ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς"

ÊÊΔιομήδης Παπαστεφάνου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της

1 ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 1: Εκτιμώντας τις πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές της αγοράς Μιχάλης Ανθρωπέλος Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 1 / 15

2 Υπολογίζοντας απλές αποδόσεις με πιστωτικό κίνδυνο Ξεκινάμε με την περίπτωση ενός απλού δανεισμού σε έναν δανειολήπτη i, που του έχει δοθεί ένα δάνειο με επιτόκιο r i για ένα χρόνο. Μπορούμε να εξάγουμε την πιθανότητα αθέτησης που βλέπει ο δανειστής για τον δανειολήπτη i; Πρώτα κάνουμε τον εξής απλό διαχωρισμό: r i = r 0 + cp i r i : Το επιτόκιο δανεισμού για τον δανειολήπτη i. r 0 : Το βασικό επιτόκιο δανεισμού (διάρκεια, κλάδος, είδος, νόμισμα κτλ). cp i : Το credit risk premium για τον δανειολήπτη i. Αναμενόμενη απόδοση δανεισμού Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή R i ως την απόδοση που θα λάβει ο δανειστής για κάθε ένα ευρώ δανεισμού στον δανειολήπτη i. 1 + E[R i ] = (1 p i )(1 + r i ) + p i g i, όπου p i είναι η πιθανότητα αθέτησης υποχρεώσεων του δανειολήπτη i και g i το (εκτιμώμενο) ποσοστό ανάκτησης (recovery rate). Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 2 / 15

3 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης Το ύψος του επιτοκίου r i είναι στοιχείο της αγοράς (market data). Σε περίπτωση που ο δανεισμός προέρχεται από ομολογία, τότε το επιτόκιο r i είναι η απόδοση στην λήξη (yield to maturity) του εκδότη i για την αντίστοιχη διάρκεια. Χρησιμοποιώντας αυτά τα επιτόκια, μπορούμε να εκμαιεύσουμε την πιθανότητα αθέτησης που «βλέπει» η αγορά για τον δανειολήπτη i (implied probability of default). Ένας απλός τρόπος για να γίνει αυτός ο υπολογισμός είναι η υιοθέτηση της ουδετερότητας στον κίνδυνο (risk neutrality): Υποθέτουμε ότι ο δανειστής είναι αδιάφορος ανάμεσα σε επενδύσεων με την ίδια αναμενόμενη απόδοση. Εξίσωση αδιαφορίας (indifference equation) 1 + E[R i ] = 1 + r f (1 p i )(1 + r i ) + p i g i = 1 + r f όπου r f είναι το επιτόκιο επένδυσης με μηδενικό κίνδυνο για την ίδια διάρκεια με τον δανεισμό στον δανειολήπτη i. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 3 / 15

4 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης (δύο περίοδοι) Η ίδια ιδέα μπορεί να εφαρμοστεί και σε περισσότερες από μία περιόδους, όπου το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός μέσα από τα στοιχεία της αγοράς των πιθανοτήτων αθέτησης, σε κάθε ένα έτος ξεχωριστά. Θέλουμε δηλαδή να υπολογίσουμε τις περιθώριες (δεσμευμένες) πιθανότητες αθέτησης πληρωμών (marginal probabilities of default) με βάση τα υπάρχοντα επιτόκια δανεισμού: P i (D 1 ), P i (D 2 D c 1), P i (D 3 D c 2) κοκ. Την πρώτη πιθανότητα την έχουμε ήδη υπολογίσει, αφού p i P i (D 1 ). Για την πιθανότητα P i (D 2 D c 1 ), θα εργαστούμε αναλόγως, θα πρέπει ωστόσο να απομονώσουμε πρώτα τις αποδόσεις από το πρώτο στο δεύτερο έτος. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 4 / 15

5 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης (δύο περίοδοι) Έστω r i (1) το επιτόκιο δανεισμού του δανειολήπτη i για δανεισμό ενός έτους και r i (2) το (σε ετήσια βάση) επιτόκιο δανεισμού του δανειολήπτη i για δανεισμό δύο ετών (με ετήσιο ανατοκισμό). H εξίσωση [1 + r i (1)](1 + f i ) = [1 + r i (2)] 2 θα δώσει το επιτόκιο για την περίοδο ανάμεσα στο πρώτο και στο δεύτερο έτος. Το επιτόκιο f i ονομάζεται προθεσμιακό επιτόκιο (forward promised rate) για ένα έτος. Αντίστοιχα υπολογίζουμε το προθεσμιακό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου για ένα έτος, δηλαδή: [1 + r f (1)](1 + f f ) = [1 + r f (2)] 2, όπου τα επιτόκια r f (1), r f (2) και f f αναφέρονται στον δανεισμό μηδενικού κινδύνου. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 5 / 15

6 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης (δύο περίοδοι) Δεδομένου ότι δεν έχει γίνει αθέτηση στο πρώτο έτος, και διατηρώντας το ποσοστό ανάκτησης ίσο με g i και στο δεύτερο έτος, η εξίσωση αδιαφορίας γίνεται: Επομένως έχουμε (1 + f f ) = [1 P i (D 2 D c 1)](1 + f i ) + P i (D 2 D c 1)g i. P i (D 1 ) = Υπενθυμίζουμε ότι r i r f 1 + r i g i και P i (D 2 D c 1) = f i f f 1 + f i g i. P i (D 2 ) = P i (D 1 ) + P i (D 2 D c 1) = P i (D 1 ) + P i (D 2 D c 1)P i (D c 1). Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τις πιθανότητες αθέτησης περισσότερων από δύο περιόδων. Πώς θα άλλαζε ο τύπος για την πιθανότητα P i (D 3 D c 2 ); Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 6 / 15

7 Εκμαιεύοντας την πιθανότητα αθέτησης: σχόλια Υποθέσεις/Παραδοχές 1 Ο μοναδικός κίνδυνος που περιέχεται στο credit premium είναι ο πιστωτικός κίνδυνος. Δεν λογίζονται δηλαδή άλλοι κίνδυνοι που υπάρχουν σε έναν δανεισμό, όπως για παράδειγμα ο κίνδυνος ρευστότητας, πρόωρης αποπληρωμής, αλλαγής φορολογίας κλπ. 2 Τίθενται παραδοχές σχετικά με τον ακριβή χρόνο που θα συμβεί (αν συμβεί) η αθέτηση σε κάθε έτος. 3 Η αγορά είναι ουδέτερη στον κίνδυνο. Επεκτάσεις H κεντρική ιδέα της μεθόδου που περιγράψαμε μπορεί να προσαρμοστεί όταν αντί για δανεισμό αναφερόμαστε στην αγορά ομολογίας. Σε αυτή την περίπτωση συγκρίνουμε (αντί για τα επιτόκια) τη διαφορά που έχουν η απόδοση στην λήξη (yield to maturity) του ομολόγου με την αντίστοιχη απόδοση στην λήξη που έχει η ομολογία μηδενικού κινδύνου ίδιας διάρκειας και ίδιου νομίσματος (δηλαδή το bond spread). Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 7 / 15

Ιστορικές εκτιμήσεις για την πιθανότητα αθέτησης Ιστορικές πιθανότητες με βάση τη βαθμολογία αξιοπιστίας (πηγή: Moody s) Οι παραπάνω πιθανότητες βασίζονται στην παρατήρηση ιστορικών δεδομένων όπου τα

8 Ιστορικές εκτιμήσεις για την πιθανότητα αθέτησης Ιστορικές πιθανότητες με βάση τη βαθμολογία αξιοπιστίας (πηγή: Moody s) Οι παραπάνω πιθανότητες βασίζονται στην παρατήρηση ιστορικών δεδομένων όπου τα ομόλογα διαχωρίζονται σύμφωνα με την πιστοληπτική τους ικανότητα, όπως η τελευταία καθορίζεται από τον οίκο αξιολόγησης. Για παράδειγμα, 11,296% είναι η εκτίμηση της πιθανότητας P B (D 2 ). Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 8 / 15

9 Ιστορικές εκτιμήσεις για την πιθανότητα αθέτησης Για την κατηγορία Β έχουμε P B (D 1 ) = 5, 236% P B (D 2 D c 1 ) = 6, 06% P B (D 3 D c 3 ) = 17, 043% 11, 296% = 5, 774% κοκ. Παρατηρούμε ότι για τις κατηγορίες με καλύτερη βαθμολόγηση (investment grades), οι πιθανότητες σε κάθε έτος αυξάνονται, ενώ στις χαμηλότερες βαθμολογίες φαίνεται να μικραίνουν. Για τις «καλές» κατηγορίες τα όποια προβλήματα θα εμφανιστούν μετά τα πρώτα έτη, ενώ για τις «κακές» τα πρώτα έτη είναι πολύ κρίσιμα και αν αποφευχθεί η αθέτηση, τότε οι πιθανότητες για ευκολότερη χρηματοδότηση αυξάνουν. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 9 / 15

10 Default intensities Οι ιστορικές πιθανότητες που είδαμε είναι μη δεσμευτικές πιθανότητες αθέτησης. Ωστόσο, στην χρονική εξέλιξη των πιθανοτήτων αθέτησης ενδιαφέρουν περισσότερο οι δεσμευμένες πιθανότητες, όπως για παράδειγμα για την κατηγορία κατηγορία Caa-C ενδιαφέρουν οι πιθανότητες: P Caa-C (D 3 D c 2) = P Caa-C(D 3 D c 2 ) 1 P Caa-C (D 2 ) = 39, 717% 30, 494% 1 30, 494% = 13, 27%. Οι δεσμευμένες πιθανότητες αθέτησης ονομάζονται (και) εντάσεις αθέτησης (default intensities or hazard rates). Δηλαδή, η ένταση αθέτησης της κατηγορίας Caa-C στο χρόνο 3 είναι 13,27%. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 10 / 15

11 Σύγκριση ιστορικών και εκτιμώμενων από τα επιτόκια πιθανοτήτων i. Η διαφορά των δεσμευμένων πιθανοτήτων αντανακλά το γεγονός ότι πέρα από τον πιστωτικό κίνδυνο, υπάρχουν και άλλοι κίνδυνοι, όπως πχ ο κίνδυνος ρευστότητας που είναι πιο έντονος στις χαμηλότερες κατηγορίες πιστοληπτικής ικανότητας. ii. Επίσης, ακόμα και αν δεν υπήρχαν άλλοι κίνδυνοι, η υπόθεση της ουδετερότητας κινδύνου συνεπάγεται πιθανότητες αθέτησης πιο υψηλές (γιατί;). iii. Οι επενδυτές δεν είναι ουδέτεροι στον κίνδυνο (είναι risk averse και όχι risk neutral). Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 11 / 15

12 Default intensities Ο τρόπος που υπολογίζουμε τις δεσμευμένες πιθανότητες μπορεί να εφαρμοστεί και όταν η χρονική περίοδος είναι μικρότερη από ένα έτος: t. Η ένταση πιθανότητας αθέτησης στον χρόνο t συμβολίζεται με λ(t) και ορίζεται έτσι ώστε η ποσότητα λ(t) t να είναι ίση με την πιθανότητα αθέτησης στο χρονικό διάστημα (t, t + t], δοθέντος ότι δεν έχει γίνει αθέτηση μέχρι τον χρόνο t, δηλαδή λ(t) t = P(D t+ t D c t ) = P(D t+ t D c t ) P(D c t ). Αν συμβολίσουμε P(t) = P(D c t ), δηλαδή η αθροιστική πιθανότητα μη αθέτησης (cumulative surviving probability) μέχρι την στιγμή t, τότε λ(t) t = P(t) P(t + t). P(t) Όταν πάρουμε το όριο όπου t dt έχουμε λ(t)p(t) = dp(t) dt P(t) = e t 0 λ(s)ds P(D t ) = Q(t) = 1 e t 0 λ(s)ds, ή ισοδύναμα όπου Q(t) είναι ο συμβολισμός για την πιθανότητα αθέτησης μέχρι τον χρόνο t. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 12 / 15

13 Modeling of default intensities Υποθέτοντας σταθερή ένταση λ(t) μέχρι το χρόνο t, έχουμε Q(t) = 1 e λ(t)t. Για παράδειγμα, στην κατηγορία Α, Q(7) = 0, 759%, επομένως λ(7) = 0, 109%. Υποδείγματα για την ένταση αθέτησης Η πιθανότητα αθέτησης μέχρι την χρόνο t, μπορεί να ληφθεί ως η πιθανότητα μια counting stochastic process να κάνει το πρώτο της άλμα: Q(t) = P(τ t), όπου τ είναι ο χρόνος αναμονής μέχρι το πρώτο άλμα (χρόνος αναμονής μέχρι την αθέτηση). Αν ο χρόνος αναμονής είναι εκθετικός με σταθερή παράμετρο λ τότε: Q(t) = 1 e λt δηλαδή, η πιθανότητα το πρώτο βήμα μιας διαδικασίας Poisson να γίνει πριν τον χρόνο t. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 13 / 15

14 Modeling of default intensities Για παράδειγμα, εάν επιλέξουμε σταθερές εντάσεις με τιμές για το λ 0,005 ή 0,01 ή 0,02, στην ουσία υποθέτουμε ότι οι πιθανότητες αθέτησης εξελίσσονται στον χρόνο όπως στο παρακάτω σχήμα. Κατ' αντιστοιχία, για τις ιστορικές πιθανότητας της κατηγορίας Α έχουμε

Μια απλή άσκηση Δίνονται τα παρακάτω επιτόκια δανεισμού (ετήσιος ανατοκισμός): Με βάση την εξίσωση αδιαφορίας, υπολογίστε την πιθανότητα αθέτησης σε ένα,

15 Μια απλή άσκηση Δίνονται τα παρακάτω επιτόκια δανεισμού (ετήσιος ανατοκισμός): Με βάση την εξίσωση αδιαφορίας, υπολογίστε την πιθανότητα αθέτησης σε ένα, σε δύο, σε τρία και σε πέντε έτη του εν λόγω δανειστή. Υιοθετείστε σταθερό ποσοστό ανάκτησης 40%. Μιχάλης Ανθρωπέλος Πιθανότητες Αθέτησης Credit Risk 15 / 15

Σχετικά έγγραφα

Credit Risk Διάλεξη 1

Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Credit Risk Διάλεξη 1 Εκτιμώντας πιθανότητες αθέτησης από τις τιμές αγοράς Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipi.gr http://web.xrh.unipi.gr/faculty/anthropelos