ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών ο οποίος αποτελείται από ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με τις οποίες : Σχεδιάζεται η διαδικασία συλλογής δεδομένων. Παρουσιάζονται τα δεδομένα αυτά συνοπτικά με σαφή και ακριβή τρόπο. Αναλύονται και εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα από τα δεδομένα αυτά. Επιπλέον ασχολείται με τη δειγματοληπτική έρευνα που επιτρέπει από τα δεδομένα μιας μικρής ομάδας με τρόπο επαγωγικό να προσδιοριστούν με κάποια προσέγγιση τα χαρακτηριστικά της ευρύτερης ομάδας η οποία περιέχει το σύνολο των ομοειδών περιπτώσεων. Η Στατιστική διαιρείται σε κλάδους Περιγραφική Στατιστική ασχολείται με τη σύμπτυξη παρουσίαση ποσοτικών πληροφοριών μιας ή περισσοτέρων συγκεκριμένων ομάδων. Επαγωγική Στατιστική ασχολείται με την εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο σύνολο δεδομένων με βάση τα χαρακτηριστικά μιας ομάδας δεδομένων. ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Στη Στατιστική μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε στοιχεία ενός συνόλου ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Πληθυσμός λέγεται το σύνολο των ομοειδών στοιχείων για τα οποία γίνεται μια έρευνα στη Στατιστική. Τα στοιχεία του πληθυσμού ονομάζονται μονάδες ή άτομα του πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό ονομάζονται μεταβλητές και συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα Χ, Φ, Ζ Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή ονομάζονται τιμές τις μεταβλητής. ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε σε ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ ή ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ και ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν μπορούν να μετρηθούν. Οι τιμές των ποιοτικών μεταβλητών είναι χαρακτηρισμοί και όχι αριθμοί. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ είναι οι μεταβλητές των οπίων οι τιμές είναι αριθμοί. Διακρίνονται σε ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ οι οποίες παίρνουν μεμονωμένες τιμές και τις ΣΥΝΕΧΕΙΣ οι οποίες παίρνουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών. ΑΠΟΓΡΑΦΗ Απογραφή καλείται η μέθοδος συλλογής των δεδομένων με τον εξής τρόπο : παίρνουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό αφού εξετάσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. ΔΕΙΓΜΑ καλείται κάθε υποσύνολο του πληθυσμού. Για να θεωρείται αντιπροσωπευτικό ένα δείγμα ενός πληθυσμού, θα πρέπει να έχει επιλεγεί κατά κάποιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλέγει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Μελετάμε τους κάτοικους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες : Α. ηλικία Β. επάγγελμα Γ. ύψος Δ. βάρος Ε. μορφωτικό επίπεδο Σ.Τ. εισόδημα Ποιες από τις παραπάνω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές:. Τα αποτελέσματα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν τα ακόλουθα:, 3, 3,,, 5, 5, 5, 9. Να βρείτε : α) Ποιος είναι ο Πληθυσμός; β) Ποια είναι τα άτομα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει; ε) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής; 3. Τι έχετε να παρατηρήσετε σχετικά με την ποιότητα των παρακάτω επιλεγμένων δειγμάτων; α) Για να βρούμε τις πολιτικές προτιμήσεις, παίρνουμε δείγμα από τους κάτοικους πολλών μεγάλων πόλεων; β) Για να βρούμε πως διασκεδάζουν οι νέοι της χώρας μας, επιλέγουμε μαθητές κάποιων λυκείων. γ) Για να εκτιμήσουμε την οικονομική κατάσταση της χώρας, παίρνουμε το κατά κεφαλήν εισόδημα.. Για να βρούμε το μέγεθος των καπνιστών στην Ελλάδα αποφασίσαμε να πάρουμε ένα δείγμα 500 ατόμων. Ποιος από τους παρακάτω τρόπους είναι ο καλύτερος για να πάρουμε δείγμα; α) Να πάρουμε 500 αθλητές; β) Να πάρουμε 500 άνδρες υπάλληλους μιας επιχείρησης; γ) Να πάρουμε 500 περαστικούς από ένα δρόμο; 5. Από ένα σύνολο 00 μαθητών (60 αγόρια 0 κορίτσια) επιλέγουμε ένα δείγμα 5 μαθητών (9 αγόρια και 6 κορίτσια). Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα στατιστικά δεδομένα, αφού συλλεχτούν, πρέπει να ταξινομηθούν σε πίνακες. Πρέπει δηλαδή τα δεδομένα να τοποθετηθούν σε γραμμές και στήλες έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόηση τους, η σύγκριση τους και η εξαγωγή συμπερασμάτων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Απόλυτη Συχνότητα της τιμής είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων, προφανώς, είναι ισο με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλαδή :.... Επίσης : 0 Σχετική Συχνότητα της τιμής είναι :,,,...,. Ισχύουν ότι :... και 0. Τις σχετικές συχνότητες μπορούμε να τις εκφράσουμε και επί τις εκατό, οπότε συμβολίζεται % και είναι : % %... % 00 και 0 % 00. Το σύνολο των ζευγών, ) λέγεται ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ.. Να βρείτε πόσοι υποστηρίζουν τον ΗΡΑΚΛΗ.. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών % συχνοτήτων. Λύση :. Έστω η ποιοτική μεταβλητή : «Ομάδα» άρα :, :, :, :, : και :. Τότε οι 3 5 αντίστοιχες συχνότητες θα είναι,,..., 6 και θα ισχύει : 3 5 6 7 3 6 50 6 5. 0, άρα % 0,00 50 7 0,3 άρα % 0,300 3 50 3 3 3 0,06 άρα 3% 0,06 00 6 50 0,0 άρα % 0,000 50 5 5 0,0 άρα 5% 0,0 00 50 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6 ( κατανομή συχνοτήτων ενώ το σύνολο των ζευγών, ) ή, %) λέγεται κατανομή ( σχετικών συχνοτήτων. Ένα πίνακας που έχει τις τιμές, παρατηρήσεων, ονομάζεται πινάκας κατανομής συχνοτήτων. (, για ένα δείγμα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 6 5 6 0,0 άρα 6% 0,000 0 50 Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 5 0,0 0 Σύνολο 50,00 00 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ) Έστω ένα δείγμα μεγέθους και έστω οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.,...,, οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, Αθροιστική Συχνότητα εκφράζουμε το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Η Αθροιστική Σχετική Συχνότητα είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. F εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που Για τις αθροιστικές συχνότητες ισχύουν οι σχέσεις :... F... F F F F ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε 00 μαθητές πόσα βιβλία διάβασαν το περασμένο καλοκαίρι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Αριθ. βιβλίων Συχνότητα 0 90 60 6 3 6 8 Σύνολο 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Να κατασκευάσετε πινάκα κατανομής,, %,, F, F % Με τη βοήθεια του παραπάνω πινάκα, να βρείτε. Πόσοι μαθητές διάβασαν το πολύ βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία Λύση :. Για τις σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους και % 00 έχω : 90 0,5 άρα % 0,500 5 00 60 0,30 άρα % 0,3000 30 00 3 6 3 0,3 άρα 3% 0,300 3 00 6 0,08 άρα % 0,0800 8 00 5 8 5 0,0 άρα 5% 0,0 00 00 Για τις αθροιστικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : και έχω : 90 90 60 50 3 3 3 50 6 3 76 3 76 6 9 5 5 5 9 8 5 00 Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : F και F F F F αλλά και F % 00F έχω : F F 0, 5 άρα F % 0,500 5 F F F 0,5 0, 30 F 0, 75 άρα F % 0,7500 75 F3 F 3 F3 0,75 0, 3 F 3 0, 88 άρα F 3% 0,8800 88 F F3 F 0,88 0, 08 F 0, 96 άρα F % 0,9600 96 F5 F 5 F 0,96 0, 0 F, 5 00 άρα F %,00 00 5 00 Αριθμό. βιβλίων 5 Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας : Συχνότητα Σχετ.συχν. Σχετ.συχν. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6 % Αθρ.συχν. Αθρ.σχετ. συχν. F Αθρ.σχετ. συχν. F % 0 90 0,5 5 90 0,5 5 60 0,30 30 50 0,75 75 6 0,3 3 76 0,88 88 3 6 0,08 8 9 0,96 96 8 0,0 00,00 00 Σύνολο 00,00 00
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν το πολύ βιβλία (δηλ. 0 ή ή ) είναι : 3 3 76. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο (δηλ. 0 ή ) είναι : % % F % 75%. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον βιβλία (δηλ. ή 3 ή ) είναι : 3 5 6 6 8 50. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον 3 βιβλία (δηλ. 3 ή ) είναι : % 5 % 8% % %. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ 3 βιβλία (δηλ. ή ή 3) είναι : % % 30% 3% 8% 5% % 3 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πινάκα : % F % 0, 8 3 8 Σύνολο 00 Πανελλήνιες 000 Λύση : Ισχύουν τα εξής : 0, 0, 0, 0 0 % 00 % 000, % 0 F % % F % 0 6 8 6 3 0, 3 0 0 % 00 % 000, 3 % 30 F % % % F% 0 30 F % 0 3 8 3 3 0, 3 3 0 0 3% 00 3 % 3 000, 3% 0 3 3 3 6 8 3 6 F % % % F 0 30 0 F % 80 3% 3 3 % 3 0 6 8 0 0, 0 0 3 % 00 % 000, % 0 3 6 8 0 F % % % 3% % F% 0 30 0 0 F % 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ % F % 0, 0 0 6 0,3 8 30 0 3 8 0, 6 0 80 0, 0 0 00 Σύνολο 0 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : 0 9 3 9 7 6 Συν. % % 3 0 5 0,05 Συν. 0 0 5 6 5 Αθρ. N F % F % 5. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : % -5 0,05-3 0 0 8 0, Συν. N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 8 F % F % 8 0, 0 3 0,75 90 5 Σύνολο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποιοτική. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους είναι ισομήκης (με αυθαίρετη επιλογή μήκους και μεταξύ τους απόστασης) και βρίσκονται στον οριζόντιο ή στον κατακόρυφο άξονα. Το ύψος κάθε ορθογώνιας στήλης είναι ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Όταν θέλουμε να κάνουμε σύγκριση των αντίστοιχων τιμών της ίδιας μεταβλητής Χ για δυο διαφορετικά δείγματα (π.χ. άντρες - γυναίκες), τότε κατασκευάζουμε διπλά ορθογώνια για την ίδια τιμή της μεταβλητής Χ ένα για το κάθε δείγμα. Διάγραμμα Το διάγραμμα χρησιμοποιείται, όταν η μεταβλητή Χ είναι ποσοτική. Η διαφορά με το ραβδόγραμμα είναι ότι στο διάγραμμα αντί για ορθογώνιες στήλες σε κάθε τιμή υψώνουμε μια κάθετη γραμμή με ύψος ισο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης τιμής της μεταβλητής. Στον κατακόρυφο άξονα αντί για τη συχνότητα, μπορούμε να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες, %, τις αθροιστικές συχνότητες N ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F, F % και να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα. Αν στο διάγραμμα ενώσουμε τα σημεία (, ) δηλαδή τα πάνω άκρα κάθε κάθετης γραμμής, τότε προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων. Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κ κυκλικούς τομείς (όσες και οι τιμές ). Τα τόξα κάθε κυκλικού τομέα είναι ανάλογα με τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες της μεταβλητής. Αν με συμβολίζουμε το τόξο του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή, τότε ισχύει ότι : 360 360 για,,...,. Προφανώς... 360 Σημειόγραμμα Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται, για τη γραφική παράσταση ποιοτικών ή ποσοτικών μεταβλητών, όταν όμως οι τιμές της μεταβλητής Χ είναι λίγες. Για να το κατασκευάσουμε τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής σε ένα οριζόντιο άξονα και πάνω από κάθε τιμή βάζουμε κατακόρυφα τόσες τελείες όση είναι και η αντίστοιχη συχνότητα. Χρονόγραμμα Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων, ραβδόγραμμα σχετικών επί τοις εκατό συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα. Λύση : Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση (βλέπε παραπάνω) οπότε έχω τον παρακάτω πινάκα. Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. % ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0,3 3 ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 3 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 5 0,0 0 Σύνολο 50,00 00 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 5 0 5 0 5 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 50 5 0 35 30 5 0 5 0 5 0 ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 360 360 0, 360 58, 50 360 360 7 0,3 360, 50 360 360 3 3 3 0,06 360, 6 50 360 360 0,0 360, 50 360 360 5 5 0,0 360 7, 50 360 360 6 6 5 0,0 360 36 50 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΡΑΚΛΗΣ 0% ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ % ΑΕΚ % ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 6% ΠΑΟΚ % ΠΑΟΚ ΑΡΗΣ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΡΗΣ 3% 7. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα που πήραμε φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο :. συχνοτήτων,. αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό. Λύση : Αριθμό. παιδιών Συχνότητα 0 8 6 3 Σύνολο 0. Χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : % F % 0 8 0, 0 0 6 0, 0 60 0,3 30 90 3 0, 0 00 Σύνολο 0 00 Το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων φαίνονται στο σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το διάγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό φαίνονται στο σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Σ ένα τμήμα 5 μαθητών της γ λυκείου δόθηκε ένα τεστ μαθηματικών από όπου προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα :, 7, 9, 6, 5, 9, 3, 5, 6, 5, 9, 7, 0, 0, 6, 9, 3, 9, 5, 9, 9, 5, 7, 6, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον 5 Β. Μεγαλύτερο από 3 Γ. Τι ποσοστό % μαθητών είναι κάτω από τη βάση (0) Δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 6 Ε. Μεταξύ 5 και 9 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 9. Τα αποτελέσματα των εκλογών, σε ένα εκλογικό τμήμα, δίνονται από το επόμενο (ελλιπή) πινάκα : Κόμμα Συχνότητα Σχετική συχνότητα Α 0,5 Β 50 0,30 Γ 0,35 Δ Σύνολο. Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 00 ) 0. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 00 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες : Α κατηγορία : Απόφοιτοι Γυμνάσιου Β κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου Γ κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης Δ κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το 5% των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζομένους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας.. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας.. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 000 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Όταν μια ποσοτική μεταβλητή Χ είναι συνεχής ή αν είναι διακριτή αλλά το πλήθος των παρατηρήσεων της είναι πολύ μεγάλο, τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Πιο συγκεκριμένα ταξινομούμε (ομαδοποιούμε) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων οι οποίες ονομάζονται κλάσεις, ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων λέγονται όρια των κλάσεων. Οι κλάσεις είναι διαδοχικά διαστήματα της μορφής [, ). Μπορεί να συμβεί η τελευταία κλάση να είναι της μορφής [, ] ώστε να περιέχει την τελευταία παρατήρηση. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες και μπορούν να «αντιπροσωπευτούν» από την κεντρική τιμή κάθε κλάσης. Για την κεντρική τιμή της κλάσης [α,β) ισχύει : Καλούμε πλάτος κλάσης τον αριθμό c Η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του ύ ό δείγματος λέγεται εύρος και ισχύει : R ή ή ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ Πρώτα πρέπει να γίνει η εκλογή του πλήθους των κλάσεων. Συνήθως αυτό δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης. Αν όχι (σπάνια) χρησιμοποιούμε ως οδηγό τον παρακάτω πινάκα : Μέγεθος δείγματος ν <0 0-50 50-00 00-00 00-00 Αριθμός κλάσεων κ 5 6 7 8 9 R ΒΗΜΑ Προσδιορίζουμε το πλάτος κάθε κλάσης με τον τύπο : c. (αν χρειαστεί στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω) ΒΗΜΑ 3 Κατασκευάζουμε τις κλάσεις ως εξής : ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση και προσθέτουμε κάθε φορά το πλάτος c, μέχρι να δημιουργηθούν οι κ κλάσεις. ΒΗΜΑ Τέλος κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων της κλάσης λέγεται συχνότητα της κλάσης αυτής και αντιπροσωπεύει τη συχνότητα της κεντρικής τιμής της κλάσης αυτής. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Το ύψος των μαθητών (σε cm) της Γ Λυκείου ενός σχολείου δίνονται παρακάτω : 70 80 78 65 70 68 75 75 73 6 60 70 67 77 80 70 8 78 65 78 56 75 7 73 67 87 70 80 78 9 76 69 67 66 79 78 80 6 70 73 Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεων και να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Λύση :. Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R 956 35. Έχουμε ν=0 παρατηρήσεις, δηλ. το μέγεθος του δείγματος είναι ν=0, άρα από τον κατάλληλο πινάκα θα χρειαστούμε κ=6 κλάσεις. Το πλάτος κάθε κλάσης είναι R 35 c 5,83 6, άρα χρησιμοποιώντας τους τύπους, F, 6 F F και F % 00F, συμπληρώνουμε τον πινάκα ως εξής : Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Διαλογή Συχν. Σχετ. Συχν. Σχετ. Συχν. % Αθρ. Συχν. N Αθρ. Συχν. F [56-6) 59 ΙΙ 0,05 5 5 [6-68) 65 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙ 8 0,0 0 0 5 [68-7) 7 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙ 0,30 30 55 [7-80) 77 ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙ Ι 0,75 7,5 33 8,5 [80-86) 83 ΙΙΙΙΙ 5 0,5,5 38 95 [86-9) 89 ΙΙ 0,05 5 0 00 Σύνολο 0,00 00 % ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Για να κατασκευάσουμε ιστόγραμμα συχνοτήτων τοποθετούμε τις κλάσεις στον οριζόντιο άξονα και δημιουργούμε ορθογώνια (ενωμένα μεταξύ τους), των οποίων οι βάσεις έχουν πλάτος ισο με το πλάτος c κάθε κλάσης και ύψος ισο με. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο συχνοτήτων, κατασκευάζουμε δυο ακόμα κλάσεις μια στην αρχή και μια στο τέλος των κλάσεων με συχνότητα μηδέν. Μετά ενώνουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (δηλ τα σημεία (, ) όπου τα κέντρα των κλάσεων) και έτσι σχηματίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων. Προσοχή :. Το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων, ισούται με το μέγεθος ν του δείγματος. Δηλ..... Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων, δηλαδή με το μέγεθος ν του δείγματος. ώ 3. Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ή %, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις τιμές ή % ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Ανάλογα με το ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζουμε και το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, αρκεί στον κατακόρυφο άξονα να βάλουμε τις αθροιστικές συχνότητες N. Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ενώνουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων (όχι τα μέσα). Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων με τη διαφορά ότι στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τις τιμές F %. ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ας υποθέσουμε ότι σε ένα δείγμα ομαδοποιημένων παρατηρήσεων η η κλάση είναι [,0) και έχει συχνότητα 0 και σχετική % συχνότητα 3. Τότε c 0 6, 0 και % 3. Όταν λέμε ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε κλάση, σημαίνει ότι οι αποστάσεις των διαδοχικών τιμών τους είναι ίσες. Δηλαδή η υποθετική κλάση [,7) που έχει το μισό πλάτος c 7 3, θα έχει και τις μισές παρατηρήσεις δηλ. 0 και % 6. Καταλαβαίνουμε δηλαδή ότι τα ποσά πλάτος κλάσης και συχνότητα ή σχετική συχνότητα % είναι ανάλογα, έτσι ισχύουν : c c % και όπου c το πλάτος της αρχικής και c το πλάτος της c c % υποθετικής κλάσης, και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της αρχικής κλάσης και και % η συχνότητα και η σχετική συχνότητα % της υποθετικής κλάσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Για τα δεδομένα της άσκησης :. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών % συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων. να βρείτε το πλήθος των μαθητών που έχουν ύψος κάτω από 7cm. να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχει ύψος μεγαλύτερο ή ισο με 8cm. αν στην πρώτη γραμμή της παρέλασης συμμετέχει το 0% των πιο ψηλών μαθητών, τι ύψος πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να βρίσκεται στην πρώτη σειρά; Λύση :... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.. Οι μαθητές με ύψος μικρότερο του 7cm θα είναι αυτοί που ανήκουν στην η κλάση συν αυτούς που ανήκουν στη η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην 3 η κλάση δηλ. 3. Όπου 3 είναι η συχνότητα της υποθετικής κλάσης [68-7) 7 68 έτσι έχω: 3 3 6 3 8 3 7 68 3 6 8. Άρα 88 8 μαθητές. 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Το ποσοστό των μαθητών με ύψος μεγαλύτερο ή ισο του 8cm θα είναι το ποσοστό αυτών που ανήκουν στην 6 η κλάση συν κάποιους από αυτούς που ανήκουν στην 5 η κλάση δηλ. 6 % 5 %. Όπου 5 % είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης 86 8 5% 5% [8-86) έτσι έχω: 6 5% 50 5% 8,33 86 80 5% 6,5 Άρα 6 % 5 % 58,33 3,33%. Το 5% των ψηλότερων μαθητών ανήκει στην κλάση [86-9) άρα θέλω ακόμα 5% από την κλάση [80-86). Δηλ. το 0% των ψηλότερων μαθητών είναι 6 % 5 %, όπου % 5 είναι η σχετική % συχνότητα της υποθετικής κλάσης [,86) με να είναι το 5 86 5% 86 5 ζητούμενο ύψος. Έτσι έχω :,5(86 ) 30 86 80 5% 6,5 35,5 30,5 95 83, 6cm. Άρα ο μαθητής πρέπει να έχει ύψος 83, 6cm και πάνω για να βρίσκεται στην πρώτη γραμμή της παρέλασης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ. Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. Σχετ. Συχν. Αθρ. Συχν. F % [-5) 0 [5-9) 50 [9-3) 85 [3-7) 95 [7-) Σύνολο. Να γράψετε στο τετράδιο σας συμπληρωμένο τον παραπάνω πινάκα.. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. Να βρείτε το ποσοστό % των παρατηρήσεων που έχουν τιμές από έως 3 (Πανελλήνιες 00). Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. Χρόνια Υπηρεσίας Σχετική Συχνότητα [ - ) % 0 5 0 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 8 5 30 8 30 35. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συμπληρώσει 35 χρόνια; α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα,5 χρόνια; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. β)πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα 5 χρόνια, ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που θα υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Πανελλήνιες 000) 5. Το βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας αεροπορικής εταιρίας είναι τουλάχιστον κιλά αλλά μικρότερη από 6 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από κιλά, το 30% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος μικρότερο από 7 κιλά, 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 0 κιλά και 5% των επιβατών έχει αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 3 κιλά.. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πινάκα συχνοτήτων (, N, %, F % ). Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 0 κιλών, διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρεθούν οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος. (Πανελλήνιες 00) 6. Δίνεται ο εβδομαδιαίος μισθός σε 50 υπάλληλων μιας εταιρίας. 80 0 70 90 95 00 95 95 30 30 00 300 00 300 00 50 50 80 85 85 70 70 300 330 70 75 00 50 50 330 360 360 360 80 0 5 30 370 380 380 00 50 380 380 50 500 50 50 370 370. Να γίνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευαστεί ο αντίστοιχος πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.. Να γίνουν : a. Ιστόγραμμα συχνοτήτων. b. Ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων F %. c. Τα αντίστοιχα πολύγωνα.. Ποιο ποσοστό των υπάλληλων έχει εβδομαδιαίο μισθό πάνω από 350 ; 7. Στον παρακάτω πίνακα Δίνεται η ημερήσια δαπάνη 00 μαθητών σε ευρώ: δαπάνη σε ευρώ Μαθητές [5,0) 0 [0,5) 30 [5,0) 5 [0,5) 0 [5,30) 0 [30,35) 5 Σύνολο 00. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με τις στήλες των,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr N, %, F %.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ποιο ποσοστό μαθητών ξοδεύει τουλάχιστον 0 ευρώ την ημέρα;. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Με τι ισούται το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στο πολύγωνο συχνοτήτων και στον οριζόντιο άξονα; 8. Οι μέρες καλοκαιρινών διακοπών μιας ομάδας ατόμων δίνεται στο παρακάτω πίνακα. Ημέρες Άτομα [7,) [,5) 0 [5,9) 8 [9,3) 3 [3,7 6. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N, %, F %.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Να βρείτε : a. Το πλήθος των ατόμων που έκαναν διακοπές κάτω από Ημέρες. b. Το ποσοστό των ατόμων που έκαναν διακοπές τουλάχιστον 6 Ημέρες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Με τον όρο μέτρα θέσης εννοούμε τα μέτρα τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα κυριότερα μέτρα θέσης με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος, ο σταθμικός μέσος και η διάμεσος. Το σύμβολο που θα συναντήσουμε παρακάτω, συμβολίζει το άθροισμα πολλών προσθετέων. Για παράδειγμα έως 0». 0 t t t... t0 και διαβάζουμε «άθροισμα των t από ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η μέση τιμή (μέσος Όρος) είναι ίσως το πιο χρήσιμο μέτρο θέσης και εκφράζει το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους δηλ. της μορφής t, t,..., t, τότε για την εύρεση μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο : _ t t... t Όταν οι παρατηρήσεις,,... έχουν συχνότητα,,... αντίστοιχα, τότε θα χρησιμοποιούμε τον τύπο : _... Καλό θα είναι, αν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, να συμπληρώσουμε στον πίνακα συχνοτήτων τη στήλη. Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα της παρατήρησης, τότε αξιοποιούμε τον τύπο : Ο τύπος αυτός προκύπτει επειδή : t Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, ως παρατήρηση παραπάνω τύπους θα παίρνουμε την κεντρική τιμή της -κλάσης. στους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ λυκείου στα 6 μαθήματα που έδωσε εξετάσεις είναι : 5, 6,, 6, 8,.. Να βρείτε τη μέση βαθμολογία του μαθητή.. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ) ώστε ο μέσος όρος του να γίνει 5,5; Λύση : 6 t _ t t... t6 5 6 6 8 90. 5 6 6 6. Έστω t 7 ο βαθμός που πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ), τότε για την καινούρια μέση τιμή ισχύει : 90 t 7 7 5,5 90 t 7 _ t 5,5 08,5 t 7 8,5 t... t 7 6 t 7 5,5 6 t 7 t 7 5,5. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών 0 7 7 3 5 7 Σύνολο 50 Να βρείτε τη μέση τιμή των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια. Λύση : Η μέση τιμή του πλήθους των παιδιών δίνεται από τον τύπο : 5 _... 50 Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων θα προσθέσω μια στήλη με τα γινόμενα Άρα : Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών 0 7 0 7 7 8 3 5 5 7 8 Σύνολο ν=50 88 5 _ 88, 76 παιδιά. 50 50 : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των υπολογιστών (laptop ή pc) που υπάρχουν στο σπίτι. Οι αθροιστικές συχνότητες % που πρόεκυψαν φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να βρείτε τη μέση τιμή των υπολογιστών που υπάρχουν σε κάθε σπίτι. Αριθμός υπολογιστών F % 0 5 30 80 3 90 00 Σύνολο Λύση : Από τα δεδομένα του πινάκα καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να βρούμε τις σχετικές συχνότητες, και μετά για να βρούμε τη μέση τιμή να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο : _ 5. Από τις σχέσεις : F % 00F, F και F F συμπληρώνουμε τον πινάκα : Αριθμός υπολογιστών F % F 0 0,05 0,05 5 0 0,5 0,30 30 0,5 0,50 0,80 80 3 0,5 0,95 95 0,5 0,05,00 00 0,0 Σύνολο,9 _ 5 Άρα, 9 υπολογιστές.. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 0 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Κλάσεις Συχν. [, ) [0-) 8 [-) [-6) 0 [6-8) 6 [8-0) Να βρείτε τη μέση τιμή. Λύση : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων που δίνεται θα συμπληρώσουμε δυο επιπλέον στήλες, μια με τις κεντρικές τιμές και μια στήλη με τα γινόμενα. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Άρα : 5 Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. [0-) 8 8 [-) 3 36 [-6) 5 0 50 [6-8) 7 6 [8-0) 9 36 Σύνολο ν=0 7 _ 7, 3 μουσεία. 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Το σταθμικό μέσο τον χρησιμοποιούμε σε περιπτώσεις στις τιμές,,... ενός συνόλου παρατηρήσεων δίνεται διαφορετική βαρύτητα. Πιο συγκεκριμένα αν σε κάθε τιμή της μεταβλητής,,... δίνεται διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται από τους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητα) w, w,... w, τότε ο σταθμικός μέσος δίνεται από τον _ τύπο : w w... w w w... w w w ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Η επίδοση ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα είναι, 0, 6, 8,. Να βρείτε τη μέση επίδοση. Αν τα μαθήματα είχαν συντελεστές στάθμισης, 3,,, και 3 αντίστοιχα ποια θα ήταν η μέση επίδοση; Λύση : _ 0 6 8 70. 5 5 _ 0 3 6 8 3 30. 3 3 3 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.ptetragono.gr 6