ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ από την Αγραπίδη Μαρία (Α.Μ ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΟΜΑΔΑ ΕΠΙΒΛΕΨΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ: ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ από την Αγραπίδη Μαρία (Α.Μ. 4282016001) ΘΕΜΑ: «Η Ορθογωνιότητα στα Μαθηματικά του Δημοτικού: Εξαντικειμενικευμένες Ποσοτικοποιήσεις μιας Βιούμενης Ποιότητας» ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΑΛΑΒΑΣΗΣ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Επιβλέπων ΚΑΦΟΥΣΗ ΣΟΥΛΤΑΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Μέλος ΣΚΟΥΜΠΟΥΡΔΗ ΧΡΥΣΑΝΘΗ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Μέλος ΚΡΗΤΙΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΟΥΤΣΙΟΣ- ΡΕΝΤΖΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΟΜΑΔΑ ΕΠΙΒΛΕΨΗΣ ΜΕΤΑΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΗΣ ΜΕΤΑΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Ρόδος, 2018

Η έγκριση της παρούσης Διπλωματικής Εργασίας στο πλαίσιο του Π.Μ.Σ. «Διδακτική Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίες της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στην Εκπαίδευση: Διεπιστημονική Προσέγγιση» του Τμήματος Επιστημών της Προσχολικής Αγωγής και του Εκπαιδευτικού Σχεδιασμού του Πανεπιστημίου Αιγαίου δεν υποδηλώνει αποδοχή των απόψεων της συγγραφέως. 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ...10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ (IΣΤΟΡΙΚΗ ΠΛΑΙΣΙΩΣΗ)...12 1.1 Οι απαρχές της γεωμετρικής σκέψης... 12 1.1.1 Οι Αρπεδονάπτες της Αιγύπτου... 13 1.1.2 Η πινακίδα YBC 7289... 16 1.1.3 Η πινακίδα 85196... 17 1.1.4 Η πλάκα Plimpton 322... 18 1.2 Οι πρώτες προσπάθειες συστηματοποίησης της γεωμετρικής σκέψης.. 20 1.2.1 Γεωμετρία και αριθμοί... 21 1.2.2 Πυθαγόρειες Τριάδες... 23 1.2.3 Πυθαγόρειο Θεώρημα... 23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΥΣΗΣ...26 2.1 Ο όρος objectification (εξαντικειμενίκευση)... 26 2.2 Αναπαραστάσεις και σημειωτικά μέσα εξαντικειμενίκευσης... 28 2.3 Ιστορία και εξαντικειμενίκευση των μαθηματικών αντικειμένων... 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΝΣΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ...36 3.1 Γνωσιακή Επιστήμη και Ενσώματα Μαθηματικά... 36 3.2 Ιδιότητες των Ενσώματων Μαθηματικών... 39 3.3 Το ζήτημα της φύσης των μαθηματικών και η ενσώματη προσέγγιση.. 43 3.3.1 Τα Εικονοσχήματα... 45 3.3.2 Οι Εννοιολογικές Μεταφορές... 49 3.3.3 Η Εννοιολογική Μίξη... 51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ...53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ...54 5.1 Γενικές μεθοδολογικές αποφάσεις... 54 5.2 Η διδασκαλία της ορθογωνιότητας στο Δημοτικό... 60 5.3 Ειδικές Μεθοδολογικές Αποφάσεις... 64 5.3.1 Διαδικασία υλοποίησης της έρευνας... 64 5.3.2 Ο υπό μελέτη πληθυσμός... 64 3

5.3.3 Μέσα συλλογής δεδομένων... 64 5.3.4 Μέθοδος ανάλυσης δεδομένων... 65 5.3.5 Άξονες διερεύνησης ετοιμότητας μαθητών (προετοιμασία)... 65 5.3.6 Πλαισίωση της διδακτικής παρέμβασης... 66 5.3.7 Σχέδιο διδακτικής παρέμβασης... 67 5.3.8 Περιγραφή δραστηριοτήτων διδακτικής παρέμβασης... 70 5.3.9 Άξονες διερεύνησης τελικής αξιολόγησης... 87 5.4 Περιορισμοί... 91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο : ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ...92 6.1 Διερεύνηση ετοιμότητας μαθητών (προετοιμασία)... 92 6.2 Διδακτική παρέμβαση... 94 6.3 Τελική αξιολόγηση... 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο : ΣΥΖΗΤΗΣΗ...108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...116 Ερωτηματολόγιο 1... 131 Φύλλο Εργασίας 1... 134 Φύλλο Εργασίας 2... 135 Φύλλο Εργασίας 3... 136 Φύλλο Εργασίας 4... 137 Ερωτηματολόγιο 2... 138 Ερώτηση 1... 138 Ερώτηση 2... 139 Ερώτηση 3... 140 Παραδείγματα ατομικών απαντήσεων (Ερώτηση 2 Ερωτηματολόγιο 2)... 146 Παραδείγματα ατομικών απαντήσεων (Ερώτηση 1 Ερωτηματολόγιο 2)... 147 Παραδείγματα ατομικών απαντήσεων (Ερώτηση 3 Ερωτηματολόγιο 2)... 148 4

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1... 14 Εικόνα 2... 15 Εικόνα 3:... 15 Εικόνα 4:... 15 Εικόνα 5:... 16 Εικόνα 6... 16 Εικόνα 7... 17 Εικόνα 8:... 17 Εικόνα 9... 18 Εικόνα 10... 19 Εικόνα 11:... 20 Εικόνα 12:... 21 Εικόνα 13:... 22 Εικόνα 14:... 22 Εικόνα 15:... 24 Εικόνα 16:... 25 Εικόνα 17:... 47 Εικόνα 18... 48 Εικόνα 19... 48 Εικόνα 20... 49 Εικόνα 21:... 67 Εικόνα 22... 71 Εικόνα 23... 73 Εικόνα 24... 75 Εικόνα 25... 76 Εικόνα 26... 79 Εικόνα 27... 81 Εικόνα 28... 83 Εικόνα 29... 84 Εικόνα 30:... 87 Εικόνα 31:... 89 Εικόνα 32:... 90 Εικόνα 33:... 95 Εικόνα 34:... 95 Εικόνα 35:... 97 5

Εικόνα 36:... 98 Εικόνα 37:... 98 Εικόνα 38:... 99 Εικόνα 39:... 101 Εικόνα 40:... 102 Εικόνα 41:... 103 Εικόνα 42:... 103 Εικόνα 43:... 105 Εικόνα 44:... 105 6

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας I... 50 Πίνακας II... 66 Πίνακας III... 67 Πίνακας IV... 68 Πίνακας V... 69 Πίνακας VI... 70 Πίνακας VII... 72 Πίνακας VIII... 72 Πίνακας IX... 74 Πίνακας X... 76 Πίνακας XI... 78 Πίνακας XII... 80 Πίνακας XIII... 82 Πίνακας XIV... 84 Πίνακας XV... 85 Πίνακας XVI... 85 Πίνακας XVII... 86 Πίνακας XVIII... 93 Πίνακας XIX... 107 7

Στον σύζυγό μου για την αμέριστη συμπαράσταση και υπομονή του. 8

Ευχαριστίες Θέλω να ευχαριστήσω θερμά: τον επιβλέποντα καθηγητή της εργασίας μου κ. Φραγκίσκο Καλαβάση για την πολύτιμη καθοδήγησή του τον δόκτορα κ. Ανδρέα Μούτσιο-Ρέντζο για την πολύ στενή παρακολούθηση και καθοδήγησή του σε όλα τα στάδια της εργασίας τον δόκτορα κ. Γεώργιο Κρητικό για τη βοήθειά του κατά τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας Επιπλέον, θεωρώ υποχρέωσή μου να ευχαριστήσω τον Αναπλ. Καθηγητή ΕΚΠΑ Παναγιώτη Σπύρου για την εργασία του στη Φαινομενολογία του Χούσερλ. 9

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση της αποτελεσματικότητας μιας διδασκαλίας της ορθογωνιότητας που απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού και βασίζεται στη φαινομενολογική ιδέα της εξαντικειμενίκευσης. Για τον σκοπό αυτό προτείνουμε και σχεδιάζουμε μια διδασκαλία που έχει ως στόχο να βοηθήσει τους μαθητές Δημοτικού να ποσοτικοποιήσουν το βίωμα της ορθογωνιότητας μέσα από δράσεις μέτρησης που τους οδηγούν στην αριθμητική σχέση της Βασικής Πυθαγόρειας Τριάδας. Για τον σχεδιασμό της διδακτικής παρέμβασης υιοθετούμε το παράδειγμα που εισάγουν οι Moutsios-Rentzos, Spyrou & Peteinara (2014) για ένα διδακτικό πλαίσιο αναγκαιότητας και αποβλεπτικότητας προς μια διδασκαλία εξαντικειμενίκευσης μιας γεωμετρικής ιδέας και που αναλύει ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) σε ένα σύστημα πέντε διδακτικών αρχών. Στην έρευνα συμμετείχαν μαθητές της Ε τάξης ενός Δημοτικού Σχολείου. Η συλλογή των ερευνητικών δεδομένων έγινε μέσω της ηχογράφησης και βιντεοσκόπησης της διδασκαλίας, καθώς και μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών σε ερωτηματολόγια και Φύλλα Εργασίας. Τα αποτελέσματα της ποιοτικής και ποσοτικής ανάλυσης έδειξαν πως οι μαθητές κατάφεραν να χρησιμοποιήσουν αποτελεσματικά την αριθμητική σχέση (Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα) που είχαν ανακαλύψει τόσο για να κάνουν διατυπώσεις όσο και για να καταλήξουν σε συμπεράσματα αναφορικά με την ορθογωνιότητα. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης υποστηρίζουν το δικό μας συμπέρασμα πως η διδασκαλία βοήθησε τους μαθητές να ποσοτικοποιήσουν το βίωμα της ορθογωνιότητας και συνεπώς να έρθουν πιο κοντά στην αντικειμενική μαθηματική ιδέα του ορθογωνίου τριγώνου. 10

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρατηρώντας το ανθρωπογενές περιβάλλον μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε πως η ορθογωνιότητα βρίσκεται στο επίκεντρο του ανθρώπινου πολιτισμού. Κάνοντας μια αναδρομή από τις απαρχές της γεωμετρικής σκέψης μέχρι και την ανακάλυψη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, διαπιστώνουμε πως η ορθογωνιότητα βρίσκεται παράλληλα στον πυρήνα των μαθηματικών αφού το Πυθαγόρειο Θεώρημα ήταν το πρώτο θεώρημα που αποκάλυψε την ύπαρξη αριθμών (άρρητοι) που αλλιώς θα έμεναν αόρατοι. Ξεκινώντας από το ιστορικό παράδειγμα των Αρπεδοναπτών της αρχαίας Αιγύπτου, οι οποίοι έκαναν μια εμπειρική προσέγγιση της έννοιας της ορθογωνιότητας μέσα από μετρήσεις με τη χρήση της αρπεδόνης (σχοινί χωρισμένο σε ίσα διαστήματα με κόμπους) και προχωρώντας στο ιστορικό παράδειγμα των Πυθαγόρειων, οι οποίοι από τους σχηματικούς αριθμούς οδηγήθηκαν στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση Πυθαγόρειων Τριάδων και τελικά στην αποδεδειγμένη σχέση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, μπορούμε να παρατηρήσουμε τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται ο γεωμετρικός κόσμος με τον κόσμο των αριθμών στο ορθογώνιο τρίγωνο. Αντλώντας από την υπερβατολογική φαινομενολογία του Husserl (1989) και τη θεωρία των ενσώματων μαθηματικών (Johnson Μ., 1987, Lakoff G. & Johnson M., 1999, Lakoff & Núñez, 2000) μας απασχολεί το εξής βασικό ερώτημα: Πώς μπορούν οι μαθητές δημοτικού να βιώσουν την «μεταμόρφωση» της υποκειμενικής εμπειρίας της καθετότητας στην αντικειμενική μαθηματική ιδέα του ορθογωνίου τριγώνου; Για τον σκοπό αυτό προτείνουμε και σχεδιάζουμε μια διδασκαλία που έχει ως στόχο να βοηθήσει τους μαθητές Δημοτικού να ποσοτικοποιήσουν το βίωμα της ορθογωνιότητας μέσα από δράσεις μέτρησης που τους οδηγούν στην αριθμητική σχέση που εκφράζει η Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα. 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤΗΤΑΣ (IΣΤΟΡΙΚΗ ΠΛΑΙΣΙΩΣΗ) 1.1 Οι απαρχές της γεωμετρικής σκέψης Η γεωμετρία ήταν ένας από τους πρώτους κλάδους που αναπτύχθηκαν στα μαθηματικά λόγω της άμεσης πρακτικής της εφαρμογής. Η ανάπτυξή της αποδίδεται ιστορικά στους λαούς της Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας κατά την 3 η με 2 η χιλιετία π.χ. και είχε κατά κύριο λόγο εμπειρικό και όχι αποδεικτικό χαρακτήρα. Η ανάγκη να αντιμετωπιστούν πρακτικά ζητήματα της καθημερινότητας που αφορούσαν π.χ. το κτίσιμο σπιτιών, την κατασκευή αρδευτικών έργων, την καταμέτρηση της γης οδήγησε τους λαούς αυτούς στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης. Την απαρχή της γεωμετρίας διεκδικούν κι άλλοι λαοί, όμως οι πολιτισμοί της Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας έχουν να παρουσιάσουν πιο αυθεντικά ιστορικά ευρήματα. Τα λιγοστά κείμενα μαθηματικού περιεχομένου που έχουν διασωθεί από τον αιγυπτιακό πολιτισμό συνήθως είναι γραμμένα στην ιερατική γραφή πάνω σε παπύρους και τα περισσότερα χρονολογούνται από την περίοδο 1850-1650 π.χ. Οι πηγές που διαθέτουμε αντίστοιχα για τα βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχονται κυρίως από ένα πλήθος πήλινων πινακίδων σφηνοειδούς γραφής που έχουν ανακτηθεί και χρονολογούνται από το 1800-1600 π.χ.. Η πρώτη επίσημη μαρτυρία για την προέλευση της γεωμετρίας καταγράφεται από τον Ηρόδοτο στο βιβλίο Ευτέρπη των Ιστοριών του, στην οποία περιγράφεται πώς ο βασιλιάς Ραμσής ο δεύτερος (γνωστός στους Έλληνες ως Σέσωστρις) κάνει αναδασμό και μοιράζει τη γη στους γεωργούς ( Ρωσσικόπουλος, 2006). Σύμφωνα με το κείμενο του Ηρόδοτου, όπως το παραθέτει ο Ρωσσικόπουλος (2006): Λένε ότι αυτός ο Βασιλιάς μοίρασε τη χώρα σε όλους τους Αιγυπτίους δίνοντας στον καθένα έναν ίσο τετράγωνο κλήρο για τον οποίο θα πληρώνει ετήσιο φόρο και με αυτό τον τρόπο δημιούργησε εισοδήματα. Και όποιος έχανε από πλημμύρα μέρος της γης του, πήγαινε στον Βασιλιά και έλεγε τι είχε συμβεί. Τότε ο Βασιλιάς έστελνε ανθρώπους που εξέταζαν και μετρούσαν το τμήμα κατά το οποίο μειώθηκε η γη, ώστε να 12

πληρώνει αναλογικά μικρότερο φόρο από εκείνον που αρχικά του είχε επιβληθεί. Έτσι νομίζω βρέθηκε η γεωμετρία και ήλθε στην Ελλάδα. (σελ. 13) Tον ορισμό αυτό για την πρώτη γεωμετρία, ο οποίος δέχτηκε και αντιδράσεις στον αρχαίο κόσμο για την ορθότητα του, επαναλαμβάνουν αργότερα σε δικά τους κείμενα ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, ο Πρόκλος, ο Στράβων καθώς και άλλοι συγγραφείς. Ενδεικτικά αναφέρουμε το κείμενο του Πρόκλου (5 ος αι. μ.χ.) όπως το παραθέτει ο Ρωσσικόπουλος (2006): Επειδή, για να εξετάσουμε την παρούσα περίοδο πρέπει να ξεκινήσουμε από τις απαρχές των τεχνών και των επιστημών, θα αρχίσουμε λέγοντας ότι πολλοί αναφέρουν πως η γεωμετρία επινοήθηκε πρώτα από τους Αιγυπτίους και ότι γεννήθηκε από τις μετρήσεις της γης. Τους ήταν δε αυτές (οι μετρήσεις) απαραίτητες εξαιτίας της ανόδου του Νείλου, που εξαφάνιζε τα όρια του καθενός. (σελ. 14) Τόσο στην αναφορά του Ηροδότου όσο και στα κείμενα του Ήρωνος, του Στράβωνα και του Πρόκλου ο όρος «γεωμετρία» χρησιμοποιείται για να εκφράσει τη στοιχειώδη και εμπειρική γεωμετρία, που εξασκούσε το αιγυπτιακό ιερατείο προκειμένου να ικανοποιήσει πρακτικές ανάγκες που έχουν σχέση με έργα μηχανικής, αρχιτεκτονικής και κυρίως μέτρησης γης, όπως άλλωστε μαρτυρά και το όνομά της (γεωμετρία: μέτρηση της γης) (Ρωσσικόπουλος, 2006). 1.1.1 Οι Αρπεδονάπτες της Αιγύπτου Ο λαός των Αιγυπτίων, παρόλο που είχε αναπτύξει την κτηνοτροφία, στηριζόταν οικονομικά στη γεωργία. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι προκειμένου να εξασφαλίσουν την ευφορία των χωραφιών τους είχαν δημιουργήσει αρδευτικά κανάλια εκμεταλλευόμενοι το νερό του Νείλου. Ωστόσο, οι πλημμύρες του Νείλου ήταν συχνές με αποτέλεσμα να χάνονται τα όρια των ιδιοκτησιών τους. Επιπλέον, η γη των Αιγυπτίων ανήκε στον Φαραώ και γι αυτό ήταν υποχρεωμένοι να πληρώνουν ειδικό μέρος της συγκομιδής τους σε φόρους. Συχνές ήταν οι διαφωνίες μεταξύ των ιδιοκτητών γης καθώς και οι υποθέσεις αμφισβήτησης ορίων των εκτάσεών τους. Οι καταγραφές στα αρχεία ιδιοκτησιών του ληξιαρχείου χρησιμοποιούνταν ως επίσημα στοιχεία στις υποθέσεις αυτές και η ποινή για παραποίηση ορίων ήταν κόψιμο αυτιών και υποδούλωση (Ρωσσικόπουλος, 2006). Επομένως οι μετρήσεις γης για την καταχώρηση στο βασιλικό αρχείο ή το ληξιαρχείο ήταν έργο μεγάλης 13

σημασίας. Η ανάγκη επίσημης καταγραφής καθώς και επαναπροδιορισμού των ορίων γης οδήγησε στη δημιουργία πρακτικών μεθόδων μέτρησης των γαιών, υπολογισμού των εμβαδών των ιδιοκτησιών και συστηματοποιημένου τρόπου καταγραφής των μετρήσεων αυτών. Ειδικοί υπάλληλοι που είχαν πρακτικές γνώσεις αναλάμβαναν να κάνουν τις απαραίτητες μετρήσεις. Οι μετρητές αυτοί ονομάζονταν Αρπεδονάπτες και χρησιμοποιούσαν κατάλληλα όργανα, τα οποία ήταν πολύ απλά στη μορφή τους, για να κάνουν τις μετρήσεις τους: ένα σχοινί χωρισμένο σε ίσα διαστήματα με κόμπους (Αρπεδόνη) ή μια ράβδο ορισμένου μήκους. Οι μετρήσεις γίνονταν με τη βοήθεια μονάδων από μέρη του ανθρώπινου σώματος όπως ο βραχίονας, το πόδι, το βήμα κλπ. (Ρωσσικόπουλος, 2006, σελ. 14-15). Η κυριότερη μονάδα μέτρησης ήταν ο βασιλικός πήχυς (7 παλάμες ή 28 δάκτυλοι). Ο όρος «Αρπεδονάπτης» χρησιμοποιείται για πρώτη φορά από τον Δημόκριτο, ο οποίος είχε πραγματοποιήσει πολλά ταξίδια στην Αίγυπτο, την Περσία και τη Βαβυλώνα. Εικόνα 1: Παράσταση στους τοίχους του τάφου κάποιου Methen στη Saqqara της Αιγύπτου. Στην εικόνα δύο άτομα μετρούν το σπαρμένο χωράφι, ώστε να υπολογισθεί η σοδειά. Τρεις γραφείς ελέγχουν το τεντωμένο σχοινί ενώ ένας ηλικιωμένος που περπατά με τη βοήθεια ενός παιδιού πιστοποιεί τα όρια. (Ρωσσικόπουλος, 2006, σελ. 19) 14

Εικόνα 2: Από τον τάφο του Djeserkaseneb της εποχής του Tuthmosis IV (1401-1391). Ο ιδιοκτήτης του τάφου φαίνεται στο κέντρο φέρνοντας έγγραφα στο ένα χέρι και την προσωπική του ράβδο στο άλλο. Τέσσερις εργάτες αποτυπώνουν τη γη και μετρούν τη συγκομιδή. (Ρωσσικόπουλος,2006, σελ. 20) Με βάση όσα προαναφέρθηκαν οι Αρπεδονάπτες χρησιμοποιούσαν ένα σύνολο εμπειρικών κανόνων για τη μέτρηση γης. Η κατασκευή της ορθής γωνίας προκύπτει επίσης εμπειρικά μέσα από το ιστορικό παράδειγμα των Αρπεδοναπτών. Οι Αρπεδονάπτες κρατούσαν τα δύο άκρα του σχοινιού ενωμένα και τέντωναν, το σχοινί στους κόμπους που βρίσκονται στις θέσεις Α, Β, Γ, όπως φαίνεται στην εικόνα. Εικόνα 3: Αρπεδόνη Με αυτό τον τρόπο σχηματιζόταν το τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου οι πλευρές είχαν μήκος 3, 4, 5. Εικόνα 4: Ορθογώνιο τρίγωνο κατασκευασμένο με χρήση Αρπεδόνης Μία αρκετά διαδεδομένη άποψη θέλει και το Πυθαγόρειο Θεώρημα να είναι γνωστό στην αρχαία Αίγυπτο. Ωστόσο δε συναντάται κάποια διατύπωση του εν 15

λόγω Θεωρήματος στα σωσμένα αιγυπτιακά κείμενα. Αυτό που μπορούμε όμως να υποστηρίξουμε με βάση τα παραπάνω είναι πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν το ορθογώνιο τρίγωνο και ήταν σε θέση να κατασκευάζουν σχεδόν πάντοτε και με μεγάλη ακρίβεια ορθές γωνίες, όπως φαίνεται και από τις γωνίες που είναι κατασκευασμένες στις βάσεις αιγυπτιακών ναών και πυραμίδων. Εικόνα 5: Χρήση της «αρπεδόνης» από τους «αρπεδονάπτες» (http://eisatopon.blogspot.com/2015/09/blog-post_5.html) 1.1.2 Η πινακίδα YBC 7289 Στη Βαβυλωνιακή Συλλογή Sterling Memorial Library του Πανεπιστημίου του Yale υπάρχει η πινακίδα YBC 7289 που χρονολογείται περίπου το 1800 με 1600 π.χ. Το όνομά της οφείλεται στον αύξοντα αριθμό της συλλογής 7289 και απεικονίζει ένα τετράγωνο υπό κλίση με τις δύο διαγωνίους του. Κατά μήκος της μιας πλευράς και κάτω από την οριζόντια διαγώνιο έχει χαραγμένα σύμβολα (σφηνοειδής γραφή). Πρόκειται για αριθμούς στο εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι. Εικόνα 6: (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s0315086009000081, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:ybc_7289_sketch.svg ) Κατά μήκος της πάνω αριστερής πλευράς είναι χαραγμένος ένας αριθμός που έχει αναγνωριστεί ως ο αριθμός 30 του δεκαδικού συστήματος. Κάτω ακριβώς από την οριζόντια διαγώνιο είναι χαραγμένος ο αριθμός 1;24,51,10 που στο δεκαδικό σύστημα αντιστοιχεί στον αριθμό 1,414213. Ο αριθμός αυτός δεν είναι άλλος από την τιμή 2 με ακρίβεια έξι δεκαδικών ψηφίων. Αν πολλαπλασιαστεί ο αριθμός 16

αυτός με το 30, τότε προκύπτει ο αριθμός 42,426389 ή εξηνταδικός 42;25,35, που είναι χαραγμένος στη δεύτερη γραμμή κάτω από τη διαγώνιο. Εικόνα 7: (https://opinionator.blogs.nytimes.com/2011/03/08/the-ashtray-hippasus-of-metapontumpart-3/) Συνεπώς οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τη σχέση μεταξύ του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου και της πλευράς του, δηλαδή γνώριζαν ότι για να βρεθεί η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α αρκεί να πολλαπλασιάσουμε α με 2. α 2 + α 2 = 2α 2 = (α 2) 2 1.1.3 Η πινακίδα 85196 Οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει ιδιαίτερη σχέση με την τριγωνομετρία. Ένα πολύ σημαντικό τους επίτευγμα ήταν ο υπολογισμός των πλευρών ορθογωνίων τριγώνων. Η ενασχόληση των Βαβυλωνίων με τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνια τρίγωνα διατηρήθηκε για περισσότερο από 1500 χρόνια όπως διαπιστώνουμε από πολλά κείμενα που χρονολογούνται από την εποχή των Σελευκιδών. Εικόνα 8: Χρήση της τριγωνομετρίας για τον υπολογισμό ύψους (http://www.wikiwand.com/el/%ce%93%ce%b5%cf%89%ce%bc%ce%b5%cf%84%cf%81% CE%AF%CE%B1 ) 17

Στην πινακίδα 85196 του Βρετανικού Μουσείου που χρονολογείται από την περίοδο της Πρώτης Βαβυλωνιακής δυναστείας συναντάμε ένα από τα αρχαιότερα παραδείγματα υπολογισμού πλευρών ορθογωνίων τριγώνων. Το κείμενο της πινακίδας περιέχει το εξής πρόβλημα: «Ένα δοκάρι με μήκος 0;30 [ακουμπά κατακόρυφα σε έναν τοίχο]. Το επάνω άκρο γλιστράει προς τα κάτω κατά 0;06. Πόσο απομακρύνεται το κάτω άκρο;» Εικόνα 9: ( http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/dsgl-c114/425/2854,10862/ ) Επομένως στο πρόβλημα δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα d = 0,30 και μια κάθετη πλευρά h = 0,30 0,06 = 0,24. Ζητείται η άλλη κάθετη πλευρά b. Στο κείμενο της πινακίδας η κάθετη πλευρά b υπολογίζεται να είναι ίση με 0,18 με τη χρήση του τύπου b = d 2 h 2. 1.1.4 Η πλάκα Plimpton 322 Ένα ακόμη παράδειγμα που αποδεικνύει την ιδιαίτερη σχέση των Βαβυλωνίων με την τριγωνομετρία έρχεται με την ανακάλυψη της πλάκας Plimpton 322, η οποία έχει διασωθεί μόνο μερικώς (το αριστερό τμήμα της πινακίδας έχει αποκοπεί μάλλον μετά την ανασκαφή) και χρονολογείται από την εποχή της Πρώτης Βαβυλωνιακής Δυναστείας (1900-1600 π.χ.). Το όνομά της οφείλεται στον George Plimpton, οποίος την αγόρασε γύρω στο 1923 από έναν έμπορο στη Florida. Σήμερα η πινακίδα ανήκει στη συλλογή George A. Plimpton του Πανεπιστημίου της Columbia της Νέας Υόρκης. Πρόκειται για έναν πίνακα που αποτελείται από δεκαπέντε σειρές και τέσσερις στήλες και περιέχει αριθμούς. 18

Εικόνα 10: (https://apodyoptes.com/2018/05/20/plimpton-322-i-pinakida-pou-ksanagrafei-istoria/) Ο Ο. Neugebauer (1957) έχει υποστηρίξει πως η πλάκα περιέχει κατάλογο Πυθαγόρειων Τριάδων. Με άλλα λόγια πρόκειται για έναν κατάλογο θετικών ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση α 2 + β 2 = γ 2 του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και ως εκ τούτου εκφράζουν τα μήκη πλευρών ορθογωνίων τριγώνων. Ο τρόπος με τον οποίο διαχειρίστηκαν οι Βαβυλώνιοι τους αριθμούς που είναι χαραγμένοι στην πλάκα Plimpton 322 αφήνει ανοιχτό το ενδεχόμενο να είχαν ανακαλύψει έναν αλγόριθμο που οδηγεί στην εύρεση Πυθαγόρειων Τριάδων, κάτι που οδηγεί στην άποψη πως ίσως να γνώριζαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ωστόσο θα πρέπει να αναφέρουμε και την άποψη που έχει εκφραστεί από τον Θ. Εξαρχάκο (1997) που θέλει το περιεχόμενο του πίνακα να μην αποδεικνύει Πυθαγόρειες Τριάδες αλλά να περιέχει αντίστροφους αριθμούς για τη λύση συστημάτων της μορφής: χ ψ = 1 χ ψ = 1 } και χ + ψ = β χ ψ = β } 19

1.2 Οι πρώτες προσπάθειες συστηματοποίησης της γεωμετρικής σκέψης Σε αντιδιαστολή με τους Βαβυλώνιους και τους Αιγυπτίους που έλυναν γεωμετρικά προβλήματα με ένα πρακτικό χαρακτήρα, και ως εκ τούτου προσέγγισαν την έννοια της ορθογωνιότητας με έναν εμπειρικό τρόπο, οι αρχαίοι Έλληνες εισάγουν μια νέα περίοδο στη γεωμετρική σκέψη καθώς την προάγουν σταδιακά σε συστηματοποιημένη γνώση. Η γεωμετρία λαμβάνει για πρώτη φορά αυτή τη διάσταση με τον Θαλή τον Μιλήσιο (640 ή 624 π.χ. - 546 π.χ.), αφού είναι ο πρώτος που χρησιμοποιεί την έννοια της απόδειξης ως μέσο επαλήθευσης μιας γεωμετρικής πρότασης. Λέγεται μάλιστα πως ο Θαλής κέρδισε τον θαυμασμό των Αιγυπτίων όταν κατάφερε να μετρήσει το ύψος των πυραμίδων βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου που έμπηγε στο έδαφος. Εικόνα 11: Θαλής ο Μιλήσιος (https://www.timetoast.com/timelines/113ceeb1-7c49-4c4e-99ba- 1fa0587533b7) Έχει υποστηριχθεί πως κοντά στον Θαλή τον Μιλήσιο μαθήτευσε ένας άλλος Έλληνας φιλόσοφος (μαθηματικός, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής), ο Πυθαγόρας ο Σάμιος (580 π.χ. - 496 π.χ.) (υπάρχει και η άποψη που διαφωνεί με το παραπάνω λόγω της διαφοράς ηλικίας τους). Σύμφωνα με την πρώτη άποψη χάρη στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση στη γεωμετρία, τα μαθηματικά και σε ό,τι έχει σχέση με τους αριθμούς. Ο Θαλής εντυπωσιασμένος από τις ικανότητες του Πυθαγόρα τον προέτρεψε να επισκεφθεί την Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, πιστεύοντας πως αν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους θα γινόταν ο σοφότερος όλων. Αφού ταξίδεψε στην Αίγυπτο, τη Μεσοποταμία και την Ινδία, ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στην ελληνική αποικία του Κρότωνα, στη νοτιοανατολική ακτή της σύγχρονης Ιταλίας (περίπου το 530 π.χ.) και ίδρυσε μία σχολή, γνωστή ως «Πυθαγόρεια Αδελφότητα» που είχε τον χαρακτήρα πολιτικής και θρησκευτικής 20

οργάνωσης. Για τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων τόσο του φυσικού όσο και του πνευματικού κόσμου βρισκόταν στους αριθμούς και τις μαθηματικές σχέσεις. Μέσα από το έργο του ο Πυθαγόρας κατάφερε να εξελίξει την έννοια και την πρακτική της αποδεικτικής διαδικασίας και να θέσει τη γεωμετρία σε ένα θεωρητικό και φιλοσοφικό επίπεδο. Η γεωμετρία αποτέλεσε μία τις τέσσερις επιστήμες που ήταν η βάση της φιλοσοφικής-θεολογικής του θεώρησης. Οι άλλες τρεις επιστήμες ήταν η αριθμητική, η μουσική και η αστρονομία. Συνήθιζε μάλιστα να αποκαλεί, σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, τη γεωμετρία «ιστορία». Η λέξη «ιστορία» ετυμολογικά σημαίνει «γνώση μέσα από έρευνα». Με βάση τα παραπάνω θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε πως ο Θαλής είναι ο ιδρυτής της θεωρητικής γεωμετρίας και ο Πυθαγόρας ο θεμελιωτής της. Εικόνα 12: Προτομή του Πυθαγόρα (https://www.evprattein.gr/index.php/el/pythagoras-o-samios) 1.2.1 Γεωμετρία και αριθμοί Οι αριθμοί είχαν προεξέχουσα θέση στο φιλοσοφικό σύστημα των Πυθαγορείων. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως οι νόμοι του σύμπαντος μπορούν να εκφραστούν με τη βοήθεια θετικών ακέραιων αριθμών και των λόγων τους και υποστήριζαν πως «τα πάντα είναι αριθμός». Είχαν αποδώσει στους αριθμούς μεταφυσικές ιδιότητες θεωρώντας πως αποτελούν την ουσία του κόσμου, γι αυτό και είναι ιεροί. Επιπλέον συνέδεσαν με έναν ξεχωριστό τρόπο τη γεωμετρία με τους αριθμούς, όταν ανέπτυξαν έναν τρόπο σχηματικής αναπαράστασης αυτών με τη βοήθεια «ψήφων». Διέτασσαν κατάλληλα μικρές πέτρες και δημιουργούσαν κανονικά γεωμετρικά σχήματα που συμβόλιζαν αριθμούς. Για παράδειγμα με τη βοήθεια ψήφων απεικόνιζαν τον αριθμό 25 ως ένα τετράγωνο και τον αριθμό 21 ως ένα ισόπλευρο 21

τρίγωνο. Με τον τρόπο αυτό σχημάτιζαν ακολουθίες «τρίγωνων αριθμών», «τετράγωνων αριθμών» κλπ. Εικόνα 13: Τρίγωνοι αριθμοί (http://www.mathink.gr/math/lykeio/pascal-1/ ) Απεικονίζοντας τους αριθμούς με ψήφους μπόρεσαν να κάνουν μια βασική κατηγοριοποίηση αυτών σε άρτιους και περιττούς. Μια σειρά ψήφων που μπορούσε να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη απεικόνιζε έναν άρτιο αριθμό. Το αντίθετο ίσχυε για τους περιττούς αριθμούς. Ακόμη, είχαν αναπτύξει έναν τρόπο να εκφράζουν περιττούς και άρτιους αριθμούς χρησιμοποιώντας μικρές πέτρες και γνώμονες. Για να εκφράσουν π.χ. τον περιττό αριθμό «3» ξεκινούσαν τοποθετώντας μια πέτρα στην εσωτερική γωνία του ενός γνώμονα. Στη συνέχεια τοποθετούσαν μια πέτρα εξωτερικά στη μια πλευρά του γνώμονα, μια στην κορυφή και μια στην άλλη πλευρά του γνώμονα. Για να σχηματίσουν τον περιττό αριθμό «5» τοποθετούσαν ξανά έναν γνώμονα, δύο πέτρες στη μια πλευρά, μία στην κορυφή και δύο πέτρες στην άλλη πλευρά. Προχωρώντας με αυτόν τον τρόπο σχημάτιζαν και τους επόμενους περιττούς αριθμούς. Με παρόμοιο τρόπο σχημάτιζαν τους άρτιους αριθμούς, ξεκινώντας αρχικά με δύο μικρές πέτρες. Εικόνα 14: Ο σχηματισμός των περιττών αριθμών με γνώμονες (https://grmath.blogspot.com/2011/07/blog-post_25.html ) 22

1.2.2 Πυθαγόρειες Τριάδες Μελετώντας τους σχηματικούς αριθμούς οι Πυθαγόρειοι οδηγήθηκαν στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση Πυθαγόρειων Τριάδων, δηλαδή τριάδων θετικών ακέραιων αριθμών α, β, γ που ικανοποιούν τη σχέση α2+β2=γ2 γνωστή ως Πυθαγόρειο Θεώρημα. Επομένως, μια Πυθαγόρεια Τριάδα αντιπροσωπεύει τα μήκη που έχουν οι πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όταν αυτά είναι ακέραιοι αριθμοί. Οι Πυθαγόρειοι στην προσπάθειά τους να ανακαλύψουν τρίγωνα που οι πλευρές τους είναι θετικοί ακέραιοι χρησιμοποίησαν συγκεκριμένους τύπους εύρεσης τέτοιων τριάδων. Ένας τύπος που αποδίδεται προσωπικά στον Πυθαγόρα είναι ο παρακάτω: n 2 + ( n2 2 1 ) 2 = ( n2 2 + 1 ) 2 όπου, για κάθε περιττό φυσικό n > 1, οι αριθμοί n 2, n2 1, n2 +1 αποτελούν μια 2 2 Πυθαγόρεια Τριάδα. Για παράδειγμα, για n = 3 έχουμε την τριάδα (3, 4, 5), για n = 5 την τριάδα (5, 12, 13) κ.ο.κ Οι Πυθαγόρειες Τριάδες που προκύπτουν από συνδυασμούς αριθμών που έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1 αποτελούν πρωτογενείς ή βασικές Πυθαγόρειες Τριάδες. Ένα τέτοιο παράδειγμα πρωτογενούς Πυθαγόρειας Τριάδας είναι τριάδα (3, 4, 5). 1.2.3 Πυθαγόρειο Θεώρημα Το «πάντρεμα» της εμπειρικής γνώσης με την αρχαία ελληνική φιλοσοφία, που πραγματοποιήθηκε μέσα από το έργο του Θαλή του Μιλήσιου και του Πυθαγόρα του Σάμιου, άνοιξε τον δρόμο για τη λογική θεμελίωση και την απόδειξη στη γεωμετρική σκέψη. Όσον αφορά την έννοια της ορθής γωνίας, η μετάβαση από μια εμπειρικού τύπου προσέγγιση σε μια θεμελιωμένη έννοια που προκύπτει μέσα από μια αποδεδειγμένη γεωμετρική σχέση έγινε με την απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Το ταξίδι του Πυθαγόρειου Θεωρήματος ξεκίνησε από την ανακάλυψη των Πυθαγόρειων Τριάδων, προχώρησε στη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και έφτασε σε αποδείξεις στα πλαίσια ενός επαγωγικού συστήματος. Σήμερα είναι γνωστές πάνω από 400 αποδείξεις του 23

Πυθαγόρειου Θεωρήματος! Μελετώντας την πορεία αυτού του ταξιδιού ερχόμαστε πιο κοντά στη διαδρομή που έχει ακολουθήσει η έννοια της ορθογωνιότητας, από τις απαρχές της συγκρότησής της ως σήμερα. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αν και είχε προσεγγιστεί εμπειρικά πολύ πριν τον Πυθαγόρα από αρκετούς αρχαίους λαούς, αποδίδεται εξ ονόματος σε αυτόν, καθώς φαίνεται πως εκείνος ήταν ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σύμφωνα με την αρχαία παράδοση ο Πυθαγόρας μετά την ανακάλυψη του θεωρήματος πρόσφερε θυσία στους θεούς εκατόμβη. Για τον λόγο αυτό το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποκαλείται και «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα της Εκατόμβης». Η απόδειξη που αποδίδεται στον Πυθαγόρα ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή. Με απλή ανακατανομή των όμοιων ορθογωνίων τριγώνων, όπως φαίνεται στην εικόνα, προκύπτει η παρακάτω σχέση μεταξύ του εμβαδού των τετραγώνων: Ε1 + Ε2 = Ε Εικόνα 15: Απόδειξη με ανακατανομή του Πυθαγόρειου Θεωρήματος (ebooks.edu.gr) Επομένως το Πυθαγόρειο Θεώρημα εκφράζει τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, η οποία μεταγενέστερα εκφράστηκε αλγεβρικά ως: β 2 + γ 2 = α 2 Γύρω στα 300 π.χ., στο έργο «Στοιχεία» του Ευκλείδη παρουσιάζεται η πρώτη εκτενής αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος. Ο Ευκλείδης έζησε στην Αλεξάνδρεια την περίοδο του βασιλιά Πτολεμαίου του Α (περίπου 330-275 π.χ.). Ήταν πιθανότατα μαθητής της «Ακαδημίας» που ίδρυσε ο Πλάτων το 387 π.χ., της οποίας επίσης η συμβολή στην άνθηση της γεωμετρικής γνώσης ήταν σπουδαία. Ο Ευκλείδης συγκέντρωσε τις γεωμετρικές γνώσεις της εποχής του και, αφού τις τελειοποίησε, τις παρουσίασε στο έργο του «Στοιχεία». Το έργο αυτό αποτελείται από 13 βιβλία που αγγίζουν διάφορες θεματικές περιοχές της γεωμετρίας. Στο 1ο 24

βιβλίο του καταπιάνεται με τα «αιτήματα» και τις «κοινές έννοιες», δηλαδή τις αναπόδεικτες αρχές στις οποίες στηρίζεται η λογική ανάπτυξη της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Σε αυτό το βιβλίο βρίσκουμε και τη διατύπωση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, σύμφωνα με την 47η πρόταση, κατά την οποία: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις». Δηλαδή: «Tο τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών». Εικόνα 16: Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη http://arrhtoi.weebly.com/tauomicron-piupsilonthetaalphagamma972rhoepsiloniotaomicronthetaepsilon974rhoetamualpha.html 25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΥΣΗΣ 2.1 Ο όρος objectification (εξαντικειμενίκευση) Ετυμολογικά, o όρος εξαντικειμενίκευση στα λατινικά (objectification) σχετίζεται με τις ενέργειες εκείνες που στοχεύουν στο να φέρουν ή να βγάλουν κάτι μπροστά σε κάποιον, να κάνουν δηλαδή κάτι ορατό (Radford, 2003). Σύμφωνα με τον Radford (2003), ο όρος προέρχεται από τη λέξη object, που με τη σειρά της έχει την προέλευσή της στο λατινικό ρήμα obiectare (βγάζω κάτι προς τα έξω), και η κατάληξη -tification προέρχεται από το ρήμα facere (κάνω ή φτιάχνω) (Charleton στο Radford, 2003). Με αυτή την έννοια ένα σύμβολο, ένα σημάδι ή μια ενέργεια, που μπορεί να φανερώνει, για παράδειγμα, τη θέση ενός αντικειμένου, μπορούμε να πούμε ότι το «εξαντικειμενικεύει». Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η σχέση του σώματός μας με τον χώρο παίζει τον ρόλο του μέσου εξαντικειμενίκευσης (Radford, 2003). Δε θα πρέπει να συγχέεουμε τη φαινομενολογική έννοια της εξαντικειμενίκευσης με την έννοια της δράσης που έχει ως στόχο να μετατρέψει κάτι ως απρόσωπο. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε τον όρο «αποϋποκειμενικοποίηση». Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που εξαντικειμενίκευση αφορά μαθηματικά αντικείμενα; Κατά την εξαντικειμενίκευση (Husserl) ένα μαθηματικό αντικείμενο καταγράφεται ως προϊόν σημειωτικής κατάδειξης. Με αυτόν τον τρόπο καθίσταται άχρονο και αντικειμενικό, χωρίς να έχει πια την υποκειμενικότητα αυτών που το (πρωτο)συγκρότησαν. Συγκεκριμένα, όσον αφορά τις γεωμετρικές έννοιες οι Lappas και Spyrou (2006) διακρίνουν δύο επίπεδα εξαντικειμενίκευσης. Στο 1ο επίπεδο, τα αποτελέσματα που πηγάζουν από την υποκειμενική εμπειρία εξαντικειμενικεύονται μέσω της αριθμητικής τους αναπαράστασης. Στο 2ο επίπεδο, τα αρχετυπικά αποτελέσματα ενσωματώνονται σε μαθηματική θεωρία μέσω της αξιωματικής απόδειξης (Lappas και Spyrou, 2006). 26

Οι Σπύρου, Π. & Μούτσιος-Ρέντζος, Α. (2011) σε σχετική τους μελέτη χρησιμοποιούν τη γεωμετρική έννοια του ορθογωνίου τριγώνου ως παράδειγμα για να αναλύσουν τα δύο επίπεδα εξαντικειμενίκευσης που αναφέρθηκαν παραπάνω: H γνώση ότι τρία κομμάτια νήματος σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο εξαντικειμενικεύεται μέσω της σχέσης των αριθμών που δείχνουν το μήκος των τριών κομματιών. Συνεπώς, η αριθμητική έκφραση a 2 = b 2 + c 2 (όπου a, b και c είναι τα μήκη των πλευρών ενός συγκεκριμένου ορθογωνίου τριγώνου) είναι μια αντικειμενική, αλλά επαγωγική περιγραφή, η οποία καταδεικνύει το 1ο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης του ορθογωνίου τριγώνου. Στο 2ο επίπεδο, τα αρχετυπικά αποτελέσματα ενσωματώνονται σε μαθηματική θεωρία μέσω της αξιωματικής απόδειξης. Σε αυτό το επίπεδο, η αλγεβρική πλέον έκφραση a 2 = b 2 + c 2 προκύπτει από παραγωγικούς συλλογισμούς εντός ενός αξιωματικού συστήματος και γίνεται αποδεκτό ως αληθές σε αυτό το αξιωματικό σύστημα (δηλαδή γίνεται θεώρημα). Μέσω των δύο επιπέδων εξαντικειμενίκευσης, το ορθογώνιο τρίγωνο σταδιακά απελευθερώνεται από τις αισθητηριακές, βιωματικές ρίζες και γίνεται μια μη αυθαίρετη, ανθρωπολογικού χαρακτήρα διαχρονική αλήθεια (σελ. 460). 27

2.2 Αναπαραστάσεις και σημειωτικά μέσα εξαντικειμενίκευσης O Radford σε σχετική του δημοσίευση (2003) εξετάζει το ζήτημα των αναπαραστάσεων και τονίζει τον ρόλο που έχουν διαδραματίσει στην έρευνα της εκπαίδευσης των μαθηματικών. Αναφέρει την άποψη του Kant (1781/1996), σύμφωνα με την οποία, ο μόνος τρόπος που ένα αντικείμενο δίνεται σε εμάς είναι με το να επηρεαστεί το μυαλό μας με έναν συγκεκριμένο λογικό τρόπο, μέσω αναπαραστάσεων του αντικειμένου. Έχοντας μια παρόμοια θέση ο Husserl θεωρούσε ότι τα αντικείμενα της αντίληψης μας δίνονται με αισθητηριακούς «τρόπους εμφάνισης» πχ. μέσω αναπαραστάσεων όπως τύποι (formulas) και σχέδια (Husserl στο Radford, 2003). Ο Duval προχωρά στη διάκριση μεταξύ σημειωτικών και μη σημειωτικών αναπαραστάσεων. Μια σημειωτική αναπαράσταση παράγεται από σύμβολα και κανόνες που έχουν έναν σκόπιμο χαρακτήρα. Οι μη σημειωτικές αναπαραστάσεις δεν έχουν αυτόν τον σκόπιμο χαρακτήρα. Μπορούν να δημιουργηθούν από ένα φυσικό ή οργανικό σύστημα όπως, για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός ίχνους που δημιουργείται την ώρα που βαδίζουμε πάνω στην άμμο (Radford, 2003). Μεταξύ των δύο ειδών αναπαράστασης(σημειωτικών και μη) οι σημειωτικές αναπαραστάσεις είναι αυτές που μπορούν να παίξουν έναν θεμελιώδη ρόλο στην εξαντικειμενίκευση (Radford, 2003). Ο Duval αναφέρει χαρακτηριστικά: «Οι αναπαραστάσεις που παράγονται σημειωτικά μπορούν να παίξουν τον ρόλο μεταχείρισης και εξαντικειμενίκευσης, οι οποίες είναι θεμελιώδεις σε κάθε διαδικασία γνώσης (παραγωγή)» (Duval στο Radford, 2003, σελ. 40). Ο Radford (2003), ωστόσο, χωρίς να παραβλέπει τον παιδαγωγικό και επιστημολογικό ρόλο των αναπαραστάσεων, σημειώνει, πως όσο ισχυρές κι αν είναι, οι σημειωτικές αναπαραστάσεις δεν αρκούν από μόνες τους για να εξηγήσουν την πολυπλοκότητα των διαδικασιών της εξαντικειμενίκευσης σε καταστάσεις διδασκαλίας και μάθησης. Αυτό συμβαίνει γιατί «οι διαδικασίες παραγωγής γνώσης είναι ενσωματωμένες σε συστήματα δραστηριότητας που περιλαμβάνουν και άλλα φυσικά και αισθητήρια μέσα εξαντικειμενίκευσης πέρα από τη γραφή (όπως τα εργαλεία και ο λόγος), τα οποία δίνουν μια ενσώματη και απτή μορφή στη γνώση» (σελ. 41). Σύμφωνα με την άποψη αυτή «η εξαντικειμενίκευση των μαθηματικών αντικειμένων συνδέεται με τις διαμεσολαβούμενες και αντανακλαστικές προσπάθειες των υποκειμένων που έχουν 28

ως σκοπό την κατάκτηση του στόχου της δραστηριότητάς τους» (σελ. 41). Προκειμένου να φτάσουν στον στόχο τους τα άτομα συνήθως καταφεύγουν στη χρήση πληθώρας μέσων, όπως πλαστικά βιβλία ή χρονόμετρα, σχέδια, χειρονομίες, σημάδια, κατηγορίες γλωσσικής ταξινόμησης, αναλογίες, μεταφορές, μετωνυμίες κλπ. Με αυτόν τον τρόπο το αν και κατά πόσο θα καταφέρουν τα άτομα να φτάσουν στον στόχο τους εξαρτάται από τη χρήση και τη σύνδεση διαφόρων εργαλείων, συμβόλων και γλωσσικών επινοημάτων μέσω των οποίων τα υποκείμενα οργανώνουν τη δράση τους χωροχρονικά. Ως συμπέρασμα, ο Radford, θεωρεί ότι «τα υποκείμενα αποβλεπτικά χρησιμοποιούν στην κοινωνική κατασκευή νοήματος αντικείμενα, εργαλεία, γλωσσολογικά επινοήματα και σημεία ώστε να πετύχουν σταθερές μορφές επικοινωνίας, να καταστήσουν εμφανείς τις προθέσεις τους και να επιτύχουν τις δράσεις ώστε να καταφέρουν στόχους στις δραστηριότητές τους (Σπύρου, 2009, σελ. 110). Είναι αυτά τα αντικείμενα, εργαλεία, γλωσσολογικά επινοήματα και σημεία που αποκαλεί ο Radford σημειωτικά μέσα εξαντικειμενίκευσης. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να γίνει μια σύντομη αναφορά στον κοινωνικό χαρακτήρα των σημειωτικών μέσων εξαντικειμενίκευσης. Σε κάποιες περιπτώσεις αυτός ο χαρακτήρας είναι ενδεχομένως εύκολα εμφανής, για παράδειγμα στη γλώσσα, η οποία αποτελεί μια κοινωνική πρακτική. Υπάρχουν ωστόσο και άλλες περιπτώσεις, στις οποίες ο κοινωνικός χαρακτήρας ενυπάρχει χωρίς να είναι ευδιάκριτος. Οι περιπτώσεις αυτές έχουν σχέση με τη φυλογενετική διάσταση των σημειωτικών μέσων εξαντικειμενίκευσης και αφορούν την πολιτισμική και ιστορική τους ανάπτυξη. Τα μέσα εξαντικειμενίκευσης που έχουν σχέση με τον πολιτισμό (συμπεριλαμβανομένης και της γλώσσας) έχουν παραχθεί ιστορικά για έναν συγκεκριμένο σκοπό. «Αυτή ακριβώς η ιστορική διάσταση είναι που κάνει τα σημειωτικά μέσα εξαντικειμενίκευσης κομιστές μιας «ενσώματης νοημοσύνης», που σημαίνει ότι μεταφέρουν πρότυπα προηγούμενων συλλογισμών» (Pea στο Radford, 2003, σελ. 43). O κοινωνικός χαρακτήρας των μέσων εξαντικειμενίκευσης ενυπάρχει, επιπλέον, και στον τρόπο με τον οποίο η ιστορική και πολιτισμική τους χρήση αποκτάται προοδευτικά από τα άτομα (Radford, 2003). 29

2.3 Ιστορία και εξαντικειμενίκευση των μαθηματικών αντικειμένων Όπως αναφέρει ο Κόντος (2003): Στις Λογικές Έρευνες, ο Husserl είχε δείξει ότι οι ιδεατότητες συνιστούν κατηγοριακά αντικείμενα, δηλαδή προϊόντα ορισμένων ενεργημάτων που εδράζονται πάνω σε άλλα: πρόκειται για ενεργήματα που συνίστανται στο ότι εισάγουν, για παράδειγμα, μια σχέση ανάμεσα σε δύο αντικείμενα της κατ αίσθηση αντίληψης (τα οποία αποτελούν, πλέον, ένα σύνολο ). Το σύνολο είναι προϊόν μιας συγκρότησης, και όμως είναι αντικειμενικό, δηλαδή ταυτό στο εσωτερικό πολλών δικών μου ενεργημάτων ή και των ενεργημάτων των άλλων. Δεν πρόκειται για την εφαρμογή μιας ήδη υπάρχουσας κατηγορίας ( σύνολο ) επί ενός εμπειρικού δεδομένου, αλλά για τη συγκρότηση της κατηγοριακότητας ( σύνολο ) μέσα σε και μέσα από το ίδιο το κατηγοριακό ενέργημα. (σελ. 6) Με αυτόν τον τρόπο σύμφωνα με τον Κόντο (2003), ο Husserl επισημαίνει ότι τα κατηγοριακά αντικείμενα συγκροτούνται μέσα σε και μέσα από τα ίδια τα κατηγοριακά ενεργήματα και δεν αποτελούν την εφαρμογή ενός ήδη υπάρχοντος συνόλου σε ένα εμπειρικό δεδομένο. Σε αυτό το σημείο ο γερμανός φιλόσοφος ήδη ασχολείται με την προέλευση των κατηγοριακών αντικειμένων, μια προέλευση που, όπως σχολιάζει ο Κόντος (2003), «φέρει μέσα της κάτι σαν ιστορία, αφού αυτά τα ενεργήματα και τα αντικείμενά τους δεν είναι δυνατά παρά μόνο στη βάση άλλων ενεργημάτων» (σελ. 6). Προκειμένου να εξηγήσουμε, λοιπόν, αυτές τις ιδεατότητες ή κατηγοριακά αντικείμενα θα πρέπει να δούμε μέσα τους καταγεγραμμένη την ίδια την ιστορία της συγκρότησής τους, καθώς τα αντικείμενα αυτά «αποτελούν νοήματα (Sinne) που φέρουν μέσα τους ένα είδος ιστορικότητας ως νοηματικές συνεπαγωγές τής γένεσής τους» (ΤΥΛ στο Χούσερλ, 2003, σελ. 7). Ο Κόντος (2003) προσθέτει πως, η επιστροφή, ωστόσο, στην προέλευση και πρώτη συγκρότηση των ιδεατών αντικειμένων δεν έχει τον χαρακτήρα μιας απλής θεωρητικής επισκόπησης αλλά υποδηλώνει τη δυνατότητα της συνείδησης να καθιστά εκ νέου εναργή τα προηγούμενα επιτεύγματά της, μας δίνει δηλαδή τη δυνατότητα να επαν-ενεργοποιήσουμε όλες τις αναβαθμίσεις της συγκρότησης του νοήματος. 30

Ο Κόντος (2003) τονίζει πως αν προσπαθήσουμε όμως να εντοπίσουμε την πρώτη αρχή των κατηγοριακών αντικειμένων και πάλι θα φτάσουμε σε ένα αδιέξοδο και σημειώνει πως το πρόβλημα αυτό έρχεται να λύσει ο Husserl με τη θεωρία της προκατηγορικής εμπειρίας: «Το έσχατο δεδομένο δεν είναι μια ύλη χωρίς μορφή, είναι μια μορφή εμπειρίας, μια μορφή πρόσληψης της πραγματικότητας, μια μορφή σχέσης ανάμεσα στη συνείδηση και τον κόσμο» (σελ. 7). Με αυτόν τον τρόπο δεν υπάρχει αλήθεια ή ενάργεια παρά μόνο σε σχέση με ένα πεδίο εμπειρίας, πρόσβαση στο οποίο μας εξασφαλίζει η ιστορία του νοήματος. Στο έργο Origins of Geometry (1989), ο Husserl προσπαθεί να αναλύσει το πεδίο εκείνο της εμπειρίας που αποτελεί το έδαφος συγκρότησης των αντικειμένων της γεωμετρίας και πιο συγκεκριμένα καταπιάνεται με το φιλοσοφικό πρόβλημα της ιδεατότητας των μαθηματικών αντικειμένων. Το κρίσιμο ερώτημα που τον απασχολεί είναι το πώς είναι δυνατόν, από τη μια, τα γεωμετρικά αντικείμενα να αποτελούν προϊόντα υποκειμενικής συγκρότησης και, από την άλλη, να έχουν αντικειμενική ισχύ. Σύμφωνα με τον Σπύρου (2009), ο Husserl προσπαθεί να δώσει απάντηση στο πώς συγκροτείται μέσα στο υποκείμενο ο αντικειμενικός διϋποκειμενικός κόσμος. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στην υποκειμενικότητα της γνώσης και την αντικειμενικότητα του περιεχομένου της γνώσης; Όπως διατυπώνει ο Husserl (1989): «Το πρόβλημά μας τώρα αφορά ακριβώς τα ιδεατά αντικείμενα που είναι στη γεωμετρία: πώς αυτή η γεωμετρική ιδεατότητα μεταβαίνει από την πρωτογενή ενδοπροσωπική προέλευση στην ιδεατή της αντικειμενικότητα;» (σελ.161). Ο Derrida (1989) διαφοροποιεί την ιδεατότητα όπως συναντάται στο έργο του Husserl από τα Πλατωνικά ιδέωδη. Στον παραδοσιακό Πλατωνισμό τα ιδεώδη προϋπάρχουν του όποιου υποκειμενικού ενεργήματος. Δε συμβαίνει το ίδιο όμως με τα ιδεατά αντικείμενα του Husserl: «Αν έχουν ιστορία πρέπει να συνδέονται με την πρωτοιδρυτικά ριζωμένη πράξη στην πρωτοιδεατοποίηση βασισμένη στο υπόστρωμα ενός πραγματικά αντιληπτικού κόσμου. Η ιδεατότητα είναι απόλυτα κατασκευαστική και επινοημένη αν και αχωρόχρονη (nonspatiotemporal)» (Derrida, p. 40-45). Όπως αναφέρει ο Κόντος (2003), ο Husserl, παρόλο που αρχικά δεν είχε συμπεριλάβει στο αρχικό του πλάνο την ιστορία, επηρεαζόμενος από τις θέσεις του μαθητή του Heidegger για την έννοια της ιστορικότητας, έκανε μια όψιμη στροφή προς αυτή. Για τον Husserl η ιστορικότητα συνιστά την ίδια συνθήκη της διυποκειμενικότητας: «Δεν υπάρχει ιστορικότητα της συνείδησης έξω από τη 31

διυποκειμενική της συγκρότηση, και δεν υφίσταται διυποκειμενικότητα εν έργω, δηλαδή απτή και ρητή, ερήμην της ιστορικότητας. Ο κόσμος-της-ζωής είναι διυποκειμενικός καθότι ιστορικός, και το αντίστροφο» (Χούσερλ, 2003, σελ. 11). O Husserl στην πορεία της εργασίας του συνέδεσε την ιστορία και την έννοια της ιστορικότητας με την έννοια της εξαντικειμενίκευσης. Στο έργο του Origins of Geometry αναγνώρισε τον κεντρικό ρόλο που διαδραματίζει η ιστορία στη συγκρότηση των γεωμετρικών αντικειμένων, θεωρώντας τη ως ένα απαραίτητο στοιχείο της ιζηματογένεσης του νοήματος αυτών (Σπύρου, 2017). Σύμφωνα με τον Σπύρου (2009) στο Origins of Geometry ο Husserl αναζητά την καταγωγή της Γεωμετρίας με έναν τρόπο παραδειγματικό, τέτοιον που να επιτρέπει την εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν συνολικά την προέλευση της επιστήμης. Επιπλέον, μας παρουσιάζει έναν τρόπο με τον οποίο εντάσσονται οι επιστήμες στην ιστορία, θεωρώντας τη γεωμετρία συνυφασμένη με τον τρόπο δημιουργίας της επιστημονικής παράδοσης (Σπύρου, 2009). Η φαινομενολογική αυτή προσέγγιση προτείνει έναν νέο τρόπο ανάγνωσης της ιστορίας, όπου σημασία έχει η αναζήτηση της προέλευσης, των αρχών, κάθε επιστήμης, έτσι ώστε να επανιδρυθεί το κρυμμένο νόημά της (Σπύρου, 2009). Ο Κόντος (2003) σημειώνει ότι η επιστροφή στην προέλευση του νοήματος, για την οποία κάνει λόγο ο Husserl, έχει αναδρομικό χαρακτήρα. Ο Κόντος (2003) συμπληρώνει πως για τον Γερμανό φιλόσοφο σημείο εκκίνησης είναι η γεωμετρία όπως μας έχει παραδοθεί, όπως έχει ήδη διαμορφωθεί. Από την αναδρομή αυτή προκύπτει και η τελεολογία του νοήματος. Για τον Husserl «η επιστροφή στις πρωταρχές δεν αναζητά έναν ιδεατό γενέθλιο τόπο της γεωμετρίας αλλά απαιτεί την επαν-ενεργοποίηση εκείνων των εναργειών που η εκάστοτε κοινότητα κρίνει ως πρωτο-ιδρύουσες» (Προέλευση στο Χούσερλ, 2003, σελ. 14). Σύμφωνα με τον Κόντο (2003) παρόλο που η επιστροφή στην προέλευση του νοήματος αποτελεί ιστορική αναδρομή, συνιστά ταυτόχρονα και μια εμβάθυνση στο ίδιο το παρόν. Προχωρώντας τον συγκεκριμένο συλλογισμό, ο Κόντος (2003) επισημαίνει ότι ο αρχικός τόπος όπου θα καταλήξει τόσο η ιστορική αναδρομή όσο και η εμβάθυνση στο παρόν είναι ο ίδιος. Και οι δύο θα καταλήξουν στον «κόσμο-της-ζωής, το θεμέλιο κάθε νοήματος, ο οποίος είναι επιδεκτικός περιγραφής και ο οποίος παραμένει αναλλοίωτος στις βασικές του προκείμενες» (Κόντος, 2003, σελ. 15). Από τα παραπάνω μπορούμε να δούμε πώς ο Husserl εισάγει μια τελεολογική διάσταση της ιστορίας, η οποία μπορεί να γίνει περισσότερο κατανοητή αν 32

στρέψουμε την προσοχή μας στον τρόπο με τον οποίο ο φιλόσοφος χρησιμοποιεί τον όρο «λήθη της ιστορίας». Σύμφωνα με τον Κόντο (2003) για τον Husserl η «λήθη» είναι ένα έλλειμμα της παροντικής συνείδησης και εκφράζει την αδυνατότητα να βρεθεί αναδρομικά η πηγή προέλευσης του νοήματος που θεμελιώνει το παρόν. Ο Κόντος (2003) συμπληρώνει πως μέσω της λήθης παρουσιάζεται έλλειμμα στον τρόπο με τον οποίο κατανοούμε την επιστήμη στον κόσμο-της-ζωής (χωρίς ωστόσο να σημαίνει έλλειμμα στα επιτεύγματα της επιστήμης). Το ερώτημα, ωστόσο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω είναι το πώς μπορεί το υποκειμενικό στοιχείο της αίσθησης να μετατραπεί σε αντικειμενικό και διυποκειμενικό και με ποιον τρόπο η υποκειμενικότητα στη συγκρότηση της γνώσης δεν επηρεάζει την αντικειμενικότητα του περιεχομένου αυτής; Ο Ηusserl θεωρούσε ότι η γεωμετρική απόδειξη ξεκινά μόνο τη στιγμή που υπάρχει απόδειξη μιας ιδεατής αντικειμενικότητας και πως η ιδεατή αντικειμενικότητα είναι τέτοια, μόνο μετά τη διακίνηση της μέσα στη διϋποκειμενική κυκλοφορία (Ηusserl στο Σπύρου (2009). Ο ρόλος της γλώσσας στο σημείο αυτό είναι σημαντικός, καθώς ο Γερμανός φιλόσοφος θεωρούσε πως τα ιδεατά αντικείμενα μεταβαίνουν στην αντικειμενικότητα μέσω της γλώσσας (Σπύρου, 2007). Όπως διαβάζουμε στην Προέλευση της Γεωμετρίας (Χούσερλ, 2003) για τον Husserl η ανθρωπότητα αποτελεί για τους ανθρώπους μια κοινότητα μέσα στην οποία μπορούν να εκφράζονται. Σ αυτή την κοινότητα το καθετί μπορεί να εκφραστεί γλωσσικά και ο καθένας μπορεί να μιλήσει για ο,τιδήποτε παρουσιάζεται στον κόσμο γύρω του ως κάτι που υπάρχει αντικειμενικά. Η γλωσσική υπόσταση των ιδεατών οντοτήτων ανοίγει τον δρόμο για την ιδεατή αντικειμενικότητα (Χούσερλ, 2003). Το καθετί έχει το όνομά του ή δύναται να ονομασθεί υπό μια ευρύτερη έννοια, είναι δηλαδή γλωσσικά εκφράσιμο. Ο αντικειμενικός κόσμος είναι εκ των προτέρων κόσμος για όλους, ο κόσμος τον οποίο έχει ο καθένας ως ορίζοντα του κόσμου. Το αντικειμενικό του είναι προϋποθέτει ανθρώπους ως ανθρώπους της καθολικής τους γλώσσας (Χούσερλ, 2003, σελ. 24) Ο Ηusserl χρησιμοποιεί την έννοια της γλωσσικής κοινότητας για να καταλήξει σε μια «παραγωγική υποκειμενικότητα της συνολικής ζώσας επιστήμης» που 33

αποτελείται από ερευνητές οι οποίοι εργάστηκαν ο ένας για τον άλλο από γενιά σε γενιά χωρίς να γνωρίζονται (Σπύρου, 2009). η γλώσσα και η συνείδηση της συν-ανθρωπότητας είναι αλληλοσχετιζόμενες δυνατότητες και έχουν ήδη δοθεί τη στιγμή που η δυνατότητα της επιστήμης θεμελιώνεται. Η συνείδηση της ύπαρξης-σεμια κοινότητα, μέσα σε ένα και τον ίδιο κόσμο θεμελιώνει τη δυνατότητα μιας καθολικής γλώσσας. Το ανθρώπινο είδος έχει πρώτα τη συνείδηση του εαυτού του ως μιας άμεσης και διαμεσολαβούσης γλωσσικής κοινότητας. Μόνο μια υποκειμενικότητα που προκύπτει στον άνθρωπο που ζει μέσα στην κοινότητα μπορεί να δημιουργήσει το ιστορικό σύστημα της αλήθειας και να είναι εντελώς υπεύθυνη γι αυτό (Husserl στο Σπύρου, 2009, σελ. 259) Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να γίνει αναφορά στην έννοια της απόλυτης ιδεατής εξαντικειμενίκευσης του γεωμετρικού αντικειμένου με σκοπό να δοθεί μια πληρέστερη απάντηση στο ερώτημα που τέθηκε αρχικά και που αφορά το πώς είναι δυνατόν, από τη μια, οι μαθηματικές οντότητες να αποτελούν προϊόντα συγκρότησης και, από την άλλη, να έχουν αντικειμενική ισχύ. Για τον Husserl «μια ουσία εισέρχεται στην ιστορία μόνο όταν γίνει ένα απόλυτο αντικείμενο δηλαδή ένα ιδεατό αντικείμενο το οποίο θα έχει σπάσει όλα τα δεσμά του με το εμπειρικό έδαφος της ιστορίας» (Husserl στο Σπύρου, 2009, σελ. 259). Η ιδεατή αντικειμενικότητα της γεωμετρίας αφορά το ίδιο το αντικείμενο και όχι την έκφραση ή το περιεχόμενο της απόβλεψης (Σπύρου, 2009). Για να γίνει αυτό πρέπει να απαλλαγεί από τα δεσμά του προφορικού λόγου των πρωτογεωμετρών, επομένως να απαλλαγεί από τα δεσμά οποιασδήποτε υποκειμενικότητας, και να εξασφαλίσει τη συνέχειά της στη ύπαρξη και τον χρόνο μέσω της καταγραφής: «Η δυνατότητα της καταγραφής θα εξασφαλίσει την απόλυτη ένταξη στην Παράδοση του αντικειμένου, την απόλυτη ιδεατή του εξαντικειμενίκευση» (Ηusserl στο Σπύρου, 2009, σελ. 260). Σύμφωνα με τον Σπύρου (2009) μέσω της καταγραφής θα μπορέσει να καταστεί δυνατή η κυκλοφορία της ουσίας μέσα σε μια καθορισμένη κοινότητα ανθρώπων και θα μεταμορφωθεί το αρχικό νοηματικό «μόρφωμα» σε «ίζημα». Ο αναγνώστης, ωστόσο, δεν είναι παθητικός δέκτης. Μπορεί να το καταστήσει εκ νέου εναργές, να επαν-ενεργοποιήσει την ενάργεια, γεγονός που μας αποτρέπει από την παθητική κατανόηση της έκφρασης αυτής (Σπύρου, 2009) 34

Ο Husserl χρησιμοποιεί τη γεωμετρία ως παράδειγμα για να εξηγήσει την ιδέα της απόλυτης εξαντικειμενίκευσης αναφέροντας χαρακτηριστικά: «Το πυθαγόρειο θεώρημα, σύνολη η γεωμετρία, υπάρχει μόνο άπαξ, όσο συχνά και σε όποια γλώσσα κι αν εκφράζεται κάθε φορά. Είναι ίδια και ταυτή και στην αυθεντική γλώσσα του Ευκλείδη και σε όλες τις μεταφράσεις της. Και σε κάθε γλώσσα είναι κάθε φορά η ίδια, όσο συχνά και αν εξωτερικεύεται με τρόπο αισθητό: από την αυθεντική διατύπωση και γραπτή καταγραφή της μέχρι τις αναρίθμητες προφορικές εξωτερικεύσεις ή τις γραπτές και άλλες τεκμηριώσεις της (Χούσερλ, 2003, σελ. 21-22) Όπως αναφέρει ο Husserl (Χούσερλ, 2003) η γεωμετρική ύπαρξη δεν είναι μια ύπαρξη ψυχική στο εσωτερικό της προσωπικής συνείδησης αλλά αποτελεί μια ύπαρξη αντικειμενική και ταυτόχρονα υπερ-χρονική, στοιχείο που την κάνει προσιτή σε όλους τους ανθρώπους και σε κάθε εποχή. Είναι αυτό το στοιχείο της ιδεατής αντικειμενικότητας που επιτρέπει σε οποιαδήποτε νέα μορφή της γεωμετρίας, που παράγεται στη βάση όσων έχουν παραχθεί προηγουμένως, να αποκτά την ίδια αντικειμενικότητα. Συνοψίζοντας τα παραπάνω, ο Edmund Husserl, καταπιάνεται με το φιλοσοφικό πρόβλημα της ιδεατότητας των μαθηματικών αντικειμένων και συγκεκριμένα με το πώς αυτές οι οντότητες μπορούν ταυτόχρονα να αποτελούν προϊόντα υποκειμενικής συγκρότησης και να έχουν αντικειμενικό χαρακτήρα. Χρησιμοποιώντας ως σημείο εκκίνησης και ως παράδειγμα τη γεωμετρία, ο Γερμανός φιλόσοφος, εξερευνά τη σχέση συνείδησης και κόσμου, τη σχέση αυτόνομου νοήματος των μαθηματικών οντοτήτων με τον κόσμο και τα πράγματα. Μέσα από αυτή την αναζήτηση έρχεται στο προσκήνιο η έννοια της ιστορίας, την οποία συνδέει με την έννοια της εξαντικειμενίκευσης, για να καταλήξει στη θέση πως η ιστορία αποτελεί ένα απαραίτητο στοιχείο της ιζηματογένεσης του νοήματος των μαθηματικών οντοτήτων. 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΝΣΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3.1 Γνωσιακή Επιστήμη και Ενσώματα Μαθηματικά Αφήνοντας πίσω την προσέγγιση της παραδοσιακής γνωστικής ψυχολογίας, που ήταν κυρίαρχη κατά τις δεκαετίες 1960 και 1970 και που βασιζόταν στον Καρτεσιανό δυϊσμό μεταξύ πνεύματος (ψυχής) και ύλης (σώματος), από τα μέσα της δεκαετίας 1980 και μετά η έρευνα για την κατανόηση του νου ακολουθεί ένα νέο μονοπάτι. Οι εξελίξεις σε διάφορους επιστημονικούς κλάδους, όπως στη φιλοσοφία, τη γλωσσολογία, την ψυχολογία, τις νευροεπιστήμες και την πληροφορική, επηρεάζουν το θεωρητικό πλαίσιο της έρευνας και μ αυτό τον τρόπο αρχίζει να διαμορφώνεται ένα νέο διεπιστημονικό πεδίο, αυτό της γνωσιακής επιστήμης. Σαν αποτέλεσμα, η γνωστική λειτουργία του ανθρώπου εξετάζεται πια σε ένα βιολογικό - νευρολογικό αλλά και κοινωνιολογικό - πολιτιστικό επίπεδο. Τα μαθηματικά παύουν να θεωρούνται οντότητες που υπάρχουν στο εξωτερικό της ανθρώπινης φύσης. Ο νους, άρα και οι μαθηματικές ιδέες, είναι ενσώματες. Οι τρεις βασικές ιδέες που αναπτύχθηκαν στον χώρο της γνωσιακής επιστήμης και επηρέασαν καθοριστικά τη μελέτη που αφορά κατανόηση της διαδικασίας πρόσκτησης μαθηματικής γνώσης είναι οι εξής (Núñez, 2000): H ενσωμάτωση του νου (the embodiment of mind): H νόηση είναι εγγενώς ενσώματη. H συγκεκριμένη φύση που έχει το σώμα μας, ο εγκέφαλός μας καθώς επίσης και η καθημερινή μας λειτουργία στον κόσμο είναι αυτά που διαμορφώνουν τις ανθρώπινες έννοιες και τον ανθρώπινο λόγο, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών εννοιών και τη μαθηματική λογική. Tο γνωστικό ασυνείδητο (the cognitive unconscious): Η σκέψη είναι κυρίως ασυνείδητη. Η σύγχρονη γνωσιακή επιστήμη θεωρεί πως οι περισσότερες γνωστικές διαδικασίες, συμπεριλαμβανομένης της μαθηματικής σκέψης, γίνονται κατά κύριο λόγο μη συνειδητά. Για τον 36

λόγο αυτό δεν μπορούμε να κάνουμε απευθείας ενδοσκόπηση σε γνωστικές διαδικασίες. H μεταφορική σκέψη (metaphorical thought): Οι αφηρημένες σκέψεις είναι κατά κύριο λόγο μεταφορικές. Ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται τις αφηρημένες έννοιες με όρους που είναι συγκεκριμένοι, χρησιμοποιώντας ακριβείς επαγωγικές δομές και τρόπους σκέψης βασισμένους στο αισθησιοκινητικό του σύστημα. Προκειμένου να κατανοήσει το αφηρημένο με όρους που είναι συγκεκριμένοι χρησιμοποιεί έναν γνωστικό μηχανισμό που ονομάζεται εννοιολογική μεταφορά. Η εννοιολογική μεταφορά χρησιμοποιείται και στα μαθηματικά, για παράδειγμα, όταν αντιλαμβανόμαστε τους αριθμούς ως σημεία πάνω σε μια γραμμή, ή τον χώρο ως σύνολα σημείων (Núñez, 2000). Βλέπουμε λοιπόν πως η έρευνα που αφορά την κατανόηση του νου ακολουθεί ένα νέο θεωρητικό πλαίσιο που λαμβάνει τώρα πια υπόψη τον εγκέφαλο, το σώμα και το περιβάλλον. Με αυτό τον τρόπο διαμορφώνεται μια ενσώματη προσέγγιση στη γνωσιακή επιστήμη των μαθηματικών, στην οποία μάλιστα παρατηρούνται ποικίλες χρήσεις της έννοιας «ενσώματος» (embodied), αποτυπώνοντας κάθε φορά θεμελιώδεις θεωρητικές διαφορές. Οι Varela et al. (1991) χρησιμοποιούν την έννοια της «ενσώματης γνώσης» (embodied cognition) με τον όρο «ενσώματος» να προσδιορίζεται ως εξής : Με τη χρήση του όρου ενσώματος θέλουμε να τονίσουμε δύο σημεία: πρώτον ότι η γνώση εξαρτάται από τα είδη της εμπειρίας που προέρχονται από ένα σώμα με ποικίλες αισθησιοκινητικές ικανότητες, και δεύτερον, ότι αυτές οι ατομικές αισθησιοκινητικές ικανότητες είναι ενσωματωμένες σε ένα πιο περιβαλλόμενο βιολογικό, φυσιολογικό και πολιτισμικό γενικό πλαίσιο (Varela et al., 1991, σελ. 172-173) Οι Lakoff και Johnson (1999), βασιζόμενοι στο προγενέστερο έργο τους Metaphors We Live By (1980), με το οποίο ανέδειξαν τον ρόλο των μεταφορικών δομών στον τρόπο που σκεφτόμαστε και κατ επέκταση δρούμε, καλούν όσους ασχολούνται με τη γνωσιακή επιστήμη να κάνουν μια στροφή στη μέχρι τότε φιλοσοφική τους προσέγγιση. Μόνο αν αφήσουν πίσω την Πλατωνική θεώρηση της ύπαρξης του κόσμου των Ιδεών πέραν του ανθρώπινου κόσμου, τον Καρτεσιανό δυισμό μεταξύ πνεύματος και σώματος και την καθαρή λογική του 37

Καντ, θα μπορέσουν να κατανοήσουν αποτελεσματικότερα τον τρόπο με τον οποίο ο άνθρωπος σκέφτεται. Ο Lakoff ήδη από το 1987 υποστηρίζει πως «τα μαθηματικά βασίζονται σε οικοδομήματα μέσα στο ανθρώπινο εννοιολογικό σύστημα, οικοδομήματα τα οποία οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται ως συνηθισμένη εμπειρία» (σελ. 364). Τα Ενσώματα Μαθηματικά έρχονται στο προσκήνιο της Διδασκαλίας και Κατανόησης των Μαθηματικών με το έργο των Lakoff και Núñez (2000) Where Mathematics comes from. Οι συγγραφείς, όπως αναφέρει ο επιμελητής της ελληνικής έκδοσης του βιβλίου (2016), προσεγγίζουν τη φύση των μαθηματικών, βάζοντας στο επίκεντρο της συζήτησης την έννοια του «ενσώματου νου», αναφερόμενοι τόσο στην ανθρώπινη νευροφυσιολογία, όσο και σε κοινές εγκεφαλικές δομές του ανθρώπινου είδους καθώς και σε έμφυτες μαθηματικές ικανότητες. Τα Μαθηματικά του ανθρώπου είναι ενσώματα, εδράζονται στην ανθρώπινη πείρα δεν είναι εντελώς υποκειμενικά... δεν είναι θέμα απλών κοινωνικών συμβάσεων. Χρησιμοποιούν άκρως οριοθετημένες και περιορισμένες πηγές της βιολογίας του ανθρώπου και μορφοποιούνται από την φύση των εγκεφάλων μας, των σωμάτων μας, των εννοιολογικών μας συστημάτων και αφορούν στην ανθρώπινη κοινωνία και τον πολιτισμό (Lakoff & Núñez, 2000, σελ. 348-365) Η Edwards (2004) αναφέρει πως η θεωρία των ενσώματων μαθηματικών στην ουσία δηλώνει πως: 1. τα μαθηματικά αναδύονται μέσα από την αλληλεπίδραση του νου με τον κόσμο, και 2. κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία (ο νους και ο κόσμος) επιφέρουν περιορισμούς στο τι είδους μαθηματικά είναι δυνατόν να δημιουργήσουν οι άνθρωποι. Η ίδια συνεχίζει παραθέτοντας τον μηχανισμό της εννοιολογικής μεταφοράς μέσα από τα λόγια των Lakoff και Núñez: 3. «Ένας μεγάλος αριθμός των πιο βασικών, καθώς και των πιο σύνθετων, μαθηματικών ιδεών είναι μεταφορικές στη φύση τους». (Edwards, 2004, σελ. 1-2) 38

3.2 Ιδιότητες των Ενσώματων Μαθηματικών Σύμφωνα με τη θεωρία των ενσώματων μαθηματικών, τα μαθηματικά εμφανίζουν τις παρακάτω ιδιότητες (Lakoff & Núñez, 2000 Σπύρου, 2009): 1. Τα μαθηματικά είναι ένα προϊόν των ανθρώπων. Με βάση τα πολύ περιορισμένα ανθρώπινα βιολογικά μέσα, σχηματίζονται από τη φύση των εγκεφάλων μας, των σωμάτων μας, των εννοιολογικών μας συστημάτων, και των ενδιαφερόντων των ανθρώπινων κοινωνιών και πολιτισμών. 2. Τα ανώτερα μαθηματικά παράγονται από γνωστικές ικανότητες που είναι κοινές σε όλους τους ανθρώπους. Μια τέτοια γνωστική ικανότητα αποτελεί για παράδειγμα η ικανότητα εννοιολογικής μεταφοράς που διαθέτει ο άνθρωπος. Συνεπώς ακόμα και η ικανότητα για ανώτερα μαθηματικά είναι καθολική σε ανθρώπινο επίπεδο. 3. Η ικανότητα για απλή απαρίθμηση είναι έμφυτη στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Οι άνθρωποι, όπως και πολλά θηλαστικά, είναι σε θέση να αναγνωρίζουν με ακρίβεια το πλήθος ενός μικρού συνόλου. 4. Η γεωμετρία, η αριθμητική καθώς και άλλες θεματικές περιοχές των μαθηματικών είναι προϊόν ανθρώπινων δραστηριοτήτων. Παραδείγματα τέτοιων δραστηριοτήτων είναι η απαρίθμηση, η μέτρηση, η αρχιτεκτονική. 5. Η ικανότητα που έχουν οι άνθρωποι να κάνουν ακριβείς διακρίσεις μεταξύ αντικειμένων, να ταξινομούν και κατηγοριοποιούν αντικείμενα με βάση συγκεκριμένα κριτήρια και να μπορούν να ανακαλούν αφηρημένες οντότητες, όπως είναι τα σχήματα και οι αριθμοί, προσδίδει και στα μαθηματικά την ιδιότητα της ακρίβειας. 6. Η ιδιότητα της ακρίβειας που παρουσιάζουν τα μαθηματικά ενισχύεται επιπλέον από μια ακόμη ικανότητα που διαθέτουν οι άνθρωποι, αυτή του χειρισμού συμβόλων. Χάρη στη δημιουργία και χρήση συμβόλων οι άνθρωποι μπορούν να κάνουν ακριβείς και με δυνατότητα επανάληψης υπολογισμούς. 7. Η ικανότητα για εννοιολογική μεταφορά. Η εννοιολογική μεταφορά είναι ένας ενσώματος γνωστικός μηχανισμός του ανθρώπου που του επιτρέπει τη μεταφορά συμπερασμάτων από μια συγκεκριμένη περιοχή των μαθηματικών σε μια άλλη. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να χρησιμοποιούμε συμπεράσματα μιας περιοχής ώστε να εκτελέσουμε συλλογισμούς σε μια άλλη. 39

8. Τα ενσώματα μαθηματικά διακρίνονται από σταθερότητα. Τα μαθηματικά συμπεράσματα που έχουν επικρατήσει στην κοινότητα των μαθηματικών τείνουν να μη μεταβάλλονται. Αυτό συμβαίνει λόγω του ότι η εγκεφαλική και σωματική δομή των ανθρώπων καθώς και οι σχέσεις τους με το περιβάλλον που εισέρχονται στα μαθηματικά είναι κοινές. 9. Τα μαθηματικά δεν είναι μονολιθικά στη γενική θεματική περιοχή τους. Αυτό σημαίνει πως δεν υπάρχει για παράδειγμα μόνο η γεωμετρία, η τυπική λογική, η θεωρία συνόλων κλπ. αλλά υπάρχουν αμοιβαία ασυνεπείς εκδοχές γεωμετρίας, τυπικής λογικής, θεωρίας συνόλων κοκ. Κάθε επιμέρους εκδοχή παρουσιάζει μια διακριτή και εσωτερικά συνεπή θεματική περιοχή. 10. Τα μαθηματικά προκύπτουν από τη συνύπαρξη της φυσιολογίας μας με τον κόσμο που ζούμε. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά μπορούμε να κάνουμε χαρακτηρισμούς και προβλέψεις για ορισμένες πτυχές του κόσμου γύρω μας. Η βιολογική μας εξέλιξη μας δίνει τη δυνατότητα να εναρμονίζουμε τη γνωστική μας λειτουργία με τον κόσμο όπως τον βιώνουμε. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, σε αντίθεση με τον Καρτεσιανό δυισμό μεταξύ πνεύματος (ψυχής) και ύλης (σώματος), η θεωρία των Ενσώματων Μαθηματικών αποποιείται την άποψη πως τα μαθηματικά είναι οντότητες που υπάρχουν στο εξωτερικό της ανθρώπινης φύσης. Ο νους, άρα και οι μαθηματικές ιδέες, είναι ενσώματες. Επιπλέον, ένα ακόμα χαρακτηριστικό των ενσώματων αυτών μαθηματικών οντοτήτων είναι το ότι δεν μπορούν να γίνουν απευθείας αντιληπτές από τις ανθρώπινες αισθήσεις. Οι αφηρημένες σκέψεις είναι ασυνείδητες και κυρίως μεταφορικές. Οι Lakoff και Núñez (2000) αναφέρουν χαρακτηριστικά: Τα ανθρώπινα μαθηματικά δεν είναι το είδωλο κάποιων μαθηματικών που υπάρχουν εξωτερικά προς τους ανθρώπους. Οι μαθηματικές οντότητες δεν μπορούν να υπάρξουν υλικά, να υλοποιηθούν materialized, αφού κάποιος δεν μπορεί να αγγίξει, ας πούμε μια άπειρη σειρά ή ένα σύνολο αρτίων (σελ. 218) Παρόλο που τα μαθηματικά δεν μπορούν να υπάρξουν ως υλικές οντότητες, εντούτοις αν εξετάσουμε προσεκτικότερα τις βασικές ιδιότητες που καταγράφουν οι Lakoff και Núñez (2000), θα διαπιστώσουμε πως είναι κοινές με μερικές από τις 40

βασικές ιδιότητες που συναντάμε σε εξωτερικά αντικείμενα της καθημερινής μας ζωής. Ο Σπύρου (2009) συνοψίζει τις κοινές ιδιότητες μεταξύ εξωτερικών αντικειμένων και μαθηματικών, όπως παρουσιάζονται από τους Lakoff και Núñez, και δίνει ένα παράδειγμα για την καθεμία: Καθολικότητα: Τα βασικά μαθηματικά τείνουν να είναι τα ίδια για όλους τους πολιτισμούς, κάτι που ισχύει και για τα εξωτερικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, το άθροισμα δύο αριθμών (π.χ. δύο συν δύο) δεν αλλάζει ανάλογα με τον πολιτισμό (το αποτέλεσμα είναι πάντα τέσσερα). Ακρίβεια: Η απαρίθμηση ενός συνόλου αντικειμένων οδηγεί πάντα σ ένα ακριβές αποτέλεσμα. Για τον λόγο αυτό μπορεί να δοθεί ακριβής απάντηση στο ερώτημα π.χ. πόσα νομίσματα περιέχονται σε ένα σακί. Η ακρίβεια που χαρακτηρίζει τη δυνατότητα απαρίθμησης ενός συνόλου αντικειμένων προσδίδεται ταυτόχρονα και στα ίδια τα μαθηματικά. Συνέπεια: Το εσωτερικό των επιμέρους θεματικών περιοχών των μαθηματικών διακρίνεται από συνέπεια, κάτι που παρατηρείται και στον φυσικό κόσμο όπως τον βιώνουμε. Για παράδειγμα, ένα δεδομένο αντικείμενο δεν μπορεί να βρίσκεται ταυτόχρονα πάνω στο γραφείο και όχι πάνω στο γραφείο. Σταθερότητα: Τα μαθηματικά συμπεράσματα που έχουν επικρατήσει στην κοινότητα των μαθηματικών τείνουν να μη μεταβάλλονται. Η ίδια σταθερότητα διακρίνει και τα βασικά φυσικά γεγονότα, δηλαδή τις συγκεκριμένες εμφανίσεις σε δεδομένο τόπο και χρόνο. Για παράδειγμα, αν υπήρχε ένα βιβλίο πάνω στο τραπέζι σήμερα στις 10:00 το πρωί, ιστορικά θα ισχύει πάντα το ίδιο. Σήμερα στις 10:00 υπήρχε το συγκεκριμένο βιβλίο σε αυτή τη θέση. Γενικευσιμότητα: Στα μαθηματικά εμφανίζονται γενικεύσεις σε διάφορες μορφές. Μια ιδιότητα ή μια σχέση μπορεί να γενικευτεί σε ένα ευρύτερο πεδίο. Ένας ορισμός μπορεί να γενικευθεί καλύπτοντας ένα ευρύτερο σύνολο αντικειμένων και με αυτόν τον τρόπο να δημιουργηθούν νέες έννοιες στα μαθηματικά. Το ίδιο ισχύει και για τις βασικές ιδιότητες φυσικών αντικειμένων, οι οποίες μπορούν να γενικευτούν σε άλλα αντικείμενα. Για παράδειγμα, υπάρχουν βασικές ιδιότητες των δέντρων που γενικεύονται σε νέα δέντρα τα οποία δεν έχουμε συναντήσει, ιδιότητες πουλιών που γενικεύονται σε πουλιά που δεν έχουν γεννηθεί ακόμη, κοκ. Ανακαλυψιμότητα: Στα μαθηματικά υπάρχουν αριθμητικές ή ποιοτικές σχέσεις που μπορούν να ανακαλυφθούν. Ομοίως γεγονότα που αφορούν 41

αντικείμενα του κόσμου γύρω μας μπορούν να ανακαλυφθούν. Αν για παράδειγμα, υπάρχει ένα μήλο στη μηλιά της αυλής, μπορούμε να ανακαλύψουμε ότι το μήλο βρίσκεται εκεί. 42

3.3 Το ζήτημα της φύσης των μαθηματικών και η ενσώματη προσέγγιση Ένα αξιοσημείωτο στοιχείο στη φύση των μαθηματικών είναι το γεγονός πως οι οντότητες που τα συγκροτούν δεν μπορούν να γίνουν απευθείας αντιληπτές από τις ανθρώπινες αισθήσεις. O Rafael Núñez (2004) χρησιμοποιεί την απλούστερη οντότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, το σημείο, ως ένα τέτοιο παράδειγμα. Εξ ορισμού ένα σημείο αποτελεί μια οντότητα χωρίς διαστάσεις. Δεν είναι παρά μια νοητή αφηρημένη ιδέα και επομένως δεν μπορεί να γίνει αντιληπτό πραγματικά. Το ίδιο συμβαίνει και με μια άλλη μαθηματική οντότητα, το άπειρο. Ο πεπερασμένος χαρακτήρας του ανθρώπινου σώματος και εγκεφάλου δεν μπορεί να βιώσει απευθείας την οντότητα του απείρου. Παρόλα αυτά πλήθος μαθηματικών οντοτήτων σαν αυτές που αναφέρθηκαν προηγουμένως αποτελούν τον πυρήνα για θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών. Συνεπώς προκύπτει ένα βασικό ερώτημα: «Αν τα μαθηματικά είναι προϊόν ανθρώπινων ιδεών, πώς μπορούμε να εξηγήσουμε τη φύση των μαθηματικών με τα μοναδικά χαρακτηριστικά της όπως ακρίβεια, αντικειμενικότητα, αυστηρότητα, γενικευσιμότητα, σταθερότητα, και, φυσικά, δυνατότητα εφαρμογής στον πραγματικό κόσμο;» (Núñez, 2004, σελ. 2) Το ίδιο ζήτημα φαίνεται να έχει απασχολήσει και τον Piaget, ο οποίος διατυπώνει τρία βασικά προβλήματα που αφορούν την επιστημολογία των μαθηματικών: 1. Γιατί τα μαθηματικά είναι τόσο αποδοτικά παρόλο που στηρίζονται σε ελάχιστες και σχετικά φτωχές έννοιες ή αξιώματα; 2. Γιατί έχουν αναγκαίο (και καθολικό) χαρακτήρα, και παραμένουν σταθερά αυστηρά σε αντίθεση με τον κατασκευαστικό τους χαρακτήρα που μπορεί να αποτελέσει και πηγή παραδόξων; 3. και γιατί συμφωνούν τόσο πολύ με πείρα μας ή την φυσική πραγματικότητα σε αντίθεση με τον απόλυτο παραγωγικό τους χαρακτήρα; (Piaget στο Σπύρου, 2009, σελ. 151-152) Ερωτήματα όπως τα παραπάνω αποτελούν μια πραγματική πρόκληση για όσους μελετούν τις γνωστικές λειτουργίες του ανθρώπου και ακόμη περισσότερο για όσους υιοθετούν μια προσέγγιση που στηρίζεται στα ενσώματα μαθηματικά. Αφού τα «ανθρώπινα μαθηματικά είναι ενσώματα και βασίζονται στη σωματική εμπειρία 43

του κόσμου» ( Lakoff & Núñez, 2016, σελ. 426) πώς είναι δυνατόν οι μαθηματικές οντότητες να αποτελούν πηγές καθολικής και έγκυρης γνώσης; Ακόμη περισσότερο, πώς είναι δυνατόν μια τέτοιου τύπου προσέγγιση να εξηγήσει όλα τα μοναδικά χαρακτηριστικά της φύσης των μαθηματικών που αναφέρθηκαν παραπάνω (ακρίβεια, αντικειμενικότητα, σταθερότητα κ.λπ.), όταν μάλιστα δεν μπορεί να υπάρξει καμία άμεση σωματική εμπειρία με τις οντότητες αυτές; Στο σημείο αυτό έρχεται η γνωσιακή επιστήμη να δώσει φως σε σημαντικές πτυχές της μαθηματικής γνώσης χρησιμοποιώντας το ερμηνευτικό μοντέλο των ενσώματων μαθηματικών. Ο George Lakoff, κυρίως από τη σκοπιά της γλωσσολογίας, και ο Rafael Núñez, κυρίως από την σκοπιά της γνωσιακής επιστήμης, επιχειρούν να εξηγήσουν πώς εσωτερικές γνωστικές δομές και διαδικασίες μπορούν να αποτελέσουν το υπόβαθρο για τη μετάβαση από το ανθρώπινο αισθητηριακό βίωμα στις μαθηματικές έννοιες. Προσπαθώντας να εξηγήσουν τη γνωστική προέλευση των μαθηματικών ιδεών υποστηρίζουν πως «οι περισσότερες αφηρημένες τεχνικές οντότητες στα Μαθηματικά δημιουργούνται μέσω ανθρώπινων γνωστικών μηχανισμών που επεκτείνουν τo οικοδόμημα ( structure ) της σωματικής εμπειρίας ενώ παράλληλα διατηρούν την επαγωγική οργάνωση αυτών των τομέων της σωματικής εμπειρίας» (Núñez, 2004, σελ. 2). Στα πλαίσια της παραπάνω προσέγγισης, πολλοί γνωστικοί μηχανισμοί που φαίνεται να μην έχουν κάποια σχέση με τα μαθηματικά εντούτοις χρησιμοποιούνται στη μαθηματική κατανόηση και σκέψη. Τέτοιοι γενικής φύσεως γνωστικοί μηχανισμοί βασίζονται μεταφορικά στην εμπειρία που έχουμε από τα εξωτερικά αντικείμενα και στις εμπειρίες: δοχείων, (οι μορφές του συλλογισμού από αυτό βγαίνει εκείνο) συνεχών τροχιών κίνησης, (μορφή συλλογισμού, από εδώ πάω εκεί) κατασκευή οικοδομής, (μορφή συλλογισμού, αυτό στηρίζεται σε αυτό) στρατηγικής μάχης (στρατηγικές συλλογισμού) διακριτών αντικειμένων κλπ. υπεράσπισης σε δικαστήριο (τεχνική υπεράσπισης, μαιευτική) (Σπύρου, 2009, σελ. 152) Πώς όμως αυτοί οι γνωστικοί μηχανισμοί, επιτρέπουν στο ενσώματο αισθητηριακό βίωμα να μετασχηματίζεται σε και να μετασχηματίζει μαθηματικές ιδέες θεμελιωμένες στην καθημερινή εμπειρία; Η απάντηση δίνεται μέσα από την 44

ανάλυση βασικών εννοιολογικών μηχανισμών που χρησιμοποιεί ο άνθρωπος προκειμένου να κάνει τέτοιου τύπου μετασχηματισμούς: τα εικονοσχήματα (image schemas), τις εννοιολογικές μεταφορές (conceptual metaphors) και τις εννοιολογικές μίξεις (conceptual blends). 3.3.1 Τα Εικονοσχήματα Μία από τις βασικότερες έννοιες στο εννοιολογικό σύστημα του ανθρώπου αποτελεί η έννοια του χώρου. Πορίσματα ερευνών από τον κλάδο της γλωσσολογίας έδειξαν πως στα πλαίσια μιας γλώσσας οι χωρικές σχέσεις αναλύονται μέσα εννοιολογικά πρωτογενή στοιχεία τα οποία παρουσιάζουν καθολικό χαρακτήρα. Αυτό σημαίνει πως σε όλες τις γλώσσες οι χωρικές σχέσεις αναλύονται στα ίδια εννοιολογικά αρχέτυπα αλλά με διαφορετικούς τρόπους. Αυτά τα εννοιολογικά πρωτογενή στοιχεία ονομάζονται εικονοσχήματα. Οι Lakoff και Núñez (2000) αναφέρουν πως σε κάθε γλώσσα οι «χωρικές σχέσεις αποσυνθέτονται σε εννοιολογικά αρχέτυπα που φαίνεται να είναι καθολικά. Αυτά τα αρχέτυπα τα ονομάζουμε εικονοσχήματα (image-schemas)». Τα εικονοσχήματα είναι προ-εννοιακά, σχηματικά, μη- γλωσσικά, ενσώματα στοιχεία του εγκεφάλου. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν στο ασυνείδητο προτού σχηματιστούν οι έννοιες και αποτελούν τη βάση για τον σχηματισμό τους. Επιπλέον, αποτελούν σχηματικές και όχι λεπτομερείς αναπαραστάσεις συμβάντων που λαμβάνουν χώρα στον φυσικό κόσμο. Ακόμη, δε χρησιμοποιούν τη γλώσσα και, τέλος, θεμελιώνονται στη σωματική εμπειρία, επομένως εξαρτώνται από τον τρόπο με τον οποίο το σώμα αντιδρά σε ερεθίσματα του περιβάλλοντος. Σύμφωνα με τους Lakoff και Núñez η διπλή φύση των εικονοσχημάτων, αντιληπτική και εννοιολογική, τα καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμα σε διδακτικό επίπεδο. Τα εικονοσχήματα μπορούν να λειτουργήσουν ως ένας σύνδεσμος ανάμεσα στη γλώσσα και τη σκέψη αφενός και την εικόνα αφετέρου. Επιπλέον, οι χωρικές λογικές εντός της εσωτερικής νοητικής τους δομής μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε χωρική συλλογιστική, κάτι που αποτελεί ένα ακόμα στοιχείο προς διδακτική αξιοποίηση. Ενδεικτικά, έννοιες όπως αυτή της επαφής, της γειτνίασης, της κεντρικότητας, της ισορροπίας, της ευθείας κλπ. προσεγγίζονται μέσα από εικονοσχήματα. 45

Για παράδειγμα η λέξη «πάνω» στη φράση: «Το βιβλίο είναι πάνω στο γραφείο», αποτελείται από τρία πρωτογενή εικονοσχήματα, τα οποία αποτελούν τη βάση για σημαντικές έννοιες των μαθηματικών: 1. Το σχήμα Υπεράνω (το βιβλίο είναι πάνω από το τραπέζι, δηλαδή σε ψηλότερο σημείο από αυτό) είναι ένα σχήμα προσανατολισμού σε σχέση με τη βαρυτική έλξη, όπως τη βιώνει κανείς μέσα από τη σωματική του εμπειρία. 2. Το σχήμα Επαφής (το βιβλίο αγγίζει το τραπέζι, βρίσκεται σε επαφή με αυτό) είναι ένα τοπολογικό σχήμα που φανερώνει την απουσία κενού. 3. Το σχήμα Υποστήριξης (το βιβλίο στηρίζεται στο τραπέζι), είναι ένα δυναμικό σχήμα που δείχνει την κατεύθυνση αλλά και τη φύση μιας δύναμης. Στη συνέχεια θα γίνει μια σύντομη αναφορά σε τρία εικονοσχήματα (Johnson, 1987 Lakoff & Johnson, 1999 Lakoff & Núñez, 2000), στα οποία βασίζεται η μαθηματική σκέψη: τo «περιέχον σχήμα», το «σχήμα πηγή πορεία στόχος» και «σχήμα δεσμού». Α) To «περιέχον σχήμα» (The container schema) Το συγκεκριμένο σχήμα αποτελείται από τα εξής δομικά μέρη: ένα εσωτερικό ένα σύνορο ένα εξωτερικό 46

Εικόνα 17: (Lakoff & Núñez, 2000, σελ. 32) Η δομή του σχήματος αυτού έχει ολικό και τοπολογικό χαρακτήρα. Ολικό, γιατί κανένα από τα δομικά του μέρη δεν μπορεί να υπάρξει χωρίς τα υπόλοιπα, και τοπολογικό, γιατί το σύνορο μπορεί να γίνει μικρότερο, μεγαλύτερο ακόμα και να παραμορφωθεί, χωρίς όμως να πάψει να είναι σύνορο. Στο εσωτερικό της δομής του περιγράφονται χωρικές σχέσεις οι οποίες είναι αυταπόδεικτες από την εικόνα (Lakoff & Núñez, 2000) και μπορούν να αξιοποιηθούν στη διδασκαλία των μαθηματικών: Για δύο δεδομένα δοχεία Α και Β και ένα αντικείμενο Χ, αν το Α είναι μέσα στο Β και το Χ είναι μέσα στο Α, τότε το Χ είναι μέσα στο Β Για δύο δεδομένα δοχεία Α και Β και ένα αντικείμενο Υ, αν το Α είναι μέσα στο Β και το Υ είναι έξω από το Β, τότε το Υ είναι έξω από το Α. Αξίζει να αναφερθεί πως σημαντικές έννοιες των μαθηματικών, όπως τα κλειστά διαστήματα και τα γεωμετρικά σχήματα, γίνονται αρχικά κατανοητές ως δοχεία (containers), στοιχείο που ενισχύει τη σπουδαιότητα διδακτικής αξιοποίησης των εν λόγω εικονοσχημάτων στη διδασκαλία των μαθηματικών. Β) Tο σχήμα «πηγή πορεία στόχος» (The source path goal schema) Το συγκεκριμένο εικονοσχήμα έχει σχέση με την κίνηση και αποτελείται από τα εξής στοιχεία: Ένα ίχνος που κινείται Μια αφετηρία 47

Ένας στόχος προορισμός Μια διαδρομή από την αφετηρία προς τον στόχο Την πραγματική τροχιά της κίνησης Τη θέση του ίχνους σε μια δεδομένη στιγμή Την κατεύθυνση του ίχνους εκείνη τη στιγμή Την πραγματική τελική θέση του ίχνους, η οποία μπορεί να είναι ή να μην είναι ο τελικός προορισμός Εικόνα 18 Η δομή του σχήματος, όπως και στο «περιέχον σχήμα» έχει τοπολογικό χαρακτήρα, καθώς μια διαδρομή μπορεί να έχει τροποποιηθεί (επεκταθεί, αλλοιωθεί, παραμορφωθεί) αλλά εξακολουθεί να αποτελεί μια διαδρομή. Επιπλέον, η τροχιά της κίνησης δεν έχει φυσική ύπαρξη, αλλά αποτελεί μια φανταστική οντότητα που αποτυπώνει τη διαδρομή που ακολούθησε το ίχνος καθώς κινούταν. Τέλος, και σε αυτό το εικονοσχήμα εμπεριέχονται χωρικές σχέσεις που μπορούν να αξιοποιηθούν στη διδασκαλία των μαθηματικών. Γ) Το «σχήμα δεσμού» (The link schema) Το σχήμα δεσμού αποτελείται από τα εξής βασικά δομικά μέρη: Δύο οντότητες Α και Β Μια δομή που συνδέει τις οντότητες Α και Β (δομή συσχέτισης) Εικόνα 19 Το σχήμα δεσμού είναι επί τοις ουσίας το σχήμα που μας κάνει να αντιλαμβανόμαστε τόσο τον φυσικό κόσμο και τον αφηρημένο κόσμο των μαθηματικών ιδεών σαν ένα δίκτυο από συνδεόμενες, συσχετιζόμενες οντότητες. Σε αυτό το σχήμα οι συσχετιζόμενες οντότητες γίνονται αντιληπτές ως παρόμοιες, 48

επειδή μοιράζονται κάποιο χαρακτηριστικό. Το χαρακτηριστικό αυτό έχει τον ρόλο ενός δεσμού ανάμεσα σε αυτές. Το σχήμα δεσμού ερμηνεύεται μεταφορικά και εφαρμόζεται σε αφηρημένες οντότητες (Johnson M., 1987). 3.3.2 Οι Εννοιολογικές Μεταφορές Η εννοιολογική μεταφορά είναι ένας γνωστικός μηχανισμός κατά τον οποίο οι έννοιες από ένα πεδίο-πηγή (source domain) χρησιμοποιούνται για να κατανοήσουμε τις έννοιες ενός άλλου πεδίου-στόχου (target domain). Προκειμένου να καταστεί κάτι τέτοιο εφικτό σχηματίζονται δίκτυα εννοιολογικών χαρτογραφήσεων (mappings) ανάμεσα στον τομέα-πηγή, που είναι συνήθως συγκεκριμένος, και στον τομέα-στόχο, που είναι συνήθως αφηρημένος. Με αυτόν τον τρόπο μπορούν να γίνουν κατανοητές αφηρημένες έννοιες, όπως οι έννοιες που συναντάμε στα μαθηματικά. Σύμφωνα με τους Lakoff και Núñez (2000) η δομή της εννοιολογικής μεταφοράς αποτελεί μια μονής κατεύθυνσης απεικόνιση από οντότητες ενός εννοιολογικού πεδίου-πηγή σε οντότητες ενός άλλου εννοιολογικού πεδίου-στόχου: Εικόνα 20 Η εννοιολογική μεταφορά αποτελεί τον κύριο γνωστικό μηχανισμό που καθιστά την αφηρημένη σκέψη εφικτή. Εμφανίζεται σε ένα πλήθος γλωσσικών εκφράσεων με έναν συστηματικό και όχι αυθαίρετο χαρακτήρα, όπου η σωματική εμπειρία αποτελεί τη βάση για την επαγωγική μετάβαση σε μια αφηρημένη έννοια. Ένα πλήθος αφηρημένων εννοιών έχουν μορφοποιηθεί γλωσσικά στη βάση της αίσθησης που έχουμε για τους εαυτούς μας ως σωματοποιημένα όντα. Ενδεικτικά αναφέρονται μερικά παραδείγματα γλωσσικών εκφράσεων στις οποίες εμπεριέχονται εννοιολογικές μεταφορές: «Μου μίλησε με θερμά λόγια» (η συμπάθεια νοείται με όρους θερμότητας) «Μου έριξε ένα παγωμένο βλέμμα» (η αντιπάθεια νοείται με όρους ψύχους) «Είναι ένα μεγάλο ζήτημα» (η σπουδαιότητα νοείται με όρους μεγέθους) 49

«Οι απόψεις μας είναι πολύ κοντά» (η ομοιότητα νοείται με όρους φυσικής γειτνίασης) Ένα παράδειγμα εννοιολογικής μεταφοράς στα Μαθηματικά αποτελεί η μεταφορά «της αριθμητικής ως συλλογής αντικειμένων». Σε αυτό το παράδειγμα η ενσώματη εμπειρία για ομαδοποίηση αντικειμένων αποτελεί το πεδίο-πηγή για την κατανόηση του πεδίου-στόχου της αριθμητικής. Πίνακας I Πεδίο πηγή: Συλλογή αντικειμένων Αντικείμενα ίδιου μεγέθους Μέγεθος συλλογής Περισσότερο Λιγότερο Πεδίο Στόχος: Αριθμητική Αριθμοί Μέγεθος αριθμού Μεγαλύτερος Μικρότερος Ωστόσο στα Μαθηματικά η καθημερινή εμπειρία χρησιμοποιείται ως πεδίο-πηγή για εννοιολογικές μεταφορές που σχετίζονται κυρίως με ένα βασικό, στοιχειώδες επίπεδο μαθηματικών εννοιών, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω. Πιο σύνθετες μαθηματικές έννοιες γίνονται αντιληπτές μέσα από συστηματικές επάλληλες εννοιολογικές μεταφορές, οι οποίες συχνά μπορεί να συντελούνται μέσα από μια μακρά πορεία αιώνων. Συγκεκριμένα, οι Lakoff και Núñez (2000) διακρίνουν τέσσερις βασικούς τύπους εννοιολογικών μεταφορών στα Μαθηματικά: Θεμελιωτικές μεταφορές: Στις θεμελιωτικές μεταφορές το πεδίο-πηγή βρίσκεται εκτός του χώρου των μαθηματικών. Οι αφηρημένες μαθηματικές έννοιες του πεδίου-στόχου θεμελιώνονται στην καθημερινή εμπειρία. Τέτοιου τύπου μεταφορές είναι οι εξής: «Οι Κλάσεις είναι Δοχεία», η Βασική Μεταφορά του Απείρου Επαναπροσδιοριστικές μεταφορές: Με τις επαναπροσδιοριστικές μεταφορές αντικαθίστανται ή ενσωματώνονται συνήθεις έννοιες με αποτέλεσμα να δημιουργείται μια καινούρια τεχνικού τύπου κατανόηση 50

στα μαθηματικά. Ένα παράδειγμα επαναπροσδιοριστικής μεταφοράς αποτελεί η εννοιολογική μεταφορά του Cantor στο πεδίο των απειροσυνόλων, κατά την οποία η έννοια «ίδιο πλήθος» γίνεται αντιληπτή με όρους της έννοιας «ζευγάρωμα». Συνδετικές μεταφορές: Στις συνδετικές μεταφορές τόσο το πεδίο-πηγή όσο και το πεδίο-στόχος βρίσκονται στον χώρο των μαθηματικών. Οι μεταφορές αυτές μας δίνουν τη δυνατότητα να αντιλαμβανόμαστε ένα μαθηματικό πεδίο μέσω ενός άλλου. Τέτοιου τύπου εννοιολογική μεταφορά στα μαθηματικά αποτελεί, για παράδειγμα, η μεταφορά «Οι Συναρτήσεις είναι Σύνολα Σημείων». Μεταφορά της Τυπικής Αναγωγής: Η Μεταφορά της Τυπικής Αναγωγής μας δίνει τη δυνατότητα να αντιλαμβανόμαστε τα διάφορα μαθηματικά πεδία με όρους που χρησιμοποιούνται στη θεωρία συνόλων και να μεταβαίνουμε με τη βοήθεια της τυπικής λογικής σε συνολοθεωρητικούς συμβολισμούς. 3.3.3 Η Εννοιολογική Μίξη Σε αντίθεση με τον γνωστικό μηχανισμό της εννοιολογικής μεταφοράς, κατά τον οποίο σχηματίζονται εννοιολογικές χαρτογραφήσεις ανάμεσα σε έναν τομέα-πηγή και σε έναν τομέα-στόχο, η εννοιολογική μίξη χρησιμοποιεί ένα μοντέλο τεσσάρων διαστημάτων: Δύο διαστήματα εισαγωγής δεδομένων (αντιστοιχούν στον τομέα-πηγή και στον τομέα-στόχο των εννοιολογικών μεταφορών) Ένα γενικό διάστημα (αντιπροσωπεύει μια εννοιολογική δομή που μοιράζεται ανάμεσα στα διαστήματα εισαγωγής δεδομένων) Το διάστημα της ανάμειξης (εκεί το πληροφοριακό υλικό από τα διαστήματα εισαγωγής δεδομένων συνδυάζεται και αλληλεπιδρά) (Coulson, 1997) Σύμφωνα με τους Fauconnier και Turner (1994) στην εννοιολογική μίξη το κύριο δομικό μέρος του γνωστικού μηχανισμού δεν είναι ο τομέας αλλά το νοηματικό διάστημα. Το διαστήματα είναι προσωρινές δομές που χρησιμοποιούνται κάθε φορά που σκεφτόμαστε ή μιλάμε για ένα φανταστικό, παρελθοντικό, παροντικό ή μελλοντικό γεγονός. Αντιπροσωπεύουν συγκεκριμένα σενάρια σκέψης που δομούνται από συγκεκριμένους τομείς. 51

Ένα προϊόν του γνωστικού μηχανισμού της εννοιολογικής μίξης είναι, για παράδειγμα, τα σημεία- αριθμοί, που προκύπτουν ως καινούριες οντότητες μέσα από τη μεταφορά «οι αριθμοί είναι σημεία σε μια γραμμή». Οι νέες οντότητες έχουν τα χαρακτηριστικά και των δύο προηγούμενων όρων, είναι δηλαδή ταυτόχρονα σημεία μιας ευθείας και αριθμοί (Lakoff & Núñez,2000). 52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η παρούσα εμπειρική μελέτη έχει ως σκοπό να διερευνήσει την αποτελεσματικότητα μιας διδακτικής παρέμβασης που βασίζεται στη φαινομενολογική ιδέα της εξαντικειμενίκευσης του ορθογωνίου τριγώνου σε μαθητές δημοτικού. Ισχυριζόμαστε πως η διδακτική παρέμβαση που έχει σχεδιαστεί μπορεί να διευκολύνει τους μαθητές δημοτικού να φτάσουν μέσα από ποσοτικοποιήσεις των υποκειμενικών τους βιωμάτων σε ένα πρώτο αριθμητικό επίπεδο εξαντικειμενίκευσης της μαθηματικής ιδέας της ορθογωνιότητας. 53

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5.1 Γενικές μεθοδολογικές αποφάσεις Η υπερβατολογική φαινομενολογία του Husserl από τη μια και η θεωρία των ενσώματων μαθηματικών από την άλλη αποτελούν το θεωρητικό υπόβαθρο της παρούσας μελέτης και καθορίζουν τους άξονες σχεδιασμού μιας διδακτικής παρέμβασης που αφορά την ορθογωνιότητα στο δημοτικό. Το διδακτικό πλαίσιο της παρέμβασης αυτής ακολουθεί το παράδειγμα των Moutsios-Rentzos, Spyrou & Peteinara (2014), οι οποίοι πραγματοποίησαν μια εμπειρική μελέτη για τη φαινομενολογική ιδέα της εξαντικειμενίκευσης του ορθογωνίου τριγώνου μέσω μιας διδασκαλίας του Πυθαγόρειου Θεωρήματος σε μαθητές της Β Γυμνασίου. Ακολουθώντας την ανάλυση των διδακτικών αρχών που έκανε ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) διαμορφώθηκε το διδακτικό πλαίσιο της παρούσας μελέτης, το οποίο και αναλύεται αμέσως παρακάτω. Όπως έχει ήδη αναφερθεί ο Husserl (1989) με την υπερβατολογική φαινομενολογία του επιχειρεί να δώσει απάντηση στο φιλοσοφικό πρόβλημα της ιδεατότητας των μαθηματικών αντικειμένων: πώς γίνεται τα μαθηματικά να αποτελούν προϊόντα υποκειμενικής συγκρότησης και να έχουν ταυτόχρονα αντικειμενική ισχύ; Η έννοια της εξαντικειμενίκευσης κατέχει κεντρικό ρόλο στη θεωρία του και αποτελεί αναπόφευκτα βασικό άξονα στον σχεδιασμό της δικής μας διδακτικής παρέμβασης. Σκοπός μας είναι οι μαθητές μέσα από μια ειδικά σχεδιασμένη διδασκαλία να φτάσουν μέσα από την εξαντικειμενίκευση των υποκειμενικών τους βιωμάτων στην (ανα)κατασκευή μιας υπερβατολογικής ιδεατότητας που αφορά την ορθογωνιότητα. Η κατασκευή της μαθηματικής ιδέας της ορθογωνιότητας θα πρέπει να προκύψει ως επακόλουθο μιας εσωτερικής αναγκαιότητας των ίδιων των μαθητών, ως ένα προϊόν απόβλεψης των ίδιων των υποκειμένων. Βασιζόμενοι, λοιπόν, στην έννοια της αποβλεπτικότητας, με την οποία ο Husserl περιγράφει τη συνειδησιακή σχέση του υποκειμένου με το αντικείμενο της γνώσης (Sokolowski, 2003 ) σχεδιάζουμε μια διδακτική παρέμβαση που βοηθά τους μαθητές υποκείμενα μέσα από αποβλεπτικές δραστηριότητες να καταλήξουν προοδευτικά στην υπερβατολογική ιδέα της ορθογωνιότητας. Επιπλέον, αντλώντας από την άποψη του Duval (2006), ο οποίος κάνει λόγο για χρήση τουλάχιστον δύο αναπαραστασιακών συστημάτων στη διδασκαλία μιας γεωμετρικής έννοιας, «ένα για την λεκτική έκφραση των ιδιοτήτων ή την 54

αριθμητική έκφραση του μεγέθους και ένα για την οπτικοποίηση» (σελ. 108), καθώς επίσης και από την άποψη του Radford (2003) σχετικά με τα σημειωτικά μέσα εξαντικειμενίκευσης, θεωρούμε πως οι μαθητές θα πρέπει να προσεγγίσουν τη γεωμετρική έννοια της ορθογωνιότητας μέσα από διαφορετικά αναπαραστασιακά συστήματα, έτσι ώστε η μαθηματική ιδέα να αναδυθεί μέσα από τις σχέσεις των διαφορετικών αναπαραστάσεών της χωρίς να ταυτιστεί με αυτές. Συνδέοντας τα παραπάνω με την άποψη των Harel & Tall (1991) που θεωρούν πως τα μαθηματικά αντικείμενα δημιουργούνται μέσα από διαδικασίες αφαίρεσης/γενίκευσης, υποστηρίζουμε πως η διδασκαλία της ορθογωνιότητας θα πρέπει να στηρίζεται στην αλληλουχία κατάλληλων γενικεύσεων μέσα από διαφορετικά αναπαραστασιακά συστήματα. Για τον λόγο αυτό υιοθετούμε το παράδειγμα που εισάγουν οι Moutsios-Rentzos, Spyrou και Peteinara (2014) και αναλύει ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) που αφορά τη σχέση μεταξύ σχηματικών και αριθμητικών γεωμετρικών σημείων μέσα από μια αλληλουχία τεσσάρων επιπέδων γενίκευσης. Ειδικότερα, λαμβάνοντας υπόψη την προσέγγιση των Lappas και Spyrou (2006) για τα δύο επίπεδα εξαντικειμενίκευσης των γεωμετρικών εννοιών (αριθμητικό και αλγεβρικό) σε αντιστοιχία με το σημειωτικό και σχεσιακό πλαίσιο στο οποίο εξαντικειμενικεύονται, σχεδιάζουμε μία διδασκαλία για τη γεωμετρική έννοια της ορθογωνιότητας, η οποία έχει ως σκοπό να βοηθήσει μαθητές δημοτικού να φτάσουν στο πρώτο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης. Συγκεκριμένα ακολουθούμε το παράδειγμα των Σπύρου, Π. & Μούτσιου-Ρέντζου, Α. (2011), οι οποίοι χρησιμοποιούν τη γεωμετρική έννοια του ορθογωνίου τριγώνου για να αναλύσουν τα δύο επίπεδα εξαντικειμενίκευσης που αναφέρθηκαν παραπάνω και στηριζόμαστε στην ανάλυση των Σπύρου, Π. & Μούτσιου-Ρέντζου, Α. σε σχέση με το πρώτο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης με βάση την οποία «η γνώση ότι τρία κομμάτια νήματος σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο εξαντικειμενικεύεται μέσω της σχέσης των αριθμών που δείχνουν το μήκος των τριών κομματιών» (σελ. 460). Αναφορικά, ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) εξηγεί πως «η εμπράγματη γνώση ότι τρία συγκεκριμένα κομμάτια ξύλου ή σχοινιού τα οποία συγκροτούν ένα πλαίσιο σχήματος ορθογωνίου τριγώνου εξαντικειμενικεύεται μέσω δράσεων μέτρησης μήκους σε αριθμητικές τριάδες» (σελ. 542). Η παραπάνω προσέγγιση αποτελεί τον βασικό άξονα σχεδιασμού της παρούσας μελέτης για τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας σε μαθητές δημοτικού. Βασιζόμενοι στη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) σχεδιάζουμε μια σειρά δραστηριοτήτων που βοηθά τους μαθητές να ποσοτικοποιήσουν την ποιοτική σχέση της ορθογωνιότητας και έτσι να 55

προσεγγίσουν το πρώτο αριθμητικό επίπεδο εξαντικειμενίκευσης της γεωμετρικής έννοιας. Με αυτόν τον τρόπο διευκολύνουμε τη μετάβαση των μαθητών στο δεύτερο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης, κατά το οποίο η αριθμητική σχέση του πρώτου επιπέδου μετουσιώνεται σε μια αλγεβρική σχέση, και βοηθάμε τους μαθητές στην «κατασκευή προ-κατανοήσεων οι οποίες να είναι συμβατές με το επόμενο στάδιο γενίκευσης» (Μούτσιος-Ρέντζος, 2015, σελ. 545). Ένα βασικό στοιχείο της θεωρίας του Husserl είναι ο ρόλος της γλώσσας στη διαδικασία εξαντικειμενίκευσης των μαθηματικών αντικειμένων. Η γλωσσική έκφραση επιτρέπει τη μετάβαση από το προσωπικό υποκειμενικό βίωμα του μαθητή στο διυποκειμενικό βίωμα της ομάδας, της τάξης για να καταλήξει στην υπερβατολογική αντικειμενικότητα της μαθηματικής ιδέας. Επομένως, για να μπορέσουν οι μαθητές να φτάσουν στην εξαντικειμενικευμένη έννοια της ορθογωνιότητας θα πρέπει να μπορέσουν να επικοινωνήσουν σε σχέση με αυτή μέσω του λόγου. Μάλιστα, η δυνατότητα καταγραφής επιτρέπει την κατασκευή μιας μαθηματικής ιδέας που εξασφαλίζει τη συνέχειά της στην ύπαρξη και τον χρόνο και φτάνει σε αυτό που ο Husserl ονομάζει απόλυτη ιδεατή εξαντικειμενίκευση. Επομένως, όπως αναλύει ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015), ο διδακτικός σχεδιασμός θα πρέπει να εξασφαλίζει τη δυνατότητα επικοινωνίας της μαθηματικής ιδέας ανάμεσα στους μαθητές μέσα από δραστηριότητες ελέγχου, επικοινωνίας, καταγραφής αναστοχασμών και συμπερασμάτων. Επιπλέον, συνδυάζοντας τα παραπάνω με την αναγκαιότητα χρήσης διαφορετικών σημειωτικών συστημάτων στην κατάδειξη ενός γεωμετρικού αντικειμένου, για την οποία έγινε λόγος παραπάνω, ο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) κάνει το εξής σχόλιο: «είναι σημαντικό στη διδασκαλία να προάγεται η εξωτερίκευση και η δημοσίευση των εσωτερικών, προσωπικών λόγων σε διαφορετικά σημειωτικά συστήματα με στόχο την κατασκευή ενός γεωμετρικού αντικειμένου εντός ενός κοινού λόγου που υπερβαίνει τα μέσα εκφοράς του, αλλά και όποιον και όποια τον εκφέρει» (σελ. 545). Ακόμη, έχοντας εξετάσει σε προηγούμενη ενότητα το ζήτημα της φύσης των μαθηματικών αντικειμένων υιοθετούμε την άποψη της σύγχρονης γνωσιακής επιστήμης που υποστηρίζει πως τα μαθηματικά είναι ενσώματα, (Varela et al., 1991 Lakoff & Núñez, 2000), επομένως δεν ανήκουν στο εξωτερικό της ανθρώπινης φύσης, όπως θεωρούταν στο παρελθόν και αναδύονται μέσα από την αλληλεπίδραση του ανθρώπου με τον κόσμο. Συνεπώς στηριζόμαστε στην ανάλυση του Μούτσιου-Ρέντζου(2015) και θεωρούμε πως το ενσώματο αισθητηριακό βίωμα 56

είναι ένας παράγοντας που θα πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη στο σχεδιασμό μιας διδακτικής πρότασης που αφορά τα μαθηματικά αντικείμενα, στα οποία εντάσσεται και η γεωμετρική έννοια της ορθογωνιότητας. Το ενσώματο βίωμα «μπορεί να βοηθήσει στην ευρύτερη αποδοχή της αναγκαιότητας και στην ανάπτυξη του κοινού λόγου που είναι κρίσιμος για την υιοθέτηση μιας απόβλεψης προς την υπερβατολογική εννοιακή επέκταση της αισθητηριακά αντιλαμβανόμενης πραγματικότητας» (Μούτσιος-Ρέντζος, 2015, σελ. 544). Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε το ενσώματο βίωμα της φυσικής καθετότητας που δημιουργεί ο ορίζοντας και η κατακόρυφος, αξιοποιώντας τη βαρύτητα και την αίσθηση της κατακορύφου. Μέσα από κατάλληλα σχεδιασμένες δραστηριότητες που στηρίζονται τόσο στο υποκειμενικό όσο και στο κοινό ενσώματο, αισθητηριακό βίωμα της καθετότητας επιδιώκουμε να δημιουργηθεί η εσωτερική αναγκαιότητα επίλυσης μιας προβληματικής κατάστασης και με αυτόν τον τρόπο να ενεργοποιηθεί ο κοινός λόγος ανάμεσα στους μαθητές τόσο σε επίπεδο ομάδας όσο και σε επίπεδο τάξης, κάτι που με τη σειρά του θα οδηγήσει στην απόβλεψη των υποκειμένων-μαθητών προς τη μαθηματική ιδέα της ορθογωνιότητας. Με βάση τα παραπάνω διαφαίνεται η σημασία της βιούμενης πραγματικότητας του υποκειμένου για την κατασκευή της μαθηματικής ιδέας. Αντλώντας από τα ρεαλιστικά μαθηματικά και τη διδακτική φαινομενολογία του Freudenthal (1983), θεωρούμε πως οι μαθητές θα πρέπει να οδηγηθούν στην επανα-επινόηση της μαθηματικής ιδέας της ορθογωνιότητας μέσα από «πραγματικές» (ρεαλιστικές) προβληματικές καταστάσεις (Gravemeijer, 1994). Όπως εισάγεται στο Moutsios- Rentzos,Spyrou και Peteinara (2014) και αναλύεται στο Μούτσιος-Ρέντζος (2015), χρησιμοποιώντας ως σημείο εκκίνησης προβλήματα που είναι «πραγματικά» στον κόσμο των μαθητών (και όχι απαραίτητα στον πραγματικό ή κοινωνικό κόσμο) σχεδιάζουμε μια διδακτική παρέμβαση κατά την οποία ο δάσκαλος ελέγχει και καθοδηγεί τους μαθητές σ αυτή τη διαδικασία επανα-επινόησης της μαθηματικής ιδέας της ορθογωνιότητας. Ένα πρόβλημα που θα δημιουργηθεί στον «πραγματικό» κόσμο των μαθητών είναι αυτό ακριβώς που θα πυροδοτήσει την εσωτερική αναγκαιότητα επίλυσής του και θα φέρει ως αποτέλεσμα την κατασκευή της μαθηματικής ιδέας. Με αυτόν τον τρόπο η ιδέα της ορθογωνιότητας θα προκύψει ως προϊόν απόβλεψης των ίδιων των μαθητών- υποκειμένων. Για να φτάσουν σ αυτή, οι μαθητές θα πρέπει να περάσουν μέσα από διαδικασίες μαθηματικοποίησης από τον «πραγματικό» κόσμο στον μαθηματικό κόσμο αλλά και εντός του μαθηματικού κόσμου (Μούτσιος-Ρέντζος, 2015). Επομένως είναι απαραίτητο η 57

διδακτική παρέμβαση να διευκολύνει τη μετάβαση των μαθητών από τον έναν κόσμο στον άλλο, αλλά και εντός του κόσμου των μαθηματικών. Ακόμη, όπως εισάγεται στο Moutsios-Rentzos,Spyrou και Peteinara (2014) και αναλύεται στο Μούτσιος-Ρέντζος (2015) ο ρόλος του χρησιμοποιούμενου υλικού είναι ουσιώδης για την υποστήριξη των μαθητών στις παραπάνω διαδικασίες μετάβασης. Λαμβάνοντας υπόψη την άποψη του Husserl (1989) για τη σημασία της ιστορίας στη συγκρότηση των γεωμετρικών αντικειμένων, θεωρούμε απαραίτητο να επιστρέψουμε στην προέλευση και πρώτη κατασκευή της ιδέας της ορθογωνιότητας και να αντλήσουμε από αυτή υλικά που θα βοηθήσουν τους μαθητές να επαν-ενεργοποίησουν τη συγκεκριμένη μαθηματική ιδέα. Υιοθετώντας την άποψη πως η μαθηματική ιδέα της ορθογωνιότητας φέρει μέσα της καταγεγραμμένη την ιστορία της συγκρότησής της, κάνουμε μια ιστορική ανασκόπηση και επιλέγουμε τη χρήση υλικών που συνδέονται με τις απαρχές κατασκευής της έννοιας αυτής. Ποια ήταν τα πρώτα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν για να κατασκευαστεί/εκφραστεί η ιδέα της ορθογωνιότητας; Είναι αυτά ακριβώς τα υλικά που θα βοηθήσουν τους μαθητές Δημοτικού να κάνουν την πρώτη μετάβαση από τον πραγματικό κόσμο στον μαθηματικό, ακριβώς όπως συνέβη για παράδειγμα με τους αρχαίους Αιγυπτίους και Βαβυλώνιους (βλ. αρπεδονάπτες). Με βάση τα παραπάνω θεωρούμε πως το χρησιμοποιούμενο διδακτικό υλικό δε θα πρέπει να προϋποθέτει την ύπαρξη της ιδέας που διδάσκεται (Μούτσιος-Ρέντζος, 2015) αλλά να βοηθά τους μαθητές στην επαν-επινόησή της. Ο κόσμος των μαθητών είναι γεμάτος ορθογωνιότητες που μπορούν να αξιοποιηθούν διδακτικά και να ενταχθούν στην παρέμβαση, όχι όμως ως υλικά για την επαν-επινόηση της έννοιας. Τέλος, όπως εισάγεται στο Moutsios-Rentzos,Spyrou και Peteinara (2014) και αναλύεται στο Μούτσιος-Ρέντζος (2015), κρίνουμε αναγκαίο η σχεδιαζόμενη διδακτική παρέμβαση να έχει τα χαρακτηριστικά εκείνα που θα επιτρέψουν την εφαρμογή της σε ένα σχολικό περιβάλλον. Για τον λόγο αυτό θεωρούμε πως θα πρέπει να εντάσσεται στην ευρύτερη πραγματικότητα του σχολείου, να λαμβάνει υπόψη την πραγματικότητα της τάξης υλοποίησης, να είναι σύμφωνη με το Αναλυτικό Πρόγραμμα και να περιλαμβάνει δραστηριότητες που μπορούν να υλοποιηθούν στα χρονικά πλαίσια των διδακτικών ωρών του σχολικού προγράμματος. Επιπλέον, οφείλουμε να συνεξετάσουμε παράγοντες υλικοτεχνικής υποδομής (θρανία, αίθουσα διδασκαλίας κ.λπ.) που μπορούν να εξασφαλίσουν την 58

εύκολη εφαρμογή της παρέμβασης στο περιβάλλον ενός σχολείου Δημοτικής Εκπαίδευσης. 59

5.2 Η διδασκαλία της ορθογωνιότητας στο Δημοτικό Το Διδακτικό Πακέτο (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, 2008) για τα Μαθηματικά του Δημοτικού αποτελείται από το έντυπο υλικό και το συνοδευτικό λογισμικό. Το έντυπο εκπαιδευτικό υλικό αποτελείται από το βιβλίο του Μαθητή, το Τετράδιο Εργασιών και το Βιβλίο του Δασκάλου. Οι έννοιες που διδάσκονται σε κάθε τάξη είναι ταξινομημένες, με βάση το περιεχόμενο και σύμφωνα με τους διδακτικούς στόχους που υπαγορεύονται από το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών, σε τρεις περιόδους (Α, Β και Γ Περίοδος). Έπειτα από μια διεξοδική έρευνα και αναζήτηση περιεχομένου σχετικού με τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας στο έντυπο υλικό όλων των τάξεων του Δημοτικού σχολείου προέκυψε ο Πίνακας Ι (Παράρτημα) Στον πίνακα αυτό παρουσιάζονται σε κάθε τάξη οι περίοδοι, οι ενότητες και το αντίστοιχο περιεχόμενο αυτών που έχει σχέση με την έννοια της ορθογωνιότητας. Με τον τρόπο αυτό ο αναγνώστης της παρούσας μελέτης έχει τη δυνατότητα να περιηγηθεί σύντομα στην ύλη όλων των τάξεων του Δημοτικού σχολείου και να αποκτήσει μια ολοκληρωμένη εικόνα παρατηρώντας την εξέλιξη της έννοιας και την πορεία διδασκαλίας της από την Α μέχρι και την Στ τάξη. Με βάση το περιεχόμενο του Πίνακα I (Παράρτημα) παρατηρούμε πως στο Δημοτικό η διδασκαλία της ορθογωνιότητας ξεκινά επίσημα για πρώτη φορά στη Β τάξη. Μέχρι τότε οι μαθητές μαθαίνουν να αναγνωρίζουν τη φόρμα βασικών σχημάτων, να ονομάζουν επίπεδα σχήματα και στερεά σώματα και να χαράζουν ελεύθερες γραμμές με τον χάρακα (Λεμονίδης, Θεοδώρου, Καψάλης, & Πνευματικός, 2007). Επομένως στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών της Α τάξης δε συναντάμε περιεχόμενο που να σχετίζεται με τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας. Στην πρώτη περίοδο της Β τάξης οι μαθητές μαθαίνουν να αναγνωρίζουν διαισθητικά με τον γνώμονα ότι το τετράγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο και το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχουν ορθή γωνία ενώ το πλάγιο παραλληλόγραμμο δεν έχει. Ωστόσο, σύμφωνα με τους Καργιωτάκης, Μαραγκού, Μπελίτσου, και Σοφού (2006), η έννοια της γωνίας, η καθετότητα και η χρήση του γνώμονα για αναγνώριση ορθών γωνιών δεν αναπτύσσονται αναλυτικά στα πλαίσια της πρώτης περιόδου. Όσον αφορά τον όρο "ορθή γωνία", από τους ίδιους επισημαίνεται πως σε κάποιες δραστηριότητες μπορεί να αναφερθεί κατά τη διάρκεια του μαθήματος χωρίς όμως να επιμείνει ο δάσκαλος της τάξης. Στην τρίτη περίοδο της Β τάξης 60

συναντάμε για πρώτη φορά διδακτική ενότητα με όνομα «Αναγνωρίζω τις κάθετες ευθείες». Κύριος διδακτικός στόχος της ενότητας αυτής είναι να είναι οι μαθητές ικανοί να αναγνωρίζουν (διαισθητικά) και να ελέγχουν με τον γνώμονα κάθετες ευθείες (Καργιωτάκης, κ.ά., 2006). Όσον αφορά τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας στην Γ τάξη συναντάμε σχετική διδακτική ενότητα μόνο στην πρώτη περίοδο με τίτλο "Χαράξεις με διαβήτη και χάρακα. Ορθές γωνίες". Σύμφωνα με τους Λεμονίδης, Θεοδώρου, Νικολαντωνάκης, Παναγάκος, και Σπανακά (2006) σκοπός του μαθήματος είναι να ασκηθούν οι μαθητές στην απλή σχεδίαση σχημάτων και στις απλές χαράξεις με τη βοήθεια κουκίδων, τετραγωνισμένου χαρτιού και γεωμετρικών οργάνων. Το μάθημα ασχολείται επίσης με τη χρήση του διαβήτη καθώς και με τις έννοιες «ορθή γωνία» και «κάθετες μεταξύ τους ευθείες». Ένας επιπλέον στόχος είναι να ασκηθούν οι μαθητές στη χρήση του γνώμονα, προκειμένου να διαπιστώνουν αν μία γωνία είναι ορθή και να χαράζουν σε μια ευθεία την κάθετή της (Λεμονίδης, κ.ά., 2006). Τέλος, στα πλαίσια της ενότητας αυτής επιδιώκεται οι μαθητές να καταστούν ικανοί να αναγνωρίζουν παράλληλες και κάθετες μεταξύ τους ευθείες σχεδιασμένες στο χαρτί ή σε παρατηρούμενα αντικείμενα και σε διάφορες περιπτώσεις της καθημερινότητας (Λεμονίδης, κ.ά., 2006). Στη δεύτερη περίοδο της Δ τάξης υπάρχουν τρεις διδακτικές ενότητες που έχουν περιεχόμενο σχετικό με την ορθογωνιότητα. Σύμφωνα με τους Λεμονίδης, κ.ά. (2006): H πρώτη διδακτική ενότητα έχει τίτλο Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες». Ένας από τους στόχους της ενότητας αυτής είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν τις κάθετες ευθείες ως ειδική περίπτωση των τεμνόμενων ευθειών και να γνωρίζουν ότι δύο κάθετες μεταξύ τους σχηματίζουν 4 ορθές γωνίες. Η δεύτερη διδακτική ενότητα έχει τίτλο «Σχεδιάζω κάθετες μεταξύ τους ευθείες». Οι διδακτικοί στόχοι της παρούσας ενότητας αφορούν: τη χάραξη καθέτων ευθειών και ορθής γωνίας με γνώμονα, την απόσταση παράλληλων ευθειών: έννοια και κατασκευή και τη χρήση του μοιρογνωμόνιου για τον έλεγχο της καθετότητας. Αναλυτικότερα, στόχοι είναι οι μαθητές: α) να εμπεδώσουν τις έννοιες της ορθής γωνίας, της καθετότητας και της παραλληλίας, β) να χρησιμοποιούν γεωμετρικά όργανα για να ελέγξουν την καθετότητα, καθώς και για να χαράξουν 61

κάθετες μεταξύ τους ευθείες, γ) να γνωρίζουν τι είναι η απόσταση σημείου από ευθεία και να μπορούν να τη χαράξουν. Η τρίτη διδακτική ενότητα έχει τίτλο: «Σχεδιάζω παράλληλες μεταξύ τους ευθείες». Ανάμεσα στους στόχους της ενότητας είναι το να μπορούν οι μαθητές να χρησιμοποιούν γεωμετρικά όργανα για να ελέγξουν την παραλληλία και την καθετότητα, καθώς και για να χαράξουν κάθετες και παράλληλες μεταξύ τους ευθείες. Στην Ε τάξη συναντάμε περιεχόμενο σχετικό με την ορθογωνιότητα στα πλαίσια της τρίτης περιόδου. Η περίοδος αυτή περιλαμβάνει δύο διδακτικές ενότητες που έχουν άμεση σχέση με τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας και δύο που συνδέονται έμμεσα με αυτή μέσω επιμέρους δραστηριοτήτων. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με τους Κακαδιάρης, Μπελίτσου, Στεφανίδης, και Χρονοπούλου (2006): Στην ενότητα με τίτλο «Είδη γωνιών» ένας από τους στόχους είναι το να μπορούν οι μαθητές να συγκρίνουν τις γωνίες ως προς την ορθή με χρήση του γνώμονα και του μοιρογνωμονίου. Επιπλέον, στα πλαίσια εναλλακτικών διδακτικών προσεγγίσεων της ενότητας αυτής τονίζεται πως η ορθή είναι απαραίτητο να οριστεί ως η γωνία που σχηματίζεται από δύο ημιευθείες κάθετες μεταξύ τους και να σχεδιαστεί στο τετραγωνισμένο χαρτί με χρήση του γνώμονα και όχι του χάρακα, ώστε να προετοιμαστούν οι μαθητές για τη σωστή τοποθέτηση του γνώμονα στις διαδικασίες ελέγχου γωνιών που ακολουθούν σε μετέπειτα δραστηριότητες. Στην ενότητα με τίτλο «Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες» δε περιλαμβάνεται κάποιος στόχος που αφορά άμεσα τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας, ωστόσο στα πλαίσια της δραστηριότητας ανακάλυψης οι μαθητές καλούνται να δώσουν διαισθητικά τον ορισμό του αμβλυγώνιου, οξυγώνιου και ορθογώνιου τριγώνου (το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια γωνία ορθή και δυο γωνίες οξείες). Στην ενότητα «Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές», αν και δε συναντάμε επίσης κάποιον στόχο που να έχει άμεση σχέση με τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας, εν τούτοις μέσα από τη διατύπωση της ερώτησης αφόρμησης οι μαθητές καλούνται να εξετάσουν, αρχικά διαισθητικά και στην πορεία συστηματικότερα, αν είναι δυνατόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο να έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Επιπλέον, μια μαθηματική έννοια που εμφανίζεται σε αυτή την ενότητα αλλά δεν αναπτύσσεται αναλυτικά είναι η έννοια των τρίγωνων αριθμών. Σε σχετική δραστηριότητα οι μαθητές 62

καλούνται να παρατηρήσουν πώς συνδέεται κάθε αριθμός με την αναπαράσταση κάθε τριγώνου. Παράλληλα, σε αυτή την ενότητα προτείνεται η εξής δραστηριότητα που μπορεί να υποστηρίξει τους στόχους του μαθήματος διαθεματικά: Πρακτική χρήση των ιδιοτήτων των τριγώνων στην αρχαιότητα (π.χ. Θαλής ο Μιλήσιος: υπολογισμός της απόστασης πλοίου από την ξηρά). Τέλος, στην ενότητα με τίτλο «Καθετότητα- ύψη τριγώνου» συναντάμε περιεχόμενο που έχει άμεση σχέση με την ορθογωνιότητα. Στόχος της ενότητας είναι οι μαθητές να μπορούν να χαράζουν τα ύψη ενός τριγώνου εφαρμόζοντας τη χάραξη απόστασης σημείου από ευθεία. Επιπλέον, οι μαθητές μέσα από σχετικές δραστηριότητες διερευνούν τα ύψη του ορθογωνίου τριγώνου. Τέλος, στα πλαίσια των εναλλακτικών διδακτικών προσεγγίσεων που προτείνονται στο Βιβλίο Δασκάλου περιλαμβάνεται μια δραστηριότητα που στοχεύει στην πρώτη επισημοποίηση της έννοιας της απόστασης και την ταύτισή της με την καθετότητα μέσα από τη χρήση σπάγκου, γνώμονα και μοιρογνωμονίου για μετρήσεις. Όσον αφορά τη ΣΤ τάξη σύμφωνα με τη στοχοθεσία των ενοτήτων στο Βιβλίο Δασκάλου(Κασσώτη, Κλιάπης & Οικονόμου, 2005) δε συναντάμε περιεχόμενο άμεσα συνδεδεμένο με τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας. Κάνοντας μια έρευνα στις δραστηριότητες του Βιβλίου Μαθητή και του Τετραδίου Εργασιών συναντήσαμε στα πλαίσια της τρίτης περιόδου αναφορές στην ορθή γωνία, χωρίς όμως να είναι αντικείμενο διδασκαλίας. 63

5.3 Ειδικές Μεθοδολογικές Αποφάσεις 5.3.1 Διαδικασία υλοποίησης της έρευνας Η έρευνα διεξήχθη τον Μάρτιο του 2018 σε ένα Δημοτικό Σχολείο στην περιοχή του Νομού Μεσσηνίας. Η εφαρμογή της έρευνας έγινε σε τρεις φάσεις. Στην πρώτη φάση έγινε μια διερεύνηση της ετοιμότητας των μαθητών - προετοιμασία για την υλοποίηση της διδακτικής παρέμβασης (1 διδακτική ώρα). Στη δεύτερη φάση έγινε η υλοποίηση της διδακτικής παρέμβασης στην τάξη (13 διδακτικές ώρες). Στην τρίτη φάση πραγματοποιήθηκε μια τελική αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας της διδακτικής παρέμβασης (1 διδακτική ώρα). Και οι τρεις φάσεις πραγματοποιήθηκαν από τον συντάκτη της διπλωματικής εργασίας. Επομένως η μελέτη που πραγματοποιήθηκε έχει τον χαρακτήρα της έρευνας δράσης. 5.3.2 Ο υπό μελέτη πληθυσμός Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν μαθητές της Ε τάξης Δημοτικού Σχολείου. Τα υποκείμενα ήταν 13 μαθητές (6 αγόρια και 7 κορίτσια). Οι μαθητές κατά τη διάρκεια της παρέμβασης κλήθηκαν να δουλέψουν σε μεικτές ομάδες. Στην πλειοψηφία των δραστηριοτήτων τα μέλη των ομάδων ήταν σταθερά, με εξαίρεση ορισμένες δραστηριότητες στις οποίες χρειάστηκε να γίνει ανακατανομή των μελών λόγω απουσίας κάποιων μαθητών. 5.3.3 Μέσα συλλογής δεδομένων Τα δεδομένα της έρευνας συνελέγησαν: α) μέσα από την καταγραφή εικονοληπτικών- ηχητικών ντοκουμέντων (βιντεοσκόπηση - ηχογράφηση όλων των δραστηριοτήτων της διδακτικής παρέμβασης), β) μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών στο Ερωτηματολόγιο 1 (12 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής) που χρησιμοποιήθηκε για τη διερεύνηση της ετοιμότητας των μαθητών στην πρώτη φάση της έρευνας, γ) μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών στα Φύλλα Εργασίας που χρησιμοποιήθηκαν κατά τη διάρκεια υλοποίησης της διδακτικής παρέμβασης, δ) μέσα από τις απαντήσεις των μαθητών στο Ερωτηματολόγιο 2 (3 ερωτήσεις σύντομης ανάπτυξης που καλούσαν τους μαθητές να διατυπώσουν τη γνώμη τους και να επεξηγήσουν την άποψή τους) που χρησιμοποιήθηκε στη φάση της τελικής αξιολόγησης. Η βιντεοσκόπηση έγινε με τη χρήση φορητής κάμερας από τον ερευνητή κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας. Για τις ανάγκες της συλλογής ηχητικών ντοκουμέντων από κάθε ομάδα χρησιμοποιήθηκε ένα δημοσιογραφικό 64

μαγνητόφωνο και δύο μαγνητόφωνα κινητών τηλεφώνων κατά τη διάρκεια των ομαδικών δραστηριοτήτων. 5.3.4 Μέθοδος ανάλυσης δεδομένων Στην παρούσα έρευνα χρησιμοποιήθηκε τόσο η ποιοτική όσο και η ποσοτική ανάλυση δεδομένων. Στην πρώτη φάση της έρευνας (Ερωτηματολόγιο 1) έγινε ποσοτική ανάλυση των δεδομένων (περιγραφική στατιστική). Στη δεύτερη και τρίτη φάση της έρευνας (οπτικοακουστικό υλικό διδακτικής παρέμβασης και Ερωτηματολόγιο 2) έγινε ποιοτική ανάλυση των δεδομένων με σκοπό να προκύψουν στοιχεία που αφορούν την κατανόηση, αλληλεπίδραση και επικοινωνία των μαθητών στα διάφορα στάδια της διδακτικής παρέμβασης, την αλληλεπίδραση των μαθητών με το χρησιμοποιούμενο υλικό αλλά και τη γνωστική κατάκτηση των μαθητών αφότου ολοκληρώθηκε η παρέμβαση, ώστε να προκύψουν στοιχεία για την αποτελεσματικότητα της συγκεκριμένης πρότασης για τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας. 5.3.5 Άξονες διερεύνησης ετοιμότητας μαθητών (προετοιμασία) Όπως έχει αναλυθεί σε προηγούμενη ενότητα στην παρούσα εργασία, σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών οι μαθητές της Ε τάξης είχαν ήδη ασχοληθεί σε προηγούμενες τάξεις με την έννοια της γωνίας γενικότερα αλλά και με τις έννοιες της ορθής γωνίας και των κάθετων ευθειών ειδικότερα. Σε αυτή την πρώτη φάση της έρευνας σκοπός μας ήταν να κάνουμε μια διερεύνηση των αντιλήψεων και των ικανοτήτων των μαθητών σε σχέση με τις παραπάνω έννοιες, όπως επίσης και με την έννοια του ορθογωνίου τριγώνου (την οποία οι μαθητές επεξεργάζονται περισσότερο στα πλαίσια της Ε δημοτικού), προκειμένου να αποκτήσουμε μια πιο σαφή εικόνα για το τι γνώριζαν και τι μπορούσαν να κάνουν. Αυτό θα μας έδινε τη δυνατότητα να κάνουμε έναν αποτελεσματικότερο σχεδιασμό και να περάσουμε στη φάση της υλοποίησης της διδακτικής παρέμβασης αφότου είχαμε δουλέψει με τους μαθητές πάνω σε ενδεχόμενες παρανοήσεις ή και γνωστικά κενά που μπορεί να διαπιστώναμε πως υπήρχαν. Για τον σκοπό αυτό όλοι οι μαθητές που συμμετείχαν στην έρευνα απάντησαν το Ερωτηματολόγιο 1, ένα ερωτηματολόγιο 12 ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής, το οποίο περιείχε ερωτήσεις που αφορούσαν τις εξής βασικές έννοιες: γωνία, κάθετες πλευρές-ορθή γωνία, ορθογώνιο τρίγωνο. Οι επιμέρους άξονες διερεύνησης για κάθε έννοια παρουσιάζονται στον Πίνακα ΙΙ: 65

Πίνακας II Γωνία Κάθετες πλευρές- Ορθή γωνία Ορθογώνιο Τρίγωνο Γνωρίζουν τι πρέπει να σχεδιάσουν για να φτιάξουν μια γωνία; Γνωρίζουν τι είναι η γωνία; Μπορούν να αναγνωρίσουν μια γωνία ανάμεσα σε άλλα σχήματα; Κατανοούν τι είναι η γωνία; Μπορούν να αναγνωρίζουν κάθετες πλευρές ανάλογα με τον τρόπο που εφαρμόζει ο γνώμονας πάνω σε μια γωνία; Γνωρίζουν τη σχέση της ορθής γωνίας με τις κάθετες πλευρές; Μπορούν να χρησιμοποιούν τον γνώμονα ώστε να ελέγχουν αν μια γωνία είναι ορθή, οξεία ή αμβλεία; Μπορούν να διακρίνουν το είδος μιας γωνίας σε σύγκριση με το άνοιγμα της ορθής γωνίας; Κατανοούν πως ένα τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή είναι ορθογώνιο; Μπορούν να εντοπίζουν την ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Έχουν κατανοήσει πως ο γνώμονας είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο; 5.3.6 Πλαισίωση της διδακτικής παρέμβασης Με την έναρξη του σχολικού έτους διαπιστώθηκε άμεσα από την υπεύθυνη εκπαιδευτικό του τμήματος πως οι μαθητές δεν ήταν εξοικειωμένοι με τη λειτουργία σε ομάδες. Για τον λόγο αυτό σχεδιάστηκε η υλοποίηση ενός εκπαιδευτικού προγράμματος το οποίο καλούσε τους μαθητές να εμπλακούν σε ομαδικά έργα. Μία από τις δραστηριότητες του προγράμματος αφορούσε την κατασκευή ενός επιδαπέδιου παιχνιδιού από τους ίδιους τους μαθητές. Το παιχνίδι που τελικά επέλεξαν οι μαθητές ήταν αυτό της τετρασφαίρισης, το οποίο περιλαμβάνει μια επιδαπέδια επιφάνεια χωρισμένη σε 4 τετράγωνα. Η επιφάνεια αυτή ουσιαστικά λειτουργεί ως γήπεδο την ώρα του παιχνιδιού, και από αυτό οι μαθητές αντιλαμβάνονται ότι απαιτείται ακρίβεια στη σχεδίασή της. Oι μαθητές στη φάση της υλοποίησης θα διαπίστωναν ότι χρειάζονταν ένα εργαλείο που να λειτουργεί ως «γωνία» για να σχεδιάσουν τα ορθογώνια σχήματα. Το εργαλείο αυτό είναι ο γνώμονας. Πώς θα μπορούσαν όμως οι ίδιοι να κατασκευάσουν τον δικό τους γνώμονα; 66

Εικόνα 21: Η επιδαπέδια επιφάνεια της τετρασφαίρισης Η υπεύθυνη εκπαιδευτικός έκρινε πως το πρόβλημα που καλούνταν να λύσουν οι μαθητές αποτελούσε το ιδανικό πλαίσιο που χρειαζόταν για να στηρίξει μια διδασκαλία για την έννοια της ορθογωνιότητας, η οποία παράλληλα θα ήταν σύμφωνη με το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της Ε τάξης (ΥΠΕΠΘ-Π.Ι., 2002). Με βάση το πλαίσιο αυτό σχεδίασε ένα διδακτικό σενάριο που βοηθά τους μαθητές να καταλήξουν στην επίλυση του αρχικού τους προβλήματος μέσα από τη διερεύνηση της έννοιας της ορθογωνιότητας. 5.3.7 Σχέδιο διδακτικής παρέμβασης Η διδακτική παρέμβαση που σχεδιάστηκε αποτελείται από 11 δραστηριότητες που διαδέχονται η μια την άλλη με συγκεκριμένη σειρά. Κάθε δραστηριότητα έχει έναν διαφορετικό στόχο καθένας από τους οποίους εξυπηρετεί τον βασικό σκοπό της έρευνας. Οι στόχοι των δραστηριοτήτων της έρευνας παρουσιάζονται αναλυτικά στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας III Στόχοι Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα 3α Δραστηριότητα 3β Οπτική σύνδεση «φυσικής» καθετότητας με ορθή γωνία που σχηματίζεται με τη χρήση σπάγκου Οπτική σύνδεση «φυσικής» καθετότητας με ορθή γωνία που σχηματίζεται εντός ορθογωνίου τριγώνου που είναι φτιαγμένο από σπάγκο Προετοιμασία για διαδικασία μέτρησης πλευρών ορθογωνίου τριγώνου Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής σχέσης της ορθογωνιότητας μέσα από διαδικασίες μέτρησης μήκους πλευρών και ανακάλυψη της αριθμητικής σχέσης 3, 4, 5 σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο 67

Δραστηριότητα 4 Δραστηριότητα 5 Δραστηριότητα 6 Δραστηριότητα 7 Δραστηριότητα 8 Δραστηριότητα 9 Δραστηριότητα 10 Δραστηριότητα 11 Σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς στο ίδιο επίπεδο με την ορθή γωνία που σχηματίζεται μεταξύ νήματος και επιφάνειας Σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς σε διαφορετικό επίπεδο α)να κατανοήσουν οι μαθητές ότι ισχύει το ευθύ και το αντίστροφο: Ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει το 3, 4, 5 στα μήκη των πλευρών του β)σύνδεση μήκους πλευράς «5» με τον χαρακτηρισμό της απέναντι γωνίας (ορθής: «5», οξείας: μικρότερης από «5», αμβλείας: μεγαλύτερης από «5») Να διαπιστώσουν ότι οι αριθμητικές σχέσεις που παρατήρησαν παραπάνω και αφορούν τη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) ισχύουν πάντα, ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης που χρησιμοποιούν, όταν κατασκευάζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο Να μπορούν να επικοινωνήσουν τη διαδικασία κατασκευής ενός γνώμονα δίνοντας απλές οδηγίες Διατύπωση και καταγραφή του βασικού κανόνα που επιτρέπει να είμαστε σίγουροι ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ποια γωνία από τις τρεις είναι η ορθή Να εφαρμόζουν τον κανόνα που έμαθαν για τη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα κάθε φορά που θέλουν να κατασκευάσουν έναν γνώμονα Έλεγχος της λειτουργίας του γνώμονα σε καθετότητες του γύρω καθημερινού κόσμου του σχολείου Οι μέθοδοι διδασκαλίας των δραστηριοτήτων της διδακτικής παρέμβασης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας IV Μέθοδος Διδασκαλίας Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα 3α Δραστηριότητα 3β Δραστηριότητα 4 Δραστηριότητα 5 Δραστηριότητα 6 Δραστηριότητα 7 Δραστηριότητα 8 Δραστηριότητα 9 επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης εργασία σε ομάδες επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης εργασία σε ομάδες επίδειξη στην τάξη, συμμετοχή μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης εργασία σε ομάδες εργασία σε ομάδες εργασία σε ομάδες 68

Δραστηριότητα 10 Δραστηριότητα 11 εργασία σε ομάδες εργασία σε ομάδες Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα υλικά που απαιτούνται για την υλοποίηση κάθε δραστηριότητας: Πίνακας V Υλικά Δραστηριότητα 1 Δραστηριότητα 2 Δραστηριότητα 3α Δραστηριότητα 3β Δραστηριότητα 4 Δραστηριότητα 5 Δραστηριότητα 6 Δραστηριότητα 7 Δραστηριότητα 8 Δραστηριότητα 9 Δραστηριότητα 10 Δραστηριότητα 11 Υλικά για επίδειξη: νήμα, βαρίδι, δοχείο με χρωματισμένο νερό, σπάγκος Υλικά για επίδειξη: υλικά δραστηριότητας 1 (σπάγκος που είναι λυγισμένος σε γωνία δίπλα από to νήμα της στάθμης με υγρό που ηρεμεί), ψαλίδι Υλικά για επίδειξη: κομμένος σπάγκος από προηγούμενη δραστηριότητα, μαρκαδόρος Υλικά ανά ομάδα: μαρκαδόρος, κουβάρι με σπάγκο, ψαλίδι, Φύλλο Εργασίας 1, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά ομάδα: σπάγκος μήκους «12» σημαδεμένος σε ίσα μέρη μήκους «1» από προηγούμενη δραστηριότητα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά ομάδα: σπάγκος (μήκους «12») χωρισμένος με σημάδια ανά «1» τα άκρα του οποίου είναι ενωμένα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά ομάδα: σπάγκος (με μήκος μεγαλύτερο από «12») σημαδεμένος ανά «1», τα άκρα του οποίου είναι χωρισμένα ψαλίδι, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά ομάδα: Κάθε ομάδα χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό υλικό από το περιβάλλον της τάξης ως μονάδα μέτρησης π.χ. βιβλίο, μαρκαδόρος, ξυλάκι, παπούτσι. Επιπλέον κάθε ομάδα έχει: λωρίδες από μπλε χαρτί του μέτρου (τυχαίου μήκους), ρολό από καφέ χαρτί του μέτρου, ψαλίδι, μολύβι, χαρτοταινία, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά άτομο: Φύλλο Εργασίας 2 Υλικά ανά ομάδα: μολύβι, γόμα, Φύλλο Εργασίας 3 (στο οποίο καταγράφουν αυτό που συμφωνεί η ομάδα) Υλικά ανά ομάδα: μολύβι, γόμα, Φύλλο Εργασίας 4 (στο οποίο καταγράφουν αυτό που συμφωνεί η ομάδα) Υλικά ανά ομάδα: μολύβι, ψαλίδι, μονάδα μέτρησης μήκους που θα επιλέξουν οι ίδιοι οι μαθητές, χαρτί του μέτρου, χαρτοταινία για το περίγραμμα των τετραγώνων της επιδαπέδιας επιφάνειας, μαρκαδόρος, μεζούρα ως μονάδα μέτρησης του μήκους της πλευράς των τετραγώνων, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά ομάδα: γνώμονας που κατασκεύασαν τα παιδιά από προηγούμενη δραστηριότητα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) 69

5.3.8 Περιγραφή δραστηριοτήτων διδακτικής παρέμβασης Δραστηριότητα 1 Πίνακας VI Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Οπτική σύνδεση «φυσικής» καθετότητας με ορθή γωνία που σχηματίζεται με τη χρήση σπάγκου Επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης Υλικά για επίδειξη: νήμα, βαρίδι, δοχείο με χρωματισμένο νερό, σπάγκος Οι μαθητές παρατηρούν τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του νήματος της στάθμης με την επιφάνεια χρωματισμένου υγρού που ηρεμεί. Στη συνέχεια δίνουμε έναν μακρύ σπάγκο σε δύο μαθητές και τους ζητάμε να αναπαραστήσουν με τη βοήθεια του σπάγκου τη γωνία που βλέπουν να σχηματίζεται μεταξύ του νήματος και της επιφάνειας του υγρού. Παρακινείται ο ένας μαθητής να πατήσει με το πόδι του σε ένα σημείο το σχοινί, ώστε να λυγίσει και να σχηματιστεί γωνία, και ο άλλος να τεντώσει το υπόλοιπο σχοινί στο πάτωμα (η μία πλευρά της γωνίας θα πρέπει να είναι παράλληλη με αυτή του νήματος στάθμης και η άλλη πλευρά να εφάπτεται στο πάτωμα). Οι μαθητές καλούνται να ονομάσουν το είδος της γωνίας που σχημάτισαν με τη βοήθεια του σπάγκου και κάνουν οπτική αντιπαραβολή με την ορθή γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού που ηρεμεί. 70

Εικόνα 22 71

Δραστηριότητα 2 Πίνακας VII Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά για επίδειξη: Οπτική σύνδεση «φυσικής» καθετότητας με ορθή γωνία που σχηματίζεται εντός ορθογωνίου τριγώνου που είναι φτιαγμένο από σπάγκο Επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης υλικά δραστηριότητας 1 (σπάγκος που είναι λυγισμένος σε γωνία δίπλα από το νήμα της στάθμης με υγρό που ηρεμεί), ψαλίδι Ζητάμε από τους μαθητές που συμμετείχαν στην προηγούμενη δραστηριότητα να ενώσουν τα δύο άκρα του σπάγκου (με τον οποίο έχουν ήδη σχηματίσει τη γωνία στον τοίχο) με τέτοιον τρόπο ώστε να σχηματιστεί τρίγωνο. Στη συνέχεια κόβουν το σχοινί που περισσεύει. Έπειτα αναγνωρίζουν το είδος του τριγώνου που σχηματίζεται (ορθογώνιο), εντοπίζουν τις κάθετες πλευρές και την ορθή γωνία στο τρίγωνο που έχουν φτιάξει και κάνουν οπτική αντιπαραβολή με τη γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού. Δραστηριότητα 3α Πίνακας VIII Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά για επίδειξη: Προετοιμασία για διαδικασία μέτρησης πλευρών ορθογωνίου τριγώνου Επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης κομμένος σπάγκος από προηγούμενη δραστηριότητα, μαρκαδόρος Ζητάμε από τους μαθητές να μεταφέρουν το προηγούμενο ορθογώνιο τρίγωνο (από τη δραστηριότητα 2) στο οριζόντιο επίπεδο για να δουν πώς είναι. Οι μαθητές μεταφέρουν το τρίγωνο στο δάπεδο της τάξης. Κατά τη μεταφορά θα χαλάσει το τρίγωνο που είχαν φτιάξει και θα συνειδητοποιήσουν ότι έπρεπε να έχουν σημειώσει (βάζοντας σημάδια π.χ. με έναν μαρκαδόρο) πού ακριβώς «διπλώνει» το τρίγωνο. 72

Εικόνα 23 73

Δραστηριότητα 3β Πίνακας IX Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής σχέσης της ορθογωνιότητας μέσα από διαδικασίες μέτρησης μήκους πλευρών και ανακάλυψη της αριθμητικής σχέσης 3, 4, 5 σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο Εργασία σε ομάδες μαρκαδόρος, κουβάρι με σπάγκο, ψαλίδι, Φύλλο Εργασίας 1, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Ο ερευνητής απευθύνει στους μαθητές το εξής ερώτημα: Αν για κάποιο λόγο σβηστούν τα σημάδια που σημειώσαμε πάνω στο τρίγωνο, τι θα κάνουμε; Υπάρχει τρόπος να ξέρουμε πού διπλώνει το σχοινί και να φτιάχνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ακόμη κι αν δεν έχουμε σημάδια; Σε αυτό το σημείο με κάποιον τρόπο από τις απαντήσεις των μαθητών αναμένεται να έρθει στην επιφάνεια η ανάγκη της μέτρησης των πλευρών του τριγώνου. Στη συνέχεια ο ερευνητής καλεί τους μαθητές να βρουν έναν συνδυασμό μήκους πλευρών που να οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο. Για τον λόγο αυτό τους ζητά να δοκιμάσουν να κατασκευάσουν από την αρχή ένα τρίγωνο από σπάγκο δοκιμάζοντας διάφορα μήκη πλευρών, μέχρι να βρουν αυτό που οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο. Οι μαθητές παρακινούνται να χρησιμοποιήσουν μια δική τους μονάδα μέτρησης. Κάθε ομάδα κόβει ένα μικρό κομμάτι σχοινιού (τυχαίου μεγέθους) από ένα κουβάρι σπάγκο που έχει μπροστά της ως μονάδα μέτρησης. Παράλληλα σε κάθε ομάδα μοιράζεται το Φύλλο Εργασίας 1, που περιέχει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς μέχρι τον πρώτο συνδυασμό που οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο (3, 4, 5). Οι μαθητές ξεκινούν κόβοντας ένα κομμάτι σπάγκου μήκους «3» και δοκιμάζουν φτιάχνοντας το τρίγωνο 1-1-1. Προχωρούν στο τρίγωνο 1-1-2 κ.ο.κ. Κάθε ομάδα, ανεξαρτήτως μονάδας μέτρησης καταλήγει στον σπάγκο μήκους «12» με τον συνδυασμό 3-4-5 κάνοντας οπτική αντιπαραβολή της ορθής γωνίας του τριγώνου με τη γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού. Τέλος, ο ερευνητής καλεί τις ομάδες να φτιάξουν εκ νέου με έναν καινούριο σπάγκο που δεν έχει σημάδια το προηγούμενο ορθογώνιο τρίγωνο, εφαρμόζοντας τις αριθμητικές σχέσεις που ανακάλυψαν. 74

Εικόνα 24 75

Δραστηριότητα 4 Πίνακας X Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς στο ίδιο επίπεδο με την ορθή γωνία που σχηματίζεται μεταξύ νήματος και επιφάνειας Επίδειξη, συμμετοχή δύο μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης σπάγκος μήκους «12» σημαδεμένος σε ίσα μέρη μήκους «1» από προηγούμενη δραστηριότητα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Ζητάμε από τους μαθητές να αναπαραστήσουν ξανά με τη βοήθεια του σπάγκου (που τώρα είναι χωρισμένος σε 12 ίσα μέρη) το τρίγωνο που έφτιαξαν στη δραστηριότητα 2, σε άμεση οπτική αντιπαραβολή με τη γωνία νήματος-επιφάνειας υγρού. Αυτή τη φορά τους δίνεται η υπόδειξη να λυγίσουν τον σπάγκο μόνο σε σημεία που υπάρχουν κόμποι. Ζητάμε από τους μαθητές να προσδιορίσουν και σε αυτό το τρίγωνο ποια είναι η γωνία που αντιστοιχεί σε αυτή που σχηματίζει το νήμα με την επιφάνεια του υγρού. Στη συνέχεια οι μαθητές μετρούν το μήκος κάθε πλευράς του τριγώνου που έφτιαξαν χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης το διάστημα ανάμεσα σε δύο κόμπους πάνω στο σχοινί. Παρατηρούν τη θέση της ορθής γωνίας σε σχέση με την πλευρά μήκους «5». Εικόνα 25 76

77

Δραστηριότητα 5 Πίνακας XI Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς σε διαφορετικό επίπεδο Εργασία σε ομάδες σπάγκος (μήκους «12») χωρισμένος με σημάδια ανά «1» τα άκρα του οποίου είναι ενωμένα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Χωρίζουμε τα παιδιά σε ομάδες και τους ζητάμε να σταθούν όρθια σε άδειο χώρο μέσα στην αίθουσα. Δίνουμε σε κάθε ομάδα να κρατήσει στα χέρια της έναν σπάγκο με μήκος «12» σημαδεμένο ανά «1» (τα άκρα του οποίου είναι ενωμένα) και ζητάμε από τους μαθητές να σχηματίσουν ένα τρίγωνο σαν αυτό της προηγούμενης δραστηριότητας (το οποίο θα περιλαμβάνει μια γωνία σαν αυτή ανάμεσα στο νήμα και την επιφάνεια του υγρού). Η ορθή γωνία τώρα θα σχηματιστεί σε ένα διαφορετικό επίπεδο από αυτό που δούλευαν προηγουμένως. Τους υποδεικνύουμε να λυγίσουν τον σπάγκο μόνο στα σημεία που υπάρχουν κόμποι. Οι μαθητές διαπιστώνουν πως ο μόνος τρόπος να σχηματιστεί ένα τέτοιο τρίγωνο είναι όταν οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκος 3 και 4 και η απέναντι πλευρά 5. Αυτό το μπορούν να το διαπιστώσουν μετρώντας τα διαστήματα ανάμεσα σε κόμπους σε κάθε πλευρά. 78

Εικόνα 26 79

Δραστηριότητα 6 Πίνακας XII Στόχος: i. Να κατανοήσουν οι μαθητές ότι ισχύει το ευθύ και το αντίστροφο: Ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν ισχύει το 3, 4, 5 στα μήκη των πλευρών του ii. Σύνδεση μήκους πλευράς «5» με τον χαρακτηρισμό της απέναντι γωνίας (ορθής: «5», οξείας: μικρότερης από «5», αμβλείας: μεγαλύτερης από «5») Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Επίδειξη στην τάξη, συμμετοχή μαθητών κατά τη διαδικασία επίδειξης σπάγκος (με μήκος μεγαλύτερο από «12») σημαδεμένος ανά «1», τα άκρα του οποίου είναι χωρισμένα ψαλίδι, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Δίνουμε στους μαθητές έναν σπάγκο με μήκος μεγαλύτερο από «12» σημαδεμένο ανά «1» και ζητάμε από τα παιδιά να ξαναφτιάξουν με το σχοινί το τρίγωνο της προηγούμενης δραστηριότητας με πλευρές «3», «4», «5» πάνω στο δάπεδο. Τους ζητάμε να προσδιορίσουν ξανά πάνω στο τρίγωνο την ορθή γωνία (όπως η γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού που παρατήρησαν στις προηγούμενες δραστηριότητες). Στη συνέχεια, τους ζητάμε να διατηρήσουν τις πλευρές «3» και «4» και να μικρύνουν την πλευρά «5» κατά «1». Οι μαθητές παρατηρούν πως για να «κλείσει» το τρίγωνο θα πρέπει να μικρύνει το άνοιγμα της γωνίας. Μπορούν να ξαναδοκιμάσουν μικραίνοντας ακόμα περισσότερο το μήκος της πλευράς αρχικού μεγέθους «5». Έπειτα, ζητάμε από τους μαθητές να ξανακατασκευάσουν στο δάπεδο το τρίγωνο με πλευρές «3», «4», «5». Διατηρώντας και πάλι τις πλευρές «3» και «4», αυτή φορά μεγαλώνουν την πλευρά «5» κατά «1». Οι μαθητές παρατηρούν πως για να κλείσει το τρίγωνο, θα πρέπει να μεγαλώσει το άνοιγμα της γωνίας. Στη συνέχεια ζητάμε και πάλι από τους μαθητές να κατασκευάσουν το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές «3», «4», «5» και να μετακινήσουν το σχοινί της μιας κάθετης πλευράς με τέτοιον τρόπο ώστε να μικρύνει η γωνία. Οι μαθητές παρατηρούν πως το μήκος της απέναντι πλευράς είναι μικρότερο από «5». Τέλος, ζητάμε από τους μαθητές να κατασκευάζουν ξανά το αρχικό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές «3», «4», «5» και να μετακινήσουν το σχοινί της μιας κάθετης πλευράς με 80

τέτοιον τρόπο ώστε αυτή τη φορά να μεγαλώσει η γωνία. Οι μαθητές παρατηρούν πως το μήκος της απέναντι πλευράς είναι μεγαλύτερο από «5». Εικόνα 27 81

Δραστηριότητα 7 Πίνακας XIII Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Να διαπιστώσουν ότι οι αριθμητικές σχέσεις που παρατήρησαν παραπάνω και αφορούν τη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) ισχύουν πάντα, ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης που χρησιμοποιούν, όταν κατασκευάζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο Εργασία σε ομάδες Κάθε ομάδα χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό υλικό από το περιβάλλον της τάξης ως μονάδα μέτρησης π.χ. βιβλίο, μαρκαδόρος, ξυλάκι, παπούτσι. Επιπλέον κάθε ομάδα έχει: λωρίδες από μπλε χαρτί του μέτρου (τυχαίου μήκους), ρολό από καφέ χαρτί του μέτρου, ψαλίδι, μολύβι, χαρτοταινία, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Υλικά ανά άτομο: Φύλλο Εργασίας 2 Χωρίζουμε τα παιδιά σε ομάδες. Σε κάθε ομάδα δίνουμε και μια διαφορετική μονάδα μέτρησης (π.χ. βιβλίο, μαρκαδόρος, ξυλάκι, παπούτσι). Ζητάμε από την κάθε ομάδα να χρησιμοποιήσει το αντικείμενο που της δόθηκε ως μονάδα μέτρησης για να μετρήσει και σχεδιάσει να κόψει τρεις λωρίδες από χαρτί του μέτρου (μεγέθους «3», «4», «5» αντίστοιχα). Στη συνέχεια, κάθε ομάδα θα πρέπει να ενώσει τις λωρίδες με τέτοιον τρόπο πάνω στο καφέ χαρτί του μέτρου ώστε να σχηματιστεί ένα τρίγωνο σαν αυτό της προηγούμενης δραστηριότητας (με ορθή γωνία). Σταθεροποιούν τις λωρίδες χρησιμοποιώντας χαρτοταινία. Ρωτάμε τους μαθητές σε ποια θέση θα πρέπει να τοποθετηθεί η λωρίδα μεγέθους «5». Σχεδιάζουν το περίγραμμα του τριγώνου που δημιουργείται στο εσωτερικό. Κόβουν περιμετρικά το σχήμα που σχεδίασαν. Στην ουσία μόλις κατασκεύασαν έναν γνώμονα. Ζητάμε από κάθε ομάδα να υποδείξει πάνω στο τρίγωνο που κατασκεύασε την ορθή γωνία. Έπειτα, οι μαθητές εφαρμόζουν τα ορθογώνια τρίγωνα που έφτιαξαν το ένα πάνω στο άλλο, με τέτοιον τρόπο, ώστε κάθε ορθή γωνία να «πέφτει» ακριβώς πάνω στις άλλες. Οι μαθητές διαπιστώνουν πως η αντίστοιχη γωνία σε όλα τα τρίγωνα έχει το ίδιο άνοιγμα. Τέλος, ζητάμε από τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν το ορθογώνιο τρίγωνο που έφτιαξαν οι ίδιοι για να σχεδιάσουν μια ορθή γωνία στο Φύλλο Εργασίας 2. 82

Εικόνα 28 83

Δραστηριότητα 8 Πίνακας XIV Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Να μπορούν να επικοινωνήσουν τη διαδικασία κατασκευής ενός γνώμονα δίνοντας απλές οδηγίες Εργασία σε ομάδες μολύβι, γόμα, Φύλλο Εργασίας 3 (στο οποίο καταγράφουν αυτό που συμφωνεί η ομάδα) Μοιράζουμε σε κάθε ομάδα το Φύλλο Εργασίας 3 σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές καλούνται να καταγράψουν αναλυτικά τα υλικά και τα βήματα που θα πρέπει να ακολουθήσει κάποιος συμμαθητής τους από άλλη τάξη για να κατασκευάσει τον δικό του γνώμονα εύκολα και γρήγορα. Μετά από συζήτηση κάθε ομάδα φτιάχνει μια λίστα με υλικά και καταγράφει τις οδηγίες κατασκευής ενός γνώμονα βήμα προς βήμα. Εικόνα 29 84

Δραστηριότητα 9 Πίνακας XV Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Διατύπωση και καταγραφή του βασικού κανόνα που επιτρέπει να είμαστε σίγουροι ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ποια γωνία από τις τρεις είναι η ορθή Εργασία σε ομάδες μολύβι, γόμα, Φύλλο Εργασίας 4 (στο οποίο καταγράφουν αυτό που συμφωνεί η ομάδα) Μοιράζουμε σε κάθε ομάδα το Φύλλο Εργασίας 4 σύμφωνα με το οποίο οι μαθητές καλούνται να καταγράψουν τον βασικό κανόνα που τους επιτρέπει να φτιάχνουν μόνοι τους ένα τρίγωνο το οποίο είναι σίγουροι πως είναι ορθογώνιο. Αναμένεται οι μαθητές να διατυπώσουν τον εξής κανόνα: «Όταν σε ένα τρίγωνο οι πλευρές έχουν μήκος «3», «4», «5», τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο». Οι μαθητές μέσα από τις δραστηριότητες της παρέμβασης έχουν ανακαλύψει και το αντίστροφο. Επομένως αναμένεται και η εξής διατύπωση: «Όταν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οι πλευρές του έχουν μήκος «3», «4», «5». Ζητάμε από τους μαθητές να συμπληρώσουν τον κανόνα καταγράφοντας ποια θα είναι η θέση της ορθής γωνίας σε αυτό το τρίγωνο. Αναμένεται οι μαθητές να συμπληρώσουν τον προηγούμενο κανόνα ως εξής: Όταν σε ένα τρίγωνο οι πλευρές έχουν μήκος «3», «4», «5», τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η ορθή γωνία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος «5». Δραστηριότητα 10 Πίνακας XVI Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Να εφαρμόζουν τον κανόνα που έμαθαν για τη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα κάθε φορά που θέλουν να κατασκευάσουν έναν γνώμονα Εργασία σε ομάδες μολύβι, ψαλίδι, μονάδα μέτρησης μήκους που επιλέγουν οι ίδιοι οι μαθητές, χαρτί του μέτρου, χαρτοταινία για το περίγραμμα των τετραγώνων της επιδαπέδιας επιφάνειας, μαρκαδόρος, μεζούρα ως μονάδα μέτρησης του μήκους της πλευράς των 85

τετραγώνων, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Χωρίζουμε τα παιδιά σε ομάδες και τους ζητάμε να φτιάξουν εκ νέου, χωρίς καθοδήγηση από τον ερευνητή, έναν γνώμονα που θα τους βοηθήσει να κατασκευάσουν την επιφάνεια για το επιδαπέδιο παιχνίδι που είχαν επιλέξει και έτσι να επιλύσουν την αρχική προβληματική κατάσταση, πάνω στην οποία στηρίχθηκε ο σχεδιασμός όλου του διδακτικού σεναρίου. Οι μαθητές με τη βοήθεια του γνώμονα που κατασκευάζουν οι ίδιοι σχεδιάζουν τα τετράγωνα στο δάπεδο της τάξης. Δραστηριότητα 11 Πίνακας XVII Στόχος: Μέθοδος διδασκαλίας: Υλικά ανά ομάδα: Έλεγχος της λειτουργίας του γνώμονα σε καθετότητες του γύρω καθημερινού κόσμου του σχολείου Εργασία σε ομάδες γνώμονας που κατασκεύασαν τα παιδιά από προηγούμενη δραστηριότητα, νήμα στάθμης και υγρό που ηρεμεί (για οπτική αντιπαραβολή) Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες και τους καλούμε να κάνουν έλεγχο της λειτουργίας του γνώμονα που έχουν κατασκευάσει από την προηγούμενη δραστηριότητα σε καθετότητες του γύρω καθημερινού κόσμου του σχολείου. Οι μαθητές ελέγχουν και εντοπίζουν ορθές γωνίες στο περιβάλλον της αίθουσας όπως: στις γωνίες του πίνακα, στην επιφάνεια του θρανίου τους, στα βιβλία τους κ.λπ. 86

5.3.9 Άξονες διερεύνησης τελικής αξιολόγησης Στην τρίτη φάση της έρευνας χρησιμοποιούμε ένα ερωτηματολόγιο με τρεις ερωτήσεις σύντομης ανάπτυξης που καλούν τους μαθητές να διατυπώσουν τη γνώμη τους και να επεξηγήσουν την άποψή τους (Ερωτηματολόγιο 2). Ακολουθεί η παρουσίαση και η ανάλυση των αξόνων διερεύνυσης κάθε ερώτησης. Στην πρώτη ερώτηση παρουσιάζεται στους μαθητές η εικόνα ενός ορθογωνίου τριγώνου, στο οποίο είναι σημειωμένα τα μήκη των πλευρών. Ωστόσο, οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των πλευρών δε συνάδουν με την αριθμητική σχέση που έχουν ανακαλύψει κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης και που αντιστοιχεί στη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5). Η παραπάνω σημειωτική αναπαράσταση (σχηματική και αριθμητική) πλαισιώνεται από μια εκφώνηση και μια δεύτερη εικόνα που συνοδεύεται από διάλογο και που βοηθά τους μαθητές να εισέλθουν στην προβληματική κατάσταση. Οι μαθητές καλούνται να λάβουν μέρος στη «συζήτηση», καταγράφοντας τη δική τους άποψη για το αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή όχι κάνοντας την απαραίτητη αιτιολόγηση. Ερώτηση 1 Εικόνα 30: Ερώτηση 1 στο Ερωτηματολόγιο 2 87

Με αυτή την ερώτηση θέλουμε να αξιολογήσουμε το αν οι μαθητές λαμβάνουν υπόψη τη σχέση μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστασιακών συστημάτων (σχηματικό και αριθμητικό) προκειμένου να καταλήξουν σε ένα συμπέρασμα αναφορικά με την ορθογωνιότητα. Το είδος της απάντησης και ο τρόπος της αιτιολόγησης θα μας δείξει αν οι μαθητές βιώνουν τη σύγκρουση μεταξύ σχηματικής και αριθμητικής αναπαράστασης. Το βίωμα ή μη αυτής της σύγκρουσης δηλώνει το αν έχει αναπτυχθεί η βασική σύνδεση μεταξύ των δύο αναπαραστάσεων. Αν οι μαθητές βασιστούν μόνο στη σχηματική απεικόνιση του ορθογωνίου τριγώνου, η οποία αποτυπώνει μεν τη φυσική καθετότητα που έχουν παρατηρήσει αλλά δε συνάδει με την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, και απαντήσουν πως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, καταλαβαίνουμε πως δεν έχουν κάνει τη σύνδεση σχηματικής και αριθμητικής αναπαράστασης που είναι αναγκαία για το πρώτο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης της ορθογωνιότητας. Αντιθέτως, αν οι μαθητές χρησιμοποιήσουν την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών που αντιστοιχεί στη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) για να υποστηρίξουν πως το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, σημαίνει πως έχουν καταφέρει να ποσοτικοποιήσουν την ποιοτική σχέση της ορθογωνιότητας και ως εκ τούτου έχουν κάνει την απαραίτητη σύνδεση μεταξύ σχηματικής και αριθμητικής αναπαράστασης που είναι απαραίτητο στοιχείο για το πρώτο επίπεδο εξαντικειμενίκευσης. Στην επόμενη ερώτηση παρουσιάζεται στους μαθητές η εικόνα ενός ορθογωνίου τριγώνου, στο οποίο είναι σημειωμένα τα μήκη των πλευρών. Ωστόσο, οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενώ συμφωνούν με τους αριθμούς που έχουν ανακαλύψει στη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5), δε συμφωνούν με τη σχέση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς. Η σημειωτική αναπαράσταση (σχήμα και αριθμοί) πλαισιώνεται από μια εκφώνηση που αποτελεί συνέχεια της προηγούμενης δραστηριότητας και καλεί τους μαθητές να εκφράσουν τη δική τους άποψη για το αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο κάνοντας την απαραίτητη αιτιολόγηση. 88

Ερώτηση 2 Εικόνα 31: Ερώτηση 2 στο Ερωτηματολόγιο 2 Με την παραπάνω ερώτηση θέλουμε να αξιολογούμε το αν οι μαθητές έχουν κατακτήσει τη σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς που υπάρχει στην αριθμητική σχέση μήκους πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου (3, 4, 5). Ενώ με την προηγούμενη δραστηριότητα αξιολογούμε το αν οι μαθητές χρησιμοποιούν την αριθμητική σχέση (3, 4, 5) για να αιτιολογήσουν την απάντησή τους και ως εκ τούτου έχουν προχωρήσει σε ένα στάδιο ποσοτικοποίησης της σχέσης αυτής, στη δεύτερη δραστηριότητα εξετάζουμε το αν έχουν κατακτήσει τον τρόπο με τον οποίο κάθε αριθμός της σχέσης αυτής συνδέεται με τη σχηματική απεικόνιση του ορθογωνίου τριγώνου. Αν οι μαθητές απαντήσουν πως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο επειδή στο μήκος των πλευρών του εντοπίζουν την αριθμητική σχέση 3, 4, 5, αυτό σημαίνει πως δεν έχουν κάνει τη σύνδεση μεταξύ ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς. Αντίθετα, αν απαντήσουν πως το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, επειδή το μήκος 5 θα έπρεπε να αντιστοιχεί στην πλευρά απέναντι από την ορθή, αυτό σημαίνει πως έχουν κατακτήσει τη σύνδεση που μελετάμε. Σε περίπτωση που οι μαθητές απαντήσουν πως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, χρησιμοποιώντας απλά ως κριτήριο τη συμφωνία με τη φυσική καθετότητα που έχουν παρατηρήσει, τότε ισχύει το σχόλιο που έχει γίνει στη δραστηριότητα 1. Στην τρίτη ερώτηση χρησιμοποιήσαμε το ερώτημα που απάντησαν ομαδικά οι μαθητές στο Φύλλο Εργασίας 4 κατά τη διάρκεια υλοποίησης της διδακτικής παρέμβασης. Αυτή τη φορά κάθε ένας μαθητής καλείται να απαντήσει το ίδιο ερώτημα ατομικά. Συγκεκριμένα ζητάμε από τους μαθητές να καταγράψουν τον 89

βασικού κανόνα που επιτρέπει να είμαστε σίγουροι ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ποια γωνία από τις τρεις είναι η ορθή. Ερώτηση 3 Εικόνα 32: Ερώτηση 3 στο Ερωτηματολόγιο 2 Σκοπός μας είναι να αξιολογήσουμε τόσο την αποτελεσματικότητα της διδακτικής παρέμβασης όσον αφορά το γνωστικό επίπεδο των μαθητών όσο την ικανότητα της γλωσσικής καταγραφής του βασικού αριθμητικού κανόνα που έχουν διδαχθεί πως ισχύει σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με το θεωρητικό πλαίσιο η γλωσσική καταγραφή είναι απαραίτητο στάδιο στη διαδικασία της εξαντικειμενίκευσης, καθώς η καταγραφή αναστοχασμών μέσω του γραπτού λόγου καθιστά εφικτή την κατασκευή μιας υπερχρονικής μαθηματικής ιδέας. 90

5.4 Περιορισμοί Ο εκπαιδευτικός της τάξης ήταν παράλληλα ερευνητής, με αποτέλεσμα το ίδιο άτομο να κάνει τη διδασκαλία και να συλλέγει τα ερευνητικά δεδομένα. Το γεγονός αυτό δυσκόλεψε τόσο τη διαδικασία υλοποίησης της διδακτικής παρέμβασης όσο και τη διαδικασία συλλογής δεδομένων. Ένας άλλος περιορισμός της έρευνας ήταν πως παρά τον προγραμματισμό που είχε γίνει στη φάση του ερευνητικού σχεδιασμού, η διάρκεια υλοποίησης συγκεκριμένων δραστηριοτήτων αποδείχθηκε μεγαλύτερη και γι αυτό χρειάστηκε να γίνουν αναπροσαρμογές έτσι ώστε αυτές να υλοποιηθούν στα χρονικά πλαίσια του σχολείου. 91

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο : ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 6.1 Διερεύνηση ετοιμότητας μαθητών (προετοιμασία) Τα αποτελέσματα των απαντήσεων των μαθητών στο Ερωτηματολόγιο 1, με το οποίο επιχειρήσαμε να κάνουμε μια πρώτη διερεύνηση των αντιλήψεων και ικανοτήτων των μαθητών σε σχέση με τις βασικές έννοιες γωνία, κάθετες πλευρέςορθή γωνία και ορθογώνιο τρίγωνο, μας επέτρεψαν να προχωρήσουμε στην υλοποίηση της διδακτικής παρέμβασης, αφού και οι 12 ερωτήσεις του ερωτηματολογίου απαντήθηκαν σωστά από την πλειοψηφία των μαθητών του δείγματος. Συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στον Πίνακα VI όσον αφορά τη βασική έννοια της γωνίας, από τους 13 μαθητές που απάντησαν: όλοι γνώριζαν τι πρέπει να σχεδιάσουν για να φτιάξουν μια γωνία (Ερώτηση 1) 10 στους 13 γνώριζαν τι είναι η γωνία (Ερώτηση 2) όλοι ήταν σε θέση να αναγνωρίσουν μια γωνία ανάμεσα σε άλλα σχήματα (Ερώτηση 3) 12 στους 13 φάνηκε να κατανοούν τι είναι η γωνία (Ερώτηση 4) Όσον αφορά τις έννοιες των καθέτων πλευρών και της ορθής γωνίας: 12 στους 13 μαθητές μπόρεσαν να αναγνωρίσουν τις κάθετες πλευρές ανάλογα με τον τρόπο που εφαρμόζει ο γνώμονας πάνω σε μια γωνία (Ερώτηση 5) 12 στους 13 γνώριζαν τη σχέση της ορθής γωνίας με τις κάθετες πλευρές (Ερώτηση 6) 11 στους 13 μπόρεσαν να εντοπίσουν την ορθή γωνία με τη βοήθεια του γνώμονα (Ερώτηση 7) 12 στους 13 μπόρεσαν να εντοπίσουν την αμβλεία γωνία με τη βοήθεια του γνώμονα (Ερώτηση 8) 10 στους 13 μπόρεσαν να εντοπίσουν την οξεία γωνία με τη βοήθεια του γνώμονα (Ερώτηση 9) 92

Επομένως οι απαντήσεις των μαθητών στις Ερωτήσεις 7, 8, 9 έδειξαν πως η πλειοψηφία του δείγματος μπορεί να διακρίνει το είδος μιας γωνίας σε σύγκριση με το άνοιγμα της ορθής γωνίας. Όσον αφορά την έννοια του ορθογωνίου τριγώνου: 9 στους 13 έδειξαν να κατανοούν πως ένα τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή είναι ορθογώνιο (Ερώτηση 10) η πλειοψηφία των μαθητών μπορεί να εντοπίζει την ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (στην Ερώτηση 11 όλοι οι μαθητές αναγνώρισαν την ορθή γωνία στο σχήμα α, 12 στους 13 στο σχήμα β, 11 στους 13 στο σχήμα γ) 12 στους 13 έδειξαν να κατανοούν πως ο γνώμονας είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Ερώτηση 12) Πίνακας XVIII 93

6.2 Διδακτική παρέμβαση Η ανάλυση των οπτικοακουστικών δεδομένων και των Φύλλων Εργασίας μας επέτρεψε να αξιολογήσουμε κάθε στάδιο της διδακτικής παρέμβασης που υλοποιήθηκε. Επειδή ο όγκος δεδομένων που συνελέγησαν ήταν μεγάλος, επικεντρωθήκαμε στην ανάλυση στοιχείων που αφορούν την κατανόηση, αλληλεπίδραση και επικοινωνία των μαθητών στα διάφορα στάδια της διδακτικής παρέμβασης, την αλληλεπίδραση των μαθητών με το χρησιμοποιούμενο υλικό και την αποτελεσματικότητα του ερευνητικού σχεδιασμού σε σχέση με τους στόχους που είχαν τεθεί σε κάθε δραστηριότητα. Παρακάτω παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα για κάθε φάση της διδασκαλίας που εφαρμόστηκε. Η διδασκαλία ξεκίνησε με τους μαθητές να παρατηρούν τη φυσική καθετότητα μεταξύ του νήματος της στάθμης και της επιφάνειας χρωματισμένου υγρού που ηρεμεί. Η διαδικασία της επίδειξης της πρώτης δραστηριότητας βοήθησε στη δημιουργία ενός κοινού ενσώματου βιώματος της τάξης που λειτούργησε ως σημείο αναφοράς σε μετέπειτα δραστηριότητες. Συγκεκριμένα, από ένα σημείο του τοίχου είχαμε κρεμάσει ένα νήμα πάνω στο οποίο ήταν δεμένο ένα βαρίδι. Οι μαθητές παρατηρώντας την κατακόρυφη ευθεία που σχηματιζόταν από το νήμα λόγω της επίδρασης της βαρύτητας α) οπτικοποίησαν τη «φυσική» κατακόρυφο και β) διαπίστωσαν την εξάρτηση βαρύτητας- κατακορύφου. Εφόσον εξασφαλίστηκε το κοινό αισθητηριακό βίωμα της «φυσικής» κατακορύφου από τους μαθητές, ακολούθησε το αισθητηριακό βίωμα της «φυσικής» καθετότητας, αξιοποιώντας την επιφάνεια του χρωματισμένου υγρού που βρισκόταν σε κατάσταση ηρεμίας μέσα σε ένα δοχείο και τη σχέση της επιφάνειας αυτής με την κατακόρυφη ευθεία του νήματος. Οι μαθητές τελικά αναγνώρισαν πως οι δύο ευθείες (η ευθεία του νήματος και η ευθεία της επιφάνειας του υγρού) συναντιούνταν κάθετα μεταξύ τους και κατάφεραν να αναγνωρίσουν το είδος της γωνίας που σχηματιζόταν ανάμεσά τους. 94

Εικόνα 33: Οι μαθητές παρατηρούν τη φυσική καθετότητα μεταξύ του νήματος της στάθμης και της επιφάνειας χρωματισμένου υγρού που ηρεμεί Στη συνέχεια, και πάλι με τη διαδικασία της επίδειξης ώστε να εξασφαλιστεί η κοινή αναφορικότητα μέσα από το κοινό ενσώματο βίωμα της τάξης, οι μαθητές χρησιμοποιώντας ένα κομμάτι σπάγκου κατασκεύασαν εύκολα μια ορθή γωνία σε οπτική αντιδιαστολή με τη γωνία του νήματος και της επιφάνειας του υγρού. Πραγματοποίησαν μ αυτό τον τρόπο την οπτική σύνδεση της φυσικής καθετότητας με την ορθή γωνία που είχαν κατασκευάσει οι ίδιοι. Χωρίς να χαλάσουν την ορθή γωνία που είχαν σχηματίσει ένωσαν τα άκρα του σπάγκου με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Προχώρησαν έτσι στην οπτική σύνδεση της «φυσικής» καθετότητας με την ορθή γωνία που σχηματίζεται εντός του ορθογωνίου τριγώνου που είχαν φτιάξει. Εικόνα 34: Οι μαθητές χρησιμοποιώντας ένα κομμάτι σπάγκου κατασκευάζουν μια ορθή γωνία σε οπτική αντιδιαστολή με τη γωνία του νήματος και της επιφάνειας του υγρού 95

Αφότου ολοκληρώθηκαν οι πρώτες δραστηριότητες που αφορούσαν την ποιοτική αναγνώριση της καθετότητας τόσο στο παράδειγμα του φυσικού κόσμου όσο και στη δική τους κατασκευή του ορθογώνιου τριγώνου με το σχοινί, χρειάστηκε να γίνει μια ομαλή μετάβαση των υποκειμένων σε δραστηριότητες που αφορούσαν την ποσοτική έκφραση αυτής. Το πέρασμα αυτό ήταν σημαντικό να προκύψει μέσα από μια εσωτερική αναγκαιότητα που θα ήταν προϊόν ενός λογικού προβληματισμού. Για τον λόγο αυτό ζητήθηκε από τους μαθητές να μεταφέρουν το προηγούμενο ορθογώνιο τρίγωνο στο δάπεδο της τάξης. Οι μαθητές συνειδητοποίησαν πως κατά τη μεταφορά το τρίγωνο που είχαν φτιάξει χαλάει και αντιλήφθηκαν πως για να μπορέσουν να μεταφέρουν το ορθογώνιο τρίγωνο χρειάζονταν σημάδια στα σημεία που «διπλώνει». Ο ερευνητής σε αυτό το σημείο ρώτησε τους μαθητές αν υπάρχει κάποιος τρόπος να ξέρουν πού «διπλώνει» το σχοινί χωρίς να υπάρχουν σημάδια. Έπειτα από σχετικό διάλογο κατέληξαν στο ότι θα μπορούσαν να ξέρουν από πριν το μήκος που έχουν οι πλευρές, ώστε να μετρούν το αντίστοιχο μήκος για κάθε μια και έπειτα να διπλώνουν αναλόγως. Σε αυτή τη δραστηριότητα η κοινή αναφορικότητα του ενσώματου βιώματος της τάξης λειτούργησε ως στοιχείο που βοήθησε να ενεργοποιηθούν οι αποβλέψεις των υποκειμένων μέσα σε μια γλωσσική κοινότητα και να έρθει στην επιφάνεια η ανάγκη της μέτρησης των πλευρών του τριγώνου. Το «πραγματικό» πρόβλημα της τάξης με τις κοινές ενσώματες αναφορές οδήγησε τους μαθητές σε μια διαδικασία να αναζητήσουν έναν άλλο τρόπο έκφρασης της ορθογωνιότητας και επομένως άνοιξε το δρόμο για την ανακατασκευή του συγκεκριμένου μαθηματικού αντικειμένου. Σε αυτή τη φάση οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες ξεκίνησαν να κάνουν μετρήσεις για να βρουν έναν συνδυασμό που οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο. Ο έλεγχος της ορθογωνιότητας γινόταν κάνοντας οπτική αντιπαραβολή με τη φυσική καθετότητα μεταξύ του νήματος της στάθμης και της επιφάνειας χρωματισμένου υγρού (το νήμα της στάθμης και το δοχείο με το υγρό βρίσκονταν στην αίθουσα καθ όλη τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης). Η διαδικασία δοκιμών όλων των πιθανών συνδυασμών που ήταν καταγεγραμμένοι στο Φύλλο Εργασίας 1 μέχρι τη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) απεδείχθη εξαιρετικά χρονοβόρα και για τον λόγο αυτό χρειάστηκε να γίνει τροποποίηση του αρχικού σχεδίου. Αντί να δοκιμάσουν όλες οι ομάδες όλους τους συνδυασμούς, οι συνδυασμοί χωρίστηκαν σε τρία μέρη και κάθε ομάδα ανέλαβε να κάνει ένα μέρος αυτών. Η ομάδα που κατέληξε στο 3, 4, 5 υπέδειξε και στις υπόλοιπες τον συνδυασμό για να τον δοκιμάσουν. Ο συνδυασμός 3, 4, 5 επαληθεύτηκε από όλες τις ομάδες. Με τον τρόπο αυτό οι 96

μαθητές πέρασαν από το κοινό αισθητηριακό βίωμα της ομάδας σε ένα κοινό αισθητηριακό βίωμα της τάξης. Ο συνδυασμός 3, 4, 5 οδηγούσε σε ορθογώνιο τρίγωνο όσο μακρύ κι αν ήταν το σχοινί της μονάδας μέτρησης. Παράλληλα επετεύχθη ο βασικός σκοπός της δραστηριότητας. Οι μαθητές εισήχθησαν σε μια διαδικασία ποσοτικοποίησης της ποιοτικής σχέσης της ορθογωνιότητας και μέσα από διαδικασίες μέτρησης μήκους πλευρών ανακάλυψαν την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 που εκφράζει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η δραστηριότητα αυτή βοήθησε τους μαθητές να μην εστιάσουν στο απόλυτο μέγεθος των μονάδων μέτρησης αλλά στην αναλλοίωτη σχέση 3, 4, 5 σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα. Όσον αφορά τη χρήση του υλικού, σε ορισμένες περιπτώσεις τα σημάδια που έβαζαν οι μαθητές με τη δική τους μονάδα μέτρησης δεν ήταν πάντα ακριβή δημιουργώντας μικρές αποκλίσεις που έπρεπε να αντιμετωπιστούν με καινούριες μετρήσεις ώστε να μη δημιουργηθούν παρανοήσεις. Επιπλέον, ίσως εξυπηρετούσε καλύτερα μια λιγότερο εύκαμπτη μονάδα μέτρησης ωστόσο ο σπάγκος ως χειραπτικό εργαλείο στη συγκεκριμένη δραστηριότητα αποδείχθηκε ιδανικός λόγω της ιδιότητάς του να είναι συνεχής. Επιπλέον έδωσε τη δυνατότητα στους μαθητές να αναβιώσουν το ιστορικό παράδειγμα των Αρπεδοναπτών και να ανακαλύψουν μια μαθηματική σχέση μέσα από ένα υλικό που δεν προυποθέτει την έννοια που διδάσκονται. Εικόνα 35: Οι μαθητές εφαρμόζουν τη μονάδα μέτρησης της ομάδας τους και σημαδεύουν το σχοινί 97

Οι οι Εικόνα 36: Οι μαθητές δοκιμάζουν τον συνδυασμό μήκους πλευρών «1, 1, 1» και διαπιστώνουν πως δεν οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο κάνοντας οπτική αντιπαραβολή με τη φυσική καθετότητα Εικόνα 37: Οι μαθητές ανακαλύπτουν πως ο συνδυασμός «3, 4, 5» οδηγεί σε ορθογώνιο τρίγωνο κάνοντας οπτική αντιπαραβολή με τη φυσική καθετότητα 98

Στη συνέχεια οι μαθητές χρησιμοποιώντας τον σημαδεμένο σπάγκο της προηγούμενης δραστηριότητας (που ήταν πια χωρισμένος σε 12 ίσα μέρη) ξαναέφτιαξαν σε άμεση οπτική αντιπαραβολή με τη «φυσική» καθετότητα μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού ένα ορθογώνιο τρίγωνο, λυγίζοντας το σχοινί μόνο σε σημεία που υπήρχαν σημάδια. Αφού προσδιόρισαν την ορθή γωνία του τριγώνου, μέτρησαν τα μήκη «3» και «4» των δύο κάθετων πλευρών. Οι μαθητές μπόρεσαν να ανακαλέσουν την αριθμητική σχέση που είχαν ανακαλύψει στην προηγούμενη δραστηριότητα και μάντεψαν το μήκος «5» της τρίτης πλευράς. Τέλος παρατήρησαν τη θέση της πλευράς «5» και έκαναν μια πρώτη σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς στο ίδιο επίπεδο με την ορθή γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού. Εικόνα 38: Οι μαθητές λυγίζουν σπάγκο μήκους «12» που είναι σημαδεμένος ανά «ένα» μόνο σε σημεία που υπάρχουν σημάδια και σχηματίζουν το ορθογώνιο τρίγωνο στο ίδιο επίπεδο με την ορθή γωνία που σχηματίζεται μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού Στην επόμενη δραστηριότητα ζητήθηκε από τους μαθητές να σχηματίσουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ένα σχοινί (μήκους «12») χωρισμένο με σημάδια ανά «1» τα άκρα του οποίου ήταν ενωμένα. Οι μαθητές δούλεψαν σε ομάδες. Μάλιστα φάνηκε πως η δραστηριότητα αυτή τους άρεσε πολύ καθώς επιδόθηκαν με ενθουσιασμό στο σχηματισμό του τριγώνου. Όλες οι ομάδες κατάφεραν να σχηματίσουν το ορθογώνιο τρίγωνο λυγίζοντας το σχοινί στα σωστά σημεία. Όταν ζητήθηκε να εξηγήσουν πώς ήταν σίγουροι πως το τρίγωνο που είχαν φτιάξει ήταν ορθογώνιο οι περισσότεροι μαθητές χρησιμοποίησαν το οπτικά κοινό αποδεκτό ερέθισμα της 99

φυσικής καθετότητας. Η μία γωνία του τριγώνου τους «ταίριαζε» με τη γωνία μεταξύ νήματος και επιφάνειας υγρού. Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι πως κάποιοι μαθητές χρησιμοποίησαν εξαρχής την αριθμητική σχέση (3, 4, 5) για να σχηματίσουν το ορθογώνιο τρίγωνο. Σε κάθε περίπτωση ζητήθηκε από τους μαθητές να μετρήσουν το μήκος κάθε πλευράς στο τρίγωνο που είχαν φτιάξει. Τότε ακόμη και οι μαθητές που δεν είχαν χρησιμοποιήσει εξαρχής την αριθμητική σχέση (3, 4, 5) κατάφεραν να την εντοπίσουν στο τρίγωνό τους. Επιπλέον προσδιόρισαν τη θέση της πλευράς μήκους «5» στο τρίγωνό τους (τώρα σε ένα διαφορετικό επίπεδο σε σχέση με το επίπεδο της φυσικής καθετότητας που είχαν παρατηρήσει προηγουμένως). Όταν τους ζητήθηκε να ψάξουν να βρουν αν υπάρχει άλλος τρόπος να δημιουργηθεί ορθογώνιο τρίγωνο με το σχοινί που είχαν στα χέρια τους, κάνοντας δοκιμές οι μαθητές συνειδητοποίησαν ότι και πάλι κατέληγαν στην αριθμητική σχέση 3, 4, 5. Οι μαθητές διαπίστωσαν έμπρακτα πως το μόνο που μπορούσε να αλλάξει ήταν το να αντιστραφούν οι δύο κάθετες πλευρές και παρατήρησαν πως η πλευρά μήκους «5» ήταν ξανά απέναντι από την ορθή. Σε αυτή τη δραστηριότητα το χρησιμοποιούμενο υλικό βοήθησε τους μαθητές να αναπτύξουν τη βασική σύνδεση μεταξύ της σχηματικής αναπαράστασης του ορθογωνίου τριγώνου και της αριθμητικής σχέσης 3, 4, 5 αξιοποιώντας το ενσώματο βίωμα. Επιπλέον, το ενσώματο βίωμα εξασφάλισε την κοινή αναφορικότητα στο επίπεδο της ομάδας και τελικά συνετέλεσε θετικά στην αλληλεπιδραστικότητα των υποκειμένων καθώς αναπτύχθηκε πρωτοβουλία αλλά και αυθόρμητος διάλογος μεταξύ των μαθητών κάθε ομάδας. 100

Εικόνα 39: Οι μαθητές στέκονται όρθιοι και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ένα σπάγκο μήκους «12» σημαδεμένο ανά «ένα» τα άκρα του οποίου είναι ενωμένα Στην αρχή της επόμενης δραστηριότητας ζητήθηκε από τους μαθητές που συμμετείχαν στην επίδειξη να φτιάξουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ένα σχοινί που ήταν σημαδεμένο ανά «ένα». Οι μαθητές ξεκίνησαν να κατασκευάζουν το τρίγωνο επιλέγοντας αυτόβουλα τα μήκη «3» και «4» στις δύο κάθετες πλευρές. Μεταβάλλοντας είτε τη γωνία είτε το μήκος της υποτείνουσας στο ορθογώνιο τρίγωνο συνειδητοποίησαν ότι η στρέβλωση της ορθής γωνίας προκαλεί αντίστοιχη στρέβλωση στην απέναντι πλευρά αλλά και το αντίστροφο, δηλαδή η στρέβλωση του μήκους της υποτείνουσας προκαλεί στρέβλωση της ορθής γωνίας. Το χρησιμοποιούμενο υλικό βοήθησε στη συσχέτιση της σχηματικής απεικόνισης του ορθογωνίου τριγώνου με την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών. 101

Εικόνα 40: Οι μαθητές μετακινούν τη μια κάθετη πλευρά έτσι ώστε να μικρύνει η γωνία (που ήταν ορθή) και να γίνει οξεία. Παρατηρούν πως το μήκος της απέναντι πλευράς δεν είναι πια «5» αλλά έχει μικρύνει. Στη συνέχεια οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες κατασκεύασαν έναν χάρτινο γνώμονα εφαρμόζοντας την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 και επιλέγοντας μια διαφορετική μονάδα μέτρησης από το περιβάλλον της τάξης (παπούτσι, μολύβι, γόμα). Το διαφορετικό μήκος που είχε κάθε μονάδα μέτρησης κατεύθυνε τους μαθητές να αντιληφθούν το αναλλοίωτο της αριθμητικής σχέσης 3, 4, 5 σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ανεξάρτητα από το απόλυτο μέγεθος της μονάδας μέτρησης. Ωστόσο στη συγκεκριμένη δραστηριότητα η επιλογή των χάρτινων λωρίδων ως υλικού κατασκευής του ορθογωνίου τριγώνου που θα ήταν το πατρόν για την κατασκευή του γνώμονα δεν ήταν αποτελεσματική. Το χαρτί ήταν εύκαμπτο εμποδίζοντας τη σταθερή κίνηση του χεριού την ώρα που οι μαθητές το χρησιμοποιούσαν ως οδηγό. Επιπλέον οι λωρίδες ήταν κομμένες κατά μήκος με ψαλίδι, κάτι που είχε επίσης ως αποτέλεσμα να υπάρχουν μικρές αποκλίσεις στην ορθή γωνία του γνώμονα και ως εκ τούτου στην ορθή γωνία που κατασκεύασαν οι μαθητές στο Φύλλο Εργασίας 2. Ένα υλικό περισσότερο δύσκαμπτο π.χ. ξύλινες ράβδοι ίσως ήταν καταλληλότερο. 102

Εικόνα 41: Η ομάδα χρησιμοποιεί το παπούτσι ως μονάδα μέτρησης των λωρίδων με τις οποίες θα κατασκευάσει έναν γνώμονα Εικόνα 42: Οι μαθητές σχεδιάζουν τον χάρτινο γνώμονα χρησιμοποιώντας ως οδηγό το ορθογώνιο τρίγωνο που έφτιαξαν με τις χάρτινες λωρίδες Στη συνέχεια, αφού ολοκληρώθηκαν οι δραστηριότητες ποσοτικοποίησης της ποιοτικής σχέσης της ορθογωνιότητας μέσα από μετρήσεις, ακολούθησαν 2 δραστηριότητες που είχαν ως σκοπό τη γλωσσική καταγραφή της διαδικασίας κατασκευής ενός γνώμονα βήμα προς βήμα καθώς επίσης και του βασικού κανόνα 103

που είχαν ανακαλύψει στις προηγούμενες δραστηριότητες με βάση τον οποίο ήταν σίγουροι ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Κατά τη διάρκεια του ερευνητικού σχεδιασμού υπήρχε η ανησυχία πως ίσως οι μαθητές δεν καταφέρουν να αποτυπώσουν σε μορφή γραπτού λόγου αυτό που βιωματικά είχαν αντιληφθεί εξαιτίας της γενικότερης δυσκολίας που αντιμετώπιζαν οι μαθητές στην παραγωγή γραπτού λόγου. Δεν μπορούσαμε όμως να παραλείψουμε το στάδιο της γλωσσικής καταγραφής καθώς σύμφωνα με το θεωρητικό πλαίσιο είναι απαραίτητο στάδιο στη διαδικασία της εξαντικειμενίκευσης. Ωστόσο όπως φαίνεται από τις απαντήσεις των μαθητών στα Φύλλα Εργασίας 3 και 4 και οι τρεις ομάδες κατάφεραν να επικοινωνήσουν επιτυχώς τα στάδια δημιουργίας ενός γνώμονα (και μάλιστα λεπτομερώς) όπως επίσης και να καταγράψουν σε μια αποδεκτή από την κοινότητα της ομάδας περίοδο λόγου τον βασικό κανόνα που είχα διδαχθεί, αναφέροντας μάλιστα και τη θέση κάθε πλευράς στο ορθογώνιο τρίγωνο. Η κοινή αναφορικότητα από το ενσώματο βίωμα των δραστηριοτήτων που είχαν προηγηθεί ενεργοποίησε στα πλαίσια της ομάδας την ανάπτυξη κοινού λόγου που αφορά την ορθογωνιότητα και έκανε δυνατή τη γλωσσική καταγραφή του κανόνα. Η επόμενη δραστηριότητα είχε ως σκοπό την επίλυση της αρχικής προβληματικής κατάστασης που αποτέλεσε το έναυσμα για τη συγκεκριμένη διδασκαλία. Οι μαθητές χρειάζονταν έναν γνώμονα για να κατασκευάσουν την επιδαπέδια επιφάνεια της τετρασφαίρισης. Η αναγκαιότητα επίλυσης της προβληματικής κατάστασης ενεργοποίησε την αποβλεπτικότητα των υποκειμένων μαθητών, οι οποίοι εφάρμοσαν την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 και κατασκεύασαν εκ νέου έναν δικό τους γνώμονα, τον οποίο χρησιμοποίησαν για να σχεδιάσουν την επιφάνεια του παιχνιδιού στο δάπεδο της τάξης. Η παρέμβαση είχε ξεκινήσει με μια «πραγματική» για τους μαθητές προβληματική κατάσταση και όταν οδηγήθηκαν στην επίλυση αυτής επήλθε μια ολοκλήρωση που ικανοποίησε συναισθηματικά τα παιδιά και τα έκανε να βιώσουν την πρακτική χρήση των μαθηματικών ιδεών στον κόσμο της ζωής. 104

Εικόνα 43: Οι μαθητές σχεδιάζουν την επιφάνεια του επιδαπέδιου παιχνιδιού με τη βοήθεια ενός γνώμονα που έχουν κατασκευάσει οι ίδιοι Εικόνα 44: Οι μαθητές παίζουν τετρασφαίριση στην επιδαπέδια επιφάνεια που κατασκεύασαν 105

6.3 Τελική αξιολόγηση Στην τελική αξιολόγηση συμπεριλάβαμε τις απαντήσεις μόνο των μαθητών που είχαν συμμετάσχει σε όλα τα στάδια της διδακτικής παρέμβασης. Για τον λόγο αυτό τα ερωτηματολόγια που αξιολογήθηκαν σε αυτή τη φάση ήταν 10 (3 μαθητές δεν είχαν συμμετάσχει σε όλες τις δραστηριότητες λόγω απουσίας από το σχολείο). Η ανάλυση των ερωτήσεων ήταν ποιοτική σύμφωνα με τους άξονες ανάλυσης που έχουν ήδη παρουσιαστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο. Όπως φαίνεται στον Πίνακα VII στην πρώτη ερώτηση η πλειοψηφία των μαθητών αντιλήφθηκε τη σύγκρουση μεταξύ σχηματικής και αριθμητικής αναπαράστασης και επομένως έλαβε υπόψη τη σχέση μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστασιακών συστημάτων (σχηματικό και αριθμητικό) προκειμένου να καταλήξει σε ένα συμπέρασμα αναφορικά με την ορθογωνιότητα. Συγκεριμένα 7 στους 10 μαθητές επέλεξαν τη σωστή απάντηση και αιτιολόγησαν χρησιμοποιώντας την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών που αντιστοιχεί στη Βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) για να υποστηρίξουν πως το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο. Επομένως η πλειοψηφία των μαθητών δε χρησιμοποίησε ως κριτήριο τη συμφωνία με τη φυσική καθετότητα αλλά την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών. Από τους 10 μαθητές οι 3 επέλεξαν τη λάθος απάντηση. Εστιάζοντας στην αιτιολόγηση της απάντησης των τριών αυτών μαθητών, σημειώνουμε πως ο ένας μαθητής δεν είχε γράψει αιτιολόγηση και οι άλλοι δύο μαθητές χρησιμοποίησαν τη διατύπωση ενός μη ορθού αριθμητικού κανόνα. Στη δεύτερη ερώτηση 8 στους 10 μαθητές έδωσαν τη σωστή απάντηση και ανέφεραν ξεκάθαρα στην αιτιολόγησή τους πως το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, επειδή το μήκος «5» θα έπρεπε να αντιστοιχεί στην πλευρά απέναντι από την ορθή και οι πλευρές με μήκος «3» και «4» θα έπρεπε να είναι οι δύο κάθετες. Επομένως 8 στους 10 μαθητές αντιλήφθηκαν πως οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενώ συμφωνούν με τους αριθμούς που έχουν ανακαλύψει στη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5), δε συμφωνούν με τη σχέση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως η πλειοψηφία των μαθητών κατέκτησε τη σύνδεση ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς που υπάρχει στην αριθμητική σχέση μήκους πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου (3, 4, 5). Στην τρίτη ερώτηση 7 στους 10 μαθητές κατάφεραν να διατυπώσουν τον βασικό αριθμητικό κανόνα που είχαν ανακαλύψει μέσα από τις δραστηριότητες με το 106

σχοινί αναφέροντας στην απάντησή τους όχι μόνο την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 αλλά και τη θέση κάθε πλευράς, τονίζοντας πως η πλευρά «3» και η πλευρά «4» είναι οι δύο κάθετες και η πλευρά «5» βρίσκεται απέναντι από την ορθή. 1 από τους 10 μαθητές χρησιμοποίησε μόνο την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 στην απάντησή του χωρίς να κάνει κάποια ιδιαίτερη αναφορά στο μήκος που θα πρέπει να έχει η πλευρά απέναντι από την ορθή. 1 από τους 10 μαθητές προσπάθησε να συμπεριλάβει την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 στην απάντησή του ωστόσο έκανε μια ασαφή διατύπωση που δε μας επιτρέπει να θεωρήσουμε πως έχει γίνει επιτυχώς η γλωσσική καταγραφή του κανόνα. Τέλος, 1 από τους 10 μαθητές δεν έκανε καμία αναφορά στον αριθμητικό κανόνα, εν τούτοις χρησιμοποιήσε στην αιτιολόγησή του την εφαρμογή με το έτοιμο εργαλείο του γνώμονα ως αποδεικτικό στοιχείο για την ύπαρξη ορθής γωνίας. Πίνακας XIX 107

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο : ΣΥΖΗΤΗΣΗ Οι απαντήσεις των μαθητών στην πρώτη φάση της έρευνας με την οποία επιχειρήσαμε να διερευνήσουμε τις αντιλήψεις και τις ικανότητες των μαθητών σε σχέση με τις βασικές έννοιες γωνία, κάθετες πλευρές-ορθή γωνία και ορθογώνιο τρίγωνο, μας έδειξαν ότι οι μαθητές ήταν έτοιμοι να προχωρήσουν στην υλοποίηση της διδακτικής παρέμβασης, αφού και οι 12 ερωτήσεις του ερωτηματολογίου απαντήθηκαν σωστά από την πλειοψηφία των μαθητών του δείγματος. Όσον αφορά τη διδακτική παρέμβαση, οι πρώτες δραστηριότητες εξασφάλισαν το αισθητηριακό βίωμα της «φυσικής» καθετότητας και βοήθησαν τους μαθητές να προχωρήσουν στην οπτική σύνδεση της «φυσικής» καθετότητας με την ορθή γωνία που σχηματίζεται εντός του ορθογωνίου τριγώνου που είχαν φτιάξει. Οι επόμενες δραστηριότητες οδήγησαν τους μαθητές σε μια διαδικασία ποσοτικοποίησης της ποιοτικής σχέσης της ορθογωνιότητας και μέσα από διαδικασίες μέτρησης μήκους πλευρών μπόρεσαν να ανακαλύψουν την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 που εκφράζει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Όπως έχει ήδη σχολιαστεί στην αναλυτική παρουσίαση των αποτελεσμάτων το πρώτο μέρος της δραστηριότητας 3 βοήθησε στην ομαλή μετάβαση των υποκειμένων σε δραστηριότητες που αφορούσαν την ποσοτική έκφραση αυτής. Η κοινή αναφορικότητα του ενσώματου βιώματος της τάξης λειτούργησε ως στοιχείο που βοήθησε να ενεργοποιηθούν οι αποβλέψεις των υποκειμένων μέσα σε μια γλωσσική κοινότητα και να έρθει στην επιφάνεια η ανάγκη της μέτρησης των πλευρών του τριγώνου. Ωστόσο, στο δεύτερο μέρος της δραστηριότητας 3 η διαδικασία δοκιμών όλων των πιθανών συνδυασμών που ήταν καταγεγραμμένοι στο Φύλλο Εργασίας 1 μέχρι τη βασική Πυθαγόρεια Τριάδα (3, 4, 5) απεδείχθη εξαιρετικά χρονοβόρα. Ακόμη, ίσως εξυπηρετούσε καλύτερα μια λιγότερο εύκαμπτη μονάδα μέτρησης. Τέλος, ο σπάγκος ως χειραπτικό εργαλείο για την δημιουργία τριγώνων έδωσε τη δυνατότητα στους μαθητές να αναβιώσουν το ιστορικό παράδειγμα των Αρπεδοναπτών και να ανακαλύψουν μια μαθηματική σχέση μέσα από ένα υλικό που δεν προυποθέτει την έννοια που διδάσκονται. Η δραστηριότητα 5 απεδείχθη ιδιαίτερα αποτελεσματική όσον αφορά την αλληλεπίδραση των υποκειμένων καθώς το ενσώματο βίωμα των μαθητών 108

εξασφάλισε την κοινή αναφορικότητα και ενεργοποίησε τον κοινό λόγο. Επιπλέον, το χειραπτικό εργαλείο της συγκεκριμένης δραστηριότητας (σπάγκος (μήκους «12») χωρισμένος με σημάδια ανά «1» τα άκρα του οποίου ήταν ενωμένα) βοήθησε τους μαθητές μέσα από το ενσώματο βίωμα να αναπτύξουν τη βασική σύνδεση μεταξύ της ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς. στη συσχέτιση της σχηματικής απεικόνισης του ορθογωνίου τριγώνου με την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών. Ιδιαίτερα αποτελεσματικές αποδείχθηκαν και οι διαφορετικές μονάδες μέτρησης που χρησιμοποίησαν οι μαθητές στη δραστηριότητα 7. Το διαφορετικό μήκος που είχε κάθε μονάδα μέτρησης κατεύθυνε τους μαθητές να αντιληφθούν το αναλλοίωτο της αριθμητικής σχέσης 3, 4, 5 σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ανεξάρτητα από το απόλυτο μέγεθος της μονάδας μέτρησης. Ωστόσο, όπως έχει ήδη αναφερθεί στην παρουσίαση των αποτελεσμάτων, η επιλογή των χάρτινων λωρίδων ως υλικού κατασκευής του ορθογωνίου τριγώνου που αποτέλεσε τον οδηγό για την κατασκευή του γνώμονα δεν ήταν αποτελεσματική. Οι ομαδικές δραστηριότητες γλωσσικής καταγραφής που ακολούθησαν έδωσαν θετικά αποτελέσματα. Η κοινή αναφορικότητα από το ενσώματο βίωμα των δραστηριοτήτων που είχαν προηγηθεί ενεργοποίησε στα πλαίσια της ομάδας την ανάπτυξη κοινού λόγου που αφορά την ορθογωνιότητα και έκανε δυνατή τη γλωσσική καταγραφή της διαδικασίας κατασκευής ενός γνώμονα καθώς και του βασικού αριθμητικού κανόνα που είχαν ανακαλύψει. Στην τελευταία φάση της διδακτικής παρέμβασης η αναγκαιότητα επίλυσης της προβληματικής κατάστασης ενεργοποίησε την αποβλεπτικότητα των υποκειμένων μαθητών, οι οποίοι εφάρμοσαν την αριθμητική σχέση 3, 4, 5 και κατασκεύασαν εκ νέου έναν δικό τους γνώμονα, τον οποίο χρησιμοποίησαν για να σχεδιάσουν την επιφάνεια του παιχνιδιού στο δάπεδο της τάξης. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, όταν οι μαθητές οδηγήθηκαν στην επίλυση της «πραγματικής» κατάστασης επήλθε μια ολοκλήρωση που ικανοποίησε συναισθηματικά τα παιδιά και τα έκανε να βιώσουν την πρακτική χρήση των μαθηματικών ιδεών στον κόσμο της ζωής. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της τελικής αξιολόγησης η πλειοψηφία των μαθητών του δείγματος έλαβε υπόψην της σχέση μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστασιακών συστημάτων (σχηματικό και αριθμητικό) προκειμένου να καταλήξει σε ένα συμπέρασμα αναφορικά με την ορθογωνιότητα. Ακόμη, φάνηκε πως οι περισσότεροι μαθητές είχαν κατακτήσει τη σύνδεση ορθής γωνίας και 109

μήκους απέναντι πλευράς που υπάρχει στην αριθμητική σχέση μήκους πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου (3, 4, 5). Τέλος, η πλειοψηφία των μαθητών ανταποκρίθηκε αποτελεσματικά στη γλωσσική καταγραφή του βασικού αριθμητικού κανόνα, απαραίτητο στοιχείο για να συντελεστεί η μετάβαση στην εξαντικειμενικευμένη ιδέα της ορθογωνιότητας. 110

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εμπειρική μελέτη προσπαθήσαμε να σχεδιάσουμε διδακτική παρέμβαση για τη διδασκαλία της ορθογωνιότητας που να βασίζεται στη φαινομενολογική ιδέα της εξαντικειμενίκευσης του ορθογωνίου τριγώνου και να είναι εφαρμόσιμη στη σχολική τάξη του δημοτικού. Σκοπός μας ήταν να βοηθήσουμε τους μαθητές να ποσοτικοποιήσουν το βίωμα της ορθογωνιότητας μέσα από δράσεις μέτρησης διευκολύνοντάς τους στη διαδικασία εξαντικειμενίκευσης της μαθηματικής ιδέας της ορθογωνιότητας. Η ανάλυση των δεδομένων που συλλέχθηκαν στη φάση της υλοποίησης έδειξε πως tο χρησιμοποιούμενο υλικό βοήθησε τους μαθητές να κάνουν τις απαραίτητες μεταβάσεις σε κάθε δραστηριότητα. Επιπλέον, η κοινή αναφορικότητα από το ενσώματο βίωμα των δραστηριοτήτων α) ενεργοποίησε στα πλαίσια της ομάδας την ανάπτυξη κοινού λόγου που αφορά την ορθογωνιότητα, β) έφερε στην επιφάνεια η ανάγκη της μέτρησης των πλευρών του τριγώνου και γ) έκανε δυνατή τη γλωσσική καταγραφή της διαδικασίας κατασκευής ενός γνώμονα καθώς και του βασικού αριθμητικού κανόνα που είχαν ανακαλύψει. Ακόμη, οι μαθητές μέσα από δραστηριότητες που βασίζονται στο ενσώματο βίωμα και χρησιμοποιώντας υλικά που δεν προυποθέτουν την ύπαρξη της ορθογωνιότητας κατάφεραν να κατασκευάσουν έναν γνώμονα! Από την ανάλυση των δεδομένων στης τελικής αξιολόγησης προέκυψε πως η πλειοψηφία του δείγματος χρησιμοποίησε ως κριτήριο τη συμφωνία με την αριθμητική σχέση μήκους πλευρών που είχε ανακαλύψει στις δραστηριότητες της διδακτικής παρέμβασης προκειμένου να καταλήξει σε ένα συμπέρασμα αναφορικά με την ορθογωνιότητα. Επιπλέον, η πλειοψηφία του δείγματος δεν εστίασε μόνο στην αριθμητική σχέση αλλά προχώρησε στη σύνδεση της ορθής γωνίας και μήκους απέναντι πλευράς. Τέλος, η πλειοψηφία του δείγματος ανταποκρίθηκε αποτελεσματικά στη γλωσσική καταγραφή του βασικού αριθμητικού κανόνα. Συμπερασματικά, τα αποτελέσματα της έρευνας υποστηρίζουν τον ισχυρισμό μας ότι η διδακτική παρέμβαση μέσα από δράσεις μέτρησης βοήθησε τους μαθητές να ποσοτικοποιήσουν το βίωμα της ορθογωνιότητας και να έρθουν πιο κοντά στην αντικειμενική μαθηματική ιδέα του ορθογωνίου τριγώνου. Επιπλεόν, αναδείχθηκε ο 111

ρόλος του χρησιμοποιούμενου υλικού στην ανάπτυξη της βασικής σύνδεσης μεταξύ της σχηματικής αναπαράστασης του ορθογωνίου τριγώνου και της αριθμητικής σχέσης μήκους πλευρών. Η έρευνα αυτή θεωρούμε πως έχει προεκτάσεις που θα μπορούσαν να αποτελέσουν την αφορμή για νέες μελέτες. Μία κατεύθυνση αυτών θα μπορούσε ενδεχομένως να είναι η διερεύνηση της μετάβασης μαθητών δημοτικού στην εύρεση επόμενων Πυθαγόρειων Τριάδων μέσα από δραστηριότητες επέκτασης της παρούσας διδακτικής πρότασης. 112

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Coulson, S. (1997). Semantic Leaps: The Role of Frame Shifting and Conceptual Blending in Meaning Construction. University of California, San Diego: Ph.D. Dissertation. Derrida, J. (1989). Edmund Husserl's Origin of Geometry: An Introduction. Lincoln: Bison/University of Nebraska Press Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131. Εξαρχάκος, Θ. Γ. (1997). Ιστορία των Μαθηματικών. Τόμος Α. Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων και των Αρχαίων Αιγυπτίων. Αθήνα Edwards, L.D. (2004). The Nature of Mathematics as viewed from Cognitive Science. Retrieved December 20, 2017, from http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.521.8074&rep=rep1&typ e=pdf Fauconnier, G. & Turner, M. (1994). Conceptual Projection and Middle Spaces. San Diego: University of California Press. Harel, G., & Tall, D. (1991). The general, the abstract, and the generic in advanced mathematics. For the Learning of Mathematics, 11(1), 38-42. Husserl, E. (1989). The Origin of Geometry. In Edmund Husserl's Origin of Geometry: An Introduction. Lincoln: Bison/University of Nebraska Press. Johnson, Μ. (1987). The Body In The Mind. University of Chicago Press. Κόντος, Π. (2003). Εισαγωγή. Στο Ε. Χούσερλ, Η προέλευση της Γεωμετρίας (σελ. 11-30). Αθήνα: Εκδόσεις Εκκρεμές. Lakoff, G. (1987). Women, Fire and Dangerous things: What categories Reveal about the Mind. Chicago: University of Chicago Press. Lakoff, G. & Johnson, M. (1980). Metaphors we live by. Chicago: University of Chicago Press. 113

Lakoff, G. & Johnson, M. (1999). Philosophy in the flesh: The embodied mind and its challenge to western thought. New York: Basic Books. Lakoff, G., & Núñez, R.E. (2000). Where Mathematics Comes From. How the embodied mind brings mathematics into being. New York: Basic Books. Lakoff, G., & Núñez, R. E. (2016). Από που προέρχονται τα μαθηματικά. Πως ο ενσώματος νους καθιστά τα μαθηματικά υπαρκτά. Αθήνα: Liberal Books. Lappas, D., & Spyrou, P. (2006). A reading of Euclid's elements as embodied mathematics and its educational implications. The Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 5(1), 1-16. Μούτσιος-Ρέντζος, Α. (2015). Η σχέση θεωρίας και υλικού στο σχεδιασμό μιας πρότασης για τη διδασκαλία του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Στο Μ. Σκουμιός και Χ. Σκουμπουρδή. Πρακτικά 1ου Πανελλήνιου Συνεδρίου με Διεθνή Συμμετοχή «Ανάπτυξη Εκπαιδευτικού Υλικού στα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες» (σελ. 538-560), Ρόδος Moutsios-Rentzos, A., Spyrou, P., & Peteinara, A. (2014). The objectification of the right-angled triangle in the teaching of the Pythagorean Theorem: an empirical investigation. Educational Studies in Mathematics, 85 (1), 29-51. Neugebauer, O. (1952). The Exact Sciences in Antiquity. Princeton University Press, Princeton, N. J. Núñez, R.E. (2000). Mathematical Idea Analysis: What embodied cognitive science can say about the human nature of mathematics. (ERIC Document Reproduction Service No. ED466734). Núñez, R.E. (2004). Do real numbers really move? Language, thought and gesture: the embodied cognitive foundation of mathematics. Retrieved December 22, 2017, from http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/dagstuhlscan.pdf Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. (2008). Διδακτικά Πακέτα Δημοτικού. Ανακτήθηκε Ιούλιος, 2017, από http://www.pi-schools.gr/books/dimotiko/ Ρωσσικόπουλος, Δ. (2005): Μέτρον Γεωμετρικόν. Η ιστορία των επιστημών της αποτύπωσης. Εκδόσεις Ζήτη 114

Radford, L. (2003). Gestures, Speech and the Sprouting of Signs: A Semiotic- Cultural Approach to Students' Types of Generalization. Mathematical thinking and Learning. 5(1), 37-70. Σπύρου, Π. (2009). Επιστημολογίες για την διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα: Πανεπιστήμιο Αθηνών (Σημειώσεις). Σπύρου, Π. (2017). Χούσερλ. Αθήνα. Σπύρου, Π., & Μούτσιος-Ρέντζος, Α. (2011). Η εξαντικειμενίκευση του ορθογωνίου τριγώνου σε μια διδασκαλία του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Στο Μ. Καλδρυμίδου & Ξ. Βαμβακούση (Επ.), Πρακτικά του 4ου Συνεδρίου της Ένωσης Ερευνητών της Διδακτικής των Μαθηματικών (σελ. 459-468). Ιωάννινα: ΕνΕΔιΜ- Παν. Ιωαννίνων. Sokolowski, R. (2003). Εισαγωγή στη Φαινομενολογία. Πάτρα: Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. Varela, F.J., Thompson, E., & Rosch, E. (1999). The Embodied Mind (7th ed.). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. Χούσερλ, Ε. (2003). Η προέλευση της Γεωμετρίας, μετάφραση Κόντος Π. Αθήνα: Εκδόσεις Εκκρεμές. 115

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9ο : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

Ερωτηματολόγιο 1

132

133

Φύλλο Εργασίας 1 134

Φύλλο Εργασίας 2 135

Φύλλο Εργασίας 3 136

Φύλλο Εργασίας 4 137

Ερωτηματολόγιο 2 Ερώτηση 1 138

Ερώτηση 2 139

Ερώτηση 3 140

141

142

143

144

Aπάντηση ομάδας Α Aπάντηση ομάδας Β Aπάντηση ομάδας Γ 145