εύκολα χρήματα. Hedgers: διασφαλίζουν το χαρτοφυλάκιο τους έναντι πτωτικών κινήσεων. Χρήση των futures για αντιστάθμιση κινδύνου Έστω ότι έχω μία long θέση χαρτοφυλακίου και θέλω να ασφαλιστώ για πιθανή πτώση της αγοράς. Έστω S η αξία του χαρτοφυλακίου και beta η σχέση του με το δείκτη. Είμαστε long, άρα για hedging κάνουμε short το future. Αριθμός των futures= ποσό για ασφάλιση x beta S x πολλαπλασιαστής Παράδειγμα Κεφάλαιο=100,000 ΕΥΡΩ beta=1 F=50 πολλαπλασιαστής=5 Για να ασφαλίσουμε όλο το κεφάλαιο χρειαζόμαστε (100,000x1)/(50x5)=8.9 δηλαδή 9 futures. Παράδειγμα-συνέχεια Αν στη λήξη ο δείκτης ανέβει 10%, έχουμε: S Τ =110,000 ΕΥΡΩ κέρδος 10,000 ΕΥΡΩ F Τ =50x1.1=475 ζημιά (50-475)x9x5=-10,15 ΕΥΡΩ Άρα η θέση έμεινε ουδέτερη (market neutral). Ομοίως αν ο δείκτης πέσει. beta χαρτοφυλακίου Έστω Ν μετοχές με τρέχουσες τιμές S 1,S 1,,S Ν και αντίστοιχα beta b 1,b,,b Ν και βάρη στο χαρτοφυλάκιο w 1,w, w Ν, Σw i =1. Beta χαρτοφυλακίου=σb i w i. 8
Options Το option είναι ένα συμβόλαιο που δίνει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσουμε ή να πουλήσουμε έναν υποκείμενο τίτλο σε μία συγκεκριμένη ή καιπριναπόαυτήχρονικήστιγμήπροςμία συγκεκριμένη τιμή. Ορολογία Το δικαίωμα αγοράς λέγεται call option. Το δικαίωμα πώλησης λέγεται put option. O αγοραστής των options λέγεται κάτοχος των options. Ένα σημαντικό στοιχείο των options είναι το premium, δηλαδή το κόστος τους. Όταν οι κάτοχοι των options κάνουν χρήση των συμβολαίων, λέμε ότι εξασκούν το option τους. Ορολογία Η τιμή στην οποία ένα συμβόλαιο δίνει στον κάτοχο του το δικαίωμα να το πουλήσει ή να το αγοράσει λέγεται τιμή εξάσκησης ή strike price. Προσέξτε ότι οι κάτοχοι των options έχουν το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσουν ή να πουλήσουν έναν υποκείμενο τίτλο. Αν δεν είναι συμφέρουσα η εξάσκηση του option, ο κάτοχος του μπορεί να εγκαταλείψει τη θέση του. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό του option είναι η ημερομηνία λήξης του. Ηημέραλήξηςτουoption είναι η τελευταία μέρα που μπορεί να εξασκηθεί ή να ανταλλαχθεί το option. Μετά την ημερομηνία αυτή το option παύει να ισχύει και εξαφανίζεται. Τύποι εξάσκησης Options Αμερικάνικου τύπου: τα options μπορούν να εξασκηθούν από τον κάτοχο τους, οποιαδήποτε στιγμή μετά την αγορά τους μέχρι και την ημερομηνία λήξης τους. Options Ευρωπαϊκού τύπου: το option μπορεί να εξασκηθεί μόνο κατά την ημερομηνία λήξης του. Options Ασιατικού τύπου: η τιμή εξάσκησης του option είναι ίση με το μέσο όρο των τιμών του υποκείμενου τίτλου μιας χρονικής περιόδου. Οι απλές χρήσεις των options Το μέγιστο ρίσκο για τους κατόχους των options είναι ίσο με το premium. Το μέγιστο ρίσκο για τους πωλητές είναι συνήθως απεριόριστο και το μέγιστο κέρδος τους είναι ίσο με το premium. Οι τέσσερις βασικές στρατηγικές Αγορά ενός call Πώληση ενός call Αγορά ενός put Πώληση ενός put 9
Αγορά ενός call Κάτοχος ενός call με τιμή εξάσκησης ίση με 80 και premium ίσο με 5 Κίνητρο: ητιμήτουυποκείμενουτίτλουθαανέβει Ρίσκο: Το ρίσκο του επενδυτή είναι περιορισμένο και ίσο με το premium. Απόδοση: Η απόδοση από την αγορά ενός call είναι απεριόριστη. Zημία 8 6 4 0 - -4 80 Τιμή -6-8 Πώληση ενός call Πωλητής ενός call με τιμή εξάσκησης ίση με 80 και premium ίσο με 5 Ρίσκο Τορίσκοείναιαπεριόριστοδιότιοπωλητήςέχει την υποχρέωση να παραδώσει τον υποκείμενο τίτλο στην τιμή που έχει συμφωνηθεί από πριν ανεξαρτήτως της τρέχουσας τιμής. Απόδοση Το μέγιστο κέρδος του πωλητή είναι ίσο με το premium που έχει λάβει. Zημία 8 6 4 0-80 Τιμή -4-6 -8 Αγορά ενός Put Πώληση ενός Put Ρίσκο Όπως όταν αγοράζοντας ένα call, έτσι και εδώ, το ρίσκο είναι περιορισμένο και ίσο με το premium. Απόδοση Το μέγιστο κέρδος που μπορεί να προκύψει από την αγορά ενός put θα επιτευχθεί αν η τιμή του υποκείμενου γίνει ίση με το μηδέν. 8 6 4 0 - -4-6 -8 80 Τιμή Ρίσκο Το ρίσκο είναι ίσο με την τιμή εξάσκησης μείον το ληφθέν premium. Απόδοση Ημέγιστη απόδοση είναι ίση με το ληφθέν premium. 8 6 4 0 - -4-6 -8 80 Τιμή 10
Περίληψη του ρίσκου Σύγκριση options με futures Θέση Ρίσκο Απόδοση Long Call Ίσο με το Premium Απεριόριστη Long Put Ίσο με το Premium Σχεδόν απεριόριστη * Short Call Απεριόριστο Απεριόριστη Short Put Σχεδόν απεριόριστο* Απεριόριστη Long Future Σχεδόν απεριόριστο ** Απεριόριστη Short Future Απεριόριστο Σχεδόν απεριόριστη ** *Η τιμή του υποκείμενου δεν μπορεί να πέσει κάτω από το μηδέν ** Η τιμή του future δεν μπορεί να πέσει κάτω από το μηδέν Η τιμολόγηση των options έχει ομοιότητες με τα futures. Το κόστος της οικονομίας και το πέρασμα του καιρού είναισημαντικοίπαράγοντες. Ωστόσο, θυμηθείτε ότι τα προϊόντα έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά ηπαράδοση των futures είναι μια υποχρέωση, ηπαράδοσηόμωςτων options είναι μια πιθανότητα. Εσωτερική αξία Εσωτερική αξία + Χρονική αξία =Premium Τα options που έχουν εσωτερική αξία περιγράφονται ως in-the-money. Τα options που έχουν μόνο χρονική αξία περιγράφονται ως out-of-the-money. Από την άλλη πλευρά, όταν τα options περιγράφονται ως at-the-money, δεν έχουν καμία σχέση με την εσωτερική αξία. Αυτό απλώς περιγράφει την τιμή εξάσκησης του option που είναι πιο κοντά στην τρέχουσα τιμή του υποκείμενου. Πάροδος του χρόνου Όσο περισσότερη ζωή υπολείπεται σε ένα option τόσοπιοακριβόείναι. Οι κάτοχοι χάνουν από την πάροδο του χρόνου. Οι πωλητές κερδίζουν από την πάροδο του χρόνου. Volatility Η volatility μετράει πόσο μεταβάλλεται η τιμή ενός υποκείμενου. Αν η τιμή μεταβάλλεται αρκετά, το ρίσκο για τον πωλητή των options είναι μεγαλύτερο και τα premiums πολύ υψηλά. Η επιρροή των αλλαγών στη volatility είναι άμεση. Αν η volatility αυξάνεται, τα premiums των calls και puts αυξάνονται. Αν η volatility μειώνεται, τα premiums των calls και puts μειώνονται. 11
Επιτόκια Η επιρροή των αλλαγών στα επιτόκια εξαρτάται κάθε φορά από το αν τα options διακανονίζονται με φυσική παράδοση (π.χ. Options επί μετοχών) ή είναιoptions σε futures. Για options με φυσική παράδοση Το επιτόκιο αυξάνεται: Τα call premiums αυξάνονται Τα put premiums μειώνονται Για options σε futures που καθορίζουν τα premiums τους αμέσως Το επιτόκιο αυξάνεται: Τα call και τα put premiums μειώνονται Για options σε futures που δεν καθορίζουν τα premiums τους αμέσως Το επιτόκιο αυξάνεται: Αμελητέα επιρροή Μερίσματα Τα μερίσματα που πληρώνονται από τις μετοχές επηρεάζουν σημαντικά τις τιμές των options επί μετοχών διότι όταν οι εταιρείες πληρώνουν μερίσματα στους μετόχους, οι ίδιες τιμές μειώνονται κατά το μέρισμα που πληρώθηκε. Η εξίσωση των Black-Scholes Το 1973, οι Black και Scholes αναθεώρησαν την τιμολόγηση των options Ευρωπαϊκού τύπου αναπτύσσοντας ένα σετ από επαναλαμβανόμενες αντισταθμίσεις για πιθανές τιμές της υποκείμενης μετοχής και της τιμολόγησης των options για συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Προκειμένου να απλοποιήσουν τις υποθέσεις τους επέλεξαν την κανονική κατανομή των δίκαιων αποδόσεων (το οποίο υπονοούσε τη λογαριθμική κανονική κατανομή των δίκαιων τιμών) και απέδειξαν ότι η κατανομή των τιμών οποιαδήποτε στιγμή θα έπρεπε απαραίτητα να κινηθεί γύρω από την προθεσμιακή τιμή και ότι το κατάλληλο μειωτικό επιτόκιο για τις αναμενόμενες αποπληρωμές θα ήταν χωρίς κίνδυνο. Black-Sholes Οι Black-Scholes απέδειξαν ότι η τιμή ενός option είναι ίση με την παρούσα αξία των αναμενόμενων αποπληρωμών. Για ένα call option έχουμε: C = p e -r (T -t) [E (S T given S T > X) - X ] (1) C = ητιμήτουευρωπαϊκούτύπουτουcall option S T = η αναμενόμενη τιμή του χρεογράφου κατά τη λήξη του δικαιώματος T S t = η τρέχουσατιμήσεχρόνοt X = η τιμή εξάσκησης p = ηπιθανότηταότιητιμήτουχρεογράφουθαείναι S T > X e -r(t-t) = ο συνεχής μειωτικός παράγοντας από χρόνο T σε t Με E συμβολίζεται η αναμενόμενη τιμή Ερμηνεύοντας την εξίσωση των Black-Sholes Ερμηνεύοντας την εξίσωση των Black-Sholes Κοιτάζοντας την εξίσωση των Black-Scholes (B-S) υπάρχουν δύο κατανομές πιθανότητας Ν(d 1 ) και Ν(d 1 ). Γιατί; Μπορεί να αποδειχτεί ότι για να καταλήξουμε στην εξίσωση B-S πρέπει να εκτιμήσουμε τη σχετική πιθανότητα η τιμή του υποκείμενου τίτλου να είναι υψηλότερη από τη τιμή εξάσκησης X. Δηλαδή πρέπει να υπολογίσουμε το λόγο της πιθανότητας η τιμή του υποκείμενου να είναι μεγαλύτερη από τη τιμή εξάσκησης προς την πιθανότητα να είναι χαμηλότερη από την τιμή εξάσκησης. Για αρχή, γιαναβρούμετηνεξίσωσηb-s στην περίπτωση του call option πρέπει να βρούμε το ολοκλήρωμα της κατανομής του χρεογράφου από την τιμή εξάσκησης μέχρι το άπειρο: E ( S T S Τ > X) () Λύνοντας τη () προκύπτει (όχι εύκολα!!!) ότι E ( S T S Τ > X ) = S t * e r (T-t) * N(d 1 ) / N(d ) (3) Ν(d 1 )= η πιθανότηταότιητιμήτουυποκείμενου τίτλου θα είναι >Χ. Ν(d )= η πιθανότηταότιητιμήτουυποκείμενου τίτλου θα είναι <Χ. 1
Ερμηνεύοντας την εξίσωση τωνblack-sholes Συνδυάζοντας τις (1) και (3) έχουμε: C = N(d ) * e -r(t-t) * [ (S t * e r(t-t) * N(d 1 ) / N(d ) ) - X ] (4) Όταν αυτό πολλαπλασιαστεί και αναθεωρηθεί αλγεβρικά παίρνουμε την εξίσωση B-S: C = S t * N(d 1 ) - X * e -r(t-t) * N(d ) (5) Η εξίσωση των Black-Scholes Η εξίσωση όταν αντικαταστήσουμε τα d 1,d γίνεται: S C S N X r σ T S e X N X r σ + + T ln( ) ( ) ln( ) + ( ) rt = * * σ T σ T Ό π ο υ Ν [. ] είναι η α θ ρ ο ι σ τ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η της κανονικής κ α τ α ν ο μ ή ς. Αντισταθμίζοντας τις θέσεις των options Προκειμένου να αντισταθμίσουμε τις θέσεις των options, είναι καταρχήν σημαντικό να καταλάβουμε και να μετρήσουμε την ευαισθησία των τιμών των options σε ποικίλους παράγοντες της αγοράς. Αυτοί οι παράγοντες είναι οι παραδοσιακοί δείκτες ευαισθησίας ή «Greeks». Greeks Δέλτα (Delta): ημέτρησητηςαλλαγήςτηςαξίαςτου option για μία μονάδα (1 ευρώ, 1 μονάδα ενός δείκτη, κ.λ.π.) αύξησης του υποκείμενου τίτλου. Γάμα (Gamma): η μέτρηση της αλλαγής του δέλτα για μία μονάδα αύξησης της τιμής του option. Βέγκα/Κάπα (Vega): ημέτρησητηςαλλαγήςτηςαξίαςτου option για αύξηση της volatility ίση με 1% (0.01). Greeks Θήτα (Theta): ημέτρησητηςαλλαγήςτηςαξίαςτουoption για μείωση μιας μέρας από τον υπολειπόμενο χρόνο μέχρι τη λήξη του option. Ρο (Rho, ρυθμός μείωσης): ημέτρησητηςαλλαγήςτης αξίας του option για μία αύξηση στα επιτόκια που χρησιμοποιούνται για να μειώσουν τις αναμενόμενες αποπληρωμές. Ρο (Rho, απόδοση μερίσματος): ημέτρησητηςαλλαγής της αξίας του option για μία αύξηση στην απόδοση μερίσματος κατά μία μονάδα. Δέλτα Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να ερμηνεύσει κανείς το δέλτα του option. Το δέλτα είναι μια μέτρηση της ευαισθησίας της τιμής (μετράει την αλλαγή της αξίας της τιμής του option καθώς η τιμή του υποκείμενου τίτλου αλλάζει). Τιμή χρεογράφου 100 ~~ 101 ATM call 8.57 ~~ 9.07 Δέλτα = Δ Call / Δ S = 0.50 / 1.00 = 0.50 Τιμή χρεογράφου 100 ~~ 101 ATM put 8.57 ~~ 8.07 Δέλτα = Δ Put / Δ S = -0.50 / 1.00 = -.050 13
Δέλτα Το δέλτα είναι επίσης η μέτρηση της κλίσης της αξίας του option. Το δέλτα για ένα call option Τιμή του option Το δέλτα πλησιάζει τη μονάδα Το δέλτα για ένα call option 1.0 0.5 Το ΑΤΜ του δέλτα είναι 0.50 0.0 s S Το δέλτα πλησιάζει το 0 Το δέλτα για ένα put option Το δέλτα για ένα put option Τιμή του option Το δέλτα πλησιάζει το -1 Το ΑΤΜ του δέλτα είναι -0.50 0.0-0.5 S -1.0 S Το δέλτα πλησιάζει το 0 Το δέλτα αλλάζει διαφορετικά για τα options που είναι ΙΤΜ, ΑΤΜ και ΟΤΜ: Το δέλτα για ένα call ως προς τις αλλαγές στοχρόνομέχριτηλήξητουoption Δέλτα 1.0 Το δέλτα είναι επίσης μια μέτρηση: της πιθανότητας εξάσκησης ενός option Forward rate Πιθανότητα 0.5 In the money At the money Out of the money 0.0 Χρόνος μέχρι τη λήξη X Τιμή της μετοχής σε 6 μήνες 14
Υπολογισμός του δέλτα Ένα call option το οποίο είναι ΑΤΜ έχει ένα δέλτα ίσο με 0.5. Η προηγούμενη καμπύλη που έχει σχήμα καμπάνας δείχνει ότι το option έχει μία αλλαγή ίση με 50% στο να λήξει ΙΤΜ. Ένα call με τιμή εξάσκησης υψηλότερη από X θα είχε μεγαλύτερο δέλτα, που θα υποδείκνυε μεγαλύτερη πιθανότητα στο ότι το option θα έληγε ΑΤΜ. Για τιμές εξάσκησης σημαντικά υψηλότερες από Χ, η τιμή του δέλτα πλησιάζει τη μονάδα, υποδεικνύοντας με σχεδόν βεβαιότητα ότι το option θα λήξει ΙΤΜ. Το δέλτα μπορεί να υπολογιστεί με πολλούς τρόπους: Αναλυτικές μέθοδοι. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση B-S, το δέλτα είναι η στιγμιαία αλλαγή (πρώτη παράγωγος) του μοντέλου τιμολόγησης του option για μια αλλαγή στον υποκείμενο τίτλο. Το δέλτα για ένα call option Δ = N(d 1 ) Το δέλτα για ένα put option Δ = N(d 1 ) - 1 Αντιστάθμιση με το δέλτα Αριθμητικές μέθοδοι. Το δέλτα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους όπως διωνυμικά δέντρα και μοντέλα προσομοίωσης λύνοντας ως προς την τιμή του option για την τρέχουσα αξία του υποκείμενου και μετά λύνοντας ως προς την τιμή του option γιαμίαμικρήμείωσηκαι αύξηση της τιμής. Το δέλτα είναι η μέση αλλαγή της τιμής, τυποποιημένη για μια μοναδιαία αλλαγή του υποκείμενου. Παράδειγμα: Ένας επενδυτής έχει πουλήσει ένα call προς 300,000 ΕΥΡΩ σε 100,000 μερίδια μιας πληρωτέας χωρίς μερίσματα μετοχής με τους ακόλουθους όρους: S = 49, X = 50, r = 5% p.a. σ = 0% T = 0 εβδομάδες Ητιμήτουoption βάση της εξίσωσης B-S είναι 40,000. Άρα ο επενδυτής έχει πουλήσει ένα option 60,000 φορές περισσότερο από τη θεωρητική του τιμή αλλά έχει το πρόβλημα της αντιστάθμισης του ρίσκου του. Αντιστάθμιση με το δέλτα Αντιστάθμιση με το δέλτα Πως ο επενδυτής αντισταθμίζει τη θέση του όταν έχει ένα short call option; Λύση 1η: Ακάλυπτη θέση Ο επενδυτής είναι σε μία θέση στην οποία τα 300,000 ΕΥΡΩ θα μπορούσαν να είναι το κέρδος του (αν το option λήξει χωρίς να έχει εξασκηθεί), ήθαμπορούσεναχάσει ένα απεριόριστο ποσό αν η τιμή της μετοχής ανέβει πάρα πολύ και κατά συνέπεια εξασκηθεί το option. Πως ο επενδυτής του αντισταθμίζει τη θέση του όταν έχει ένα short call option; Λύση η: Καλυμμένη θέση (με αγορά των μεριδίων μόλις το option πουληθεί) Με αυτόν τον τρόπο ο επενδυτής έχει εξασφαλίσει την περίπτωσηστηνοποίαητιμήτηςμετοχήςανέβειπάρα πολύ. Παρόλα αυτά, ο επενδυτής θα μπορούσε να χάσει πολύ περισσότερα από το premium αν το option λήξει χωρίς να έχει εξασκηθεί επειδή η τιμή της μετοχής θα πέσει. 15
Αντιστάθμιση με το δέλτα Γάμα Λύση 3η: Αντιστάθμιση με το δέλτα Αυτό περιλαμβάνει τη δυναμική αγορά αυξανόμενων fractional ποσοτήτων των μεριδίων που εκπροσωπούνταιαπότηθέσητουshort call option καθώς η τιμή της μετοχής ανεβαίνει και την πώληση αυτών των κλασματικών ποσοτήτων καθώς η τιμή της μετοχής πέφτει. Η αναμενόμενη ζημία της στιγμιαίας αντιστάθμισης με το δέλτα θα πρέπει να είναι ίση με την τιμή του option βάση της εξίσωσης των Black-Scholes. Στην πράξη, το hedge rebalancing γίνεται σε διακριτά σημεία του χρόνου ζωής του option και μπορεί να προκαλέσει ανακρίβεια στις πραγματικές (ex post) ζημίες της αντιστάθμισης. Το γάμα μετράει την αλλαγή στο δέλτα καθώς η τιμή του υποκείμενου αλλάζει = Δδέλτα/Δ S. Γάμα Αξία S Γάμα Γάμα Τα γάμα για ένα call option Γάμα 0.10 30 ημέρες 0.05 90 ημέρες Αγόρασε ψηλά και πούλα χαμηλά η κατάρα του short gamma! Αξία μιας short θέσης σε ένα Ευρωπαϊκού τύπου call P 3 P 1 P P u V 1 G 1 H 3 H * 3 C H * 1 Γραμμή αντιστάθμισης H * 180 ημέρες S Αξία του/της option/ αντιστάθμισης H 1 H G Γάμα Γάμα Αντίκτυπος του hedge Slippage: Αντίκτυπος του hedge Slippage: H V3 V 3 G 1 P 3 P 1 P P U Γραμμή αντιστάθμισης Στο P το hedge slippage είναι H V -V και στο P 3 το hedge slippage είναι H V3 -V 3. Το αποτέλεσμα είναι ότι μία θέση με short option έχει γάμα με ζημία built-in και μία long θέση έχει γάμα με κέρδος built-in. V 1 H V V Αξία του/της option/ αντιστάθμισης H 1 G 16
Θήτα Θήτα Το θήτα αναφέρεται και ως πάροδος του χρόνου. Έναθήταίσομε 0.01 σημαίνει ότι το premium θα μειωθεί κατά 0.01 σε χρονική περίοδο ίση με μία μέρα, όταν όλοι οι άλλοι παράγοντες παραμείνουν οι ίδιοι. Υψηλό θήτα και υψηλό γάμα πάνε χέρι χέρι. Options με μικρή διάρκεια ζωής έχουν πολύ υψηλά θήτα και γάμα. Options με μεγάλη διάρκεια ζωής έχουν πολύ χαμηλά θήτα και γάμα. Αξία Χρόνος Θήτα για call options Θήτα 0.03 0.0 0.01 30 ημέρες 90 ημέρες 180 ημέρες S Θήτα Βέγκα Διακύμανση του θήτα για ένα Ευρωπαϊκού τύπου call option με αλλαγές στην ημερομηνία λήξης. Το βέγκα μετράει την αλλαγή στην αξία του option καθώς η volatility της τιμής του υποκείμενου αλλάζει. Χρόνος Out of the money Βέγκα = Δ Αξίατουoption / Δσ In the money At the money Θήτα Βέγκα Βέγκα Ένα βέγκα ίσο με 0.1 σημαίνει σημαίνει ότι το premium θα αλλάξει κατά 0.1% δοθέντος μιας αλλαγής στη volatility της τάξης του 1%. Αξία σ Ενώ η επίδραση της παρόδου του χρόνου (θήτα) και η αλλαγή στο δέλτα (γάμα) είναι χαμηλά για options με μεγάλη διάρκεια ζωής, ηευαισθησίατηςvolatility (βέγκα) είναι στο υψηλότερο σημείο της. Vega σ1 0.0 0.01 180 ημέρες 90 ημέρες 30 ημέρες S S 17
Ισότητα put-call Ισότητα put-call Υποθέτουμε ότι η παρούσα τιμή της μετοχής είναι S=100 EU. Αγοράζοντας τη μετοχή στα 100, πουλώντας το call struck στα 100 και αγοράζοντας και πουλώντας το put struck στα 100, αυτό δίνει μία πάγια απόδοση περίπου.91 EU για κάθε μερίδιο ανεξάρτητα του ότι η τιμή του χρεογράφου συναλλάσσεται σε έξι μήνες. Αυτή είναι μία απόδοση χωρίςκίνδυνοσχετικήμετορίσκοτηςτιμήςτης αγοράς. Η προθεσμιακή τιμή του χρεογράφου Α είναι ένα premium αξίας περίπου 3 EU στην τρέχουσα τιμή των 100 EU (τα μερίσματα είναι μηδενικά). Ένας επενδυτής που θα κατείχε το χρεόγραφο Α και θα είχε πουλήσει future στα 103,000 EU θα κέρδιζε το future premium των 3 EU και δε θα είχε ρίσκο στην τιμή της αγοράς του χρεογράφου Α Στη θεωρία των options, η σχέση μεταξύ των τιμών των options και των προθεσμιακών τιμών είναι γνωστή ως ισότητα put-call. Στην περίπτωση μας, κατοχή της μετοχής, πώληση του call struck στα 100 και αγορά του put struck στα 100 δίνει την ίδια απόδοση με τo future: [Αποπληρωμή της S] + [Αποπληρωμή του P] [Αποπληρωμή του C] = = PV of [Αποπληρωμή του future] (1) Ισότητα put-call Ισότητα put-call Αυτό μπορεί να γραφεί σε μία προσεγγιστική μορφή ως: S * -S + Max[S * -X,0] - p - Max[X- S *,0] + c = PV [F - S] () όπου: S= η προθεσμιακή τιμή στην αρχή S * = η τιμή του χρεογράφου κατά τη λήξη των options και των futures X = επιτόκιο εξάσκησης (το ίδιο για τα calls και τα puts) F = προθεσμιακήτιμήτηςs c = τιμή του call option p = τιμή του put option, PV = παρούσα αξία Η εξίσωση () μπορεί να γραφεί ως: c - p = PV of [ F - S ] (3) Κατανόηση της volatility Κατανόηση της volatility Η volatility σχετίζεται με το πιθανό εύρος της αβεβαιότητας στην τιμή του υποκείμενου τίτλου. Έχει οριστεί ως η τυπική απόκλιση της ποσοστιαίας αλλαγής στην τιμή του υποκείμενου τίτλου, εκφρασμένη σε ετήσια βάση. Πιθανότητα Προθεσμιακή τιμή -/+ Volatility -σ +σ Τιμή της μετοχής σε 6 μήνες 18
Κατανόηση της volatility Κατανόηση της volatility Εκτίμηση της volatility: Ιστορική: Μετράει το εύρος των ιστορικών αποδόσεων γύρωαπότομέσο. Προβλεπόμενη: Τεχνικές μοντελοποίησης γενικεύουν την ιστορική volatility σε προβλέψεις της μελλοντικής volatility. Implied: Δηλώνειτιπιστεύειηαγορά. Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας μια τιμή της αγοράς και βάζοντας όλες τις άλλες μεταβλητές σε ένα μοντέλο τιμολόγησης των options. Judgemental: Μία εκτίμηση της πιθανής volatility της τιμήςκατάτηδιάρκειαζωήςτουoption βασισμένη σε υποκειμενική άποψη ή book position. 19
Διωνυμικές προσεγγίσεις στην τιμολόγηση των option Υπάρχουν πολλές εξισώσεις οι οποίες βελτιώνουν την αρχική εξίσωση των Black-Scholes, συμπεριλαμβανομένων αριθμητικών προσεγγίσεων οι οποίες αρχικά κατασκευάζουν ένα διωνυμικό δέντρο των τιμών της μετοχής, το οποίο χρησιμοποιείται για να προσεγγίσει τη λογαριθμοκανονική κατανομή των τιμών και να υπολογίσει τις τιμές των options. Διωνυμικές προσεγγίσεις στην τιμολόγηση των option Διωνυμικό δέντρο των πιθανών τιμών των μετοχών p Suu p Su S 1-p Sud 1-p Sd p 1-p Sdd Διωνυμικές προσεγγίσεις στην τιμολόγηση των option Μία βασική μοντελοποίηση χρησιμοποιεί τις παρακάτω παραμέτρους: p =.5 u = exp [ (r-.5σ ) t + σ t 1/ ] d = exp [ (r-.5σ ) t - σ t 1/ ] Όπου r = συνεχώς ετησίως ανατοκιζόμενο προεξοφλητικό επιτόκιο σ = volatility t = χρόνος του κάθε κλαδωτού μοντέλου (fraction of a year) Διωνυμικές προσεγγίσεις στην τιμολόγηση των option Έστω ότι θέλουμε να προσεγγίσουμε την κατανομή των equity τιμών για τη μετοχή Α σε 6 μήνες, ήαλλιώςγια τρίμηνα. Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες παραμέτρους καθορίζουμε τις τιμές των μετοχών στο δέντρο: S= 100 EU r =.059 (συνεχώς ανατοκιζόμενο) σ=.30 t =.5 (τρεις μήνες) Λύνουμε ως προς u = και d = Διωνυμικές προσεγγίσεις στην τιμολόγηση των option Χρησιμοποιώντας τις τιμές των u και d, το δέντρο των τιμών είναι το εξής: Τιμές των μετοχών σε 6 μήνες 100 Πως τιμολογούμε ένα put option struck στα 100 ΕU χρησιμοποιώντας αυτό το δέντρο; Τιμολόγηση των ευρωπαϊκών equity options με τα διωνυμικά δέντρα Εκτιμήστε την αποπληρωμή στη λήξη ενός εξαμηνιαίου ευρωπαϊκού put option με strike price ίση με 100: Τιμές των Αποπληρωμή μετοχών με strike price=100 σε 6 μήνες 135.93 Puu= Pu= 116.59 P= 100 100.7 Pud= Pd= 86.37 74.60 Pdd= 0
Τιμολόγηση των ευρωπαϊκών equity options με τα διωνυμικά δέντρα Για να καθορίσουμε την αξία του put, είναι απαραίτητο να γυρίσουμε πίσω στην αρχή του δέντρου, στις αποπληρωμές των puts κατά τη λήξη. Η αξίατουput σε κάθε κόμβο είναι ίση με την παρούσα αξία των αναμενόμενων αποπληρωμών των κλαδιών. Για παράδειγμα: Pu = [ (.5 x Puu) + (.5 x Pud) ] / [ (1 + (.06/4) ] Ομοίως Pd = παρούσα αξία της αναμενόμενης αξίας του Pud και του Pdd. Η αξίαp του put σήμερα είναι η παρούσα αξία των αναμενόμενων αξιών Pu και Pd. Η αξία ενός ευρωπαϊκού put option Εκτιμήστε την αποπληρωμή στη λήξη ενός εξαμηνιαίου ευρωπαϊκού put option με strike price ίση με 100: Τιμές των Αποπληρωμή του put μετοχών με strike price=100 σε 6 μήνες 135.93 Puu=0 Pu=0 116.59 P= 6.16 100.7 Pud=0 100 Pd=1.51 86.37 74.6 Pdd=5.40 Τιμολόγηση των ευρωπαϊκού call options με τα διωνυμικά δέντρα Εκτιμήστε την αποπληρωμή ενός εξαμηνιαίου ευρωπαϊκού call struck με strike price ίση με 100: Τιμές των Αποπληρωμή του call μετοχών με strike price=100 σε 6 μήνες 135.93 Cuu= Cu= 116.59 C= 100.7 Cud= 100 Cd= 86.37 74.6 Cdd= Τιμολόγηση των ευρωπαϊκών call options με τα διωνυμικά δέντρα Για να καθορίσουμε την τιμή του call, είναι απαραίτητο να γυρίσουμε πίσω στην αρχή του δέντρου, στις αποπληρωμές των calls κατά τη λήξη. Η αξίατουcall σε κάθε κόμβο είναι ίση με την παρούσα αξία των αναμενόμενων αποπληρωμών των κλαδιών. Για παράδειγμα: Cu = [ (.5 x Cuu) + (.5 x Cud) ] / [ (1 + (.06/4) ] Ομοίως Cd = παρούσα αξία της αναμενόμενης αξίας του Cud και του Cdd. Η αξίαc του call σήμερα είναι η παρούσα αξία των αναμενόμενων αξιών Cu και Cd. Η αξία ενός ευρωπαϊκού call option Τιμές των Αποπληρωμή του μετοχών του call με strike σε 6 μήνες price=100 135.93 Cuu=35.93 Cu=18.04 116.59 C=9.05 100.7 Cud=0.7 100 Cd=0.34 86.37 74.6 Cdd=0 Options σε μετοχές με πληρωτέα μερίσματα Η αρχική εξίσωση των Black-Scholes δε λάμβανε υπόψη της την πιθανότητα ότι οι μετοχές θα πλήρωναν μερίσματα. Αν και έχουν προταθεί πολλοί τρόποι για να αντιμετωπίσουν αυτό το μειονέκτημα, μία προσέγγιση που φαίνεται να ταιριάζει είναι η πτώσητιμήτηςμετοχήςστηνex-dividend ημερομηνία κατά τόσο, όσο και το ποσό του μερίσματος. 1