ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Το πρώτο άκρο Α, ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής, ενώ το δεύτερο Β ονομάζεται πέρας του διανύσματος Μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα που η αρχή και το πέρας του συμπίπτουν Συμβολίζεται με 0 Μέτρο ή μήκος του διανύσματος AB ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, και συμβολίζεται με AB Μοναδιαίο διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα έχει μέτρο Να δώσετε τους ορισμούς: φορέας διανύσματος, παράλληλα διανύσματα, ομόρροπα- αντίρροπα διανύσματα, ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων Φορέας διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα ονομάζονται δύο ή περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα AB και, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς Για δύο παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε AB // AB και λέμε ότι μόρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και όταν: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB ΓΔ AB και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε Αντίρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα Γ Α Α Δ Β διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε AB ΓΔ Β Γ Δ AB και όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια

3 Α Β Δ Δ Γ Γ Α Β 3 Να δώσετε τους ορισμούς: ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων Ίσα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι ίσα, γράφουμε AB Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι αντίθετα, γράφουμε Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β Β θ Α a Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες Α και Β, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (, ) ή (, ) Για την γωνία θ = (, ) ισχύει 0 0 0 θ80 Ειδικότερα: 0, αν, αν, αν τα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α β Αν ένα από τα διανύσματα, είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των και θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία με 0 μπορούμε να

4 4 Αν α, β είναι δύο διανύσματα, τότε να αποδείξετε ότι: α + β = β + α και ( α + β )+ γ = α +( β + γ ) Από το διπλανό σχήμα έχουμε: α βoa AM OM βαob BM OM Επομένως, a Μ a a Α Β a Από το διπλανό σχήμα έχουμε: ( α β) γ( OA AB) B OB B O και α( βγ) OA ( AB B ) OA A O Επομένως, ( ) a ( ) a Α a a Β Γ 5 Τι ονομάζεται διαφορά του ενός διανύσματος β από ένα διάνυσμα α Διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και Δηλαδή α βα( β) 6 Να δώσετε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός πραγματικού αριθμού λ (λ0) επί ένα μη μηδενικό διάνυσμα α Ποιες ιδιότητες ισχύουν Έστω ένας πραγματικός αριθμός με και ένα μη μηδενικό διάνυσμα νομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν είναι αντίρροπο του, αν και έχει μέτρο Αν είναι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα 0

5 7 Αν α, β είναι δύο διανύσματα με β 0, να αποδείξετε ότι αν α // β τότε α = λ β ΑΠΔΕΙΞΗ Αφού τα διανύσματα και είναι παράλληλα και Πράγματι, αν θέσουμε, τότε Συνεπώς: Αν, τότε Αν, τότε Αν 0, τότε 0 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει τέτοιος, ώστε 8 Δίνεται ένα διάνυσμα ΑΒ και Μ το μέσο του, να αποδείξετε ότι για ένα σημείο αναφοράς ισχύει: Α Β Μ ΑΠΔΕΙΞΗ Α Έστω το διάνυσμα Για τη διανυσματική ακτίνα έχουμε: AB και ένα σημείο αναφοράς OM του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ OM OA AM OM OB BM και Μ Β Επομένως, OM OA AM OB BM OM OA OB Άρα

6 9 Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται το σημείο Α(, ), αν Α = α Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουμε το διάνυσμα και αντιστοίχως, έχουμε: OA Αν A και A είναι οι προβολές του Α στους άξονες a Α A j a i A OA OA OA () Αν, είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA ι και OA j Επομένως η ισότητα () γράφεται i j Επομένως το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j Μοναδικότητα Η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μοναδική Πράγματι, έστω ότι ισχύει και i j Τότε θα έχουμε: i j i j ( ) i ( ) j Αν υποθέσουμε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει i j Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά Επομένως, που συνεπάγεται ότι και Δηλαδή το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο

7 0 Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται τα σημεία Α(,) και Β(,) Αν είναι Α = α και Β = β, να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων α + β και λ α είναι (+,+) και (λ, λ) αντίστοιχα ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα, ) και, ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i ( ) j ( i j) ( )i ( ) j Επομένως (, ) και (, ) Δηλαδή, ) (, ) (, ) ( λ, ) (, ) ( Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται τα σημεία Α(,) και Β(,) και Μ το μέσο του ΑΒ Αν είναι Α = α και Β = β, να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του διανύσματος ΑΒ είναι: = και = ΑΠΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και Μ (,) είναι οι συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ Είναι OM (, ), OA (, ), OB (, ) Τότε έχουμε ισοδύναμα OM (OA OB) (, ) [(, ) (, )] (, ) [(, ) (, )] B(, ) Μ(,) A(, ) (, ) =, Επομένως ισχύει και

8 Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, ) ενός διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(,) και Β(,) δίνονται από τις σχέσεις: = και = ΑΠΔΕΙΞΗ B(, ) Έστω δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος A(, ) AB Είναι: AB (, ), OB (, ), και OA (, ), Τότε έχουμε ισοδύναμα: AB OB OA (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Άρα = και = 3 Έστω ένα διάνυσμα α = (,), να αποδείξετε ότι το μέτρο του είναι: α ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω OA (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη, και ισχύει ( ) και ( ) Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) Α a A A(,) Άρα 4 Nα αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α(,) και Β(,) είναι (ΑΒ) = ) ( ) ( ΑΠΔΕΙΞΗ B(, ) Θεωρούμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση ( ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB (, ), έχουμε: ) ( ) ( ) AB ( A(, )

9 5 Έστω ένα διάνυσμα α = (, ) Tι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α, με τι ισούται και τι ισχύει για τον συντελεστή διεύθυνσης στις περιπτώσεις που είναι α) = 0 και β) = 0 Έστω OA (, ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και φ, η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Για τη γωνία φ, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα, ισχύει: Συντελεστήςς διεύθυνσης του διανύσματος ονομάζεται το πηλίκο εφ φ της τεταγμένης προς την τετμημένη του (, ), με 0, Τον συντελεστή διεύθυνσης τον συμβολίζουμε με λ και ισχύει: λ εφφ ΣΧΛΙΑ Αν 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο 0 Αν 0, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος 6 Να αποδείξετε την ισοδυναμία α // β λ = λ όπου λ, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντίστοιχα Έστω δύο διανύσματα (, ) και (, ) με συντελεστές διεύθυνσης και έχουμε τις ισοδυναμίες: // 0 αντιστοίχως Τότε 7 Αν α, β είναι δύο διανύσματα τότε να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου των δύο αυτών διανυσμάτων Ποιές συνέπειες προκύπτουν από τον ορισμό νομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και Αν 0 ή 0, τότε ως εσωτερικό γινόμενο ορίζουμε 0

0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΑΠ ΤΝ ΡΙΣΜ ΤΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΥ ΓΙΝΜΕΝΥ α β βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν α β α β 0 Αν α β α β α β Αν α β α β α β α α ( Όπου α το εσωτερικό γινόμενο α α που ονομάζεται: τετράγωνο του α ) 8 Για κάθε διάνυσμα να αποδείξετε ότι α = α ΑΠΔΕΙΞΗ Έχουμε: συν0 9 Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους Δηλαδή ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω τα διανύσματα (, ) και (, ) Με αρχή το παίρνουμε τα διανύσματα OA και OB Β(, ) θ a Α(, ) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒ έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν () η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία, Α, Β είναι συνευθειακά Όμως είναι ) ( ) ( ), ( ( ) και

) ( Επομένως, από την () σχέση έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) 0 Να αποδείξετε ότι: i) λ = ( ) =λ( ) ii) ( ) = + iii) ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα, ),, ) και, ), τότε έχουμε: ( ( ( 3 3 i) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) και ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα, ( ) ( ) ( ) ii) ( ) (, )( 3, 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3) iii) 0 0 Αν, είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων, τότε να αποδείξετε ότι συνθ= ΑΠΔΕΙΞΗ Αν (, ) και (, ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε συν

Είναι όμως, Επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται: συν και Αν, v είναι δύο διανύσματα, τότε i) Τι ονομάζεται προβολή του διανύσματος v στο διάνυσμα ; ii) Να αποδείξετε την ισότητα v προβ v α ΡΙΣΜΣ Έστω, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0 Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OM Από το Μ φέρνουμε ΜΜ κάθετο στη διεύθυνση του OA M v θ M a A Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προ Δηλαδή, OM ΑΠΔΕΙΞΗ προ v (OM M M) OM M M OM προ 3 Πότε μια εξίσωση με δύο αγνώστους, ονομάζεται εξίσωση γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν

3 4 Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ), με είναι λ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(,) και B(,) μιας ευθείας (ε) που δεν είναι κάθετη στον άξονα ε Α(, ) B(, ) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας (ε) είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος AB ( -, - ), δηλαδή λ = AB = - - Άρα λ = - - 5 Να γραφτούν οι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών Αν ε,ε, και παράλληλα προς τις και αντιστοίχως, έχουμε τις ισοδυναμίες // // και είναι

4 6 Σε σύστημα συντεταγμένων δίνεται ευθεία (ε) με συντελεστή διεύθυνσης λ και ένα σημείο της Α(o, o) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι - o = λ( - o) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A( 0, 0) ένα σημείο του επιπέδου ε M(,) Α( 0, 0 ) Έστω ένα δεύτερο σημείο M(, ) διαφορετικό του A( 0, 0) της ευθείας ε Είναι AM, ) και ( 0 0 Ισχύουν οι ισοδυναμίες: λ AM AM // ε, 0 0 AM = 0 0 ( ) 0 0 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο A( 0, 0) Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: o = λ( o) 7 Να αποδείξετε ότι ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ) έχει εξίσωση ( ) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(,) και B(,) της ευθείας (ε) ε Α(, ) B(, )

5 Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 0 ( ) γίνεται: ( ) 0 και επομένως η εξίσωση 8 Nα αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 παριστάνει ευθεία γραμμή ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο ( 0, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ( ) 0 Σ(0,β) ε Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P( 0, 0 ), τότε θα έχει εξίσωση 0, η οποία γράφεται ισοδύναμα 0 ( 0) 0 ε P( 0, 0 ) Επομένως και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή A B 0 με A 0 B 0 ή Αντίστροφα, έστω η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0 A Αν B 0, τότε η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης B B A και η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο 0, B B

6 Αν B 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A 0 και η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση A ευθείας κάθετης στον άξονα στο σημείο του P,0 A Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0 παριστάνει ευθεία ΣΧΛΙΑ α Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A( 0, β) β λ( 0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι β Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι 0 ( 0) γ Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O έχουν εξισώσεις και αντιστοίχως δ Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A 0, ) και είναι παράλληλη στον άξονα, έχει εξίσωση 0 0( 0 ) 0 ( 0 9 Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση A B 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( B, A) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία με εξίσωση A B 0 και διάνυσμα ( B, A) A Αν B 0, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης και το διάνυσμα B συντελεστές τους είναι ίσοι τότε η ευθεία είναι παράλληλη με το διάνυσμα A B Επειδή οι Αν B 0, τότε η ε και το διάνυσμα είναι παράλληλα προς τον άξονα επομένως και μεταξύ τους παράλληλα 30 Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B) ΑΠΔΕΙΞΗ Είναι δ n ( B, A) ( A, B) AB AB 0 Επομένως το διάνυσμα δ ( B, A) είναι κάθετο στο διάνυσμα n ( A, B) Επειδή το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία A B 0, η ευθεία αυτή θα είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B)

7 3 Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B Γ 0 και M 0(0,0 ) ένα σημείο εκτός αυτής Να γράψετε τον τύπου που προσδιορίζει την απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε ε Μ 0 ( 0, 0 ) Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B 0 και M 0( 0, 0) ένα σημείο εκτός αυτής Η απόσταση του σημείου Μο από την ευθεία ε δίνεται από τον τύπο: d( M A0 B0, ε) A B 0 3 Έστω Α(, ), B(, ) και Γ(3, 3) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Να γράψετε τον τύπο που προσδιορίζει το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση των συντεταγμένων των κορυφών του Έστω A (, ), B(, ) και ( 3, 3 ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ προσδιορίζεται από την σχέση: ( AB ) det( AB, A ) Γ( 3, 3 ) B(, ) A(, )

8 33 Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση + =ρ Ποιος κύκλος ονομάζεται μοναδιαίος; ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0) και ακτίνα ρ Το σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: ( OM ) () Όμως, ( OM) Επομένως, η () γράφεται ρ (0,0) M(,) C () Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση () Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση + = ρ ΡΙΣΜΣ κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα έχει εξίσωση και ονομάζεται μοναδιαίος κύκλος 34 Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου + = ρ σε ένα σημείο του Α(,), να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου σε αυτό το σημείο έχει εξίσωση + = ρ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : ρ A(, ) Έστω ένα δεύτερο σημείο M(, ) σε ένα σημείο του Είναι OA (, ) και AM (, ) ε Ισχύουν οι ισοδυναμίες M(, ) ε OA AM 0 Α(, ) M(,) αφού ( ) ( ) 0, Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου ρ A, ) έχει εξίσωση ( στο σημείο του

9 35 Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ(o, o) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( o) + ( o) = ρ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο K( 0, 0) και ακτίνα ρ Ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ισχύει : ( KM ) () Όμως, ( KM ) ( ) ( 0 0) Επομένως, η σχέση () γράφεται: Κ( 0, 0 ) ρ M(,) 0 0) ( ) ( 0 ) ( 0) ( 36 Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο K( 0, 0) και ακτίνα ρ, ο κύκλος αυτός έχει εξίσωση 0 ) ( 0) ( Κάνοντας πράξη στην παραπάνω εξίσωση του κύκλου έχουμε : o + o + o + o = ρ 0 ( 0 0 0 ) 0 δηλαδή παίρνει τη μορφή A B 0 όπου A 0, B 0 και 0 0

0 37 Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής: + + A + B + Γ = 0 με Α + Β - 4Γ > 0 παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του ΑΠΔΕΙΞΗ Κάθε εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 () γράφεται διαδοχικά: + + A + B + Γ = 0 ( A) ( B) A A 4 B B A 4 4 B 4 A B A B 4 4 Επομένως: A B Αν A B 4 0, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα A B 4 A B Αν A B 4 0, η εξίσωση () παριστάνει ένα μόνο σημείο, το K, Αν A B 4 0, η εξίσωση () είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M (, ) συντεταγμένες να την επαληθεύουν των οποίων οι 38 Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής και να γράψετε την εξίσωσή της Ποια είναι η παράμετρος της παραβολής και τι παριστάνει Ποιες είναι οι ιδιότητες της παραβολής Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της Α(, ) Α Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ Β Η εξίσωση της παραβολής C είναι: Αν η παραβολή έχει εστία E p, 0 p και διευθετούσα : έχει εξίσωση = p Αν η παραβολή έχει εστία p E 0, και διευθετούσα : p έχει εξίσωση = p Γ αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η p παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη

διευθετούσα Δ Ιδιότητες της παραβολής Η γραφική παράσταση της παραβολής βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε Σε μια παραβολή = p ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής A διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία A E και η ημιευθεία A t, που είναι ομόρροπη της Ε, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής (ανακλαστική ιδιότητα ) Α (, ) t ε O p E,0 η C E H εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της Α(, ) είναι: p( ) αν η παραβολή έχει εξίσωση = p p( ) αν η παραβολή έχει εξίσωση p 39 Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης και να γράψετε την εξίσωσή της Ποιες είναι οι ιδιότητες της έλλειψης Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(,) Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Α Έλλειψη με εστίες τα σημεία E και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του E E Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε με α, δηλαδή Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν ( ME) ( ME) Β Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E ( γ,0), E(, 0) είναι α β, όπου β α γ Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E (0, ), E(0, ) είναι

β α, όπου β α γ Γ Έστω μια έλλειψη : C, όπου, τότε αυτή έχει τις εξής ιδότητες: α β Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M (, ), M 3(, ) M (, ) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της 4 και Η έλλειψη C τέμνει τον άξονα στα σημεία A( α,0) και A (α,0), ενώ τον άξονα στα σημεία B( 0, β) και B ( 0, β) Τα σημεία A, A, B, B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα AA και B B, τα οποία έχουν μήκη ( AA) α και ( B B) β, λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες, και, Δ Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(,) είναι β α αν έχει εξίσωση αν έχει εξίσωση 40 Τι ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης Να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα ε β της έλλειψης ισχύει η σχέση: ε α Εκκεντρότητα ε της έλλειψης β α γ ονομάζουμε, το λόγο ε α ΑΠΔΕΙΞΗ Επειδή γ α β έχουμε: και άρα β α ε

3 4 Να δώσετε τον ορισμό της υπερβολής και να γράψετε την εξίσωσή της Ποιες είναι οι ιδιότητες της υπερβολής Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(,) και οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Α υπερβολή με εστίες τα σημεία E και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ( E E ) Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε με α, ενώ την απόσταση των εστιών με γ Η απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν ( ME ) ( ME) α Β Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ( γ,0), E (γ,0), είναι, όπου β γ α Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E (0, ), E(0, ) είναι α β, όπου Γ Έστω μια υπερβολή με εξίσωση, όπου β α β γ α β γ α, τότε αυτή έχει τις εξής ιδιότητες: Η υπερβολή έχει τους άξονες και άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E, E της υπερβολής και η μεσοκάθετη του E E είναι άξονες συμμετρίας της υπερβολής, ενώ το μέσο του E E είναι κέντρο συμμετρίας της Το σημείο λέγεται κέντρο της υπερβολής Η υπερβολή τέμνει τον άξονα στα σημεία της υπερβολής και δεν τέμνει τον άξονα A (, 0 ), και A(, 0 ) Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές Τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους α και α, πράγμα που Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία υπερβολής E ME, όπου Δ Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(,) είναι αν έχει εξίσωση β α αν έχει εξίσωση α β E, E οι εστίες της

4 4 Να γραφτούν οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες:, και Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες: β α και 43 Τι ονομάζεται ορθογώνιο βάσης μιας υπερβολής; ρθογώνιο βάσης της υπερβολής ονομάζεται το ορθογώνιο ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία K ( α, β), ( α, β), M ( α, β) και N( α, β) Ν Κ Α Α Μ Λ 44 Τι ονομάζεται εκκεντρότητα υπερβολής; Να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα ε μιας υπερβολής ισχύει η σχέση Εκκεντρότητα ε της υπερβολής, ονομάζεται ο λόγος β α ΑΠΔΕΙΞΗ Επειδή γ α β, για την εκκεντρότητα ε έχουμε: β β ε άρα ε α α

5 45 Πότε μια υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής; Να αποδείξετε ότι στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητά της είναι ε = Έστω η υπερβολή C με εξίσωση, Ισοσκελής ονομάζεται η υπερβολή για την οποία ισχύει α = β και αυτή έχει εξίσωση a ΑΠΔΕΙΞΗ Στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητα είναι ίση με =